还剩38页未读，
继续阅读
专题1.22 三角形几何模型-三角形中的折叠问题（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）
展开
这是一份专题1.22 三角形几何模型-三角形中的折叠问题（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版），共41页。试卷主要包含了对于折叠，理解运用以下几点，解决折叠问题步骤等内容，欢迎下载使用。
专题1.22 三角形几何模型-三角形中的折叠问题（培优篇）
（专项练习）
一、对于折叠，理解运用以下几点：
【1】折叠的本质就是轴对称，折叠就是对称轴；
【2】有折叠——就有重合——全等——对应角、边相等；
【3】折痕所在直线就是对称轴。
二、解决折叠问题步骤：
【1】折:找出对称轴；
【2】叠:找出全等图形；
【3】化:对相等的边或角进行转化；
【4】建：建立方程或等式解决问题。
一、填空题
1．如图，射线AB与射线CD平行，点F为射线AB上的一定点，连接CF，点P是射线CD上的一个动点（不包括端点C），将沿PF折叠，使点C落在点E处．若，当点E到点A的距离最大时，_____．
2．如图，在中，，在边上取点，使得，连接．点、分别为、边上的点，且，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，若，则的度数为_______．
3．如图1，已知长方形纸带，，．将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置．再沿折叠成图2．点、分别落在、的位置，已知，则_______．
4．如图，把△ABC纸片沿MN折叠，使点C落在四边形ABNM的内部时，则∠1、∠2和 ∠C之间有一种数量关系始终保持不变. 这个关系是___.
5．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，把△ABD沿AD折叠后，使得点B落在点E处，连接CE，若∠DBE=15°，则∠ADC的度数为________
6．如图，在四边形 ABCD 中，∠C＋∠D＝210°，E、F 分别是 AD，BC 上的点，将四边形 CDEF 沿直线 EF 翻折，得到四边形 C′D′EF， C′F 交 AD 于点 G，若△EFG 有两个角相等，则∠EFG＝______ °．
7．如图，在中，,沿折叠，使得点恰好落在边上的点处，若，则的度数是________.
8．如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC是△ABC的好角.
（1）如图2，在△ABC中，∠B>∠C，若经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C的等量关系是_______；
（2）如果一个三角形的最小角是20°，则此三角形的最大角为______时，该三角形的三个角均是此三角形的好角．
9．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A'重合，若∠1+∠2=120°，则∠A=__________
10．如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是____________°．
二、解答题
11．阅读理解：如图 ， 中，沿 的平分线 折叠，剪掉重复部分：将余下部分沿 的平分线 折叠，剪掉重复部分； 将余下部分沿 的平分线 折叠，点 与点 重合，无论折叠多少次，只要最后一次折叠恰好重合， 就被称为是 的好角． 探究发现： 小丽和小亮展示了确定 是 的好角的两种情形．小丽展示的如图 ，沿等腰三角形 顶角 的平分线 折叠，点 与点 重合；小亮展示的如图 ，沿 的平分线 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 的平分线 折叠，此时点 与点 重合．
（1）问题解决： 图 中 与 的关系为______，图 中 与 的关系为______．
（2）小丽又经过三次折叠发现了 是 的好角，请探究 与 （不妨设 ）之间的等量关系为______． 根据以上内容猜想：若经过 次折叠 是 的好角，则 与 （不妨设 ）之间的等量关系为______．
（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为 ，，，发现 和 的两个角都是此三角形的好角．如果以 为好角，那么这个三角形需要经过______次折叠，如果以 为好角，那么这个三角形需要经过______次折叠．
（4）应用提升： 如果一个三角形的最小角是 ，若使该三角形的三个角均是此三角形的好角，则三角形另外两个角的度数是多少？ 请以（______，______）的形式写出所有可能的结果；
12．教材呈现：如图是华师版七年级下册数学教材第76页的部分内容．
如图，已知△ABC分别用∠1、∠2、∠3表示△ABC的三个内角，证明∠1+∠2+∠3＝180°．
解：延长BC至点E，以点C为顶点，在BE的上侧作∠DCE＝∠2，则CD∥BA（同位角相等，两直线平行）
（1）请根据教材提示，结合图一，将证明过程补充完整．
（2）结论应用：
①如图二，在△ABC中，∠A＝60°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数．
②如图三，将△ABC的∠A折叠，使点A落在△ABC外的A1处，折痕为DE．若∠A＝α，∠BDA1＝β，∠CEA1＝γ，则α、β、γ满足的等量关系为 （用含α、β、γ的代数式表示）．
13．（1）如图1，把沿折叠，使点A落在点处，试探索与的关系（不必证明）
（2）如图2，平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，求的度数；
（3）如图3，在锐角中，于点F，于点G，、交于点H，把折叠使点A和点H重合，试探索与的关系，并证明你的结论．
14．如图1，三角形中，．点E是边上的定点，点D在边上运动．沿折叠三角形，点C落在点G处．
（1）如图2，若，求的度数．
（2）如图3，若，求的度数．
（3）当三角形的三边与三角形的三边有一组边平行时，直接写出的度数
15．问题1：现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．
（1）探究1：如果折成图①的形状，使A点落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是 ；
（2）探究2：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是 ；
（3）探究3：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．
（4）问题2：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是 .
16．直线与直线垂直相交于，点在射线上运动，点在射线上运动，连接．
（1）如图1，已知，分别是和角的平分线，
①点，在运动的过程中，的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出的大小．
②如图2，将沿直线折叠，若点落在直线上，记作点，则_______；如图3，将沿直线折叠，若点落在直线上，记作点，则________．
（2）如图4，延长至，已知，的角平分线与的角平分线交其延长线交于，，在中，如果有一个角是另一个角的倍，求的度数．
17．【问题探究】
将三角形纸片沿折叠，使点A落在点处.
（1）如图，当点A落在四边形的边上时，直接写出与之间的数量关系；
（2）如图，当点A落在四边形的内部时，求证：；
（3）如图，当点A落在四边形的外部时，探索，，之间的数量关系，并加以证明；
【拓展延伸】
（4）如图，若把四边形纸片沿折叠，使点A、D落在四边形的内部点、的位置，请你探索此时，，，之间的数量关系，写出你发现的结论，并说明理由.
18．（1）如图1，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，
①写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；
②设的度数为x，∠的度数为，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）
③∠A与∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．
(2)如图2，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，∠A与∠1、∠2的数量关系是否发生变化？如果发生变化，求出∠A与∠1、∠2的数量关系；如果不发生变化，请说明理由.
19．如图，将△ABC 分别沿 AB，AC 翻折得到△ABD 和△AEC，线段 BD 与AE 交于点 F．
（1）若∠ABC=16º，∠ACB=30°，求∠DAE 及∠BFE 的值；
（2）若 BD 与 CE 所在的直线互相垂直，求∠CAB 的度数．
20．问题情境
如图 1，△ABC 中，沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 折 叠，剪掉重叠部分；如此反复操作，沿 ∠Bn An C 的平分线 An Bn－1 折叠，点 Bn 与点 C 重合，我们就称 ∠BAC是△ABC 的正角．
以图 2 为例，△ABC 中，∠B=70°，∠C=35°，若沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠，则∠AA1B=70°.沿 A1B1 剪掉重叠部分，在余下的△B1A1C 中，由三角形的内角和定理可知∠A1B1C=35°，若沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 第二次折叠，则点 B1 与点 C 重合. 此时，我们就称∠BAC 是△ABC 的正角.
探究发现
（1）△ABC 中，∠B= 2∠C ，则经过两次折叠后，∠BAC 是不是△ABC 的正角？ （填“是”或“不是” ) .
（2）小明经过三次折叠发现∠BAC 是△ABC 的正角，则 ∠B 与∠C （不妨设 ∠B ＞∠C ) 之间的等量关系 为 ．
根据以上内容猜想：若经过 n 次折叠 ∠BAC 是△ABC 的正角，则∠B 与 ∠C （不妨设∠B＞ ∠C ) 之间 的等量关系为 ．
应用提升
（3）如果一个三角形的最小角是 10°，直接写出此三角形另外两个角的度数，使得此三角形的三个角均是 它的正角.
21．如图 1，一张△ABC 纸片，点 M、N 分别是 AC、BC 上两点.
（1）若沿直线 MN 折叠，使 C 点落在 BN 上，则∠AMC′与∠ACB 的数量关系是 ；
（2）若折成图 2 的形状.猜想∠AMC′、∠BNC′和∠ACB 的数量关系，并说明理由.
猜想： .
理由：
（3）若折成图3 的形状，猜想∠AMC′、∠BNC′和∠ACB 的数量关系是 .（写出结论即可）.
（4）将上述问题推广，如图4，将四边形 ABCD 纸片沿 MN 折叠，使点 C、D 落在四边形 ABNM 的内部时，∠AMD′＋∠BNC′与∠C、∠D 之间的数量关系 是 （写出结论即可）.
22．在中，于点
（1）如图1，若的角平分线交于点，，，求的度数；
（2）如图2，点分别在线段上，将折叠，点落在点处，点落在点处，折痕分别为和，且点，点均在直线上，若，试猜想与之间的数量关系，并加以证明；
（3）在（2）小题的条件下，将绕点逆时针旋转一个角度（），记旋转中的为（如图3），在旋转过程中，直线与直线交于点，直线与直线交于点，若，是否存在这样的两点，使为直角三角形？若存在，请直接写出旋转角的度数；若不存在，请说明理由.
23．（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，若∠A=50°，求∠1+∠2的度数，猜想并直接写出∠1+∠2与∠A的数量关系．（不必证明）
（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2=110°，求∠BIC的度数；
（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论．
24．如图所示，分别为的边上两点，将沿折叠，点落在边上的点处，连结，求的度数．
25．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动，连接AB,
（1）如图，已知AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，
①点A、B在运动的过程中，∠ACB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠ACB的大小．
②如图，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，记作点C′，则∠ABO＝ °；如图，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，记作点C′′，则∠ABO＝ °．
（2）如图，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的倍，求∠ABO的度数．
参考答案
1．##59度
【分析】
利用三角形三边关系可知：当E落在AB上时，AE距离最大，利用且，得到，再根据折叠性质可知：，利用补角可知，进一步可求出．
解：利用两边之和大于第三边可知：当E落在AB上时，AE距离最大，如图：
∵且，
∴，
∵折叠得到，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
【点拨】本题考查三角形的三边关系，平行线的性质，折叠的性质，补角，角平分线，解题的关键是找出：当E落在AB上时，AE距离最大，再解答即可．
2．
【分析】
根据题意可得，设，是的一个外角，可得，根据三角形内角和定理可得，即，联立解方程组即可求得．
解：折叠
，
设
，
，
是的一个外角
即①
即
即②
②-①得
即
故答案为：
【点拨】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，三角形的外角性质，解二元一次方程组，理清角度之间的关系，设未知数列方程组是解题的关键．
3．63°
【分析】
设∠QHG＝x，先根据∠GHF＋∠GFH＝90，列方程可得x的值，根据旋转可得结论．
解：设∠QHG＝x，
由旋转得：∠QHF＝∠D＝90，∠HGF＝∠C＝90，
∴∠GHF＝90°−x，
∵2∠QHG＝4∠GFH−108°，
∴∠GFH＝x＋27°，
Rt△GHF中，∠GHF＋∠GFH＝90°，
∴90−x＋x＋27＝90，
x＝54°，
由旋转得：∠DFG＝∠GFH＝×54°＋27°＝54°，
∴∠GFC＝180°−54°＝126°，
∴∠EFC＝∠GFC＝63°，
故答案为：63°．
【点拨】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了三角形的内角和及折叠的性质．
4．2∠C=∠1+∠2
【分析】
根据三角形内角和定理得出∠C′=180°-∠C′MN-∠C′NM，再由图形翻折变换的性质即可得出结论．
解：在△C′MN中，
∵∠C′+∠C′MN+∠C′NM=180°，
∴∠C′=180°-∠C′MN-∠C′NM，
由折叠的性质得：∠1+2∠C′MN=180°，∠2+2∠C′NM=180°，
∴∠1+2∠C′MN+∠2+2∠C′NM=360°，∠C=∠C′，
∴∠1+∠2=360°-2∠C′MN-2∠C′NM=2（180°-∠C′MN-∠C′NM）=2∠C′，
∴2∠C=∠1+∠2．
故答案为2∠C=∠1+∠2．
【点拨】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
5．75°或105°
【分析】
分点E落在直线BC上方和下方两种情况进行讨论求解．
解：当点E在直线BC下方时，如图1所示：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
根据折叠的性质，可知△ADB≌△ADE，
∴ BD=DE，∠ABD=∠AED=45°，∠DAB=∠DAE，
∴ ∠DBE=∠DEB=15°，
∴∠ABE=∠AEB=∠ABC+∠DBE=45°+15°=60°，
∴∠DAB=（180°-∠ABE -∠AEB）=（180°-60°-60°）=30°，
∴∠ADC=∠ABC+∠DAB =45°+30°=75°．
当点E在直线BC上方时，如图2所示：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
根据折叠的性质，可知△ADB≌△ADE，
∴ BD=DE，∠ABD=∠AED=45°，∠DAB=∠DAE，
∴ ∠DBE=∠DEB=15°，
∴∠ABE=∠AEB=∠ABC－∠DBE=45°－15°=30°，
∴∠DAB=（180°-∠ABE -∠AEB）=（180°-30°-30°）=60°，
∴∠ADC=∠ABC+∠DAB =45°+60°=105°．
故答案为75°或105°．
【点拨】本题考查了翻折变换、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定及性质、三角形外交性质等知识的综合应用，本题难度较大，学会用分类讨论思想及熟练掌握三角形的知识点是解题的关键．
6．40 或 50
【分析】
作出辅助线,利用翻折前后的角相等得到∠1+∠GFC=∠1+2∠3=150°,再由三角形的内角和定理得到∠3=∠2-30°,分情况讨论即可解题,见详解.
解：连接EF,如下图,由翻折可知,∠3=∠EFC,
∵∠C＋∠D＝210°,
∴易得∠1+∠GFC=∠1+2∠3=150°,
∵∠1=180°-∠2-∠3,代入式得∠3=∠2-30°,
把代入得∠1+2∠2=210°,
若∠1=∠2,由式可得,∠1=∠2=70°,∠3=40°,
若∠1=∠3,由式可得,∠1=∠3=50°,∠2=80°,
若∠2=∠3,则不成立,说明此种情况不存在,
综上∠EFG=40°或50°.
【点拨】本题考查了图形的翻折,三角形的内角和，难度较大,熟悉三角形和四边形的内角和定理以及正确的分情况讨论是解题关键.
7．70°
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠B的度数，根据翻折变换的性质求出∠BCD的度数，根据三角形内角和定理求出∠BDC.
解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=25°，
∴∠B=90°-∠A=65°．
由折叠的性质可得：
∴∠BDC=180°-∠BCD-∠B=70°．
故答案为70°．
【点拨】本题考查的是翻折变换和三角形内角和定理，理解翻折变换的性质、熟记三角形内角和等于180°是解题的关键.
8． 140°、120°或80°
【分析】
（1）根据折叠性质可得∠A1B1B2=∠C，∠AA1B1=∠B，由三角形外角性质可得∠AA1B1=2∠C，根据等量代换可得∠B=2∠C；（2）先求出经过三次折叠，∠BAC是△ABC的好角时，∠B与∠C的等量关系为∠B=3∠C，进而可得经过n次折叠，∠BAC是△ABC的好角时∠B与∠C的等量关系为∠B=n∠C，因为最小角是20º，是△ABC的好角，根据好角定义，设另两角分别为20mº，4mn°，由题意得20m+20mn+20=180°，所以m(n+1)=8，再根据m、n都是正整数可得m与n+1是8的整数因子，从而可以求得结果．
解：（1）根据折叠性质得∠B=∠AA1B1，∠A1B1B2=∠C，
∵∠AA1B1=∠A1B1B2+∠C，
∴∠B=2∠C
故答案为∠B=2∠C
（2）如图：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2，
∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；
∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2∠C=180°，
根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=3∠C；
∴当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；
∵最小角为20°，
∴设另两个角为20m°和20mn°，
∴20°+20m°+20mn°=180°，即m(1+n)=8，
∵m、n为整数，
∴m=1，1+n=8；或m=2，1+n=4；或m=4，1+n=2.
解得：m=1，n=7；m=2，n=3，m=4，n=1，
∴另两个角为20°、140°或40°、120°或80°、80°，
∴此三角形最大角为140°、120°或80°时，三个角均是此三角形的好角.
故答案为140°、120°或80°
【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题）．充分利用三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质是解题关键．
9．600
解：试题分析：根据邻补角的意义，可知∠A′EA=180°-∠1，∠A′DA=180°-∠2，再根据∠1+∠2=120°，可知∠A′EA+∠A′DA=360°-（∠1+∠2）=240°，然后根据折叠的性质可得∠A′ED=∠A′EA，∠A′DE=∠A′DA，即∠A′ED+∠A′DE=∠A′EA+∠A′DA=（∠A′EA+∠A′DA）=120°，因此可根据三角形的内角和为180°可求得∠A′=180°-120°=60°.
故答案为60°.
10．105°
解：由图a知，∠EFC=155°.
图b中，∠EFC=155°，则∠GFC=∠EFC-∠EFG=155°-25°=130°.
图c中，∠GFC=130°，则∠CFE=130°-25°=105°.
故答案为105°.
【点拨】在长方形的折叠问题中，因为有平行线和角平分线，所以存在一个基本的图形等腰三角形，即图b中的等腰△CEF，其中CE=CF，这个等腰三角形是解决本题的关键所在.
11．（1）；；（2）；；（3）7次，4次；（4）16°，160°或44°，132°或88°，88°或8°，168°或4°，172°．
【分析】
（1）利用折叠的性质以及三角形的外角的性质解决问题即可．
（2）根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2，根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C，根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°，根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，可得∠B=3∠C，第二个问题探究规律，利用规律解决问题即可．
（3）以60°为好角，105°÷15°=7，需要折叠7次，以105°为好角，60°÷15°=4，需要折叠4次．
（4）根据好角定义，则可设另两角分别为4m°，4mn°（其中m，n都是正整数）．根据二元方程，求整数解即可．
解：（1）∵折叠后，B，C重合，
∴∠B=∠C；
∠B=2∠C，
小丽展示的情形二中，
∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，
∴∠B=∠AA1B1；
又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，
∴∠A1B1C=∠C；
∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），
∴∠B=2∠C．
故答案为：∠B=∠C，∠B=2∠C．
（2）在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；
将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，
将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，
则∠BAC是△ABC的好角．
∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2，
∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；
∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°，
根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=3∠C；
由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C．
故答案为：∠B=3∠C，∠B=n∠C．
（3）当以60°为好角，105°÷15°=7，需要折叠7次，
当以105°为好角，60°÷15°=4，需要折叠4次．
故答案为：7，4．
（4）由（2）知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，
∵最小角是4°是△ABC的好角，
根据好角定义，则可设另两角分别为4m°，4mn°（其中m，n都是正整数）．
由题意，得4m+4mn+4=180，
∴m（n+1）=44，
∵m，n都是正整数，
∴m与n+1是44的整数因子，
因此有：m=4，n=10或m=11，n=3或m=22，n=1或m=2，n=21或m=1，n=33，；
当m=4，n=10时，4m=16°，4mn=160°；
当m=11，n=3时，4m=44°，4mn=132°；
当m=22，n=1时，4m=88°，4mn=88°；
当m=2，n=21时，4m=8°，4mn=168°；
当m=1，n=43时，4m=4°，4mn=172°；
∴该三角形的另外两个角的度数分别为：16°，160°或44°，132°或88°，88°或8°，168°或4°，172°．
【点拨】本题属于三角形综合题，考查了翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质．难度较大．
12．（1）见分析；（2）①，②
【分析】
（1）根据平行线的性质得出同位角、内错角相等，再利用平角的性质进行证明；
（2）①先根据三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的性质得出的度数，由三角形内角和定理即可得出结论；
②利用折叠的性质，三角形内角和定理、四边形的内角和的综合运用，找到等量关系建立等式，进行化简求值．
解：（1）证明：由题意知：
，
，
（平角的定义），
（等量代换）；
（2）①如图二，中，，
．
平分，平分，
．
，
．
故答案为：．
②取与的交点为
翻折得到，
,
，
，
又，
在四边形中，
，
即，
化简得：，
故答案是：．
【点拨】本题是三角形的综合题，考查的是三角形内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义等知识、平行线的性质、四边形的内角和，解题的关键是根据题目提供的解题思路求解．
13．（1）见分析；（2）117.5°；（3）∠BHC=180°-（∠1+∠2），证明见分析
【分析】
（1）根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可；
（2）根据三角形角平分线的性质得出∠IBC+∠ICB=90°-∠A，得出∠BIC的度数即可；
（3）根据翻折变换的性质以及垂线的性质得出，∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，进而求出∠A=（∠1+∠2），即可得出答案．
解：（1）根据翻折的性质，∠ADE=（180°-∠1），∠AED=（180°-∠2），
∵∠A+∠ADE+∠AED=180°，
∴∠A+（180-∠1）+（180-∠2）=180°，
整理得2∠A=∠1+∠2；
（2）由（1）∠1+∠2=2∠A，得2∠A=110°，
∴∠A=55°，
∵IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB）
=（180°-∠A）=90°-∠A，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB），
=180°-（90°-∠A）=90°+×55°=117.5°；
（3）∵BF⊥AC，CG⊥AB，
∴∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，
∠FHG+∠A=180°，
∴∠BHC=∠FHG=180°-∠A，由（1）知∠1+∠2=2∠A，
∴∠A=（∠1+∠2），
∴∠BHC=180°-（∠1+∠2）．
【点拨】此题主要考查了图形的翻着变换的性质以及角平分线的性质和三角形内角和定理，正确的利用翻折变换的性质得出对应关系是解决问题的关键．
14．（1）64°；（2）26°；（3）58°或148°或154°或122°或116°或26°．
【分析】
（1）根据折叠的性质得到∠CDE=∠A=∠GDE=58°，即可求出∠ADG；
（2）根据GE∥AB，得到∠BEG=90°，算出∠BFD，利用四边形内角和即可求出∠ADG；
（3）找出其他所有情况，画出图形，利用平行线的性质求解即可．
解：（1）由折叠可知：
∠C=∠DGE=32°，∠CDE=∠GDE，
∵DE∥AB，AB⊥BC，
∴DE⊥BC，则G在BC上，
∴∠CDE=∠A=∠GDE=58°，
∴∠ADG=180°-58°×2=64°；
（2）由折叠可知：∠C=∠DGE=32°，∠CDE=∠GDE，∠DEC=∠DEG，
∵GE∥AB，
∴∠B=∠CEG=∠BEG=90°，
∴，
∴∠ADE=45°+32°=77°，∠GDE=180°-45°-32°=103°，
∵∠A=58°，∠B=90°，
∴∠ADG=∠GDE -∠ADE =103°-77°=26°；
（3）如图，DG∥AB，
则∠CDG=∠A=58°；
如图，DG∥BC，
∠ADG=∠C=32°，
∴∠CDG=180°-∠ADG =148°；
如图，EG∥AC，
∠ADG=∠G=∠C=32°，
∴∠CDG=180°-∠ADG =148°；
；
如图，EG∥AB，
∴∠A=∠CFE=58°，∠B=∠CEG=90°，
由折叠可知：∠DEG=∠DEC=45°，
∴∠CDE=180°-45°-32°=103°=∠EDG，
∴∠EDF=180°-103°=77°，
∴∠ADG=103°-77°=26°，
∴∠CDG=180°-∠ADG =154°；
如图，DG∥AB，
∴∠ADG=∠A=58°，
∴∠CDG=180°-∠ADG =122°；
如图，DE∥AB，
∴∠ADG=2∠C=64°，
∴∠CDG=180°-∠ADG =116°；
如图，GE//AB，
∴∠CEG=∠B =90°，
∴∠CDG=∠CEG -∠C-∠G =26°；
综上：其他所有情况下∠CDG的度数为58°或148°或154°或122°或116°或26°．
【点拨】本题考查了平行线的性质，折叠问题，解题的难点在于找出所有符合题意的情况，得到角的关系．
15．（1）;（2）;（3）见分析;（4）
【分析】
（1）根据三角形外角性质可得；
（2）在四边形中，内角和为360°，∠BDA=∠CEA=180°，利用这两个条件，进行角度转化可得关系式；
（3）如下图，根据（1）可得∠1=2∠，∠2=2∠，从而推导出关系式；
（4）根据平角的定义以及四边形的内角和定理，与（2）类似思路探讨，可得关系式．
解：（1）∵△是△EDA折叠得到
∴∠A=∠
∵∠1是△的外角
∴∠1=∠A+∠
∴；
（2）∵在四边形中，内角和为360°
∴∠A++∠∠=360°
同理，∠A=∠
∴2∠A+∠∠=360°
∵∠BDA=∠CEA=180
∴∠1+∠∠+∠2=360°
∴ ；
（3）数量关系：
理由：如下图，连接
由（1）可知：∠1=2∠，∠2=2∠
∴；
（4）由折叠性质知：∠2=180°－2∠AEF，∠1=180°－2∠BFE
相加得：．
【点拨】本题考查角度之间的关系，（4）问的解题思路是相同的，主要运用三角形的内角和定理和四边形的内角和定理进行角度转换．
16．（1）∠ACB的大小不会发生变化，∠ACB=45°；（2）30，60；（3）60°或72°．
【分析】
（1）①由直线MN与直线PQ垂直相交于O，得到∠AOB=90°，根据三角形的外角的性质得到∠PAB+∠ABM=270°，根据角平分线的定义得到∠BAC=∠PAB，∠ABC=∠ABM，于是得到结论；
②图2中，由于将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，得到∠CAB=∠BAQ，由角平分线的定义得到∠PAC=∠CAB，根据三角形的内角和即可得到结论；
图3中，根据将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，得到∠ABC=∠ABN，由于BC平分∠ABM，得到∠ABC=∠MBC，于是得到结论；
（2）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的倍分情况进行分类讨论即可解答．
解：（1）①∠ACB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠PAB+∠ABM=270°，
∵AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，
∴∠BAC=∠PAB，∠ABC=∠ABM，
∴∠BAC+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）=135°，
∴∠ACB=45°；
②∵图2中，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，
∴∠CAB=∠BAQ，
∵AC平分∠PAB，
∴∠PAC=∠CAB，
∴∠PAC=∠CAB=∠BAO=60°，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，
∵图3中，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，
∴∠ABC=∠ABN，
∵BC平分∠ABM，
∴∠ABC=∠MBC，
∴∠MBC=∠ABC=∠ABN，
∴∠ABO=60°，
故答案为：30，60；
（2）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，
∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ-∠EAO=（∠BOQ-∠BAO）=∠ABO，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAF=90°．
在△AEF中，
∵有一个角是另一个角的倍，故有：
①∠EAF=∠E，∠E=60°，∠ABO=120°（不合题意，舍去）；
②∠EAF=∠F，∠E=30°，∠ABO=60°；
③∠F=∠E，∠E=36°，∠ABO=72°；
④∠E=∠F，∠E=54°，∠ABO=108°（不合题意，舍去）；．
∴∠ABO为60°或72°．
【点拨】本题主要考查的就是角平分线的性质以及三角形内角和定理的应用.解决这个问题的关键就是要能根据角平分线的性质将外角的度数与三角形的内角联系起来，然后再根据内角和定理进行求解.同学们在解答这种问题的时候，一定要注意外角与内角之间的联系，不能只关注某一部分.在需要分类讨论的时候一定要注意分类讨论的思想.
17．【问题探究】（1）∠1=2∠A；（2）证明见详解；（3）∠1=2∠A+∠2；【拓展延伸】（4）.
【分析】
（1）运用折叠原理及三角形的外角性质即可解决问题，
（2）运用折叠原理及四边形的内角和定理即可解决问题，
（3）运用三角形的外角性质即可解决问题，
（4）先根据翻折的性质求出∠AEF、∠EFD，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．
解：（1）如图，∠1=2∠A．
理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D=∠A；
∵∠1=∠A+∠EA′D，∴∠1=2∠A．
（2）∵∠1+∠A′EA+∠2+∠A′DA=360°，
由四边形的内角和定理可知：∠A+∠A′+∠A′EA+∠A′DA=360°，
∴∠A′+∠A=∠1+∠2，
由折叠知识可得∠A=∠A′，
∴2∠A=∠1+∠2．
（3）如图，∠1=2∠A+∠2
理由如下：∵∠1=∠EFA+∠A，∠EFA=∠A′+∠2，
∴∠1=∠A+∠A′+∠2=2∠A+∠2，
（4）如图，
根据翻折的性质，，，
∵，
∴，
整理得，．
【点拨】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理及四边形内角和的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
18．（1）①△EAD≌△EA′D，其中∠EAD=∠EA′D，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE；②∠1=180°−2x,∠2=180°−2y； ③∠A=（∠1+∠2）；（2）变化，∠A=（∠2-∠1），见详解
【分析】
（1）①根据翻折方法可得△ADE≌△A′DE；
②根据翻折方法可得∠AEA′=2x，∠ADA′=2y，再根据平角定义可得∠1=180°-2x，∠2=180°-2y；
③首先由∠1=180°-2x，2=180°-2y，可得x=90-∠1，y=90-∠2，再根据三角形内角和定理可得∠A=180°-x-y，再利用等量代换可得∠A=（∠1+∠2）；
（2）根据折叠的性质和三角形内角和定理解答即可．
解：（1）①根据翻折的性质知△EAD≌△EA′D，
其中∠EAD=∠EA′D，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE；
②∵∠AED=x，∠ADE=y，
∴∠AEA′=2x，∠ADA′=2y，
∴∠1=180°-2x，∠2=180°-2y；
③∠A=（∠1+∠2）；
∵∠1=180°-2x，∠2=180°-2y，
∴x=90-∠1，y=90-∠2，
∴∠A=180°-x-y=190-（90-∠1）-（90-∠2）=（∠1+∠2）．
（2））∵△A′DE是△ADE沿DE折叠得到，
∴∠A′=∠A，
又∵∠AEA′=180°-∠2，∠3=∠A′+∠1，
∴∠A+∠AEA′+∠3=180°，
即∠A+180°-∠2+∠A′+∠1=180°，
整理得，2∠A=∠2-∠1．
∴∠A=（∠2-∠1）．
【点拨】此题主要考查了翻折变换，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
19．（1）42°，108°；（2）135°．
【分析】
由“∠ABC=16º，∠ACB=30°”可以求出∠BAC的度数，根据翻折的性质可以求出∠DAE与∠BFE的度数，由“BD 与 CE 所在的直线互相垂直”可得∠DBC+∠ECB=90°，再利用翻折的性质可求出答案
解：（1）∵∠ABC=16°，∠ACB=30°，
∴∠BAC=134°，
∵△ABC≌△ABD，△ABC≌△AEC，
∴∠BAD=∠EAC=134°；∠DAE=134°×3－360°=42°．
∵∠D=∠ACB=30°，
∴∠BFE=∠DFA=180°－42°-30°=108°；
（2）∵BD 所在直线与 CE 所在直线互相垂直，
∴∠DBC+∠ECB=90°，
∵翻折
∴∠ABC=∠DBC ∠ACB =∠ECB
∴∠ABC+∠ACB= ( ∠DBC+∠ECB )=45°，
∴∠CAB=180°－(∠ABC+∠ACB )= 135°．
【点拨】本题的关键是利用翻折的性质解答
20．（1）是；（2） ÐB = 3ÐC ； ÐB = nÐC；（3）10°；160°
【分析】
（1）仔细分析题意根据折叠的性质及题中“正角”的定义即可作出判断；
（2）因为经过三次折叠∠BAC是△ABC的正角，所以第三次折叠的∠A2 B2C=∠C，由∠AB B1=∠AA1B1，∠AA1B1=∠A1B1C+∠C，又∠A1B1C=∠A1A2B2，∠A1A2B2=∠A2B2C+∠C，∠ABB1=∠A1B1C+∠C=∠A2B2C+∠C+∠C=3∠C，由此即可求得结果；
（3）因为最小角是10°是△ABC的正角，根据正角定义，则可设另两角分别为10m°，10mn°（其中m、n都是正整数），由题意得10m+10mn+10=180，所以m（n+1）=17，再根据m、n都是正整数可得m与n+1是17的整数因子，从而可以求得结果.
解：（1）∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，
∴∠B=∠AA1B1；
又∵∠AA1B1=∠A1B1C+∠C且∠B= 2∠C
∴2∠C=∠A1B1C+∠C，得出∠C=∠A1B1C
又∵平分线A1B2
∴∠B1 A1 B2 =∠C A1 B2
∴D B1 A1 B2≌ D C A1 B2
∴将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，
∴∠BAC是不是△ABC的正角
故填：是；
（2）折叠的情况如下图：
∵根据折叠的性质知：∠B=∠AA1B1，∠A1B1C=∠A1A2B2，∠C=∠A2B2C，
∴∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；
∴∠AA1B1=∠A1B1C+∠C=∠A1A2B2+∠C=2∠C+∠C=3∠C
∴∠B=∠AA1B1=3∠C，即∠B=3∠C
故填：∠B=3∠C；
由折叠1次知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的正角；
由折叠2次知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的正角；
由折叠3次知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的正角；
故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的正角,则∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系为∠B=n∠C
故填：∠B=n∠C；
（3）由∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的正角，
因为最小角是10°是△ABC的正角，
根据正角定义,则可设另两角分别为10m°,10mn°(其中m、n都是正整数)，
由题意,得10m+10mn+10=180,所以m(n+1)=,17，
∵m、n都是正整数，所以m与n+1是17的整数因子，
∴m=1，n+1=17，
∴m=1，n=16，
∴10m=10°,10mn=160°，
∴该三角形的另外两个角的度数分别为：10°、160°.
【点拨】本题主要考查三角形的三角形的外角定理和图形折叠的特性，解题的关键是理解题意，找出∠B=n∠C这个规律.
21．（1）∠AMC′=2∠ACB；（2）∠AMC′+∠BNC′=2∠ACB，理由见详解；（3）∠AMC′-∠BNC′=2∠ACB；（4）∠AMD′+∠BNC′=2（∠C+∠D）-360°.
【分析】
（1）根据折叠性质和三角形的外角定理得出结论；
（2）先根据折叠得：∠CMN=∠C′MN，∠CNM=∠C′NM，由两个平角∠CMA和∠CNB得：∠AMC′+∠′BNC′等于360°与四个折叠角的差，化简为结果；
（3）利用两次外角定理得∠AMC′=∠C′+∠C+∠BNC′，然后根据等量代换，得出结论；
（4）与（2）类似，先由折叠得：∠DMN=∠D′MN，∠CNM=∠C′NM，再由两平角的和为360°得：∠AMD′+∠BNC′=360°-2∠DMN-2∠CNM，根据四边形的内角和得：∠DMN+∠CNM=360°-∠C-∠D，代入前式可得结论．
解：（1）由折叠得：∠ACB=∠MC′C，
∵∠AMC′=∠ACB+∠MC′C，
∴∠AMC′=2∠ACB；
故答案为∠AMC′=2∠ACB；
（2）猜想：∠AMC′+∠BNC′=2∠ACB，
理由是：
由折叠得：∠CMN=∠C′MN，∠CNM=∠C′NM，
∵∠CMA+∠CNB=360°，
∴∠AMC′+∠′BNC′=360°-∠CMN-∠C′MN-∠CNM-∠C′NM=360°-2∠CMN-2∠CNM，
∴∠AMC′+∠BNC′=2（180°-∠CMN-∠CNM）=2∠ACB；
（3）∵∠AMC′=∠MDC+∠C，∠MDC=∠C′+∠BNC′，
∴∠AMC′=∠C′+∠BNC′+∠C，
∵∠C=∠C′，
∴∠AMC′=2∠C+∠BNC′，
∴∠AMC′-∠BNC′=2∠ACB；
故答案为∠AMC′-∠BNC′=2∠ACB；
（4）由折叠得：∠DMN=∠D′MN，∠CNM=∠C′NM，
∵∠DMA+∠CNB=360°，
∴∠AMD′+∠BNC′=360°-2∠DMN-2∠CNM，
∵∠DMN+∠CNM=360°-∠C-∠D，
∴∠AMD′+∠BNC′=360°-2（360°-∠C-∠D）=2（∠C+∠D）-360°，
故答案为∠AMD′+∠BNC′=2（∠C+∠D）-360°．
【点拨】本题是折叠变换问题，思路分两类：①一类是利用外角定理得结论；②一类是利用平角和多边形内角和相结合得结论；字母书写要细心，角度比较复杂，是易错题．
22．（1）∠C=56°；（2）∠AMF=∠ANG．证明见分析；（3）满足条件的旋转角为28°或56°或208°或236°.
【分析】
（1）利用三角形的内角和定理即可解决问题；
（2）结论：∠AMF=∠ANG．由翻折可知：∠B=∠F，∠C=∠DGN，由∠B+∠C=90°，推出∠BAC=90°，∠F+∠DGN=90°，推出∠BAD+∠CAD=90°，由∠BAD=∠F+∠AMF，∠CAD=∠DGN-∠ANG，推出∠F+∠AMF+∠DGN-∠ANG=90°，可得∠AMF=∠ANG；
（3）分两种情形①当∠PQB=90°时；②当∠BPQ=90°时.分别求解即可解决问题.
解：（1）如图1中，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△AED中，∵∠EAD=7°，
∴∠AED=83°，
∵∠AED=∠B+∠BAE，∠B=42°，
∴∠BAE=∠CAE=41°，
∴∠BAC=82°，
∴∠C=180°-42°-82°=56°．
（2）结论：∠AMF=∠ANG．
理由：如图2中，
由翻折可知：∠B=∠F，∠C=∠DGN，
∵∠B+∠C=90°，
∴∠BAC=90°，∠F+∠DGN=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
∵∠BAD=∠F+∠AMF，∠CAD=∠DGN-∠ANG，
∴∠F+∠AMF+∠DGN-∠ANG=90°，
∴∠AMF=∠ANG．
（3）①如图3-1当∠PQB=90°时，
∵∠B=∠F′=28°，
∴∠F′DQ=90°-28°=62°，
∵∠FDB=90°，
∴∠FDF′=90°-62°=28°，
∴旋转角为28°．
②如图3-2，当∠BPQ=90°时，
∵∠B=∠F′=28°，
∴∠PQB=90°-28°=62°，
∵∠PQB=∠F′+∠F′DB，
∴∠F′DB=62°-28°=34°，
∴∠FDF′=90°-34°=56°，
∴旋转角为56°，
同法可得当旋转角为208°或236°时，也满足条件，
综上所述，满足条件的旋转角为28°或56°或208°或236°．
【点拨】本题考查三角形综合题、旋转变换、翻折变换、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
23．（1）100°,∠1+∠2=2∠A；（2）117.5°；（3）∠BHC=180°-（∠1+∠2），证明见分析.
【分析】
(1)根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可；
(2)根据三角形角平分线的性质得出∠IBC+∠ICB=90°-∠A，得出∠BIC的度数即可；
(3)根据翻折变换的性质以及垂线的性质得出，∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，进而求出∠A=(∠1+∠2)，即可得出答案．
解：(1)∠1+∠2=2∠A；
理由：根据翻折的性质，∠ADE=(180°-∠1)，∠AED=(180°-∠2)，
∵∠A+∠ADE+∠AED=180°，
∴∠A+(180-∠1)+(180-∠2)=180°，
整理得2∠A=∠1+∠2，
∵∠A=50°，
∴∠1+∠2＝100°，
猜想：∠1+∠2=2∠A；
(2)由(1)∠1+∠2=2∠A，得2∠A=110°，∴∠A=55°，
∵IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=(∠ABC+∠ACB)=(180°-∠A)=90°-∠A，
∴∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-(90°-∠A)=90°+×55°=117.5°；
(3)∵BF⊥AC，CG⊥AB，
∴∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，
∴∠FHG+∠A=360°-180°=180°，
∴∠BHC=∠FHG=180°-∠A，
由(1)知∠1+∠2=2∠A，
∴∠A=(∠1+∠2)，
∴∠BHC=180°-(∠1+∠2)．
【点拨】本题考查了图形的翻折变换的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理，正确的利用翻折变换的性质得出对应关系是解决问题的关键．
24．
【分析】
本题给出两个等量关系，可以设出两个未知数，然后在运用折叠的性质，即可完成解答.
解：设，，
由三角形折角图知，则可列方程组
解得，，
即.
【点拨】本题考查了折叠的性质及二元一次方程组的应用，题中含有多个等量关系，可先设出未知数，简化等式，再根据题意，寻找等式间的联系，从而寻得解答问题的思路.
25．（1）①∠ACB的大小不变，∠ACB=45°；②30°，60°；（2）∠ABO为60°或72°．
【分析】
（1）①由直线MN与直线PQ垂直相交于O，得到∠AOB=90°，根据三角形的外角的性质得到∠PAB+∠ABM=270°，根据角平分线的定义得到∠BAC=∠PAB，∠ABC=∠ABM，于是得到结论；
②由于将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，得到∠CAB=∠BAQ，由角平分线的定义得到∠PAC=∠CAB，根据三角形的内角和即可得到结论；根据将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，得到∠ABC=∠ABN，由于BC平分∠ABM，得到∠ABC=∠MBC，于是得到结论；
（2）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的倍分两种情况进行分类讨论．
解：（1）①∠ACB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠PAB+∠ABM=270°，
∵AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，
∴∠BAC=∠PAB，∠ABC=∠ABM，
∴∠BAC+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）=135°，
∴∠ACB=45°；
②∵将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，
∴∠CAB=∠BAQ，
∵AC平分∠PAB，
∴∠PAC=∠CAB，
∴∠PAC=∠CAB=∠BAO=60°，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，
∵将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，
∴∠ABC=∠ABN，
∵BC平分∠ABM，
∴∠ABC=∠MBC，
∴∠MBC=∠ABC=∠ABN，
∴∠ABO=60°，
故答案为30°，60°；
（2）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，
∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ-∠EAO=（∠BOQ-∠BAO）=∠ABO，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAF=90°．
在△AEF中，∵有一个角是另一个角的倍，故有：
①∠EAF=∠F，∠E=30°，∠ABO=60°；
②∠F=∠E，∠E=36°，∠ABO=72°；
∴∠ABO为60°或72°．
【点拨】本题考查翻折变换-折叠问题，三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
专题1.22 三角形几何模型-三角形中的折叠问题（培优篇）
（专项练习）
一、对于折叠，理解运用以下几点：
【1】折叠的本质就是轴对称，折叠就是对称轴；
【2】有折叠——就有重合——全等——对应角、边相等；
【3】折痕所在直线就是对称轴。
二、解决折叠问题步骤：
【1】折:找出对称轴；
【2】叠:找出全等图形；
【3】化:对相等的边或角进行转化；
【4】建：建立方程或等式解决问题。
一、填空题
1．如图，射线AB与射线CD平行，点F为射线AB上的一定点，连接CF，点P是射线CD上的一个动点（不包括端点C），将沿PF折叠，使点C落在点E处．若，当点E到点A的距离最大时，_____．
2．如图，在中，，在边上取点，使得，连接．点、分别为、边上的点，且，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，若，则的度数为_______．
3．如图1，已知长方形纸带，，．将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置．再沿折叠成图2．点、分别落在、的位置，已知，则_______．
4．如图，把△ABC纸片沿MN折叠，使点C落在四边形ABNM的内部时，则∠1、∠2和 ∠C之间有一种数量关系始终保持不变. 这个关系是___.
5．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，把△ABD沿AD折叠后，使得点B落在点E处，连接CE，若∠DBE=15°，则∠ADC的度数为________
6．如图，在四边形 ABCD 中，∠C＋∠D＝210°，E、F 分别是 AD，BC 上的点，将四边形 CDEF 沿直线 EF 翻折，得到四边形 C′D′EF， C′F 交 AD 于点 G，若△EFG 有两个角相等，则∠EFG＝______ °．
7．如图，在中，,沿折叠，使得点恰好落在边上的点处，若，则的度数是________.
8．如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC是△ABC的好角.
（1）如图2，在△ABC中，∠B>∠C，若经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C的等量关系是_______；
（2）如果一个三角形的最小角是20°，则此三角形的最大角为______时，该三角形的三个角均是此三角形的好角．
9．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A'重合，若∠1+∠2=120°，则∠A=__________
10．如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是____________°．
二、解答题
11．阅读理解：如图 ， 中，沿 的平分线 折叠，剪掉重复部分：将余下部分沿 的平分线 折叠，剪掉重复部分； 将余下部分沿 的平分线 折叠，点 与点 重合，无论折叠多少次，只要最后一次折叠恰好重合， 就被称为是 的好角． 探究发现： 小丽和小亮展示了确定 是 的好角的两种情形．小丽展示的如图 ，沿等腰三角形 顶角 的平分线 折叠，点 与点 重合；小亮展示的如图 ，沿 的平分线 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 的平分线 折叠，此时点 与点 重合．
（1）问题解决： 图 中 与 的关系为______，图 中 与 的关系为______．
（2）小丽又经过三次折叠发现了 是 的好角，请探究 与 （不妨设 ）之间的等量关系为______． 根据以上内容猜想：若经过 次折叠 是 的好角，则 与 （不妨设 ）之间的等量关系为______．
（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为 ，，，发现 和 的两个角都是此三角形的好角．如果以 为好角，那么这个三角形需要经过______次折叠，如果以 为好角，那么这个三角形需要经过______次折叠．
（4）应用提升： 如果一个三角形的最小角是 ，若使该三角形的三个角均是此三角形的好角，则三角形另外两个角的度数是多少？ 请以（______，______）的形式写出所有可能的结果；
12．教材呈现：如图是华师版七年级下册数学教材第76页的部分内容．
如图，已知△ABC分别用∠1、∠2、∠3表示△ABC的三个内角，证明∠1+∠2+∠3＝180°．
解：延长BC至点E，以点C为顶点，在BE的上侧作∠DCE＝∠2，则CD∥BA（同位角相等，两直线平行）
（1）请根据教材提示，结合图一，将证明过程补充完整．
（2）结论应用：
①如图二，在△ABC中，∠A＝60°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数．
②如图三，将△ABC的∠A折叠，使点A落在△ABC外的A1处，折痕为DE．若∠A＝α，∠BDA1＝β，∠CEA1＝γ，则α、β、γ满足的等量关系为 （用含α、β、γ的代数式表示）．
13．（1）如图1，把沿折叠，使点A落在点处，试探索与的关系（不必证明）
（2）如图2，平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，求的度数；
（3）如图3，在锐角中，于点F，于点G，、交于点H，把折叠使点A和点H重合，试探索与的关系，并证明你的结论．
14．如图1，三角形中，．点E是边上的定点，点D在边上运动．沿折叠三角形，点C落在点G处．
（1）如图2，若，求的度数．
（2）如图3，若，求的度数．
（3）当三角形的三边与三角形的三边有一组边平行时，直接写出的度数
15．问题1：现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．
（1）探究1：如果折成图①的形状，使A点落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是 ；
（2）探究2：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是 ；
（3）探究3：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．
（4）问题2：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是 .
16．直线与直线垂直相交于，点在射线上运动，点在射线上运动，连接．
（1）如图1，已知，分别是和角的平分线，
①点，在运动的过程中，的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出的大小．
②如图2，将沿直线折叠，若点落在直线上，记作点，则_______；如图3，将沿直线折叠，若点落在直线上，记作点，则________．
（2）如图4，延长至，已知，的角平分线与的角平分线交其延长线交于，，在中，如果有一个角是另一个角的倍，求的度数．
17．【问题探究】
将三角形纸片沿折叠，使点A落在点处.
（1）如图，当点A落在四边形的边上时，直接写出与之间的数量关系；
（2）如图，当点A落在四边形的内部时，求证：；
（3）如图，当点A落在四边形的外部时，探索，，之间的数量关系，并加以证明；
【拓展延伸】
（4）如图，若把四边形纸片沿折叠，使点A、D落在四边形的内部点、的位置，请你探索此时，，，之间的数量关系，写出你发现的结论，并说明理由.
18．（1）如图1，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，
①写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；
②设的度数为x，∠的度数为，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）
③∠A与∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．
(2)如图2，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，∠A与∠1、∠2的数量关系是否发生变化？如果发生变化，求出∠A与∠1、∠2的数量关系；如果不发生变化，请说明理由.
19．如图，将△ABC 分别沿 AB，AC 翻折得到△ABD 和△AEC，线段 BD 与AE 交于点 F．
（1）若∠ABC=16º，∠ACB=30°，求∠DAE 及∠BFE 的值；
（2）若 BD 与 CE 所在的直线互相垂直，求∠CAB 的度数．
20．问题情境
如图 1，△ABC 中，沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 折 叠，剪掉重叠部分；如此反复操作，沿 ∠Bn An C 的平分线 An Bn－1 折叠，点 Bn 与点 C 重合，我们就称 ∠BAC是△ABC 的正角．
以图 2 为例，△ABC 中，∠B=70°，∠C=35°，若沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠，则∠AA1B=70°.沿 A1B1 剪掉重叠部分，在余下的△B1A1C 中，由三角形的内角和定理可知∠A1B1C=35°，若沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 第二次折叠，则点 B1 与点 C 重合. 此时，我们就称∠BAC 是△ABC 的正角.
探究发现
（1）△ABC 中，∠B= 2∠C ，则经过两次折叠后，∠BAC 是不是△ABC 的正角？ （填“是”或“不是” ) .
（2）小明经过三次折叠发现∠BAC 是△ABC 的正角，则 ∠B 与∠C （不妨设 ∠B ＞∠C ) 之间的等量关系 为 ．
根据以上内容猜想：若经过 n 次折叠 ∠BAC 是△ABC 的正角，则∠B 与 ∠C （不妨设∠B＞ ∠C ) 之间 的等量关系为 ．
应用提升
（3）如果一个三角形的最小角是 10°，直接写出此三角形另外两个角的度数，使得此三角形的三个角均是 它的正角.
21．如图 1，一张△ABC 纸片，点 M、N 分别是 AC、BC 上两点.
（1）若沿直线 MN 折叠，使 C 点落在 BN 上，则∠AMC′与∠ACB 的数量关系是 ；
（2）若折成图 2 的形状.猜想∠AMC′、∠BNC′和∠ACB 的数量关系，并说明理由.
猜想： .
理由：
（3）若折成图3 的形状，猜想∠AMC′、∠BNC′和∠ACB 的数量关系是 .（写出结论即可）.
（4）将上述问题推广，如图4，将四边形 ABCD 纸片沿 MN 折叠，使点 C、D 落在四边形 ABNM 的内部时，∠AMD′＋∠BNC′与∠C、∠D 之间的数量关系 是 （写出结论即可）.
22．在中，于点
（1）如图1，若的角平分线交于点，，，求的度数；
（2）如图2，点分别在线段上，将折叠，点落在点处，点落在点处，折痕分别为和，且点，点均在直线上，若，试猜想与之间的数量关系，并加以证明；
（3）在（2）小题的条件下，将绕点逆时针旋转一个角度（），记旋转中的为（如图3），在旋转过程中，直线与直线交于点，直线与直线交于点，若，是否存在这样的两点，使为直角三角形？若存在，请直接写出旋转角的度数；若不存在，请说明理由.
23．（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，若∠A=50°，求∠1+∠2的度数，猜想并直接写出∠1+∠2与∠A的数量关系．（不必证明）
（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2=110°，求∠BIC的度数；
（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论．
24．如图所示，分别为的边上两点，将沿折叠，点落在边上的点处，连结，求的度数．
25．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动，连接AB,
（1）如图，已知AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，
①点A、B在运动的过程中，∠ACB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠ACB的大小．
②如图，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，记作点C′，则∠ABO＝ °；如图，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，记作点C′′，则∠ABO＝ °．
（2）如图，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的倍，求∠ABO的度数．
参考答案
1．##59度
【分析】
利用三角形三边关系可知：当E落在AB上时，AE距离最大，利用且，得到，再根据折叠性质可知：，利用补角可知，进一步可求出．
解：利用两边之和大于第三边可知：当E落在AB上时，AE距离最大，如图：
∵且，
∴，
∵折叠得到，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
【点拨】本题考查三角形的三边关系，平行线的性质，折叠的性质，补角，角平分线，解题的关键是找出：当E落在AB上时，AE距离最大，再解答即可．
2．
【分析】
根据题意可得，设，是的一个外角，可得，根据三角形内角和定理可得，即，联立解方程组即可求得．
解：折叠
，
设
，
，
是的一个外角
即①
即
即②
②-①得
即
故答案为：
【点拨】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，三角形的外角性质，解二元一次方程组，理清角度之间的关系，设未知数列方程组是解题的关键．
3．63°
【分析】
设∠QHG＝x，先根据∠GHF＋∠GFH＝90，列方程可得x的值，根据旋转可得结论．
解：设∠QHG＝x，
由旋转得：∠QHF＝∠D＝90，∠HGF＝∠C＝90，
∴∠GHF＝90°−x，
∵2∠QHG＝4∠GFH−108°，
∴∠GFH＝x＋27°，
Rt△GHF中，∠GHF＋∠GFH＝90°，
∴90−x＋x＋27＝90，
x＝54°，
由旋转得：∠DFG＝∠GFH＝×54°＋27°＝54°，
∴∠GFC＝180°−54°＝126°，
∴∠EFC＝∠GFC＝63°，
故答案为：63°．
【点拨】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了三角形的内角和及折叠的性质．
4．2∠C=∠1+∠2
【分析】
根据三角形内角和定理得出∠C′=180°-∠C′MN-∠C′NM，再由图形翻折变换的性质即可得出结论．
解：在△C′MN中，
∵∠C′+∠C′MN+∠C′NM=180°，
∴∠C′=180°-∠C′MN-∠C′NM，
由折叠的性质得：∠1+2∠C′MN=180°，∠2+2∠C′NM=180°，
∴∠1+2∠C′MN+∠2+2∠C′NM=360°，∠C=∠C′，
∴∠1+∠2=360°-2∠C′MN-2∠C′NM=2（180°-∠C′MN-∠C′NM）=2∠C′，
∴2∠C=∠1+∠2．
故答案为2∠C=∠1+∠2．
【点拨】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
5．75°或105°
【分析】
分点E落在直线BC上方和下方两种情况进行讨论求解．
解：当点E在直线BC下方时，如图1所示：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
根据折叠的性质，可知△ADB≌△ADE，
∴ BD=DE，∠ABD=∠AED=45°，∠DAB=∠DAE，
∴ ∠DBE=∠DEB=15°，
∴∠ABE=∠AEB=∠ABC+∠DBE=45°+15°=60°，
∴∠DAB=（180°-∠ABE -∠AEB）=（180°-60°-60°）=30°，
∴∠ADC=∠ABC+∠DAB =45°+30°=75°．
当点E在直线BC上方时，如图2所示：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
根据折叠的性质，可知△ADB≌△ADE，
∴ BD=DE，∠ABD=∠AED=45°，∠DAB=∠DAE，
∴ ∠DBE=∠DEB=15°，
∴∠ABE=∠AEB=∠ABC－∠DBE=45°－15°=30°，
∴∠DAB=（180°-∠ABE -∠AEB）=（180°-30°-30°）=60°，
∴∠ADC=∠ABC+∠DAB =45°+60°=105°．
故答案为75°或105°．
【点拨】本题考查了翻折变换、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定及性质、三角形外交性质等知识的综合应用，本题难度较大，学会用分类讨论思想及熟练掌握三角形的知识点是解题的关键．
6．40 或 50
【分析】
作出辅助线,利用翻折前后的角相等得到∠1+∠GFC=∠1+2∠3=150°,再由三角形的内角和定理得到∠3=∠2-30°,分情况讨论即可解题,见详解.
解：连接EF,如下图,由翻折可知,∠3=∠EFC,
∵∠C＋∠D＝210°,
∴易得∠1+∠GFC=∠1+2∠3=150°,
∵∠1=180°-∠2-∠3,代入式得∠3=∠2-30°,
把代入得∠1+2∠2=210°,
若∠1=∠2,由式可得,∠1=∠2=70°,∠3=40°,
若∠1=∠3,由式可得,∠1=∠3=50°,∠2=80°,
若∠2=∠3,则不成立,说明此种情况不存在,
综上∠EFG=40°或50°.
【点拨】本题考查了图形的翻折,三角形的内角和，难度较大,熟悉三角形和四边形的内角和定理以及正确的分情况讨论是解题关键.
7．70°
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠B的度数，根据翻折变换的性质求出∠BCD的度数，根据三角形内角和定理求出∠BDC.
解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=25°，
∴∠B=90°-∠A=65°．
由折叠的性质可得：
∴∠BDC=180°-∠BCD-∠B=70°．
故答案为70°．
【点拨】本题考查的是翻折变换和三角形内角和定理，理解翻折变换的性质、熟记三角形内角和等于180°是解题的关键.
8． 140°、120°或80°
【分析】
（1）根据折叠性质可得∠A1B1B2=∠C，∠AA1B1=∠B，由三角形外角性质可得∠AA1B1=2∠C，根据等量代换可得∠B=2∠C；（2）先求出经过三次折叠，∠BAC是△ABC的好角时，∠B与∠C的等量关系为∠B=3∠C，进而可得经过n次折叠，∠BAC是△ABC的好角时∠B与∠C的等量关系为∠B=n∠C，因为最小角是20º，是△ABC的好角，根据好角定义，设另两角分别为20mº，4mn°，由题意得20m+20mn+20=180°，所以m(n+1)=8，再根据m、n都是正整数可得m与n+1是8的整数因子，从而可以求得结果．
解：（1）根据折叠性质得∠B=∠AA1B1，∠A1B1B2=∠C，
∵∠AA1B1=∠A1B1B2+∠C，
∴∠B=2∠C
故答案为∠B=2∠C
（2）如图：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2，
∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；
∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2∠C=180°，
根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=3∠C；
∴当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；
∵最小角为20°，
∴设另两个角为20m°和20mn°，
∴20°+20m°+20mn°=180°，即m(1+n)=8，
∵m、n为整数，
∴m=1，1+n=8；或m=2，1+n=4；或m=4，1+n=2.
解得：m=1，n=7；m=2，n=3，m=4，n=1，
∴另两个角为20°、140°或40°、120°或80°、80°，
∴此三角形最大角为140°、120°或80°时，三个角均是此三角形的好角.
故答案为140°、120°或80°
【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题）．充分利用三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质是解题关键．
9．600
解：试题分析：根据邻补角的意义，可知∠A′EA=180°-∠1，∠A′DA=180°-∠2，再根据∠1+∠2=120°，可知∠A′EA+∠A′DA=360°-（∠1+∠2）=240°，然后根据折叠的性质可得∠A′ED=∠A′EA，∠A′DE=∠A′DA，即∠A′ED+∠A′DE=∠A′EA+∠A′DA=（∠A′EA+∠A′DA）=120°，因此可根据三角形的内角和为180°可求得∠A′=180°-120°=60°.
故答案为60°.
10．105°
解：由图a知，∠EFC=155°.
图b中，∠EFC=155°，则∠GFC=∠EFC-∠EFG=155°-25°=130°.
图c中，∠GFC=130°，则∠CFE=130°-25°=105°.
故答案为105°.
【点拨】在长方形的折叠问题中，因为有平行线和角平分线，所以存在一个基本的图形等腰三角形，即图b中的等腰△CEF，其中CE=CF，这个等腰三角形是解决本题的关键所在.
11．（1）；；（2）；；（3）7次，4次；（4）16°，160°或44°，132°或88°，88°或8°，168°或4°，172°．
【分析】
（1）利用折叠的性质以及三角形的外角的性质解决问题即可．
（2）根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2，根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C，根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°，根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，可得∠B=3∠C，第二个问题探究规律，利用规律解决问题即可．
（3）以60°为好角，105°÷15°=7，需要折叠7次，以105°为好角，60°÷15°=4，需要折叠4次．
（4）根据好角定义，则可设另两角分别为4m°，4mn°（其中m，n都是正整数）．根据二元方程，求整数解即可．
解：（1）∵折叠后，B，C重合，
∴∠B=∠C；
∠B=2∠C，
小丽展示的情形二中，
∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，
∴∠B=∠AA1B1；
又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，
∴∠A1B1C=∠C；
∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），
∴∠B=2∠C．
故答案为：∠B=∠C，∠B=2∠C．
（2）在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；
将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，
将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，
则∠BAC是△ABC的好角．
∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2，
∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；
∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°，
根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=3∠C；
由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C．
故答案为：∠B=3∠C，∠B=n∠C．
（3）当以60°为好角，105°÷15°=7，需要折叠7次，
当以105°为好角，60°÷15°=4，需要折叠4次．
故答案为：7，4．
（4）由（2）知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，
∵最小角是4°是△ABC的好角，
根据好角定义，则可设另两角分别为4m°，4mn°（其中m，n都是正整数）．
由题意，得4m+4mn+4=180，
∴m（n+1）=44，
∵m，n都是正整数，
∴m与n+1是44的整数因子，
因此有：m=4，n=10或m=11，n=3或m=22，n=1或m=2，n=21或m=1，n=33，；
当m=4，n=10时，4m=16°，4mn=160°；
当m=11，n=3时，4m=44°，4mn=132°；
当m=22，n=1时，4m=88°，4mn=88°；
当m=2，n=21时，4m=8°，4mn=168°；
当m=1，n=43时，4m=4°，4mn=172°；
∴该三角形的另外两个角的度数分别为：16°，160°或44°，132°或88°，88°或8°，168°或4°，172°．
【点拨】本题属于三角形综合题，考查了翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质．难度较大．
12．（1）见分析；（2）①，②
【分析】
（1）根据平行线的性质得出同位角、内错角相等，再利用平角的性质进行证明；
（2）①先根据三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的性质得出的度数，由三角形内角和定理即可得出结论；
②利用折叠的性质，三角形内角和定理、四边形的内角和的综合运用，找到等量关系建立等式，进行化简求值．
解：（1）证明：由题意知：
，
，
（平角的定义），
（等量代换）；
（2）①如图二，中，，
．
平分，平分，
．
，
．
故答案为：．
②取与的交点为
翻折得到，
,
，
，
又，
在四边形中，
，
即，
化简得：，
故答案是：．
【点拨】本题是三角形的综合题，考查的是三角形内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义等知识、平行线的性质、四边形的内角和，解题的关键是根据题目提供的解题思路求解．
13．（1）见分析；（2）117.5°；（3）∠BHC=180°-（∠1+∠2），证明见分析
【分析】
（1）根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可；
（2）根据三角形角平分线的性质得出∠IBC+∠ICB=90°-∠A，得出∠BIC的度数即可；
（3）根据翻折变换的性质以及垂线的性质得出，∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，进而求出∠A=（∠1+∠2），即可得出答案．
解：（1）根据翻折的性质，∠ADE=（180°-∠1），∠AED=（180°-∠2），
∵∠A+∠ADE+∠AED=180°，
∴∠A+（180-∠1）+（180-∠2）=180°，
整理得2∠A=∠1+∠2；
（2）由（1）∠1+∠2=2∠A，得2∠A=110°，
∴∠A=55°，
∵IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB）
=（180°-∠A）=90°-∠A，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB），
=180°-（90°-∠A）=90°+×55°=117.5°；
（3）∵BF⊥AC，CG⊥AB，
∴∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，
∠FHG+∠A=180°，
∴∠BHC=∠FHG=180°-∠A，由（1）知∠1+∠2=2∠A，
∴∠A=（∠1+∠2），
∴∠BHC=180°-（∠1+∠2）．
【点拨】此题主要考查了图形的翻着变换的性质以及角平分线的性质和三角形内角和定理，正确的利用翻折变换的性质得出对应关系是解决问题的关键．
14．（1）64°；（2）26°；（3）58°或148°或154°或122°或116°或26°．
【分析】
（1）根据折叠的性质得到∠CDE=∠A=∠GDE=58°，即可求出∠ADG；
（2）根据GE∥AB，得到∠BEG=90°，算出∠BFD，利用四边形内角和即可求出∠ADG；
（3）找出其他所有情况，画出图形，利用平行线的性质求解即可．
解：（1）由折叠可知：
∠C=∠DGE=32°，∠CDE=∠GDE，
∵DE∥AB，AB⊥BC，
∴DE⊥BC，则G在BC上，
∴∠CDE=∠A=∠GDE=58°，
∴∠ADG=180°-58°×2=64°；
（2）由折叠可知：∠C=∠DGE=32°，∠CDE=∠GDE，∠DEC=∠DEG，
∵GE∥AB，
∴∠B=∠CEG=∠BEG=90°，
∴，
∴∠ADE=45°+32°=77°，∠GDE=180°-45°-32°=103°，
∵∠A=58°，∠B=90°，
∴∠ADG=∠GDE -∠ADE =103°-77°=26°；
（3）如图，DG∥AB，
则∠CDG=∠A=58°；
如图，DG∥BC，
∠ADG=∠C=32°，
∴∠CDG=180°-∠ADG =148°；
如图，EG∥AC，
∠ADG=∠G=∠C=32°，
∴∠CDG=180°-∠ADG =148°；
；
如图，EG∥AB，
∴∠A=∠CFE=58°，∠B=∠CEG=90°，
由折叠可知：∠DEG=∠DEC=45°，
∴∠CDE=180°-45°-32°=103°=∠EDG，
∴∠EDF=180°-103°=77°，
∴∠ADG=103°-77°=26°，
∴∠CDG=180°-∠ADG =154°；
如图，DG∥AB，
∴∠ADG=∠A=58°，
∴∠CDG=180°-∠ADG =122°；
如图，DE∥AB，
∴∠ADG=2∠C=64°，
∴∠CDG=180°-∠ADG =116°；
如图，GE//AB，
∴∠CEG=∠B =90°，
∴∠CDG=∠CEG -∠C-∠G =26°；
综上：其他所有情况下∠CDG的度数为58°或148°或154°或122°或116°或26°．
【点拨】本题考查了平行线的性质，折叠问题，解题的难点在于找出所有符合题意的情况，得到角的关系．
15．（1）;（2）;（3）见分析;（4）
【分析】
（1）根据三角形外角性质可得；
（2）在四边形中，内角和为360°，∠BDA=∠CEA=180°，利用这两个条件，进行角度转化可得关系式；
（3）如下图，根据（1）可得∠1=2∠，∠2=2∠，从而推导出关系式；
（4）根据平角的定义以及四边形的内角和定理，与（2）类似思路探讨，可得关系式．
解：（1）∵△是△EDA折叠得到
∴∠A=∠
∵∠1是△的外角
∴∠1=∠A+∠
∴；
（2）∵在四边形中，内角和为360°
∴∠A++∠∠=360°
同理，∠A=∠
∴2∠A+∠∠=360°
∵∠BDA=∠CEA=180
∴∠1+∠∠+∠2=360°
∴ ；
（3）数量关系：
理由：如下图，连接
由（1）可知：∠1=2∠，∠2=2∠
∴；
（4）由折叠性质知：∠2=180°－2∠AEF，∠1=180°－2∠BFE
相加得：．
【点拨】本题考查角度之间的关系，（4）问的解题思路是相同的，主要运用三角形的内角和定理和四边形的内角和定理进行角度转换．
16．（1）∠ACB的大小不会发生变化，∠ACB=45°；（2）30，60；（3）60°或72°．
【分析】
（1）①由直线MN与直线PQ垂直相交于O，得到∠AOB=90°，根据三角形的外角的性质得到∠PAB+∠ABM=270°，根据角平分线的定义得到∠BAC=∠PAB，∠ABC=∠ABM，于是得到结论；
②图2中，由于将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，得到∠CAB=∠BAQ，由角平分线的定义得到∠PAC=∠CAB，根据三角形的内角和即可得到结论；
图3中，根据将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，得到∠ABC=∠ABN，由于BC平分∠ABM，得到∠ABC=∠MBC，于是得到结论；
（2）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的倍分情况进行分类讨论即可解答．
解：（1）①∠ACB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠PAB+∠ABM=270°，
∵AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，
∴∠BAC=∠PAB，∠ABC=∠ABM，
∴∠BAC+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）=135°，
∴∠ACB=45°；
②∵图2中，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，
∴∠CAB=∠BAQ，
∵AC平分∠PAB，
∴∠PAC=∠CAB，
∴∠PAC=∠CAB=∠BAO=60°，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，
∵图3中，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，
∴∠ABC=∠ABN，
∵BC平分∠ABM，
∴∠ABC=∠MBC，
∴∠MBC=∠ABC=∠ABN，
∴∠ABO=60°，
故答案为：30，60；
（2）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，
∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ-∠EAO=（∠BOQ-∠BAO）=∠ABO，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAF=90°．
在△AEF中，
∵有一个角是另一个角的倍，故有：
①∠EAF=∠E，∠E=60°，∠ABO=120°（不合题意，舍去）；
②∠EAF=∠F，∠E=30°，∠ABO=60°；
③∠F=∠E，∠E=36°，∠ABO=72°；
④∠E=∠F，∠E=54°，∠ABO=108°（不合题意，舍去）；．
∴∠ABO为60°或72°．
【点拨】本题主要考查的就是角平分线的性质以及三角形内角和定理的应用.解决这个问题的关键就是要能根据角平分线的性质将外角的度数与三角形的内角联系起来，然后再根据内角和定理进行求解.同学们在解答这种问题的时候，一定要注意外角与内角之间的联系，不能只关注某一部分.在需要分类讨论的时候一定要注意分类讨论的思想.
17．【问题探究】（1）∠1=2∠A；（2）证明见详解；（3）∠1=2∠A+∠2；【拓展延伸】（4）.
【分析】
（1）运用折叠原理及三角形的外角性质即可解决问题，
（2）运用折叠原理及四边形的内角和定理即可解决问题，
（3）运用三角形的外角性质即可解决问题，
（4）先根据翻折的性质求出∠AEF、∠EFD，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．
解：（1）如图，∠1=2∠A．
理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D=∠A；
∵∠1=∠A+∠EA′D，∴∠1=2∠A．
（2）∵∠1+∠A′EA+∠2+∠A′DA=360°，
由四边形的内角和定理可知：∠A+∠A′+∠A′EA+∠A′DA=360°，
∴∠A′+∠A=∠1+∠2，
由折叠知识可得∠A=∠A′，
∴2∠A=∠1+∠2．
（3）如图，∠1=2∠A+∠2
理由如下：∵∠1=∠EFA+∠A，∠EFA=∠A′+∠2，
∴∠1=∠A+∠A′+∠2=2∠A+∠2，
（4）如图，
根据翻折的性质，，，
∵，
∴，
整理得，．
【点拨】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理及四边形内角和的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
18．（1）①△EAD≌△EA′D，其中∠EAD=∠EA′D，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE；②∠1=180°−2x,∠2=180°−2y； ③∠A=（∠1+∠2）；（2）变化，∠A=（∠2-∠1），见详解
【分析】
（1）①根据翻折方法可得△ADE≌△A′DE；
②根据翻折方法可得∠AEA′=2x，∠ADA′=2y，再根据平角定义可得∠1=180°-2x，∠2=180°-2y；
③首先由∠1=180°-2x，2=180°-2y，可得x=90-∠1，y=90-∠2，再根据三角形内角和定理可得∠A=180°-x-y，再利用等量代换可得∠A=（∠1+∠2）；
（2）根据折叠的性质和三角形内角和定理解答即可．
解：（1）①根据翻折的性质知△EAD≌△EA′D，
其中∠EAD=∠EA′D，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE；
②∵∠AED=x，∠ADE=y，
∴∠AEA′=2x，∠ADA′=2y，
∴∠1=180°-2x，∠2=180°-2y；
③∠A=（∠1+∠2）；
∵∠1=180°-2x，∠2=180°-2y，
∴x=90-∠1，y=90-∠2，
∴∠A=180°-x-y=190-（90-∠1）-（90-∠2）=（∠1+∠2）．
（2））∵△A′DE是△ADE沿DE折叠得到，
∴∠A′=∠A，
又∵∠AEA′=180°-∠2，∠3=∠A′+∠1，
∴∠A+∠AEA′+∠3=180°，
即∠A+180°-∠2+∠A′+∠1=180°，
整理得，2∠A=∠2-∠1．
∴∠A=（∠2-∠1）．
【点拨】此题主要考查了翻折变换，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
19．（1）42°，108°；（2）135°．
【分析】
由“∠ABC=16º，∠ACB=30°”可以求出∠BAC的度数，根据翻折的性质可以求出∠DAE与∠BFE的度数，由“BD 与 CE 所在的直线互相垂直”可得∠DBC+∠ECB=90°，再利用翻折的性质可求出答案
解：（1）∵∠ABC=16°，∠ACB=30°，
∴∠BAC=134°，
∵△ABC≌△ABD，△ABC≌△AEC，
∴∠BAD=∠EAC=134°；∠DAE=134°×3－360°=42°．
∵∠D=∠ACB=30°，
∴∠BFE=∠DFA=180°－42°-30°=108°；
（2）∵BD 所在直线与 CE 所在直线互相垂直，
∴∠DBC+∠ECB=90°，
∵翻折
∴∠ABC=∠DBC ∠ACB =∠ECB
∴∠ABC+∠ACB= ( ∠DBC+∠ECB )=45°，
∴∠CAB=180°－(∠ABC+∠ACB )= 135°．
【点拨】本题的关键是利用翻折的性质解答
20．（1）是；（2） ÐB = 3ÐC ； ÐB = nÐC；（3）10°；160°
【分析】
（1）仔细分析题意根据折叠的性质及题中“正角”的定义即可作出判断；
（2）因为经过三次折叠∠BAC是△ABC的正角，所以第三次折叠的∠A2 B2C=∠C，由∠AB B1=∠AA1B1，∠AA1B1=∠A1B1C+∠C，又∠A1B1C=∠A1A2B2，∠A1A2B2=∠A2B2C+∠C，∠ABB1=∠A1B1C+∠C=∠A2B2C+∠C+∠C=3∠C，由此即可求得结果；
（3）因为最小角是10°是△ABC的正角，根据正角定义，则可设另两角分别为10m°，10mn°（其中m、n都是正整数），由题意得10m+10mn+10=180，所以m（n+1）=17，再根据m、n都是正整数可得m与n+1是17的整数因子，从而可以求得结果.
解：（1）∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，
∴∠B=∠AA1B1；
又∵∠AA1B1=∠A1B1C+∠C且∠B= 2∠C
∴2∠C=∠A1B1C+∠C，得出∠C=∠A1B1C
又∵平分线A1B2
∴∠B1 A1 B2 =∠C A1 B2
∴D B1 A1 B2≌ D C A1 B2
∴将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，
∴∠BAC是不是△ABC的正角
故填：是；
（2）折叠的情况如下图：
∵根据折叠的性质知：∠B=∠AA1B1，∠A1B1C=∠A1A2B2，∠C=∠A2B2C，
∴∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；
∴∠AA1B1=∠A1B1C+∠C=∠A1A2B2+∠C=2∠C+∠C=3∠C
∴∠B=∠AA1B1=3∠C，即∠B=3∠C
故填：∠B=3∠C；
由折叠1次知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的正角；
由折叠2次知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的正角；
由折叠3次知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的正角；
故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的正角,则∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系为∠B=n∠C
故填：∠B=n∠C；
（3）由∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的正角，
因为最小角是10°是△ABC的正角，
根据正角定义,则可设另两角分别为10m°,10mn°(其中m、n都是正整数)，
由题意,得10m+10mn+10=180,所以m(n+1)=,17，
∵m、n都是正整数，所以m与n+1是17的整数因子，
∴m=1，n+1=17，
∴m=1，n=16，
∴10m=10°,10mn=160°，
∴该三角形的另外两个角的度数分别为：10°、160°.
【点拨】本题主要考查三角形的三角形的外角定理和图形折叠的特性，解题的关键是理解题意，找出∠B=n∠C这个规律.
21．（1）∠AMC′=2∠ACB；（2）∠AMC′+∠BNC′=2∠ACB，理由见详解；（3）∠AMC′-∠BNC′=2∠ACB；（4）∠AMD′+∠BNC′=2（∠C+∠D）-360°.
【分析】
（1）根据折叠性质和三角形的外角定理得出结论；
（2）先根据折叠得：∠CMN=∠C′MN，∠CNM=∠C′NM，由两个平角∠CMA和∠CNB得：∠AMC′+∠′BNC′等于360°与四个折叠角的差，化简为结果；
（3）利用两次外角定理得∠AMC′=∠C′+∠C+∠BNC′，然后根据等量代换，得出结论；
（4）与（2）类似，先由折叠得：∠DMN=∠D′MN，∠CNM=∠C′NM，再由两平角的和为360°得：∠AMD′+∠BNC′=360°-2∠DMN-2∠CNM，根据四边形的内角和得：∠DMN+∠CNM=360°-∠C-∠D，代入前式可得结论．
解：（1）由折叠得：∠ACB=∠MC′C，
∵∠AMC′=∠ACB+∠MC′C，
∴∠AMC′=2∠ACB；
故答案为∠AMC′=2∠ACB；
（2）猜想：∠AMC′+∠BNC′=2∠ACB，
理由是：
由折叠得：∠CMN=∠C′MN，∠CNM=∠C′NM，
∵∠CMA+∠CNB=360°，
∴∠AMC′+∠′BNC′=360°-∠CMN-∠C′MN-∠CNM-∠C′NM=360°-2∠CMN-2∠CNM，
∴∠AMC′+∠BNC′=2（180°-∠CMN-∠CNM）=2∠ACB；
（3）∵∠AMC′=∠MDC+∠C，∠MDC=∠C′+∠BNC′，
∴∠AMC′=∠C′+∠BNC′+∠C，
∵∠C=∠C′，
∴∠AMC′=2∠C+∠BNC′，
∴∠AMC′-∠BNC′=2∠ACB；
故答案为∠AMC′-∠BNC′=2∠ACB；
（4）由折叠得：∠DMN=∠D′MN，∠CNM=∠C′NM，
∵∠DMA+∠CNB=360°，
∴∠AMD′+∠BNC′=360°-2∠DMN-2∠CNM，
∵∠DMN+∠CNM=360°-∠C-∠D，
∴∠AMD′+∠BNC′=360°-2（360°-∠C-∠D）=2（∠C+∠D）-360°，
故答案为∠AMD′+∠BNC′=2（∠C+∠D）-360°．
【点拨】本题是折叠变换问题，思路分两类：①一类是利用外角定理得结论；②一类是利用平角和多边形内角和相结合得结论；字母书写要细心，角度比较复杂，是易错题．
22．（1）∠C=56°；（2）∠AMF=∠ANG．证明见分析；（3）满足条件的旋转角为28°或56°或208°或236°.
【分析】
（1）利用三角形的内角和定理即可解决问题；
（2）结论：∠AMF=∠ANG．由翻折可知：∠B=∠F，∠C=∠DGN，由∠B+∠C=90°，推出∠BAC=90°，∠F+∠DGN=90°，推出∠BAD+∠CAD=90°，由∠BAD=∠F+∠AMF，∠CAD=∠DGN-∠ANG，推出∠F+∠AMF+∠DGN-∠ANG=90°，可得∠AMF=∠ANG；
（3）分两种情形①当∠PQB=90°时；②当∠BPQ=90°时.分别求解即可解决问题.
解：（1）如图1中，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△AED中，∵∠EAD=7°，
∴∠AED=83°，
∵∠AED=∠B+∠BAE，∠B=42°，
∴∠BAE=∠CAE=41°，
∴∠BAC=82°，
∴∠C=180°-42°-82°=56°．
（2）结论：∠AMF=∠ANG．
理由：如图2中，
由翻折可知：∠B=∠F，∠C=∠DGN，
∵∠B+∠C=90°，
∴∠BAC=90°，∠F+∠DGN=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
∵∠BAD=∠F+∠AMF，∠CAD=∠DGN-∠ANG，
∴∠F+∠AMF+∠DGN-∠ANG=90°，
∴∠AMF=∠ANG．
（3）①如图3-1当∠PQB=90°时，
∵∠B=∠F′=28°，
∴∠F′DQ=90°-28°=62°，
∵∠FDB=90°，
∴∠FDF′=90°-62°=28°，
∴旋转角为28°．
②如图3-2，当∠BPQ=90°时，
∵∠B=∠F′=28°，
∴∠PQB=90°-28°=62°，
∵∠PQB=∠F′+∠F′DB，
∴∠F′DB=62°-28°=34°，
∴∠FDF′=90°-34°=56°，
∴旋转角为56°，
同法可得当旋转角为208°或236°时，也满足条件，
综上所述，满足条件的旋转角为28°或56°或208°或236°．
【点拨】本题考查三角形综合题、旋转变换、翻折变换、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
23．（1）100°,∠1+∠2=2∠A；（2）117.5°；（3）∠BHC=180°-（∠1+∠2），证明见分析.
【分析】
(1)根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可；
(2)根据三角形角平分线的性质得出∠IBC+∠ICB=90°-∠A，得出∠BIC的度数即可；
(3)根据翻折变换的性质以及垂线的性质得出，∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，进而求出∠A=(∠1+∠2)，即可得出答案．
解：(1)∠1+∠2=2∠A；
理由：根据翻折的性质，∠ADE=(180°-∠1)，∠AED=(180°-∠2)，
∵∠A+∠ADE+∠AED=180°，
∴∠A+(180-∠1)+(180-∠2)=180°，
整理得2∠A=∠1+∠2，
∵∠A=50°，
∴∠1+∠2＝100°，
猜想：∠1+∠2=2∠A；
(2)由(1)∠1+∠2=2∠A，得2∠A=110°，∴∠A=55°，
∵IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=(∠ABC+∠ACB)=(180°-∠A)=90°-∠A，
∴∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-(90°-∠A)=90°+×55°=117.5°；
(3)∵BF⊥AC，CG⊥AB，
∴∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，
∴∠FHG+∠A=360°-180°=180°，
∴∠BHC=∠FHG=180°-∠A，
由(1)知∠1+∠2=2∠A，
∴∠A=(∠1+∠2)，
∴∠BHC=180°-(∠1+∠2)．
【点拨】本题考查了图形的翻折变换的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理，正确的利用翻折变换的性质得出对应关系是解决问题的关键．
24．
【分析】
本题给出两个等量关系，可以设出两个未知数，然后在运用折叠的性质，即可完成解答.
解：设，，
由三角形折角图知，则可列方程组
解得，，
即.
【点拨】本题考查了折叠的性质及二元一次方程组的应用，题中含有多个等量关系，可先设出未知数，简化等式，再根据题意，寻找等式间的联系，从而寻得解答问题的思路.
25．（1）①∠ACB的大小不变，∠ACB=45°；②30°，60°；（2）∠ABO为60°或72°．
【分析】
（1）①由直线MN与直线PQ垂直相交于O，得到∠AOB=90°，根据三角形的外角的性质得到∠PAB+∠ABM=270°，根据角平分线的定义得到∠BAC=∠PAB，∠ABC=∠ABM，于是得到结论；
②由于将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，得到∠CAB=∠BAQ，由角平分线的定义得到∠PAC=∠CAB，根据三角形的内角和即可得到结论；根据将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，得到∠ABC=∠ABN，由于BC平分∠ABM，得到∠ABC=∠MBC，于是得到结论；
（2）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的倍分两种情况进行分类讨论．
解：（1）①∠ACB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠PAB+∠ABM=270°，
∵AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，
∴∠BAC=∠PAB，∠ABC=∠ABM，
∴∠BAC+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）=135°，
∴∠ACB=45°；
②∵将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，
∴∠CAB=∠BAQ，
∵AC平分∠PAB，
∴∠PAC=∠CAB，
∴∠PAC=∠CAB=∠BAO=60°，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，
∵将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，
∴∠ABC=∠ABN，
∵BC平分∠ABM，
∴∠ABC=∠MBC，
∴∠MBC=∠ABC=∠ABN，
∴∠ABO=60°，
故答案为30°，60°；
（2）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，
∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ-∠EAO=（∠BOQ-∠BAO）=∠ABO，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAF=90°．
在△AEF中，∵有一个角是另一个角的倍，故有：
①∠EAF=∠F，∠E=30°，∠ABO=60°；
②∠F=∠E，∠E=36°，∠ABO=72°；
∴∠ABO为60°或72°．
【点拨】本题考查翻折变换-折叠问题，三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
相关试卷
专题1.22 《探索三角形全等》几何模型-“手拉手”（专项练习）（培优篇）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）： 这是一份专题1.22 《探索三角形全等》几何模型-“手拉手”（专项练习）（培优篇）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版），共44页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题1.52 全等三角形几何模型-手拉手模型（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）： 这是一份专题1.52 全等三角形几何模型-手拉手模型（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版），共50页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题1.51 全等三角形几何模型-手拉手模型（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）： 这是一份专题1.51 全等三角形几何模型-手拉手模型（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版），共30页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
