专题1.24 证明（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）

这是一份专题1.24 证明（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题1.24 证明（专项练习）
一、单选题
1．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（     ）                  

A．50 o B．60 o C．75 o D．85 o
2．三角形中∠B的平分线和外角的平分线的夹角是（     ）．
A．60° B．90° C．45° D．135°
3．小王、小陈、小张当中有一人做了一件好事，另两人也都知道是谁做了这件事．老师在了解情况时，他们三人分别说了下面几句话：
小陈：“我没做这件事．”“小张也没做这件事．”
小王：“我没做这件事．”“小陈也没做这件事．”
小张：“我没做这件事．”“我也不知道谁做了这件事．”
已知他们每人都说了一句假话，一句真话，做好事的人是（       ）
A．小王 B．小陈 C．小张 D．不能确定
4．下列问题你不能肯定的是（       ）
A．一支铅笔和一瓶矿泉水的体积大小问题 B．三角形与矩形的面积关系
C．三角形的内角和 D．边形的外角和
5．某超市（商场）失窃，大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走．三个嫌疑犯被警察局传讯，警察局已经掌握了以下事实：（1）罪犯不在甲、乙、丙三人之外；（2）丙作案时总得有甲作从犯；（3）乙不会开车．在此案中，能肯定的作案对象是（　　）
A．嫌疑犯乙 B．嫌疑犯丙 C．嫌疑犯甲 D．嫌疑犯甲和丙
6．如图，是的外角的平分线，若，，则( ).

A． B． C． D．
7．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上．如果∠2=60°，那么∠1的度数为（　　）

A．60° B．50° C．40° D．30°
8．如图，AB∥CD∥EF，AC∥DF，若∠BAC=120°，则∠CDF=

A．60° B．120° C．150° D．180°
9．如图，下列推理不正确的是(          )

A．∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠C＝180°
B．∵∠1＝∠2，∴AD∥BC
C．∵AD∥BC，∴∠3＝∠4
D．∵∠A＋∠ADC＝180°，∴AB∥CD
10．下列推理中，错误的是(   )
A．因为AB⊥EF，EF⊥CD，所以AB⊥CD
B．因为∠α＝∠β，∠β＝∠γ，所以∠α＝∠γ
C．因为a∥b，b∥c，所以a∥c
D．因为AB＝CD，CD＝EF，所以AB＝EF
11．下列推理正确的是(   )
A．∵∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＋∠3＝90°
B．∵∠1＋∠3＝90°，∠3＋∠2＝90°，∴∠1＝∠2
C．∵∠1与∠2是对顶角，又∠2＝∠3，∴∠1与∠3是对顶角
D．∵∠1与∠2是同位角，又∠2与∠3是同位角，∴∠1与∠3是同位角
12．如果一个三角形的三个外角之比为2：3：4，则与之对应的三个内角度数之比为(          )
A．4：3：2 B．3：2：4 C．5：3：1 D．3：1：5
二、填空题
13．如图，直线，Rt△ABC的顶点B在直线a上，∠C=90°，∠β=55°，则∠α的度数为______．

14．现有一个三位数密码锁，已知以下3个条件，可以推断正确的密码是__________．
①只有一个号码正确且位置正确
②只有两个号码正确且位置都不正确
③三个号码都不正确

15．如图，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，这时说管道AB∥CD，是根据___________________________．

16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线与外角∠BAD的平分线的反向延长线交于点F，则∠F＝____．

17．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝_____．

18．在△ABC中，AB≠AC，若用反证法证明∠B≠∠C，应先假设 _____
19．为了从500只外形相同的鸡蛋中找到唯一的一只双黄蛋，检查员将这些鸡蛋按1﹣500的顺序排成一列，第一次先从中取出序号为单数的蛋，发现其中没有双黄蛋，他将剩下的蛋的原来位置上又按1﹣250编号（即原来的2号变为1号，原来的4号变成2号，…，原来的500号变成250号）．又从中取出新序号为单数的蛋进行检查，任没有发现双黄蛋，…，如此下去，检查到最后的一个是双黄蛋，问这只双黄蛋最初的序号是_____．
20．盒子里有甲、乙、丙三种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗乙粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成第三种粒子，例如一颗甲粒子和一颗乙粒子发生碰撞则变成一颗丙粒子，现有甲粒子6颗，乙粒子4颗，丙粒子5颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩下1颗粒子，给出下列结论：①最后一颗粒子可能是甲粒子；②最后一颗粒子一定不是乙粒子；③最后一颗粒子可能是丙粒子．其中正确结论的序号是：_______．
21．完成下面的证明过程．
已知：如图，∠1和∠D互余，∠C和∠D互余．求证：AB∥CD．

证明：∵∠1和∠D互余(已知)，
∴∠1＋∠D＝90°(_____________)．
∵∠C和∠D互余(已知)，
∴∠C＋∠D＝90°(_____________)，
∴∠1＝∠C(__________________)，
∴AB∥CD(________________________)．
22．如图，点 A，C，F，B 在同一直线上，CD 平分∠ECB，FG∥CD．若∠ECA 为 α 度，则∠GFB为________度（用关于 α 的代数式表示）．

23．如图，是一副三角板叠放的示意图，则∠α=______．

24．如图，现给出下列条件：①，②，③，④，⑤.其中能够得到AB//CD的条件是_______.(只填序号)

三、解答题
25．观察下列等式：
第个等式为：
第个等式为：
第个等式为：
第个等式为：
....
根据上述等式含有的规律，解答下列问题：
（1）第个等式为：是
（2）第个等式为：是 （用含的代数式表示），并证明







26．已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．










27．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图②中都有．设镜子与的夹角．
（1）如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由．

（2）如图②，若，入射光线与反射光线的夹角．探索与的数量关系，并说明理由．

（3）如图③，若，设镜子与的夹角为钝角，入射光线与镜面的夹角．已知入射光线从镜面开始反射，经过为正整数，且）次反射，当第次反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数（可用含的代数式表示）．

28．七年级教材在图形与几何部分给出了五条基本事实，在《证明》一章中我们从两条基本事实出发，把前面得到的平行线相关性质进行了严格的证明，体会了数学的公里化思想.请完成下列证明活动：
活动．利用基本事实证明：“两直线平行，同位角相等”.（在括号内填上相应的基本事实）

已知：如图，直线、被直线所截，.
求证：.
证明：假设，则可以过点作.
∵，
∴（ ）.
∴过点存在两条直线、两条直线与平行，这与基本事实（ ）矛盾.
∴假设不成立.
∴.
活动．利用刚刚证明的“两直线平行，同位角相等”证明“两直线平行，同旁内角互补”.（要求画图，写出已知、求证并写出证明过程）
已知: .
求证： .
证明：











参考答案
1．C
【分析】
由图形可得AD∥BC，可得∠CBF=30°，由于翻折可得两个角是重合的，于是利用平角的定义列出方程可得答案．
解：如图所示：

∵AD∥BC，
∴∠CBF=∠DEF=30°，
∵AB为折痕，
∴2∠α+∠CBF=180°，
即2∠α+30°=180°，
解得∠α=75°．
故选C．
【点拨】考查了平行线的性质和图形的翻折问题；找到相等的角，利用平角列出方程是解答翻折问题的关键．
2．B
解：
如图，BD平分∠ABF，BE平分∠ABC，
∴∠ABD=∠ABF，∠ABE=∠ABC，
∴∠DBE=∠DBA+∠ABE=∠ABF+∠ABC=（∠ABF+∠ABC）=90°.
故选B.
3．B
【分析】
根据题意对小陈说的两句话来假设真假，再对后面两人说的话逐一分析，得出矛盾的即假设不成立，不矛盾的则符合条件．
解：1、假设小陈说“我没做这件事”是真话，则“小张也没做这件事”是假话，从这里可以得出做好事的就是小张；假设小王说“我没做这件事”是真话，则“小陈也没做这件事”是假话，从这里可以得出做好事的就是小陈，与小陈的假设矛盾；
2、假设小陈说“我没做这件事”是假话，则“小张也没做这件事”是真话，从这里可以得出做好事的就是小陈；假设小王说“我没做这件事”是真话，则“小陈也没做这件事”是假话，从这里可以得出做好事的就是小陈；符合；假设小张说“我没做这件事”是真话，则“也不知道谁做了这件事”是假话，符合；
∴做好事的是小陈，
故选B．
【点拨】逻辑推理问题，用到的数学知识不多，主要依靠对已知条件的分析，寻找适当的突破口，常用枚举、归谬等方法．
4．B
解：A. 二者大小关系一目了然，能肯定；
B. 二者面积大小关系不确定，不能肯定；
C. 能用三角形的内角和定理判断，能肯定；
D. 能用多边形的外角和判断，能肯定；
故选B.
5．C
【分析】
根据大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走和条件（3）可知，案犯显然不是乙；根据条件（1）可知作案对象一定在甲、丙中间，或两人都是嫌犯．由（2）得，若丙作案，那么甲必作案，但是没有证据能够直接证明丙一定作案，所以嫌疑犯必是甲．
解：由于“大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走”，根据条件（3）可知：乙肯定不是主犯；
根据（1）可知：嫌疑犯必在甲和丙之间；
由（2）知：若丙作案，则甲必作案；
由于没有直接证明丙作案的证据，因此根据（1）（2）可以确定的是甲一定是嫌疑犯．
故选C．
【点拨】本题考查了推理与证明，解决问题的关键是读懂题意，能够运用排除法分析解决此类问题．
6．B
解：因为CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，所以∠ACD=2∠ACE，而∠ACE=60°,所以∠ACD=120°,因为三角形的外角等于和它不相邻的内角和，∠B=35°，所以∠A=∠ACD-∠B=120°-35°=85°，故选B.
【点拨】1.角平分线的意义；2.三角形外角性质.
7．D
【分析】
先根据平行线的性质得出∠FHE的度数，再根据外角的性质求出∠1的度数即可．
解：如图所示，

∵△GEF是含30°角的直角三角板，
∴∠FGE=30°，
∵∠2=60°，AB∥CD，
∴∠FHE=∠2=60°，
∴∠1=∠FHE-∠G=30°，
故选D．
8．A
解：∵AB∥CD∥EF，∠BAC=120°，∴∠ACD=180°―∠BAC=60°．∵AC∥DF，∠CDF =∠ACD=60°．故选A．
9．C
【分析】
本题主要利用平行线的性质以及平行线的判定，采用逐一检验法进行做题．
解：A、∵AB∥CD∴∠ABC+∠C=180°，正确，两直线平行，同旁内角互补；
B、∵∠1=∠2∴AD∥BC，正确，内错角相等，两直线平行；
C、∵AD∥BC，∴∠1=∠2，错误；
D、∵∠A+∠ADC=180°∴AB∥CD，正确，同旁内角互补，两直线平行；
故选：C．
【点拨】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角．
10．A
【分析】
根据相关的定义或定理判断．
解：A、AB⊥EF，EF⊥CD，答案不确定，有多个答案，AB可能与CD平行，也可能垂直，在空间中也可能异面等，故A选项错误；
B、由∠α=∠β，∠β=∠γ，根据角的等量代换可知，∠α=∠γ，故B选项正确；
C、由a∥b，b∥c，根据平行线的平行的传递性可知a∥c，故C选项正确；
D、根据线段长度的等量代换可知AB=EF，易知D选项正确；
综上所述，答案选A．
【点拨】主要考查学生对平行公理及推论的运用，注意等量代换的应用．
11．B
【分析】
根据对顶角，同位角的概念和等量代换等知识点逐项进行判断即可．
解：A. ∵∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3，不能推出∠1＋∠3＝90°，故本选项错误；
B. ∵∠1＋∠3＝90°，∠3＋∠2＝90°，∴∠1＝∠2（等量代换），故本选项正确；
C. ∵∠1与∠2是对顶角，又∠2＝∠3，∴∠1与∠3是对顶角，由对顶角的概念可知本选项错误；
D. ∵∠1与∠2是同位角，又∠2与∠3是同位角，∴∠1与∠3是同位角，由同位角的概念可知本选项错误；
故选B
【点拨】本题考查了等量代换、对顶角，同位角的概念，准确掌握各种概念和性质是关键．
12．C
【分析】
根据三角形外角和为，三角形内角和为，即可求解．
解：设三个外角分别为2x,3x,4x,三角形外角和为360°，
所以2x＋3x＋4x＝360°，
所以x＝40°，
所以三个外角是80°，120°，160°，
所以对应内角比为5：3：1，
故选C．
【点拨】本题考查了三角形外角和和内角和的相关知识，掌握该知识点是解答本题的关键．
13．35°##35
【分析】
先过点C作，可得，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案．
解：过点C作，
∵，
∴，
∴∠BCE=∠α，∠ACE=∠β=55°，
∵∠ACB=90°，
∴∠α=∠BCE=∠ABC-∠ACE=35°．

故答案为35°．
【点拨】此题考查了平行线的性质．此题注意掌握辅助线的作法，注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用．
14．520
【分析】
根据题意分析分析推理即可，由①结合③可以确定第三位数字为0，由②，③可以确定前两个数为5,2，据此分析即可．
解：根据①，③可知正确的号码是0，位置是第三位，由②，③可知正确的号码是5,2，位置分别为第一位和第二位，所以正确的密码是520．
【点拨】本题考查了逻辑推理，根据题意结合所给信息推导出各位数字是解题的关键．
15．同旁内角互补，两直线平行
解：∵∠ABC=120°，∠BCD=60°，
∴∠ABC+∠BCD=120°+60°=180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
【点拨】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
16．45°
解：如图，AE平分∠DAB，BF平分∠ABC，
∴∠DAB=2∠1，∠ABC=2∠1.
∵∠DAB=∠C+∠ABC=90°+∠ABC，∠1=∠F+∠2，
∴2∠1=90°+2∠2，
∴=90°+2∠2，
∴∠F=45°.

17．540°
解：如下图，连接AF，BE，设AB、EF相交于点O，由三角形内角和为180°和∠AOF=
∠BOE可得∠1+∠2=∠3+∠4，
∴原题中的：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G
=（∠5+∠3）+∠8+∠C+∠D+∠7+(∠4+∠6)+∠G
=（∠5+∠6+∠G）+（∠7+∠1+∠2+∠8+∠C+∠D）
=180°+360°
=540°.

【点拨】这类题我们通常通过作辅助线把所涉及的角集中到几个多边形中，然后利用多边形的内角和就可计算出这些角的和了.
18．∠B=∠C
【分析】
根据反证法的一般步骤解答即可．
解：用反证法证明命题“在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C”，第一步应是假设∠B=∠C，
故答案为∠B=∠C.
【点拨】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
19．256
试题分析：根据题意，知第一次剩下的是原来编号中的偶数，有250个，第二次剩下的4的倍数，即22的倍数，剩下125个，第三次剩下的是23的倍数，剩下62个，以此类推，最后剩下1个，则需取8次，即剩下28=256．
解：知最后剩下的是号是28=256．
【点拨】此题要能够正确分析每一次取走的是原来的什么号数以及每一次剩下的个数．
20．①②③．
【分析】
根据规律将问题分三类分别分析，先剩下1颗丙，其它产生乙种粒子与原来4颗乙粒子共有9颗中8颗乙粒子两两碰撞最后剩一颗乙与丙碰撞产生丙即可解决．
解：∵相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗乙粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成第三种粒子，甲粒子与乙粒子碰撞产生丙粒子，甲粒子与丙粒子碰撞产生乙粒子，乙粒子与丙粒子碰撞产生甲粒子，
6颗甲粒子两两碰撞产生3颗乙粒子，
5颗丙粒子中4颗丙粒子两两碰撞产生2颗乙粒子，
一共有9颗乙粒子，8个两两碰撞产生4个乙粒子加剩下一个共5个乙粒子，5个乙粒子中4个再两两碰撞产生2个，与剩下1个一共有3个乙粒子，其中两个相碰撞产生1个乙粒子与剩下的一个共有2个乙粒子，其中分两种情况，
当剩下两个乙粒子碰撞中一个与丙相碰撞产生一个甲，与乙先碰撞，最后产生丙粒子，
当剩下两颗乙粒子相碰撞产生一颗乙粒子与丙粒子相碰撞最后产生甲粒子，
①最后一颗粒子可能是甲粒子正确；
②最后一颗粒子一定不是乙粒子正确；
③最后一颗粒子可能是丙粒子正确．
正确的序号是①②③．
故答案为：①②③．
【点拨】本题考查了分类思想，逻辑推理，分析问题解决问题的能力，读懂题意是解题的关键．
21．互余的定义；互余的定义；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
【分析】
因为∠1和∠D互余，∠C和∠D互余．得出∠C=∠1，从而证得AB∥CD．
解：∵∠1和∠D互余(已知)，
∴∠1＋∠D＝90°(互余的定义)．
∵∠C和∠D互余(已知)，
∴∠C＋∠D＝90°(_互余的定义)，
∴∠1＝∠C(同角的余角相等)，
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
【点拨】此题考查的知识点是平行线的判定，同角的余角相等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
22．90°﹣
解：∵∠ECA=，
∴∠ECB=180°-，
∵CD平分∠ECB，
∴∠DCB=∠ECB=（180°-）=90°-，
又∵FG∥CD
∴∠GFB=∠DCB=90°-.
23．75°
解：如图，由已知可得∠1=45°，∴由三角形外角的性质可得：∠2=45°+30°=75°，
又∵∠=∠2，
∴∠=75°.

24．①②⑤
【分析】
根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可
解：①∵∠1=∠B，∴AB//CD，故本小题正确；
②∵∠2=∠5，∴AB//CD，故本小题正确；
③∵∠3=∠4，∴AD//BC，故本小题错误；
④∵∠1=∠D，∴AD//BC，故本小题错误；
⑤∵∠B+∠BCD=180°，∴AB//CD，故本小题正确．
故答案为①②⑤．
【点拨】本题考查的是平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解答此题的关键．
25．（1）；（2），证明见分析．
【分析】
（1）观察前几个等式的规律，即可写出第5个等式；
（2）结合（1）发现的规律即可写出第n个等式．
解：（1）观察等式可知：第5个等式为：；
故答案为：；
（2）第n个等式为：，
证明：左边右边
等式成立．
【点拨】本题考查了规律型-数字的变化类，解决本题的关键是从具体的简单的情形考虑，找出等式中变化的数字与序号数的关系，从而抽象出规律式．
26．证明见分析.
解：根据互余、角平分线及对顶角等相关知识即可得出答案．
证明：如图，
∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠2+∠4=90°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∵∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
即∠CFE=∠CEF.

【点拨】本题主要考查的知识有直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、对顶角相等.利用等量代换是解题的关键.
27．（1），见分析；（2），见分析；（3）或
【分析】
(1)利用同旁内角互补，两直线平行加以证明；
(2)利用三角形的外角性质证明即可；
(3)分两个镜面夹角为直角和钝角两种情形求解即可.
解：          
理由如下：在中，




，
，
，
；                            
．
理由如下：在中，








在中，



；
或
如图，当夹角为钝角时，根据（2）中的结论，得
∠FEG=2∠BCD-180°，
根据平行线性质，得：
∠FEG=∠PAH=2∠NAH=2x，
∴∠BCD=；
如图，当夹角为直角时，根据（1）中的结论，得
∠EBC=50°，
根据三角形外角性质，得：
∴∠BCD=∠EBC+∠BEC=50°+90°=140°.
∴∠BCD的度数为或140°.

【点拨】本题考查了平行线的性质，光的反射定律，数学的分类思想，三角形内角和定理，类比思想，根据前面的结论，灵活进行分类求解是解题的关键.
28．同位角相等，两直线平行；过一点有且只有一条直线与已知直线平行
试题分析：根据所学，结合所给的证明，添上合理的理由即可；然后仿照例题，直接写出证明过程即可.
解：同位角相等，两直线平行
过一点有且只有一条直线与已知直线平行
活动 2 略