专题1.41 线段的垂直平分线（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）

这是一份专题1.41 线段的垂直平分线（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版），共24页。试卷主要包含了单选题，垂直平分线的判定，垂直平分线的应用等内容，欢迎下载使用。
专题1.41 线段的垂直平分线（基础篇）（专项练习）
一、单选题
类型一、垂直平分线的性质
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AC＝l，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则AD的长为(     )

A．l.5 B． C．2 D．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，AB的垂直平分线与AC交于点M，则BC与MB的比为（　　）
A．1：3 B．1：2 C．2：3 D．3：4
3．如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠ACB＝90°，AD＝BD，∠BAD＝30°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA，若点M在DE上，且DC＝DM．则下列结论中：①∠ADB＝120°；②△ADC≌△BDC；③线段DC所在的直线垂直平分线AB；④ME＝BD；正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
类型二、垂直平分线的判定
4．已知线段AB和点C,D,且CA=CB,DA=DB,那么直线CD是线段AB的(　　)
A．垂线 B．平行线
C．垂直平分线 D．过中点的直线
5．下列说法不正确的是（　　）
A．角平分线上的点到这个角两条边的距离相等
B．线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等
C．有一边相等得两个等边三角形全等
D．等腰三角形的对称轴是底角的平分线所在的直线
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）
①点D到∠BAC的两边距离相等；
②点D在AB的中垂线上；
③AD＝2CD
④AB＝2CD

A．1 B．2 C．3 D．4
类型三、垂直平分线的应用
7．如图，在钝角三角形ABC中，为钝角，以点B为圆心，AB长为半径面弧；再以点C为圆心，AC长为半径画弧；两弧交于点D，连结AD，CB的延长线交AD于点下列结论错误的是     

A．CE垂直平分AD B．CE平分
C．是等腰三角形 D．是等边三角形
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，若AB＝13，AC＝5，则△ACD的周长为(                 )

A．18 B．17 C．20 D．25
9．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝（       ）

A．56° B．68° C．28° D．34°
类型四、垂直平分线的应用
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点D和E，作直线DE交AB于点F，交AC于点G，连接CF，以点C为圆心，以CF的长为半径画弧，交AC于点H．若∠A＝30°，BC＝2，则AH的长是(　　)

A． B．2 C．+1 D．2﹣2
11．如图，已知直线l及直线外一点P，观察图中的尺规作图痕迹，则下列结论不一定成立的是　　

A． PQ为直线l的垂线 B．
C． D．
12．如图，在△ABC中，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若∠BAD=45°，则∠B的度数为（        ）

A．75° B．65° C．55° D．45°
二、填空题
类型一、垂直平分线的性质
13．如图，在中，是的垂直平分线，若，的周长为，则的长为__________．

14．已知CD垂直平分AB，若AC=4cm，AD=5cm，则四边形ADBC的周长是__________.

15．如图,在中，，AB的垂直平分线EF分别交BC、AB于点E、F，∠AEF=65°，那么∠CAE=_________.

类型二、垂直平分线的判定
16．如图，D是△ABC的边BC延长线上一点，BD＝BC＋AC，则C点在线段_________的垂直平分线上．

17．如图，已知：AC和BD相交于O，∠1＝∠2，∠3＝∠4．则AC和BD的关系_____．

18．已知，如图，AC=BC，AD=BD，那么______是_______的垂直平分线.

类型三、垂直平分线的应用
19．如图，在中，是的垂直平分线，分别交，于点，，连接，若的周长，，则线段的长度等于___________cm．

20．如图，已知△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交AC，AB于点D，E，则CD的长为_____．

21．若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是_____三角形．
类型四、垂直平分线的应用
22．数学课上，王老师布置如下任务：如图，△ABC中，BC>AB>AC，在BC边上取一点P，使∠APC=2∠ABC．

小路的作法如下：
① 作AB边的垂直平分线，交BC于点P，交AB于点Q；
② 连结AP．
请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据：
∵ PQ是AB的垂直平分线
∴ AP= ，   （依据： ）；
∴ ∠ABC= ， （依据： ）．
∴ ∠APC=2∠ABC．
23．如图，点M，N到直线l的距离为MA，ND，垂足分别为A，D，B为AD的中点，作MN的垂直平分线交直线l于点C，连接MB，MC，NC，，现给出下列结论：①；②；③MB平分；④若，，则．其中正确的是______．

24．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝18．分别以A、B为圆心，大于AB长为半径作弧，过弧的交点作直线，分别交AB、AC于点D、E．若EC＝5，则△BEC的面积为_____．

三、解答题
25．如图所示，在等边三角形ABC中，∠B、∠C 的平分线交于点O，OB和OC的垂直平分线交BC于E、F，求证：BE=EF=FC     








26．如图，已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接 CD，且交 OE 于点F．
（1）求证：OD=OC；
（2）求证：OE 是 CD 的垂直平分线；
（3）若∠AOB=60°，请你探究 OE，EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论．






27．如图，在中，，点在边上且点到点的距离与点到点的距离相等.
（1）利用尺柜作图作出点，不写作法但保留作图痕迹.
（2）连接，若的底边长为3，周长为17，求的周长.





28．圣母大学计算机系的史戈宇教授带一家人去旅行,途中汽车被劫走报警911,警察无作为，汽车上安装的MS系统,可以提示汽车与手机APP间的直线距离．史教授用“贪心算法”把被盗车辆位置确定在了图中灰色的区域里,这是一个以暴乱和枪击闻名的地区．当史教授开车从E向A的方向行驶时,汽车与手机APP间的直线距离逐渐变小,从A向F的方向行驶时,汽车与手机APP问的直线距离逐渐变大.当史教授开车从F向B的方向行驶时,汽车与手机APP间的直线距离逐渐变小,从B向G的方向行驶时,汽车与手机APP间的直线距离逐渐变大. 史教授再次报警后,警察根据史教授确定的被盗汽车的位置,很快找到了被盗汽车根据你学的数学知识,在图中,画出被盗汽车的位置.
























参考答案
1．C
【分析】
利用基本作图可判断MN垂直平分AB，则利用线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，所以∠DAB＝∠B＝15°，再利用三角形外角性质得∠ADC＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系可得到AD的长．
解：由作法得MN垂直平分AB，则DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝15°，
∴∠ADC＝∠DAB+∠B＝30°，
在Rt△ACD中，AD＝2AC＝2．
故选C．
【点拨】本题考查作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)．也考查了线段垂直平分线的性质．
2．B
【分析】
根据题意画出草图．由线段垂直平分线的性质，易求∠BMC＝2∠A＝30°．根据直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
解：如图所示:

∵MN垂直平分AB，
∴MA＝MB，
∴∠A＝∠MBA．
∴∠BMC＝2∠A＝30°．
∴BC：BM＝1：2．
故选B．
【点拨】此题考查了线段垂直平分线性质、含30°角的直角三角形性质等知识，比较简单．
3．D
【分析】
由等腰三角形的性质可判断①，由“SSS”可证△ADC≌△BDC，可判断②，由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可判断③，由“AAS”可证△ACD≌△ECM，可判断④．
解：∵AD=BD，∠BAD=30°，
∴∠BAD=∠ABD=30°，
∴∠ADB=120°,
故①正确;
∵AC=BC，AD=BD，CD=CD,
∴△ADC≌△BDC（SSS）,
故②正确;
∵△ADC≌△BDC
∴∠ACD=∠BCD，且AC=BC
∴线段DC所在的直线垂直平分线AB,
故③正确;
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠CAB=∠CBA,
∴∠CAD=∠CBD=15°,
∵CA=CE,
∴∠E=∠CAD=15°,
∵∠EDC=∠DAC+∠DCA=60°，且CD=CM,
∴∠CDE=∠CMD=60°,
∴∠ADC=∠CME=120°，且∠E=∠CAD，AC=CE,
∴△ACD≌△ECM（AAS）,
∴AD=ME=BD,
故④正确,
故选D．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
4．C
【分析】
由已知CA=CB根据线段垂直平分线的性质的逆定理可得点C在AB的垂直平分线上，同理得点D的位置
解：根据线段垂直平分线的性质的逆定理，点C和D都在AB的垂直平分线上，那么直线CD是线段AB的垂直平分线．
故选C．
【点拨】此题主要考查线段垂直平分线的性质的逆定理：和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
5．D
【分析】
由题意根据角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形判定以及等腰三角形性质，利用排除法进行分析即可．
解：A. 角平分线上的点到这个角两条边的距离相等，此选项正确；
B. 线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，此选项正确；
C. 有一边相等得两个等边三角形全等，此选项正确；
D. 等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线而不是底角的平分线所在的直线，此选项不正确.
故选：D.
【点拨】本题主要考查角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形判定以及等腰三角形性质，熟练掌握相关的性质是解答本题的关键.
6．D
【分析】
根据角平分线的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．
解：由图可知：AD是∠BAC的平分线，
∴①点D到∠BAC的两边距离相等，正确；
∵△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠B＝∠DAB＝30°，
∴AD＝DB，
∴②点D在AB的中垂线上，正确；
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠DAC＝30°，
∴③AD＝2CD，正确；
∴AB＝2AC，AC＝CD，
∴④AB＝2CD，正确；
故选D．
【点拨】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图−基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
7．D
【分析】
依据作图可得，，即可得到CB是AD的垂直平分线，依据线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到结论．
解：由题可得，，，
是AD的垂直平分线，
即CE垂直平分AD，故A选项正确；
，，
，
即CE平分，故B选项正确；
，
是等腰三角形，故C选项正确；
与AC不一定相等，
不一定是等边三角形，故D选项错误；
故选D．
【点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定，解题时注意：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
8．B
【分析】
根据线段垂直平分线定理，的周长.
解：因为，，，故，
因为垂直且平分，
，
故的周长.
故选：.
【点拨】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等），难度一般.
9．A
【分析】
根据图像,明确∠α是线段AC的中垂线和∠DAC的角平分线相交构成的锐角即可解题.
解：由图可知, ∠α是AC的中垂线和∠DAC的角平分线相交构成的锐角,
∵∠ACB=68°,
∴∠DAC=68°,
∴∠α=90°-68°2=56°,
故选A.
【点拨】本题考查了尺规作图,属于简单题,熟悉尺规作图的方法是解题关键.
10．D
【分析】
先利用含30度的直角三角形三边的关系得AC＝2，再利用基本作图得到FG垂直平分AC，CH＝CF，则FA＝FC，所以∠A＝∠FCA＝30°，接着证明△BCF为等边三角形，所以CF＝CB＝2，然后计算AC﹣CH即可．
解：在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，
∴∠B＝60°，AC＝BC＝2，
由作法得FG垂直平分AC，CH＝CF，
∴FA＝FC，
∴∠A＝∠FCA＝30°，
∴∠BCF＝60°，
∴△BCF为等边三角形，
∴CF＝CB＝2，
∴AH＝AC﹣CH＝2﹣2．
故选D．
【点拨】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．
11．C
【分析】
直接利用线段垂直平分线的性质以及其基本作图，进而分析得出答案．
解：由作图方法可得出PQ是线段AB的垂直平分线，则PQ为直线l的垂线，故选项A正确，不合题意；
CA=CB（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等），故选项B正确，不合题意；
无法得出PO=QO，故选项C错误，符合题意；
可得PA=PB，PQ⊥AB，则∠APO=∠BPO，故选项D正确，不合题意．
故选C．
【点拨】本题考查了基本作图，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
12．A
【分析】
由基本作图得到MN垂直平分AC，则DA=DC，所以∠DAC=∠C=30°，然后根据三角形内角和计算∠B的度数．
解：由作法得MN垂直平分AC，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=45°+30°=75°，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠B=180°-75°-30°=75°．
故选A．
【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
13．
【分析】
根据垂直平分线的性质可知BE=CE，所以的周长，由此可得的长.
解：是的垂直平分线


又

故答案为
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，灵活应用此性质进行线段的转化是解题的关键.
14．18cm
【分析】
由于CD垂直平分AB，所以AC=BC，AD=BD，而AC=4cm，AD=5cm，由此即可求出四边形ADBC的周长．
解：∵CD垂直平分AB， AC=4cm，AD=5cm，
∴AC=BC=4cm，AD=BD=5cm，
∴四边形ADBC的周长为AD+AC+BD+BC=18cm．
故答案为18 cm．
【点拨】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15．
【分析】
根据垂直平分线的性质和三角形内角和的性质进行计算，即可得到答案.
解：因为AB的垂直平分线EF分别交BC、AB于点E、F，所以三角形AEB是等腰三角形，∠EAF=∠EBF，∠EFA=∠EFB；又因为∠AEF=65°，所以∠EAF =180°-∠EFA -∠AEF=25°，；因为∠EAF=∠EBF，所以∠EAF=∠EBF=25°.所以∠CAE=90°-∠EAF- EBF =40°.
【点拨】本题考查垂直平分线的性质和三角形内角和的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质和三角形内角和的性质.
16．AD
【分析】
由，，得到，根据到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可结论.
解：，
而，
，
点在的垂直平分线上.
故答案为.
【点拨】本题考查了线段的垂直平分线的性质：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.
17．AC垂直平分线段BD．
【分析】
根据ASA证△ABC≌△ADC,推出AB=AD,BC=CD, 可得AC和BD的关系.
解：AC垂直平分线段BD,
理由:在△ABC和△ADC中,
,
△ABC≌△ADC
AB=AC,BC=CD
AC垂直平分线段BD.
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定及垂直平分线的性质.
18．     CD     AB
【分析】
根据线段垂直平分线的判定即可解答.
解：∵AC=BC
∴点C在线段AB的垂直平分线上；
∵AD=BD
∴点D在线段AB的垂直平分线上；
∴CD是线段AB的垂直平分线上.
故答案为CD；AB.
【点拨】本题考查线段垂直平分线的性质，熟知与线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题关键.
19．
【分析】
根据线段垂直平分线性质求出AD＝DC，得出△ABD周长＝AB＋BC即可．
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝DC，
∴△ABD的周长为AB＋AD＋BD＝AB＋DC＋BD＝AB＋BC，
∵C△ABD＝16cm，AB＝5cm，
∴BC＝11cm，
故答案为11．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，关键是根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等解答．
20．
【分析】
根据线段垂直平分线的性质和勾股定理即可得到结论．
解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，
∴AD＝BD＝4﹣CD，
∵AC2＝AD2﹣CD2，
∴32＝（4﹣CD）2﹣CD2，
∴CD＝，
故答案为．
【点拨】此题考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用．
21．直角三角形．
【分析】
根据题意，画出图形，用垂直平分线的性质解答．
解：点O落在AB边上，
连接CO，
∵OD是AC的垂直平分线，
∴OC=OA，
同理OC=OB，
∴OA=OB=OC，
∴A、B、C都落在以O为圆心，以AB为直径的圆周上，
∴∠C是直角．
∴这个三角形是直角三角形．

【点拨】本题考查线段垂直平分线的性质，解题关键是准确画出图形，进行推理证明.
22．尺规作图见分析；BP，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；∠BAP，等边对等角.
【分析】
按照线段垂直平分线的作图方法作出AB的垂直平分线，然后按照线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质求解即可.
解：如图，

∵ PQ是AB的垂直平分线
∴ AP=BP，（依据：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）；
∴ ∠ABC=∠BAP，（依据：等边对等角）．
∴ ∠APC=2∠ABC．
【点拨】本题考查了尺规作图，段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.
23．①②
【分析】
①根据线段垂直平分线的性质可得CM=CN，进而解题；
②结合①利用HL证明；
③连接MD，根据MA≠MD≠MB,即可得MB不平分；
④根据勾股定理可得ND=12，结合②可得AC=ND=12，据此解题．
解：①是的垂直平分线上的点

，
故①正确；
②在与中，


故②正确；
③如图，连接MD
为的中点，

不平分，
故③错误；

④





故④错误，
综上所述，正确的是①②
故答案为：①②．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．
24．30
【分析】
由尺规作图得到MN为AB的垂直平分线，然后利用垂直平分线性质和勾股定理得到BC=12，所以S△BCE＝BC×CE＝×12×5＝30，
解：由作图可知，MN垂直平分AB，
∴AE＝BE，
又∵AC＝18，EC＝5，
∴AE＝BE＝13，
又∵∠C＝90°，
∴Rt△BCE中，BC＝
∴S△BCE＝BC×CE＝×12×5＝30，
故答案为30．
【点拨】本题考查直角三角形和尺规作图，能够知道MN是AB的垂直平分线是解题关键
25．见分析
【分析】
先根据线段的垂直平分线的性质和角平分线性质得到有关的角和线段之间的等量关系：∠OBC=∠OCB=30°，OE=BE，OF=FC；再利用三角形的外角等于不相邻的两内角和求出∠OEF=60°，∠OFE=60°．从而判定△OEF是等边三角形即OE=OF=EF，通过线段的等量代换求证即可．
解：在等边三角形ABC中．

∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，OB和OC的垂直平分线交BC于E、F，
∴∠OBC=∠OCB=30°，OE=BE，OF=FC．
∴∠OEF=60°，∠OFE=60°．                                    
∴OE=OF=EF．
∴BE=EF=FC．
【点拨】本题考查线段的垂直平分线的性质等和三角形的外角等于不相邻的两内角和以及等边三角形的性质；进行线段的等量代换是正确解题的关键．
26．（1）详见分析；（2）详见分析；（3）OE=4EF．
【分析】
（1）证明Rt△ODE≌Rt△OCE即可，（2）通过上一问得OD=OC，ED=EC即可证明，（3）根据30°角所对直角边是斜边一半即可得到关系．
解：（1）∵点 E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是 C，D，
∴DE=CE，∠EOD=∠EOC，
在 Rt△ODE 与 Rt△OCE 中，

∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD=OC；
（2）∵Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD=OC，ED=EC，
∴点 O、点 E 在线段 CD 的垂直平分线上，
∴OE 是 CD 的垂直平分线；
（3）OE=4EF．
∵OE 是∠AOB 的平分线，∠AOB=60°，
∴∠AOE=∠BOE=30°，
∵EC⊥OB，ED⊥OA，
∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，
∴∠EDF=30°，
∴DE=2EF，
∴OE=4EF．
【点拨】本题考查了特殊的直角三角形，三角形全等的判定，垂直平分线等知识，综合性强，中等难度．读图能力是解题关键．
27．（1）点就是所求作的点；（2）周长为10.
【分析】
（1）根据题意作AC的垂直平分线即可；根据已知条件先求出AB的长，再由AD=CD即可求出的周长.
解：（1）点就是所求作的点.
（2）∵点到点的距离与点到点的距离相等
又∵等腰的周长为17，底边，
∴等腰的腰，
∴的周长
答：的周长为10.

【点拨】此题主要考查垂直平分线的作图与性质，解题的关键是熟知垂直平分线的性质.
28．见分析.
【分析】
如图，连接EF，FG，分别过点A，B作EF，FG的垂线AN，BM，直线AM，BN交于点P，点P即为被盗汽车的位置．
解：如图，连接EF，FG，分别过点A，B作EF，FG的垂线AN，BM，直线AN，BM交于点P，点P即为被盗汽车的位置．

【点拨】本题考查作图—过一点作垂线，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．