专题1.58 《三角形的初步知识》全章复习与巩固（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）

这是一份专题1.58 《三角形的初步知识》全章复习与巩固（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版），共33页。试卷主要包含了全等三角形的周长相等，全等三角形的对应边上的对应中线等内容，欢迎下载使用。
专题1.58 《三角形的初步知识》全章复习与巩固
（知识讲解）
知识点一：定义与命题
定义：规定某一名称或术语的意义的句子。
命题：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。
命题一般由条件和结论组成，可以改为“如果……”，“那么……”的形式。
正确的命题叫真命题，不正确的命题叫假命题。
基本事实：人们在长期反复实践中证明是正确的，不需要再加证明的命题。
定理：用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题。
注意：基本事实和定理一定是真命题。
知识点二：证明
在一个特定的公理系统中，根据一定的规则或标准，由公理和定理推导出某些命题的过程。
知识点三：三角形定义及分类
定义：由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形
三角形按边分类：
按边分类：三角形

知识点四：三角形的性质
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
三角形三内角和等于180°。
三角形的一个外角等于与它不相邻的的两个内角之和。
知识点五：三角形三条重要线段
顶角的角平分线：三条，交于一点
三角形的中线：三条，交于一点
三角形的高线：三条，交于一点。
知识点六：全等三角形及性质
定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形.
相关概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.
性质：
1、全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。
2、全等三角形的周长相等、面积相等。
3、全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
知识点七：全等三角形证明方法
边边边：三边对应相等的两个三角形全等．（SSS）
边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(SAS)
角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．（ASA）
角角边：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（AAS）
斜边、直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．（HL）
知识点八：全等三角形证明思路

知识点九：角平分线
角平分线的性质：在角平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵ OP平分∠AOB，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，
∴ PM=PN
角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
∵ PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM=PN
∴ OP平分∠AOB

三角形的角平分线的性质：三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等．
【典型例题】
类型一、定义、命题与证明
1．下列命题中，真命题是（       ）
A．相等的角是对顶角 B．不相交的两条直线是平行线
C．等角的余角相等 D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
【答案】C
【分析】利用对顶角、平行线、余角的定义或性质逐项分析即可求解．
解：A选项，对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故此选项是假命题；
B选项，同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故此选项是假命题；
C选项，等角的余角相等，故此选项是真命题；
D选项，两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故此选项是假命题；
故选C．
【点拨】本题考查判断命题的真假，熟练掌握对顶角、平行线、余角的定义或性质是解题的关键．
举一反三：
【变式1】把命题“等角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式，正确的是（       ）
A．如果两个角互余，那么这两个角相等 B．如果两个角相等．那么这两个角互为余角
C．如果两个角相等，那么这两个角的余角也相等 D．如果两个角互余，那么这两个角的余角相等
【答案】C
【分析】根据任何一个命题都可以写成“如果…，那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论，从而得出答案．
解：命题“等角的余角相等”的题设是“两个角相等”，结论是“这两个角的余角相等”．
故命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…”的形式是：如果两个角相等，那么这两个角的余角相等．
故选择：C.
【点拨】此题考查了命题与定理，解答此题的关键是找出原命题的题设和结论，此题比较简单．
【变式2】如图,MP⊥NP,MQ为△MNP的角平分线,MT=MP,连接TQ,则下列结论中不正确的是

A．TQ=PQ B．∠MQT=∠MQP C．∠QTN=90°D．∠NQT=∠MQT
【答案】D
【分析】由SAS易证△MPQ≌△MTQ，则两三角形的对应边、对应角相等，据此作答．
解：∵MQ为∠PMN的平分线，
∴∠PMQ＝∠TMQ，
又∵MT＝MP，MQ＝MQ，
∴△MPQ≌△MTQ（SAS），
∴TQ＝PQ，∠MQT＝∠MQP，∠QTN＝∠P＝90°，
故ABC选项正确．
故选D．
【点拨】此题主要考查角平分线的定义和全等三角形的判定和性质，属于基础题目．
类型二、三角形的分类
2．在△ABC中，若∠A＝30°， ∠B＝60°，则这个三角形为__________三角形；若∠A∶∠B∶∠C＝1∶3∶5，这个三角形为____________三角形．（按角的分类填写）
【答案】     直角     钝角
【分析】
分别求出三角形ABC三个内角的度数即可得到答案．
解：∵在△ABC中，∠A=60°，∠B=30°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形；
∵在三角形ABC中，∠A：∠B：∠C=1：3：5，
∴可设∠A=x，∠B=3x，∠C=5x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴x+3x+5x=180°，
∴x=20°，
∴∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°，
∴这个三角形是钝角三角形，
故答案为：直角；钝角．
【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，熟知三角形内角和定理是解题的关键．
举一反三：
【变式1】已知，点P是射线ON上一动点，点B是射线OA上一动点，点B，P均不与点O重合，当_____时，为直角三角形；如果使得为钝角三角形，则的取值范围是_____.
【答案】     90°或60°     或
【分析】要使为直角三角形，可分∠B=90°和∠BPO=90°两种情况分别求出∠B的度数即可；要使为钝角三角形，可分∠B为钝角和∠BPO为钝角，结合三角形的内角和求出∠B的范围即可.
解：要使为直角三角形，应分两种情况：
（1）当∠B=90°时，如图1，为直角三角形；
（2）当∠BPO=90°时，如图2，为直角三角形，此时∠B=180°－90°－30°=60°；

要使为钝角三角形，应分两种情况：
（1）当∠B为钝角时，，且∠B BD+CD．

【分析】根据三角形三边的关系证明即可．
证明：∵AD+AB>BD
∴AD+AB+CD>BD+CD
又∵AD+CD=AC
∴AC+AB>BD+CD
∵AC=AB
∴2AC>BD+CD
【点拨】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
类型四、三角形三条重要线段
4．如图，AD、BE分别是的高和角平分线，，求的度数．

【答案】62°
【分析】根据AD、BE分别是的高和角平分线，可得∠ADB=∠ADC=90°，，再利用三角形内角和定理即可求解．
解：∵AD、BE分别是的高和角平分线，
∴∠ADB=∠ADC=90°，，
又∵，
∴∠ABC=180°-∠ADB-∠BAD=64°，∠CAD=180°-∠C-∠ADC=60°，
∴，
∴，
∴的度数为62°．
【点拨】本题考查了角平分线的性质及三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的性质及三角形内角和定理是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，BD为△ABC的中线，CE为△BCD的中线．

(1)∠BCE＝16°，∠CBD＝42°，求∠CED的度数；
(2)若△ABC的面积为48，CD＝5，则△ECD中CD边上的高为__________．
【答案】(1) (2)
【分析】
（1）根据，计算求解即可；
（2）设△ECD中CD边上的高为，由BD为△ABC的中线，CE为△BCD的中线，可知，根据，求的值即可．
(1)解：由题意知，，
∴的度数为．
(2)解：设△ECD中CD边上的高为，
∵BD为△ABC的中线，CE为△BCD的中线，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了三角形的外角，中线的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式2】如图1，BD是△ABC的角平分线，作∠BDE = ∠ABD交AB于点E．
(1)求证：ED∥BC；
(2)若AC⊥BD，点M为线段AC延长线上一点（不与点c重合），连接BM，若AB⊥BM，在图2中补全图形并证明：∠DBC = ∠BMA．


【答案】(1)见解析(2)见解析,
【分析】
（1）利用角平分线的定义，进行等量代换，得出内错角相等，从而两直线平行；
（2）由角平分线定义得∠ABD=∠DBC，再由AC⊥BD，得出∠DBM+∠BMA=90°，又AB⊥BM，得出∠ABD+∠DBM=∠ABM=90°，即可由余角性质得出结论．
(1)证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
又∵∠BDE=∠ABD，
∴∠BDE=∠DBC，
∴EDBC；
(2)解：补全图形如图所示，

证明:∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AC⊥BD，
∴∠BDC=90°，
∴∠DBM+∠BMA=90°，
∵AB⊥BM，
∴∠ABM=90°，即∠ABD+∠DBM=∠ABM=90°，
∴∠ABD=∠BMA，
∴∠DBC=∠BMA．
【点拨】本题考查角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理，垂直定义，属基础题目，难度不大．
类型五、三角形内角和与外角和
5．如图，的角平分线、相交于点．
(1)若，，求的度数；
(2)求证：．

【答案】(1) (2)见解析
【分析】
（1）先利用三角形内角和定理得到 ，再结合角平分线的定义可求解的度数，进而可求解的度数；
（2）利用角平分线的定义可求解，再结合角平分线的定义可得进而可证明结论.
(1)解：,，
，
的角平分线 相交于点 ，
,，
，

(2)证明: 的角平分线 相交于点 ，，





即
【点拨】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理：三角形内角和是180°本题的关键是利用三角形内角和把与联系起来．
举一反三：
【变式1】如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，∠B＝50°，∠BAD＝30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F．

(1)求∠AFC的度数；
(2)求∠EDF的度数．
【答案】(1)(2)
【分析】
（1）根据折叠求出，根据三角形外角性质求出即可；
（2）根据三角形内角和定理求出，求出，根据三角形外角性质求出，即可求出答案．
(1)解：∵沿AD折叠得到，
∴．
∵，，
∴ ；
(2)解：∵，，
∴，
．
∵沿AD折叠得到，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质和折叠的性质等知识点，能根据定理求出各个角的度数是解此题的关键．
【变式2】中，三个内角的平分线交于点O，过点O作，交边BC于点D．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，作外角的平分线交CO的延长线于点F．
①求证： BF∥OD；
②若，求的度数；
③若，将绕点O顺时针旋转一定角度后得，所在直线与FC平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度的值．

【答案】(1)90°(2)①见解析；②100°；③15°或195°
【分析】
（1）根据三个内角的平分线交于点O，可得，再由，可得，然后根据三角形外角的性质，即可求解；
（2）①根据BF平分∠ABE，可得，再由∠BOD=90°，可得∠FBE=∠ODB，即可求证；②根据BF平分∠ABE，可得，从而得到，即可求解；③由②得：∠BAC=100°，可得∠ACB=30°，从而得到∠OCD=15°，再由BF∥OD，可得∠COD=50°，从而得到∠BDO=∠COD+∠OCD=65°，∠DOF=130°，然后分两种情况讨论，即可求解．
(1)解：∵三个内角的平分线交于点O，
∴ ，
∵，
∴，
∵，
∴∠BOD=90°；
(2)解：①证明：∵BF平分∠ABE，
∴，
∵∠BOD=90°，
∴∠ODB=90°-∠OBD，
∴∠FBE=∠ODB，
∴BF∥OD；
②∵BF平分∠ABE，
∴，
∴，
∵，
∴∠BAC=100°；
③∵，
∴由②得：∠BAC=100°，
∴∠ACB=30°，
∵OC平分∠ACB，
∴∠OCD=15°，
∵BF∥OD，
∴∠COD=50°，
∴∠BDO=∠COD+∠OCD=65°，∠DOF=130°，
∵将绕点O顺时针旋转一定角度后得，
∴，
如图，

∵B′D′∥FC，
∴，
∴，
即此时旋转角度；
如图，

∵B′D′∥FC，
∴，
∴；
综上所述，所有符合条件的旋转角度的值为15°或195°．
【点拨】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，旋转变换等知识，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
类型六、全等三角形的性质
6．如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．
(1)求证：BC＝DE＋CE；
(2)当△ABC满足什么条件时，？

【答案】(1)见解析(2)当∠ACB为直角时，
【分析】
(1)根据全等三角形的性质得出AE=BC，AC=DE，据此即可证得；
(2)根据平行线的性质得出∠BCE=∠E，根据全等三角形的性质得出∠ACB=∠E，求出∠ACB=∠BCE，再求出答案即可．
(1)证明：∵△ABC≌△DAE，
∴AE＝BC，AC＝DE，
又∵AE＝AC+CE，
∴BC＝DE+CE；
(2)解：∵，
∴∠BCE＝∠E，
又∵△ABC≌△DAE，
∴∠ACB＝∠E，
∴∠ACB＝∠BCE，
又∵∠ACB+∠BCE＝180°，
∴∠ACB＝90°，
即当△ABC满足∠ACB为直角时，．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
举一反三：
【变式1】如图，中，，，于，平分，交于点．在外有一点，，．
(1)求证：；
(2)在上取一点，使，连接．求证：．

【答案】(1)见解析 (2)见解析
【分析】
（1）由等腰直角三角形的性质得到，再由等角的余角相等解得，据此证明；
（2）过点作于，由三线合一的性质得到，证明为等腰直角三角形，得到，继而证明，最后根据等边对等角证明，据此解答．
(1)证明：∵，             
∴
又∵       
∴       
∴
又∵       
∴
即：       
∴
在与中，
∵     
∴；
(2)过点作于

∵平分，       
∴
又∵       
∴为等腰直角三角形       
∴
又∵       
∴       
∴垂直平分       
∴
∴       
∴       
∴
【点拨】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、三线合一的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
【变式2】如图，在中，，，，点从点出发，沿线段以3cm/s的速度连续做往返运动，同时点从点出发沿线段以2cm/s的速度向终点运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，与交于点，设点的运动时间为（秒）．
(1) 分别写出当和时线段的长度（用含的代数式表示）．
(2) 当时，求的值．
(3) 若，求所有满足条件的值．

【答案】(1)时，，时，(2)(3)
【分析】
(1)根据点F从点B出发的速度和图形解答即可；
(2)根据题意列出方程，解方程即可；
(3)分两种情况讨论，根据全等三角形的性质列式计算即可．
(1)解：当时，，，
当时，，．
(2)解：由题意知：，
当时，，，(舍去)．
当时，，，．
(3)解：当时，，
当时，，
当时，，，．
当时，，，(舍去）．
∴当时，．
【点拨】本题考查的是列代数式和全等三角形的性质的应用，根据题意求出代数式、掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
类型七、全等三角形的证明
7．已知：AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE相交于点F，
(1) 如图1，求证：BE＝CD．
(2) 如图2，连接AF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的全等三角形.


【答案】(1)证明见解析
(2)△ABD≌△ACE，△BEF≌△DCF，△AEF≌△ADF，△ABF≌△ACF
【分析】
（1）证明△ABD≌△ACE（AAS），即可作答；
（2）结合（1）的结论，先证明△BEF≌△DCF（ASA），即可得到△AEF≌△ADF（SAS），△ABF≌△ACF（SSS），即可求解．
(1)证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°=∠BEF＝∠CDF=90°，
在△ABD与△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴AE＝AD，
∵AC＝AB，
∴AC﹣AD＝AB﹣AE，
即BE＝DC；
(2)由（1）可知△ABD≌△ACE，BE＝DC，
∴∠B＝∠C，AE＝AD，
又∵∠BEF＝∠CDF=90°，BE＝DC，
∴△BEF≌△DCF（ASA），
∴BF＝CF，EF＝DF，
又∵AE=AD，∠AEF＝∠ADF=90°，AB=AC，
∴△AEF≌△ADF（SAS），△ABF≌△ACF（SSS）．
则总的全等三角形有：△ABD≌△ACE，△BEF≌△DCF，△AEF≌△ADF，△ABF≌△ACF．
【点拨】本题考查了全等三角形的知识，掌握AAS、ASA、SSS、SAS等证明全等三角形的方法是解答本题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，已知．
(1)与全等吗？请说明理由：
(2)请说明．

【答案】(1)△ABM≌△AND，理由见解析(2)见解析
【分析】
（1）由SSS可证明：△ABM≌△ADN；
（2）由全等三角形的性质得出∠B=∠D，∠BAM=∠DAN，证明△BAC≌△DAE（ASA），由全等三角形的性质得出AC=AE．
(1)解：△ABM≌△ADN．
理由如下：
在△ABM和△ADN中，
，
∴△ABM≌△ADN（SSS）；
(2)证明：∵△ABM≌△ADN，
∴∠B=∠D，∠BAM=∠DAN，
∴∠BAM+∠EAC=∠DAN+∠EAC，
即∠BAC=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（ASA），
∴AC=AE．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
【变式2】如图，在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在中，D是BC边上一点，DE，DF分别是和高，EF交AD于O，若______，
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．

【答案】(1)证明过程见解析 (2)16
【分析】
（1）若①，利用证明；若②，利用证明；若③，利用证明；
（2）根据，可得，根据即可求解．
(1)证明：若①
∵DE，DF分别是 ​和 ​高
∴
在和中
∵
∴
若②
∵DE，DF分别是 ​和 ​高
∴
在和中
∵
∴
若③
∵DE，DF分别是 ​和 ​高
∴
在和中
∵
∴
(2)解：∵
∴

∵
∴
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识点，掌握全等三角形的判定方法和性质是解答本题的关键．
类型八、角平分线和垂直平分线的性质与判定
8．在Rt△ABC中，，AE是斜边BC上的高，角平分线BD交AE于点G，交AC于点D，于点F．
(1) 求证：；
(2) 试判断AD与AG有怎样的数量关系？请说明理由．

【答案】(1)证明过程见详解(2)相等，理由见详解
【分析】
（1）根据BD平分∠ABC，得到∠ABD=∠DBF，再根据DF⊥BC，得到∠DFB=∠BAD=90°，即可得到，即可证得AB=BF；
（2）先证明，即可得到∠BGE=∠BDF，再根据∠BGE=∠AGD，∠ADB=∠BDF，得到∠AGD=∠ADB，即有AG=AD．
解：(1)∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBF，
∵DF⊥BC，
∴∠DFB=∠BAD=90°，
又∵BD=BD，
∴，
∴∠ADB=∠BDF，AB=BF；
(2)AD=AG，理由如下：
∵AE是斜边BC上的高，
∴AE⊥BC，
又∵DF⊥BC，
∴，
∴∠BGE=∠BDF，
又∵∠BGE=∠AGD，∠ADB=∠BDF，
∴∠AGD=∠ADB，
∴AG=AD．
【点拨】本题主要考查了角平分线性质、全等三角形的判定和性质、平行的判定和性质、等角对等边等知识，得到是解答本题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点．
（1）求证：点到三边、、所在直线的距离相等；
（2）连接，若，求的度数．

【答案】（1）证明见解析；（2）∠DAC=50°．
【分析】
证明：过点作分别垂直于边、、所在的直线；   根据角平分线的性质得到， 从而得到，点到三边、、所在直线的距离相等；
根据外角的性质得到，从而得到，求出，由（1）可得根据角平分线的性质，得到．
证明：过点作分别垂直于边、、所在的直线，
平分，

平分

，
即点到三边、、所在直线的距离相等，
解：是的外角，

是的外角
，

，

由（1）可得
平分，
．

【点拨】本题考查了角平分线的定义及性质，以及外角的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．
【变式2】如图．在△ABC中，∠C=90 °，∠A=30°．
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，连接EB．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：EB平分∠ABC．
（3）求证：AE=EF．

【分析】
（1）先作线段AB的垂直平分线DE，再延长BC即可；
（2）先利用直角三角形的性质求∠ABC= 60，再垂直平分线的性质得到∠ABE=∠A=30，再求出∠EBC=∠ABC-∠ABE=30，即可得到∠EBC=∠ABE，得到答案；
（3）证明：先利用直角三角形的性质求∠DEB=90-∠ABE =60再利用三角形外角的性质求∠EFB=∠DEB-∠EBC=60-30=30，进而得∠EFB=∠EBC，证得BE=EF，又因为AE= BE，利用等量代换即可求得答案．
解：（1）如图，即为所求；

（2）证明：∵DE是AB的垂直平分线
∴DE⊥AB
∴AE=BE
∵∠A=30，∠ACB=90
∴∠ABE=∠A=30，∠ABC=90-∠A=60
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60-30=30
∴∠EBC=∠ABE
∴EB平分∠ABC．
（3）证明：∵DE是AB的垂直平分线
∴DE⊥AB
∴∠DEB=90-∠ABE =60
∴∠EFB=∠DEB-∠EBC=60-30=30
∴∠EFB=∠EBC
∴BE=EF
又∵AE= BE
∴AE=EF
【点拨】本题考查了尺规作图和垂直平分线性质得应用，解决此题的关键利用尺规作图，画出图形．
类型九、全等三角形性质与证明综合
9．如图①，点C在线段AB上（点C不与A，B重合），分别以AC，BC为边在AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE，BD交于点P．

(1)观察猜想：
1.AE与BD的数量关系为______；
2.∠APD的度数为______；
(2)数学思考：
如图②，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
【答案】(1)①AE＝BD；②60°(2)上述结论成立．∠APD＝60°，证明见解析
【分析】
（1）根据已知条件只要证明△DCB≌△ACE，即可证明出AE于BD的数量关系，以及∠APD的角度；
（2）根据△ACD，△BCE均为等边三角形，可知＝AC，BC＝EC，∠DCA＝∠BCE＝60°，进而可知∠DCA＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即∠DCB＝∠ACE，从而可证△DCB≌△ACE（SAS），则DB＝AE， ∠CDB＝∠CAE，根据∠DCA＝∠DPA＝60°可证∠APD＝60°．
(1)解：∵△ACD和△CBE都是等边三角形，
∴AC=DC，CE=CB，∠ACD=∠ECB=60°，
∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠DCB=∠DCE＋∠ECB，
∴∠DCB=∠ACE，
∴△DCB≌△ACE，
∴AE=BD，∠BDC=∠CAE，
又∵∠DOP=∠COA，
∴∠APD=∠ACD=60°，
故答案是：AE=BD，60°；

(2)上述结论成立，
∵△ACD，△BCE均为等边三角形，
∴DC＝AC，BC＝EC，∠DCA＝∠BCE＝60°，
∴∠DCA＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即∠DCB＝∠ACE，
在△DCB和△ACE中，，
∴△DCB≌△ACE（SAS），
∴DB＝AE，
∠CDB＝∠CAE，
如图，设BD与AC交于点O，易知∠DOC＝∠AOP（对顶角相等），
∴∠CDB＋∠DCA＝∠CAE＋∠DPA，
∴∠DCA＝∠DPA＝60°，即∠APD＝60°．

【点拨】本题考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，能够熟练掌握全等三角形的性质与判定是解决本题的关键．
举一反三：
【变式1】已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，4），点C在第四象限，AC⊥AB，AC＝AB．

（1）求点C的坐标及∠COA的度数；
（2）若直线BC与x轴的交点为M，点P在经过点C与x轴平行的直线上，求出S△POM+S△BOM的值．
【答案】（1）C（2，﹣2），∠COA＝135°；（2）S△POM+S△BOM＝4．
【分析】
（1）作CD⊥x轴于点D，根据条件证明△AOB≌△CDA就可以得出AO=CD，连接OC根据OD=OC就可以求出∠COD=45°，从而得出结论；
（2）根据等底等高的两三角形的面积相等就可以得出S△POM+S△BOM=S△COM+S△BOM=S△BOC．从而得出结论．
解：（1）作CD⊥x轴于点D，
∴∠CDA＝90°．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOB＝∠CDA．
∴∠DAC+∠DCA＝90°．
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ACD．
在△AOB和△CDA中
，
∴△AOB≌△CDA（AAS），
∴AO＝CD，OB＝DA．
∵A（﹣2，0），B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，
∴CD＝2，DA＝4，
∴OD＝2，
∴OD＝CD．
∵点C在第四象限，
∴C（2，﹣2）．
∵∠CDO＝90°，
∴∠COD＝45°．
∴∠COA＝180°﹣45°＝135°．
（2）∵PC∥x轴，
∴点P、C到x轴的距离相等，
∴S△POM＝S△COM．
∴S△POM+S△BOM＝S△COM+S△BOM＝S△BOC．
∴S△POM+S△BOM＝S△BOC＝＝4．

【点拨】本题考查了坐标与图形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是关键．
【变式2】如图，在等边三角形中，是边上的动点，以为一边向上作等边三角形，连接．

（1）求证：≌；
（2）求证：；
（3）当点运动到的中点时，与有什么位置关系？并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），见解析．
【分析】
（1）根据和是等边三角形，得到边角关系，即，，，根据等式性质得到，最后利用证明全等即可；
（2）根据≌，可知对应角，又因为，等量代换可知，进而得到；
（3），由是等边三角形，点为的中点，根据三线合一可知，再根据≌，进而得到，最后可求得的度数．
解：（1）和是等边三角形；
，，，
，
即，
在与中
，
≌；
（2）≌，
；
，
，
；
（3），理由如下：
是等边三角形，点为的中点，
，，，
，
，
≌，
，
，
．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，等式的性质以及平行线的判定等知识点，准确的运用这些性质是解题的关键．