专题1.60 《三角形的初步知识》全章复习与巩固（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）

这是一份专题1.60 《三角形的初步知识》全章复习与巩固（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题1.60 《三角形的初步知识》全章复习与巩固
（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式a2-2ab+b2-c2的值（          ）
A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．不能确定
2．对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　）
A．a=3，b=2 B．a=－3，b=2 C．a=3，b=－1 D．a=－1，b=3
3．如果一个三角形的三个外角之比为2：3：4，则与之对应的三个内角度数之比为(          )
A．4：3：2 B．3：2：4 C．5：3：1 D．3：1：5
4．三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数是（       ）

A． B． C． D．
5．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（　　）

A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙
6．如图，在△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC、AB于点M、N；②分别以点M和点N为圆心、大于MN的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（       ）

A．15 B．30 C．45 D．60
7．如图，正方形ABCD中，直线l经过点A，分别过点D、B作l的垂线，垂足分别是点E、F，连接DF，若AF=2，则△DAF的面积是(     )

A．2 B． C．3 D．4
8．如图，在ABC中，，，，延长AB至点D，使得，连接CD，ACD的中线AE与BC交于点F，连接DF，过点B作交AC于点G，连接DG，FG．则下列说法正确的个数为（       ）
①；②；③；④S四边形AGFB．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在中，，，点在边上，，点、在线段上，，若的面积为21，则与的面积之和是（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
10．如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边作等边△ABE和等边△ADF，分别连接CE，CF和EF，则下列结论，一定成立的个数是（　　）
①△CDF≌△EBC；
②△CEF是等边三角形；
③∠CDF＝∠EAF；
④CE∥DF

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足，则第三边c的取值范围是_____________．
12．如图，，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合），AC是的平分线，AC的反向延长线交的平分线于点D，则______．

13．如图，在中，是边上的一点，，是边的中点．设，，的面积分别为，，，且，则______．

14．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，∠EDF＝45°，当AE＝a，CF＝b时，EF＝_______（用含a、b的式子表示）．

15．如图，和的边和在同一条直线上，顶点，在两侧，其中，．要使，则需要添加的一个条件是______（只写一种即可）

16．如图，在纸片中，，，且，P为BC上一点，将纸片沿AP剪开，并将、分别沿AB、AC向外翻折至、，连接DE，则面积的最小值为______．

17．如图，已知四边形ABCD中，，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以的速度沿运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为_________时，能够使与全等．

18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，在直线MN上存在一点P，使P、B、C三点构成的△PBC的周长最小，则△PBC的周长最小值为______ ．

三、解答题
19．（1）证明：“三角形内角和是180°”；       
（2）请写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，判断这一逆命题是真命题还是假命题，如果是真命题给出证明，如果是假命题，说明理由．




20．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，CD⊥AC交AB于点D，∠BCD＝∠A，求∠BEA的度数．





21．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，，垂足分别为E、F．

(1)试说明：BE＝BF；
(2)若△ABC的面积为75，AB＝15，DE＝6,则BC等于多少?




22．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：
（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF=2CD．





23．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F,若BD=CD、BE=CF，
(1)求证：AD平分∠BAC；(2)已知AC=20， BE=4，求AB的长.








24．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．
（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；
（2）如图2，若∠AOB=120°，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．






25．如图，在中，，，D是AB边上一点点D与A，B不重合，连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE．
求证：≌；
当时，求的度数．





26．【问题情境】

利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分．点A为OM上一点，过点A作，垂足为C，延长AC交ON于点B，可根据ASA证明，则，（即点C为AB的中点）．
【问题探究】
如图2，中，，，CD平分，，垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论：
【拓展延伸】
如图3，中，，，点D在线段BC上，且，于E，DE交AB于F，试探究BE和DF之间的数量关系，并证明你的结论．




















参考答案
1．C
解：a2-2ab+b2-c2=（a-b）2-c2=（a+c-b）[a-（b+c）]．
∵a，b，c是三角形的三边．
∴a+c-b＞0，a-（b+c）＜0．
∴a2-2ab+b2-c2＜0．
故选：C．
2．B
解：在A中，a2=9，b2=4，且3＞2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题；
在B中，a2=9，b2=4，且－3＜2，此时虽然满足a2＞b2，但a＞b不成立，故B选项中a、b的值可以说明命题为假命题；
在C中，a2=9，b2=1，且3＞－1，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题；
在D中，a2=1，b2=9，且－1＜3，此时满足a2＜b2，得出a＜b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”成立，故D选项中a、b的值不能说明命题为假命题；
故选B．
考点：命题与定理．
3．C
【分析】
根据三角形外角和为，三角形内角和为，即可求解．
解：设三个外角分别为2x,3x,4x,三角形外角和为360°，
所以2x＋3x＋4x＝360°，
所以x＝40°，
所以三个外角是80°，120°，160°，
所以对应内角比为5：3：1，
故选C．
【点拨】本题考查了三角形外角和和内角和的相关知识，掌握该知识点是解答本题的关键．
4．D
【分析】
根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理和三角形的外角可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360〬,∠5+∠7+∠8=180°，即∠1+∠2+∠3=360°-180°.
解：∵图中是三个全等三角形，
∴∠4=∠8, ∠6=∠7,
又∵三角形ABC的外角和=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360〬,
又∠5+∠7+∠8=180°，
∴∠1+∠2+∠3=360°-180°=180°.

故选D
【点拨】本题考核知识点：全等三角形性质，三角形的角. 解题关键点：熟记全等三角形的性质.
5．B
【分析】
根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．
解：乙和△ABC全等；理由如下：
在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，
所以乙和△ABC全等；
在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，
所以丙和△ABC全等；
不能判定甲与△ABC全等；
故选B．
【点拨】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．B
【分析】
作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．
解：作于，

由基本作图可知，平分
平分，，，
，
的面积，
故选：B．
【点拨】本题考查基本作图、角平分线的性质定理、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
7．A
【分析】
根据题意可证即可求出，即可求出．
解：四边形为正方形，过点D、B作l的垂线，
，，
，，
，
在和中,
，
，
，

故选：A．
【点拨】本题主要考查三角形全等的判定与性质，正方形的性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．
8．D
【分析】
根据等腰三角形的性质以及等角的余角对①做出判断；利用ASA得出△BCD≌△BAF，从而对②③做出判断；再根据同底等高的三角形的面积相等对④做出判断．
解：∵AD＝AC，AE是△ACD的中线，
∴AE⊥CD，∠DAE＝∠CAE，
∴∠CEA＝90°，AE垂直平分CD，
∴∠BCD+∠CFE＝90°，CF＝DF，
∵∠CBA＝90°，
∴∠DAE+∠BFA＝90°，
∵∠CFE＝∠BFA，
∴∠BCD＝∠DAE，
∴∠BCD＝∠CAE，
故①正确；
∵∠CBA＝90°，BA＝BC，
∴∠CAB＝∠BCA＝45°，∠FBA＝∠DBC＝90°，
∵∠BCD＝∠DAE，
∴△BCD≌△BAF（ASA），
∴BD＝BF，CD＝FA，
∵AE是△ACD的中线，
∴CD＝FA＝2DE，
故②正确；
∵CB＝BF+CF，CF＝DF，BF＝BD，
∴AB＝CB=BD+DF，
故③正确；
∵BG∥DF，
∴△BGF与△BGD同底等高，
∴S△GBF＝S△GBD，
∴S△AGD＝S四边形AGFB，
故④正确，
故选：D．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
9．B
【分析】
结合题意，根据全等三角形的性质，通过证明，得与的面积之和，通过计算即可完成求解．
解：∵，，
∴
∵
∴
∵
∴
在和中

∴
∴
∴与的面积之和
∵，若的面积为21
∴
故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，从而完成求解．
10．C
【分析】
利用“边角边”证明△CDF和△EBC全等，判定①正确；同理求出△CDF和△EAF全等，根据全等三角形对应边相等可得，判定△ECF是等边三角形，判定②正确；利用“8字型”判定③正确；若，则C、F、A三点共线，故④错误；即可得出答案．
解：在中，，，，
∵都是等边三角形，
∴，，，
∴，，
∴，
，
∴，
在和中，，
∴，故①正确；
在中，设AE交CD于O，AE交DF于K，如图：

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正确；
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，故②正确；
则，
若时，
则，
∵，
∴，
则C、F、A三点共线
已知中没有给出C、F、A三点共线，故④错误；
综上所述，正确的结论有①②③．
故选：C．
【点拨】本题主要考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是能通过题目所给的条件以及选用合适的判定三角形全等的方法证明．
11．1＜c＜5．
解：由题意得，，，
解得a=3，b=2，
∵3﹣2=1，3+2=5，
∴1＜c＜5．
故答案为1＜c＜5．
【点拨】考点：1．三角形三边关系；2．非负数的性质：偶次方；3．非负数的性质：算术平方根．
12．29
【分析】
根据，用角平分线和三角形内角和进行等量代换即可；
解：∵AC是的平分线，AC的反向延长线交的平分线于点D
∴
∵，
∴．
故答案为：29
【点拨】本题考查三角形外角，角平分线的定义．熟练掌握利用三角形外角的性质是解决本题的关键．
13．6
【分析】
利用三角形面积公式，等高的三角形面积比等于底边的比，则然后利用即可得到答案．
解：∵
∴
∵点是的中点，
∴
∴
即
∴
故答案为6．
【点拨】本题考查了三角形面积：三角形面积等于底边长与高线乘积的一半，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
14．a＋b##b＋a
【分析】
延长FC到M，使CM＝AE，连接DM，通过SAS可证明△ADE≌△CDM，得DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，再通过SAS证明△DEF≌△DMF，从而有EF＝MF＝a＋b．
解：延长FC到M，使CM＝AE，连接DM，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠DCM＝90°，
在△ADE和△CDM中，，
∴△ADE≌△CDM（SAS），
∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，
∵∠EDF＝45°，
∴∠ADE＋∠FDC＝45°，
∴∠CDM＋∠FDC＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF与△DMF中，，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF＝a＋b，
故答案为：a＋b．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
15．（答案不唯一）
【分析】
根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一．
解：∵，
∴，
又∵，
∴添加条件，根据可以使得．
故答案为：（答案不唯一）．
【点拨】此题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．
16．
【分析】
由将、分别沿AB、AC向外翻折至、可得：AP=AD=AE,由易得∠DAE=90°，面积=AD×AE=，当x取最小值时面积的最小即可求解．
解：∵、分别沿AB、AC向外翻折至、
∴，
∴AP=AD=AE,∠BAD=∠BAP，∠CAP=∠CAE，
∵
所以∠DAE=∠DAP +∠PAE =2（∠BAP +∠PAC）=2∠BAC =90°，
面积=AD×AE=，当AP取最小值时的面积最小，
在中，当AP为BC边的高，即AP垂直BC时，AP最小，
此时，，
，解得：AP=，
面积的最小值为：．
【点拨】本题考查了三角形的折叠问题、全等三角形的性质和三角形的最小面积，解题的关键是弄清楚什么时候三角形的面积最小．
17．3或
【分析】
根据①当时，；②当时，两种情况进行讨论，从而可求点Q的运动速度；
解：设运动时间为ts；
①当时，，Q的运动速度等于P点运动速度；
②当时，，则，
∴点Q的运动速度：；
故答案为：3或．
【点拨】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
18．18cm
【分析】
根据轴对称的性质，即可判定P就是N点，所以△PBC的周长最小值就是△NBC的周长．
解：∵A、B关于直线MN对称，
∴连接AC与MN的交点即为所求的P点，此时P和N重合， 
即△BNC的周长就是△PBC的周长最小值， 
∴△PBC的周长最小值为BC+AC=8+10=18cm．
故答案为：18cm．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，轴对称-最短距离，根据轴对称的性质求出P点的位置是解答本题的关键．
19．(1)详见分析;(2)详见分析
【分析】
（1）根据平行线的性质、平角的定义证明；
（2）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理证明
（1）证明：已知：△ABC，   求证：∠BAC+∠B+∠C=180°，
过点A作EF∥BC，
∵EF∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°．
即知三角形内角和等于180°

（2）解：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是一个三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，是真命题．   已知，如图，△ABC中，D是AB边的中点，且CD= AB
求证：△ABC是直角三角形，
证明：∵D是AB边的中点，且CD= AB，
∴AD=BD=CD，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠A，
∵BD=CD，
∴∠BCD=∠B，
又∵∠ACD+∠BCD+∠A+∠B=180°，
∴2（∠ACD+∠BCD）=180°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．

【点拨】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行线的性质、平角的定义等腰三角形的性质、三角形内角和定理证明.
20．∠BEA的度数是135°．
【分析】
设∠A＝x，则∠BCD＝x，在Rt△ACD中∠ADC＝90°-x，∠ADC是△BCD的一个外角，故可将∠CBD的度数表示出来，再根据BE平分∠ABC，得出∠CBE的度数，在△BCE中，∠BEA是△BCE的一个外角，求出∠BEA的度数即可．
解：设∠A＝x，则∠BCD＝x，
∵CD⊥AC，
∴∠ADC＝90°-x，又BE平分∠ABC，
∴∠CBE （∠ADC-∠BCD）＝，
∴∠BEA＝∠ECB +∠CBE＝90°+x+45°-x＝135°．
答：∠BEA的度数是135°．
【点拨】本题主要考查了三角形的内角和，三角形的外角以及角平分线的性质．三角形的内角和是180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．熟练地掌握三角形内角和与外角的相关内容是解题的关键．
21．(1)证明见分析(2)10
【分析】
（1）根据AAS证明△BDE≌△BDF即可解决问题．
（2）利用，构建方程即可解决问题．
(1)证明：∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴∠DBE＝∠DBF，∠BED＝∠BFD＝90°，
在△BDE和△BDF中，
，
∴△BDE≌△BDF（AAS），
∴BE＝BF．
(2)∵△BDE≌△BDF，
∴DE＝DF，
又DE＝6，
∴DE＝DF＝6，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD，
∴75＝×15×6+，
∴BC＝10．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是得到，属于中考常考题型．
22．（1）证明见分析；（2）证明见分析.
【分析】
（1）先证∠EAF＝∠ECB，再结合∠AEF＝∠CEB＝90°且AE＝CE利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB；
（2）由全等三角形的性质得AF＝BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC＝2CD，等量代换得出结论．
证明：（1）∵CE⊥AB，
∴∠AEF＝∠CEB＝90°．
∴∠AFE+∠EAF＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CFD+∠ECB＝90°，
又∵∠AFE＝∠CFD，
∴∠EAF＝∠ECB．
在△AEF和△CEB中，
∵，
∴△AEF≌△CEB（ASA）；
（2）∵△AEF≌△CEB，
∴AF＝BC，
∵AB＝AC，AD⊥BC
∴CD＝BD，BC＝2CD．
∴AF＝2CD．
【点拨】本题主要考查了全等三角形性质与判定，等腰三角形的性质，运用等腰三角形的性质是解答此题的关键．
23．（1）详见分析；（2）12
【分析】
如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F,若BD=CD、BE=CF，
(1)求证：AD平分∠BAC；(2)已知AC=20， BE=4，求AB的长.
（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°，
∴在Rt△BED和Rt△CFD中

∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE=DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵Rt△BED≌Rt△CFD，
∴AE=AF，CF=BE=4，
∵AC=20，
∴AE=AF=20﹣4=16，
∴AB=AE﹣BE=16﹣4=12．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
24．（1）CF=CG；（2）CF=CG，见分析
【分析】
（1）结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．
（2）结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．
解：（1）结论：CF=CG；
证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，
∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；
（2）CF=CG．理由如下：如图，

过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，
∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120°，
∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴∠AOC=∠BOC=60°（角平分线的性质），
∵∠DCE=∠AOC，
∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60°，
∴∠MCO=90°-60° =30°，∠NCO=90°-60° =30°，
∴∠MCN=30°+30°=60°，
∴∠MCN=∠DCE，
∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，
∴∠MCF=∠NCG，
在△MCF和△NCG中，

∴△MCF≌△NCG（ASA），
∴CF=CG（全等三角形对应边相等）．
【点拨】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等．
25．（1）证明见分析；（2）．
【分析】
（1）由题意可知：，，由于，从而可得，根据SAS即可证明≌；
（2）由≌可知：，，从而可求出的度数．
解：（1）由题意可知：，，
，
，
，
，
在与中，
，
≌；
（2），，
，
由（1）可知：，
，
，
．
【点拨】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质．
26．【问题探究】，证明见分析；【拓展延伸】．证明见分析
【问题探究】
延长BE交CA延长线于F，证明，推出，再证明，可得结论；
【拓展延伸】
过点D作，交BE的延长线于点G，与AE相交于H，证明，推出，再证明得到来求解．
解：问题探究：解：，理由如下：
延长BE交CA延长线于F，
∵CD平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；

拓展延伸：解：．
证明：过点D作，交BE的延长线于点G，与AE相交于H，
∵，
∴，，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∴.

【点拨】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．