初中数学北师大版八年级上册第一章 勾股定理1 探索勾股定理测试题

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1.1 探索勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b，c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.培优第一阶——基础过关练1．已知一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则第三边长的平方是（　　　）A．36 B．64 C．100 D．100或28【答案】C【解析】解：直角三角形的两条直角边长分别为6和8，由勾股定理得，第三边平方为62+82＝100，故选：C．2．一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（       ）A．10 B．13 C．7 D．14【答案】A【解析】解：由题意得，直角三角形的斜边为：故选：A．3．如图，为了求出分别位于池塘两岸的点A与点B的距离，小亮在点C处立一标杆，使是直角，测得AC的长为85m，BC的长为75m，则点A与点B的距离是（       ） A．20m B．40m C．30m D．50m【答案】B【解析】根据勾股定理得，AB==40(m)，故选B．4．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（       ）A．4 cm B．4.75 cm C．6 cm D．5cm【答案】D【解析】解：∵AC＝6 cm、BC＝8 cm，在△ABC中，由勾股定理可知：=10，∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，故E为AB的中点，∴AE=BE=5，故选：D．5．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（       ）m的路，却踩伤了花草．A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】根据题意，得：长方形花圃的四个角为 ∴花圃内的一条“路”长 ∴仅仅少走了 故选：B．6．在中，斜边，则等于（       ）A．5 B．25 C．50 D．100【答案】B【解析】解：∵中，斜边，∴．故选：B．7．如图，中，，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为、、，已知，，（       ）．A．90 B．100 C．110 D．120【答案】B【解析】解：∵中，，∴,∵=，=，=，∴+=，∵，，∴36+64=100．故选：B．8．在中，，（1）如果a=3，b=4，则c=____；（2）如果a=6，b=8，则c=____；（3）如果a=5，b=12，则c=____；（4）如果a=15，b=20，则c=____【答案】     5     10     13     25【解析】根据勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方，即可得到结果．（1），；（2），；（3），；（4），．9．如图，在2×2的网格中，线段AB的端点均在网格线的交点上，若每个小正方形的边长均为1，则线段AB的长为_________________．【答案】【解析】根据题意，利用勾股定理有，故答案为：．10．直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，则它的面积为______【答案】30【解析】解：∵直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，∴另一直角边= =5(cm)，∴面积=×5×12=30 (cm2)．故答案为：30．11．小颖从学校出发向南走了150m，接着向东走了80m到达书店，则学校与书店的距离是__m．【答案】170【解析】解：∵正南方向和正东方向成90°，学校与书店距离构成直角三角形的斜边，∴根据勾股定理得学校与书店之间的距离为＝170m．故答案为：170．12．如图，用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形ABCD和一个小正方形EFGH，这就是著名的“赵爽弦图”．在2002年北京召开的国际数学家大会就用这个弦图作为会 标．若AB＝10，AF＝8，则小正方形EFGH的面积为__________【答案】4【解析】解：Rt△ABF中，AB=10，AF=8，由勾股定理得：BF==6，∴FG=8-6=2，∴小正方形EFGH的面积=22=4，故答案为：4．13．设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c．（1）已知，求b；（2）已知，求c；（3）已知，求a．【答案】（1）8；（2）13；（3）20【解析】解：（1）直角三角形的两条直角边长分别为和，斜边长为，，，；（2）直角三角形的两条直角边长分别为和，斜边长为，，，；（3）直角三角形的两条直角边长分别为和，斜边长为，，，．14．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=a，AD是△ABC的高，求AD的长．【答案】AD的长为a．【解析】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=a，∴BC=，∵AD是△ABC的高，∴S△ABC=×AB×AC=×BC×AD，即×a×a=×a×AD，解得AD=a．故AD的长为a．15．1876年，美国总统伽菲尔德（James Abram Garfield）利用如图验证了勾股定理，你能利用它验证勾股定理吗？请写出证明过程．【答案】能，见解析【解析】解：能，理由如下：∵直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，∴ (a+b)(a+b)＝2×ab+c2，∴（a+b）（a+b）=2ab+c2，∴a2+2ab+b2=2ab+c2，∴a2+b2=c2． 16．如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．【答案】【解析】解：设秋千的绳索长为，则，，在中，，即，解得，答：绳索的长度是． 培优第二阶——拓展培优练17．如图，该图形是由直角三角形和正方形构成，其中最大正方形的边长为7，则正方形A、B、C、D的面积之和为__________．【答案】49【解析】如图对所给图形进行标注：因为所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，所以正方形A的面积，正方形B的面积，正方形C的面积，正方形D的面积．因为，，所以正方形A，B，C，D的面积和．故答案为：49．18．根据勾股定理知识迁移，完成下列应用．(1)如图1，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积，，之间满足的等量关系是________；(2)应用：如图2，直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，分别以三边为直径作半圆，若，，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)S1+S2＝S3；(2)阴影部分的面积为6.【解析】(1)如图，设直角三角形的三边长分别为，则故答案为：(2)设直角三角形为S4，直角三角形三边为直径的半圆的面积，，∵直角边a=3，斜边c=5∴，则∴阴影部分的面积S=S1+S2+S4-S3=S4=6【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．19．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，，求该飞镖状图案的面积．(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，若，求．【答案】(1)见解析;(2)24;(3)【解析】(1)法一：，另一方面，，即，则．法二：另一方面，∴整理得：(2)，设，依题意有解得．故该飞镖状图案的面积是24．(3)将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形一个的面积设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，且，∴，∴，∴，∴． 培优第三阶——中考沙场点兵20．（2021·山东滨州·中考真题） 在中，若，，，则点C到直线AB的距离为（       ）A．3 B．4 C．5 D．2.4【答案】D【解析】解：作CD⊥AB于点D，如右图所示，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，∵，∴，解得CD=2.4，故选：D．21．（2021·四川凉山·中考真题） 如图，中，，将沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（       ）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB==10，∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，∴AE=BE，AD=BD=AB=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中∵BE2=BC2+CE2，∴x2=62+（8-x）2，解得x=，∴CE==，故选：D．22．（2021·四川成都·中考真题）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为_________．【答案】100．【解析】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方=36，一条直角边的平方=64，则斜边的平方=36+64．故答案为：100．23．（2021·湖南常德·中考真题） 如图．在中，，平分，于E，若，则的长为________．【答案】【解析】解：由题意：平分，于,，，又为公共边，，，在中，，由勾股定理得：，故答案是：．24．（2021·湖南岳阳·中考真题） 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图， 设门高为尺，根据题意，可列方程为________．【答案】【解析】解：由题可知，6尺8寸即为6.8尺，1丈即为10尺；∵高比宽多6尺8寸，门高 AB 为 x 尺，∴BC=尺，∴可列方程为：，故答案为：．