高中人教B版 (2019)1.1.1 空间向量及其运算当堂达标检测题

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第一章 空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其运算知识梳理一、空间向量的概念1．空间向量（1）空间向量的定义在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．（2）空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为|a|或||.（3）特殊向量不同之处：空间中的向量，除了共线之外，我们还要讨论共面的情形.一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面；否则，称这些向量不共面.二、空间向量的线性运算1.空间向量的加法及其运算律（1）交换律　a＋b＝b＋a；（2）结合律　(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．2.空间向量的减法与数乘运算空间向量的减法： a-b=a＋(-b) 空间向量的数乘：实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa，称为向量的数乘运算．（1）当λ≠0或a≠0时，λa的模是|λ||a|，且有①当λ>0时，λa与向量a方向相同；②当λ<0时，λa与向量a方向相反；（2）当λ=0或a=0时，λa=0.（3）空间向量的数乘运算满足分配律与结合律：分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，结合律：λ(μa)＝(λμ)a.三、空间向量的数量积平面内两个非零向量a，b，任意在平面内选定一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角.①求模公式：|a|＝②夹角公式：若θ为a，b的夹角，则cos θ＝常见考点考点一 空间向量的有关概念典例1．下列说法正确的是（       ）A．任一空间向量与它的相反向量都不相等B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆C．模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量D．不相等的两个空间向量的模可能相等【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的定义，从向量的大小和方向两个方面依次判断选项；【详解】对A，零向量的相反向量是本身，故A错；对B，终点构成一个球，故B错；对C，向量不能比较大小，故C错；对D，相反向量是不相等向量，但它们的模长相等，故D正确；故选：D变式1-1．下列命题为真命题的是（       ）A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B．若a=b，则､的长度相等且方向相同C．若向量､满足，且与同向，则D．若两个非零向量与满足，则.【答案】D【解析】【分析】由空间向量的模长、共线、共面等相关概念依次判断4个选项即可.【详解】空间中任意两个向量必然共面，A错误；若a=b，则､的长度相等但方向不确定，B错误；向量不能比较大小，C错误；由可得向量与长度相等，方向相反，故，D正确.故选：D.变式1-2．在平行六面体中，下列四对向量：①与；②AC1与；③与；④与.其中互为相反向量的有n对，则n等于(       )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】根据平行六面体的几何特征和相反向量的定义即可判断.【详解】对于①与，长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②AC1与长度相等，但两向量不共线，∴两向量不是相反向量；对于③与，易知是平行四边形，则两向量方向相反，大小相等，互为相反向量；对于④与，易知是平行四边形，∴这两向量长度相等，方向相同．故互为相反向量的是①③，共有2对，n＝2．故选：B.变式1-3．在平行六面体中，以顶点为向量的起点或终点，且与向量的模相等的向量有（       ）．A．个 B．个 C．个 D．个【答案】A【解析】【分析】由平行六面体定义可确定与棱长度相等的棱，由此可确定结果.【详解】由平行六面体定义可知几何体各个面均为平行四边形，，则与向量的模相等的向量有，，，，，，，共个.故选：A.考点二 空间向量的加减运算典例2．如图，在空间四边形中，（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用空间向量加减法法则直接运算即可.【详解】根据向量的加法、减法法则得.故选：A.变式2-1．在平行六面体中，（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由空间向量的加法的平行四边形法则和三角形法则，可得所求向量．【详解】解：连接，可得，又，所以．故选：A变式2-2．如图，在平行六面体中，（       ）A．AC1 B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用向量的加减法法则计算即可.【详解】故选：C变式2-3．在空间四边形中，下列表达式结果与相等的是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据空间空间向量的加法和减法即可求解．【详解】A，B，．C，.D，.故选：B考点三 空间向量加减运算的几何表示典例3．如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的运算法则和空间向量基本定理相关知识求解即可.【详解】由题意得，.故选：D变式3-1．直三棱柱中，若，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的线性运算直接可得解.【详解】由已知得，故选：A.变式3-2．在如图所示的正四面体OABC中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点．设，，，则下列说法不正确的是（       ）．A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据空间向量加法、减法的几何意义，结合三角形中位线的性质、平行四边形的性质进行逐一判断即可.【详解】因为E，F分别是OA，AB的中点，所以，故A正确；因为F，G分别是AB，BC的中点，所以，故B正确；因为四边形EFGH为平行四边形，所以，故C正确；因为，所以D不正确．故选：D变式3-3．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据空间向量基底法相关知识进行计算转化即可.【详解】在平行六面体中，.故选：B考点四 空间向量的数量积典例4．如图，空间四边形的每条边和对角线长都等于，点，，分别是，，的中点，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据空间向量运算求得.【详解】依题意，分别是的中点，所以，三角形是等边三角形，且边长为.所以.故选：B变式4-1．在三棱锥中，，，，则（       ）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】【分析】根据已知条件，由，利用向量数量积的定义及运算律即可求解.【详解】解：因为三棱锥中，，，，所以，故选：A.变式4-2．如图，在平行六面体中，，，，则（       ）A．12 B．8 C．6 D．4【答案】B【解析】【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】故选：B变式4-3．已知正四面体的棱长为，点，分别是，的中点，则的值为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用向量的中点公式表示和，然后利用向量的数量积公式运算即可求解.【详解】因为E，F分别是BC，AD的中点，所以，，又因为正四面体ABCD的棱长都为1，所以，故．故选：C．考点五 空间向量的长度问题典例5．如图，四面体中，，分别为和的中点，，，且向量与向量的夹角为，则线段长为（       ）A． B． C．或 D．3或【答案】A【解析】【分析】取AC的中点E，可得MN=ME+EN，然后利用模长公式即得.【详解】取AC的中点E，连接ME、EN，又，分别为和的中点，∴ME∥BC，且，∥AD，且，∵向量与向量的夹角为，∴向量与向量的夹角为，又MN=ME+EN，∴，∴，即线段长为.故选：A.变式5-1．已知在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为（       ）．A．6 B． C．3 D．【答案】B【解析】【分析】由题意画出平行六面体的图形，利用向量加法的三角形法则和空间向量的数量积运算即可求解.【详解】∵，∴∴，即AC1的长为.故选：B变式5-2．平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)过顶点A的三条棱的夹角分别是，，，所有的棱长都为2，则的长等于（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】首先根据空间向量表示，再利用数量积公式计算模.【详解】， .故选：D变式5-3．如图，已知二面角的平面角的余弦值是，其棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知，，则（ ）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【解析】【分析】根据式子，根据空间向量数量积的运算律即可求出的长．【详解】解：因为，，所以，因为二面角的余弦值是，所以，即，所以，所以，即的长为．故选：B．巩固练习练习一 空间向量的有关概念1．下列命题中，说法错误的是（       ）A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C．只有零向量的模等于0D．共线的单位向量都相等【答案】D【解析】【分析】根据向量的定义依次判断即可.【详解】对A，因为空间向量是既有大小又有方向的量，所以不能比较大小，故A正确；对B，因为相等的向量大小相等，方向相同，所以若起点相同，则终点也相同，故B正确.对C，因为规定模为0的向量为零向量，所以只有零向量的模等于0，故C正确；对D，因为共线的单位向量是相等向量或相反向量，故D错误.所以错误的选项为D.故选：D.2．给出下列命题：①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量，满足，则；③若空间向量，，满足，，则；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向.其中假命题的个数是（       ）.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】根据单位向量的模长为可判断①的真假；根据空间向量的相等的定义，可判断②③；由单位向量的定义可判断④的真假；根据零向量的规定可判断⑤的真假，即可得出结论.【详解】①假命题.若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆.②假命题.根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量与的方向不一定相同.③真命题.向量的相等具有传递性.④假命题.空间中任意两个单位向量的模长均为1，但方向不一定相同，以不一定相等.⑤假命题.零向量的方向是任意的.故选：D.【点睛】本题考查空间向量基本概念的辨析，要掌握空间向量的两重性，不仅要考虑大小还要注意方向，属于基础题.3．下列关于空间向量的命题中，正确的个数是（       ）①在同一条直线上的单位向量都相等；②只有零向量的模等于0；③在正方体中，与是相等向量；④在空间四边形中，与是相反向量；⑤在三棱柱中，与的模一定相等的向量一共有3个A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的概念及性质，正方体、三棱柱及空间四边形的性质及结构特征，结合各选项的描述判断正误即可.【详解】①错误，在同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，所以不一定相等；②正确，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量；③正确，由正方体的性质知：与的模相等，方向相同；④错误，空间四边形中，与的模不一定相等，方向也不一定相同；⑤错误，三棱柱中与的模一定相等的向量是共5个.故选：A4．在平行六面体中，与向量相等（不含）的向量有（       ）A．0个 B．3个 C．6个 D．9个【答案】B【解析】【分析】根据相等向量的定义判断.【详解】由图形可知，.故选：B练习二 空间向量的加减运算5．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,化简 A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】结合图形，根据向量运算的平行四边形法则或三角形法则求解．【详解】在平行六面体，连接AC，如图，则,故选A．【点睛】本题考查空间向量的线性运算，解题的关键是结合图形并根据向量加法的平行四边形或三角形法则求解，属于基础题．6．在空间四边形中，连接，若是正三角形，且E为其重心，则的化简结果是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】取的中点F，可知，又，再利用空间向量的加法、减法的几何意义即可求解.【详解】如图所示，取的中点F，则，又E为正三角形的重心，即上靠近F的三等分点，所以，则 故选：C【点睛】本题考查空间向量的加法、减法的几何意义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.7．若A，B，C，D为空间任意四个点，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由已知结合向量的加减运算法则即可直接求解.【详解】解：.故选：A.8．在长方体中，下列各式运算结果为的是（       ）①   ②   ③   ④A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】A【解析】根据空间向量的运算法则，逐项计算，即可判断出结果.【详解】，①对；，②对；，③错；显然不等于，④错．故选：A．练习三 空间向量加减运算的几何表示9．如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为M，设，，，则下列向量中与相等的向量是（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根据向量加法和减法法则即可用、、表示出.【详解】故选：B.10．如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，已知，，，，则（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】利用空间向量加法法则直接求解．【详解】连接BD，如图，则故选：A．11．在平行六面体 中， 与 的交点为 ．设 ，是下列向量中与 相等的向量是（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】利用向量的加法法则及减法法则即得.【详解】解：因为，所以.即，故选：C.12．如图，四面体S-ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD=3AE，则=（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】由向量线性运算的几何含义知，，，，即可得与的线性关系式.【详解】四面体S-ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD=3AE，∴===+=.故选：B练习四 空间向量的数量积13．如图，在边长为的正方体中，（       ）A．2 B．1 C． D．【答案】A【解析】【分析】，再根据空间向量的数量积，即可得解．【详解】解：在正方体中，平面，所以，所以．故选：．14．已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，则（       ）A． B．3 C． D．2【答案】B【解析】【分析】选定为基向量，利用向量数量积的计算法则求解即可.【详解】设，由题意得：，，.故选：B.15．已知正四面体的棱长为1，点、分别是、中点，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由已知得，然后再由数量积的定义进行运算可得答案．【详解】由题意，四面体是正四面体，每个面都是正三角形，因为点、分别是、中点，所以，所以．故选：A.16．如图在长方体中，设，，则等于（       ）A．1 B．2 C．3 D．【答案】A【解析】利用向量加法化简，结合向量数量积运算求得正确结果.【详解】由长方体的性质可知，，所以.故选：A练习五 空间向量的长度问题17．在平行六面体中，其中，，，则（       ）A．25 B．5 C．14 D．【答案】B【解析】【分析】由，则结合已知条件及模长公式即可求解.【详解】解：，所以B1E2=3BA+BB1+2BC2=32BA2+BB12+22BC2+6BA⋅BB1+4BB1⋅BC+12BA⋅BC，所以，故选：B.18．如图，在三棱柱中，与交于点，，，，，则线段的长度为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用表示出，再应用空间向量数量积的运算律求的模长，即知的长度.【详解】由题设，易知：四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，即．故选：．19．已知平行六面体中，，，，，．则的长为（       ）A． B． C．12 D．【答案】A【解析】【分析】由，可得，再利用数量积运算性质即可得出．【详解】，，，，，．，，，即的长为.故选：A．20．如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，已知库底与水坝斜面所成的二面角为，测得从D，C到库底与水坝斜面的交线的距离分别为，，若，则甲，乙两人相距（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据向量的运算得到，然后利用平方法即可求出答案.【详解】由于，所以，所以，故甲，乙两人相距70m．故选：A．名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫零向量，记为0单位向量模为1的向量叫单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量记为－a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量