高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.2 空间向量基本定理复习练习题

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第一章 空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.2 空间向量基本定理知识梳理1.平面向量中的结论（1）共线向量基本定理:如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b=λa.（2）平面向量基本定理:如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c=xa+yb.2.空间中的共线向量基本定理两个空间向量a，b，如果a≠0，且b∥a，则存在唯一的实数λ，难得b=λa.点睛： 证明(或判断)三点A，B，C共线时，只需证明存在实数λ，使=λ(或=λ)即可；也可用“对空间任意一点O，有=t+(1-t)”来证明三点共线.3.共面向量定理如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c=xa+yb.4.空间向量基本定理如果空间中三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.其中，空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，常称为空间向量的一组基底.此时，a，b，c都称为基向量；如果p=xa+yb+zc，则称xa+yb+zc为p在基底{a，b，c}下的分解式. 常见考点考点一 判定空间向量共面典例1．对于空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（       ）A．一定不共面 B．一定共面C．不一定共面 D．与点位置有关【答案】B【解析】【分析】根据空间共面向量的定义进行判断即可.【详解】由，所以A，B，C，P四点共面，故选：B变式1-1．对于空间的任意三个向量､､，它们一定是（       ）A．共面向量 B．共线向量C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量【答案】A【解析】【分析】结合共面向量定理及共线向量判断即可.【详解】若､不共线，则由共面向量定理知，､､共面；若､共线，则､､共线，也共面.故选：A.变式1-2．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M，A，B，C共面的是（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据点与点共面，可得，验证选项，即可得到答案.【详解】设，若点与点共面，则，只有选项D满足.故选：D.【点睛】本题主要考查了向量的共面定理的应用，其中熟记点与点共面时，且，则是解答的关键.变式1-3．若向量，，不共面，则下列选项中的三个向量不共面的是（       ）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】【分析】利用向量共面定理即可判断出结论．【详解】解：向量，，不共面，A，，因此三个向量共面；B，，因此三个向量共面；C，若，，共面，则存在实数，使得，故，这与，，不共面矛盾，故三个向量不共面；D，，因此三个向量一定共面．故选：C． 考点二 根据空间向量共面求参数典例2．已知三点不共线，O是平面外任意一点，若由确定的一点P与三点共面，则等于（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据点P与三点共面，可得，从而可得答案.【详解】解：因为点P与三点共面，且，所以，解得.故选：A.变式2-1．已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则的值可能为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由四点共面结合已知条件可得，从而可得答案【详解】，且四点共面，，即，结合选项知只有符合.故选：C.变式2-2．在四面体中，空间的一点M满足，若M，A，B，C共面，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用空间四点共面可知，直接求的值.【详解】因为M，A，B，C共面，则，得.故选：A【点睛】本题考查空间四点共面定理，属于基础题型.变式2-3．已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（       ）A．2 B． C．1 D．【答案】B【解析】【分析】根据空间四点共面的充要条件代入即可解决.【详解】，即整理得由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，可得 ，解之得故选：B 考点三 空间向量基底的概念辨析典例3．设向量是空间一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是　　A． B． C． D．或【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，从而判断出结论．【详解】解：由题意和空间向量的共面定理，结合，得与、是共面向量，同理与、是共面向量，所以与不能与、构成空间的一个基底；又与和不共面，所以与、构成空间的一个基底．故选：．变式3-1．已知是空间的一个基底，若，则下列可以为空间一个基底的是（       ）A．  B． C． D． 【答案】D【解析】【分析】根据空间向量共面定理和基底的概念，逐项检验，即可得到正确结果.【详解】由于，可知共面，所以选项A不能作为空间的一个基底；由于，可知共面，所以选项B不能作为空间的一个基底；由于，可知共面，所以选项C不能作为空间的一个基底；假设不是空间的一组基底，即向量共面，则存在实数使得，即，所以,因为是空间的一组基底，所以的值不存在，即可向量不共面，所以是空间的一组基底，所以选项D正确；故选:D.变式3-2．已知能构成空间的一个基底，则下面的各组向量中，不能构成空间基底的是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由不共面的向量可作为基底即可得出选项.【详解】由图形结合分析三个向量共面，不构成基底，故选：C变式3-3．若，，是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（       ）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】【分析】基底为一组不共面的向量，逐一判断即可.【详解】解：对于中、、，B中、、，D中、、，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底；对于C，、、，满足，是共面向量，不能构成空间的一个基底.故选：C. 考点四 用空间基底表示向量典例4．如图，在三棱柱中，E，F分别是BC，的中点，，则（       ）A．            B．C．           D．【答案】D【解析】【分析】根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可.【详解】，故选：D．变式4-1．已知三棱锥O—ABC，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用空间向量基本定理进行计算.【详解】.故选：A变式4-2．在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据向量线性运算法则计算即可.【详解】．故选：C．变式4-3．如图，在四面体OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC的中点，则（       ）．A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】由向量的加法、减法及数乘运算法则计算即可．【详解】连接ON，则由题可得故选：B.  巩固练习练习一 判定空间向量共面1．有下列说法:①若，则与，共面；②若与，共面，则=x+y；③若=x+y，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则=x+y.其中正确的是（       ）A．①②③④                                B．①③④C．①③                                     D．②④【答案】C【解析】【分析】利用空间向量共面定理逐一判断即可.【详解】若，共线，由=x+y知一定与，共面，若，不共线，则满足共面定理，与，共面，①对；同理③对；若与，共面，且，共线，则不一定有=x+y，故②不对；同理④不对，故选：C.2．下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】要使空间中的、、、四点共面，只需满足，且即可.【详解】对于A选项，，，所以点与、、三点不共面；对于B选项，，，所以点与、、三点不共面；对于C选项，，，所以点与、、三点不共面；对于D选项，，,所以点与、、三点共面.故选：D.3．有下列命题：①若与平行，则与所在的直线平行；②若与所在的直线是异面直线，则与一定不共面；③若、、两两共面，则、、一定也共面；④若与是平面上互不平行的向量，点，点，则与、一定不共面．其中正确命题的个数为（       ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】【分析】根据空间向量共线、共面及基本定理判断即可；【详解】解：①若向量，平行，则向量，所在的直线平行或重合，因此①不正确；②若向量，所在的直线为异面直线，则向量，是共面向量，因此②不正确；③若三个向量，，两两共面，则向量，，不一定共面，可能是空间三个不共面的向量，如空间直角坐标系中轴、轴、轴方向上的单位向量，因此③不正确；④若与是平面上互不平行的向量，即与可以作为平面上的一组基底，点，点，但是直线可以平行平面，则与、共面，故④错误．故选：A4．已知非零向量不共线，如果，则A，B，C，D四点（       ）A．一定共线 B．恰是空间四边形的四个顶点C．一定共面 D．一定不共面【答案】C【解析】【分析】根据已知，可将用表示出来，再根据向量共面的充要条件即可得出结论.【详解】解：因为非零向量不共线，，所以，由向量共面的充要条件可知，A，B，C，D四点共面．故选：C. 练习二 根据空间向量共面求参数5．已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据空间四点共面的充要条件代入即可解决【详解】由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线可得，解之得故选：D6．已知平面ABCD外任意一点O满足，．则取值是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用向量共面定理列方程直接求得.【详解】由向量共面定理可知：，解得：.故选：A7．已知为空间四面体，为底面上一点，且满足，则以下等式一定成立的是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，结合向量的减法可得出、、关于、的表达式，由此可得出的值.【详解】因为平面，设，则，所以，，则，，，因此，.故选：B.8．已知点在平面内，并且对空间任意一点，都有，则的值是（       ）A．1 B．0 C．3 D．【答案】D【解析】【详解】试题分析：因为，且四点共面，所以必有，解得，故选D．考点：空间向量的共面问题． 练习三 空间向量基底的概念辨析9．若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由空间向量基底的定义即可得出答案.【详解】选项A：令，则，，A正确；选项B：因为，所以不能构成基底；选项C：因为，所以不能构成基底；选项D：因为，所以不能构成基底．故选：A.10．已知，，是不共面的三个向量，下列能构成一组基的是（       ）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】【分析】由不共面的三个向量能构成一组基底判断.【详解】A. 因为=，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底；B. 因为=，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底；C. 假设，，共面，则必存在x，y，有，因为，，是不共面，则，不成立，则三个向量不共面，所以三个向量能构成一组基底；D. 因为，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底；故选：C11．设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】以为顶点作，，，作出平行六面体，根据空间向量的加法法则作出，，然后判断各组向量是否共面可得结论．【详解】如图，作平行六面体，，，，则，，，，由平行六面体知，共面，不共面，不共面，不共面，因此可以作为空间的基底的有3组．故选：C．12．已知是空间向量的一个基底，则下列向量中能与，构成基底的是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据空间向量基底的定义判断即可.【详解】因为，，，所以ABD错误；因为是空间向量的一个基底，所以，，构成基底.故选：C 练习四 用空间基底表示向量13．如图，在三棱锥中，设，若，则=（            ）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】连接根据三棱锥的结构特征及空间向量加减法、数乘的几何意义，用表示，即可知正确选项.【详解】连接.故选：A14．如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（            ）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的线性元素和空间向量的基本定理求解.【详解】，，故选：B15．如图在三棱锥P－ABC中，点G是△ABC的重心，点E为线段PA中点，设，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由空间向量的线性运算求解．【详解】G是△ABC的重心，则，，，，所以，，所以，故选：A．16．如图，在棱长均相等的四面体中，点为的中点，，设，，，则（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得；【详解】解：在棱长均相等的四面体中，点为的中点，，即，设，，，．故选：C