2021学年1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系课堂检测

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第一章 空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 知识梳理1.空间中向量的坐标一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底；在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p=xe1+ye2+ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p=(x，y，z)，其中x，y，z都称为p的坐标分量.2.空间向量的运算与坐标的关系空间向量a，b，其坐标形式为a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2).向量运算向量表示坐标表示加法a+ba+b=(x1+x2，y1+y2，z1+z2)减法a-ba-b=(x1-x2，y1-y2，z1-z2)数乘λaλa=(λx1，λy1，λz1)数量积a·ba·b=x1x2+y1y2+z1z2特别地，（1）如果μ，v是两个实数，那么μa+vb=(μx1+vx2，μy1+vy2，μz1+vz2).（2）|a|=.（3）cos<a，b>=(a≠0，b≠0).3.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直设a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，则有a∥b⇔(其中x1y1z1≠0)；a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0. 4.空间直角坐标系为了确定空间点的位置，在平面直角坐标系xOy的基础上，通过原点O，再作一条数轴z，使它与x轴，y轴都垂直，这样它们中的任意两条都互相垂直.轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的正半轴重合，这样就在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做坐标原点.每两条坐标轴分别确定的平面xOy，yOz，zOx叫做坐标平面，三个坐标平面把不在坐标平面内的点分成八个卦限，如图所示. 5.空间直角坐标系中两点之间距离公式及中点坐标设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间直角坐标系中的两点，则=(x1，y1，z1)，=(x2，y2，z2)，所以=(x2，y2，z2)-(x1，y1，z1)=(x2-x1，y2-y1，z2-z1)，AB=||=.设线段AB的中点为M(x，y，z)，则=(x，y，z)，)=(x1+x2，y1+y2，z1+z2)=，所以点M的坐标为.     常见考点考点一 空间向量的坐标表示典例1．已知向量是空间向量的一组基底，向量，，是空间向量的另外一组基底，若一向量在基底下的坐标为，，，则向量在基底，，下的坐标为（       ）A．，， B．，， C．，， D．，， 变式1-1．设是空间中的一个单位正交基底，已知向量，其中，，，则向量在基底下的坐标是（       ）A． B． C． D． 变式1-2．已知i，j，k是空间的标准正交基底，且=-i+j-k，则的坐标为A．(-1，1，-1) B．(-i，j，-k)C．(1，-1，-1) D．不确定 变式1-3．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E1＝A1B1，则等于A． B． C． D．考点二 空间向量的坐标运算典例2．若，则=（       ）A． B． C． D． 变式2-1．已知，，则等于（       ）A．（0，34，10） B．（-3，19，7） C．44 D．23 变式2-2．已知，且，则的值是（       ）A．5 B．6 C．3 D．4 变式2-3．已知点，，为线段上靠近点的三等分点，则点的坐标为（       ）A． B．C． D． 考点三 空间向量模长的坐标表示典例3．已知，则（       ）A．2 B．C． D．4 变式3-1．若向量，，则（       ）A． B． C． D． 变式3-2．在空间直角坐标系中，已知，，则的模为（       ）A．1 B． C． D．3变式3-3．已知向量，，则在的方向上的数量投影为（       ）A． B． C． D． 考点四 空间向量平行与垂直的坐标表示典例4．已知，，且，则（       ）A． B． C． D． 变式4-1．已知，，，若，则（       ）A． B． C．11 D．4 变式4-2．已知向量，若，则实数x的值为（       ）A．7 B．8 C．9 D．10 变式4-3．已知向量，，且与互相垂直，则（       ）A． B． C． D． 考点五 空间向量夹角余弦的坐标表示典例5．若向量，且与的夹角余弦值为，则实数等于（       ）A．0 B．－ C．0或－ D．0或 变式5-1．已知，，O为原点，则与的夹角是（       ）A．0 B．π C． D．  变式5-2．已知，，且，则向量与的夹角为（       ）A． B． C． D． 变式5-3．已知，，且，则向量与的夹角为（       ）A． B． C． D． 巩固练习练习一 空间向量的坐标表示1．已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（       ）A． B． C． D． 2．在正方体中，若点是侧面的中心，则在基底下的坐标为（       ）A． B． C． D． 3．已知是空间直角坐标系中，轴、轴、轴的正方向上的单位向量，且，则点的坐标（       ）A．是      B．是      C．是     D．不确定4．已知，，是空间直角坐标系中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，且，则点的坐标为（       ）A． B． C． D． 练习二 空间向量的坐标运算5．已知向量，则（       ）A． B． C． D． 6．已知点，，且满足，则点Q的坐标为（       ）．A． B．C． D． 7．若，则（　　）A． B． C． D． 8．已知，则等于（       ）A． B． C． D． 练习三 空间向量模长的坐标表示9．已知向量，则（       ）A．5 B．6 C．7 D．8 10．若向量则（       ）A． B．3 C． D．11．若空间向量，，则（       ）A． B． C． D． 12．已知，，则的最小值是（       ）A．1 B． C． D． 练习四 空间向量平行与垂直的坐标表示13．已知，，若，则m的值为（       ）A．－2 B．2 C． D． 14．已知向量，，若与平行，则实数k=（       ）A．1 B．2 C． D． 15．已知，若，则x=（       ）A．-1 B．1 C．0 D．2 16．已知向量且，则（       ）A． B． C． D． 练习五 空间向量夹角余弦的坐标表示17．已知，，则（       ）A． B． C． D．  18．已知，则与的夹角为（       ）A． B． C． D． 19．已知向量，，且与夹角的余弦值为，则的取值可以是（       ）A．2 B． C．4 D． 20．已知，，O是坐标原点，与的夹角为，则的值为（　　）A． B． C． D．