人教B版 (2019)1.2.1 空间中的点、直线与空间向量同步练习题

第一章 空间向量与立体几何

1.2空间向量在立体几何中的应用

1.2.1 空间中的点、直线与空间向量

知识梳理

1.点位置向量、直线的方向向量

2.空间中两条直线所成的角

设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，则θ=<v1，v2>或θ=π-<v1，v2>，

特别地，sin θ=sin<v1，v2>，cos θ=|cos<v1，v2>|;l1⊥l2⇔<v1，v2>=   ⇔v1·v2=0.

求异面直线所成角的方法有：

（1）定义法：根据定义作出异面直线所成的角（并证明），然后解三角形求出角；

（2）向量法：建立空间直角坐标系，用直线的方向向量的夹角求解异面直线所成的角．

3.两条异面直线的距离

一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，A∈l1，B∈l2，AB⊥l1，AB⊥l2，则称AB为l1与l2的公垂线段.并且空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一.两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离.

空间直角坐标系中求两条异面直线的公垂线段的长度流程如下：

利用向量共线、向量垂直条件建立方程组，求出公垂线段对应的向量，准确找出公垂线段在图中的位置，运用向量求出公垂线段的长度.

常见考点

考点一 直线的方向向量

典例1．若在直线上，则直线的一个方向向量为（       ）

A． B．

C． D．

变式1-1．设直线l1，l2的方向向量分别为，若l1⊥l2，则m等于（       ）

A． B．2 C．6 D．10

变式1-2．已知点，，，，则直线，的位置关系是（       ）

A．平行 B．相交 C．重合 D．异面

变式1-3．已知直线经过点和点，则直线的单位方向向量为

A． B． C． D．

考点二 求异面直线的夹角

典例2．如图，在正方体中，E为线段的中点，则异面直线DE与所成角的大小为（       ）

A． B． C． D．

变式2-1．在直三棱柱中，，D，F，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是（       ）．

A． B． C． D．

变式2-2．在四棱锥中，平面，，，，，，则与所成角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

变式2-3．如图所示，在三棱锥P–ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为

A． B． C． D．

考点三 已知线线角求其他量

典例3．已知四棱锥底面是边长为的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面，点是线段上的动点(不含端点)，若线段上存在点(不含端点)，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

变式3-1．如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，，E为PB的中点，，，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为（       ）

A． B．

C． D．

变式3-2．已知正方体的棱长为，点在线段上，若直线与所成角的余弦值为，则（       ）

A． B． C．3 D．

变式3-3．已知点，分别是三棱锥的棱，的中点，，若异面直线与所成角为60°，则线段长为（       ）

A．3 B．6 C．6或 D．3或

巩固练习

练习一 直线的方向向量

1．已知平面上两点，则下列向量是直线的方向向量是（       ）

A． B． C． D．

2．设的一个方向向量，的一个方向向量，若，则m等于（       ）．

A．1 B． C． D．3

3．已知一直线经过点，，下列向量中不是该直线的方向向量的为（       ）

A．       B．    C．   D．

4．已知直线的方向向量，直线的方向向量，且，则值是（       ）

A． B．6 C．14 D．

练习二 求异面直线的夹角

5．在正方体中，E，F分别为棱AD，的中点，则异面直线EF与所成角的余弦值为（       ）．

A． B． C． D．

6．已知三棱锥中，，，，，E，F分别为棱，的中点，则直线与所成角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

7．如图，在四棱锥中，，底面ABCD为长方形，，，Q为PC上一点，且，则异面直线AC与BQ所成的角的余弦值为（       ）

A．           B．           C．        D．

8．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）

A． B．0 C． D．

练习三 已知线线角求其他量

9．在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，E为PB的中点，若，则（       ）

A．1 B． C．3 D．2

10．四面体中，，，两两垂直，且，点是的中点，异面直线与所成角为，且，则该四面体的体积为（       ）

A． B． C． D．

11．已知正方体的棱长为1，点在线段上，若直线与所成角的余弦值为，则线段的长为（       ）

A． B． C． D．

12．在由三棱柱截得的几何体中，平面点分别是棱的中点.若直线与所成角的余弦值为，则（       ）

A． B． C． D．