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- 1.2.2 空间中的平面与空间向量-2022-2023学年高二数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第一册) 试卷 3 次下载
- 1.2.4 二面角-2022-2023学年高二数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第一册) 试卷 4 次下载
- 1.2.5 空间中的距离-2022-2023学年高二数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第一册) 试卷 4 次下载
- 第一章 空间向量与立体几何章末检测（基础篇）-2022-2023学年高二数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第一册) 试卷 4 次下载
数学选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.3 直线与平面的夹角综合训练题
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这是一份数学选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.3 直线与平面的夹角综合训练题，文件包含123直线与平面的夹角-2022-2023学年高二数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练人教B版2019选择性必修第一册解析版docx、123直线与平面的夹角-2022-2023学年高二数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练人教B版2019选择性必修第一册原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共60页， 欢迎下载使用。
第一章 空间向量与立体几何
1.2空间向量在立体几何中的应用
1.2.3 直线与平面的夹角
知识梳理
1.直线与平面所成的角
（1）定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫作这条直线和这个平面所成的角,若一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；若一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.
（2）利用向量方法求直线与平面所成角
若直线l与平面α所成的角为θ，直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，
则有sin θ=|cos|=|a·n||a||n|
特别提醒：直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角.
2.最小角定理
（1）线线角、线面角的关系式
如图，设OA是平面α的一条斜线段，O为斜足，B为A在
平面α内的射影，OM是平面α内的一条射线.θ是OA与
OM所成的角，θ1是OA与OB所成的角，θ2是OB与OM所成的角.
则有cos θ=cos θ1cos θ2.
（2）最小角定理
平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角.
常见考点
考点一 线面角的向量求法
典例1．如图，斜三棱柱中，为正三角形，为棱的中点，平面．
(1)证明：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由平面，得，再由，可得线面垂直；
（2）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求线面角．
(1)
在正中，因为为的中点，
所以．
因为平面，平面
所以
因为，，均在平面内，
所以平面
(2)
因为平面．所以，．
即，，两两相互垂直．
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，所以点，，，
所以，，
从而，
设平面的一个法向量为，
则n⋅BC=0，
即，令，
则
记直线与平面所成角为．
则，
所以，直线与平面所成角的正弦值为．
变式1-1．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面PAD⊥底面ABCD，PA=PD，点E为BC的中点，△AEB为等边三角形.
(1)证明：PB⊥AE；
(2)点F在线段PD上且DF=2FP，若二面角F−AC−D的大小为45°，求直线AE与平面ACF所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）作出辅助线，证明，由面面垂直得到线面垂直，进而得到，得到平面，求出PB⊥AE；（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值；方法二：作出辅助线，得到二面角的平面角，求出各边长，利用等体积法求解点到平面的距离，从而求出线面角的正弦值.
(1)
因为点为的中点且为等边三角形，
所以，从而.
取的中点，则四边形为菱形，连接BO，
故，①
又，且为的中点，则，
又平面平面，平面平面，所以平面，
从而②
由①②得：平面，
又平面，故.
(2)
解法一：设，作交，由（1）已证平面，从而两两垂直，以点，为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示.
则.
设平面的一个法向量为，
又，
由得
今，则，故，
由平面知为平面的一个法向量.
由二面角的大小为知，解得.
从而为平面的一个法向量，
所以点到平面的距离为，
从而直线与平面所成角的正弦值为.
解法二：作交于，作于，连接，
由（1）已证平面，故平面，
又平面，所以，
又，所以平面，
所以为二面角的平面角，由题知.
不妨设，又，
所以，且，
所以.
设点到平面的距离为，则由知，
得，解得.
从而直线与平面所成角的正弦值为.
变式1-2．已知四棱锥中，四边形为菱形，，
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）取的中点，连接、，证明出平面，可得出，可得出，再利用菱形的性质可证得结论成立；
（2）证明出，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得与平面所成角的正弦值.
(1)
证明：取的中点，连接、，
因为，为的中点，则，
因为，，平面，
平面，则，故，
因为四边形为菱形，则，所以，，
因此，为等边三角形.
(2)
解：由已知，，则，，
为的中点，所以，，
因为是边长为的等边三角形，则，
因为，则，，
因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
，.
因此，与平面所成角的正弦值为.
变式1-3．在四棱锥中，为正三角形，四边形为等腰梯形，M为棱的中点，且，，AO=14AB.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）为中点，连接，易得为平行四边形，即知△为等腰三角形，进而有，由等边三角形性质有，根据中位线、平行线的推论知，再根据线面垂直的判定、面面垂直的判定证结论.
（2）构建空间直角坐标系，求出直线方向向量和平面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值.
(1)
若为中点，连接，
由且，故为平行四边形，
所以，又且AO=14AB，即为中点，
等腰△中，即，
又为正三角形，故，
因为分别为，中点，故，则，
由，面，故面，
而面，则平面平面；
(2)
过作面，由（1）可构建以为原点，为轴的空间直角坐标系，
所以，而，则，
所以，故，
若是面的一个法向量，则，令，则，
所以，故直线与平面所成角的正弦值.
典例2．在矩形中，，，点为线段上的中点，沿将翻折，使得，点在线段上且满足.
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析；
(2).
【解析】
【分析】
(1) 取中点，连接,证明平面即可；
(2)建立坐标系，用空间向量求解.
(1)
解：如图的示，取中点，连接，
因为为线段上的中点，
所以，所以，
又因为,
所以，
所以①，
由题意可得，,
,
又因为，
所以为等边三角形，
所以，
所以，
所以②，
又因③,
由①②③可得平面，
又因为平面，
所以平面平面；
(2)
建立如图所示的坐标系：
则，，，.
又因为.
所以.
所以，,,,
设平面的法向量，
则 ，所以，
故取，
设直线与平面所成角为（ ），
则有＝＝.
变式2-1．在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；
（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.
(1)
证明：在四边形中，作于，于，
因为，
所以四边形为等腰梯形，
所以，
故，，
所以，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又，
所以平面，
又因平面，
所以；
(2)
解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
，
则，
则，
设平面的法向量，
则有，可取，
则，
所以与平面所成角的正弦值为.
变式2-2．如图，三棱台中，，，．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成的角．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题，取中点，连接，，先由线线垂直证面，即可由线面垂直证，即可证；
（2）分别以为轴建立如图空间直角坐标系，即可由向量法求所求线面角.
(1)
由题，取中点，连接，由，，则，又面，故面，
因为面，故，又，则，得证；
(2)
由题，，则，又，，
故，故.
分别以为轴建立如图空间直角坐标系，
易得，，，，，，设平面法向量，
则，令，则，
故，故直线与平面所成的角为.
即直线与平面所成的角为.
变式2-3．如图，在四棱锥中，平面，底面是梯形，点E在上，．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意可得两两垂直，所以以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量可得，由线面垂直的判定定理可得平面，然后由面面垂直的判定定理可证得结论，
（2）由（1）可得是平面的法向量，然后向量的夹角公式可求得结果
(1)
证明：因为平面，平面，
所以，
因为，
所以两两垂直，
所以以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，即，
因为,，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面；
(2)
设直线与平面所成的角为，
由（1）可知平面，
所以为平面的一个法向量，
因为，
所以，
所以直线与平面所成的角的正弦值为
考点二 已知线面角求其他量
典例3．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，且，平面ABCD，E为BC的中点，F为棱PC上一点．
(1)求证：平面平面PAD；
(2)若G为PD的中点，，是否存在点F，使得直线EG与平面AEF所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在；或
【解析】
【分析】
（1）根据底面菱形的特点得到，再由线面垂直得到，平面，进而得到面面垂直；
（2）建立空间坐标系得到线面角的表达式，求解即可.
(1)
证明：连接，
因为底面为菱形，，
所以是正三角形，
是的中点，
，
又，
平面，平面，
又平面，
又平面，
所以平面平面．
(2)
由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以为坐标原点，直线AE，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，
所以AE=3,0,0，，．
设平面的法向量n=x,y,z，则即
令，得平面的一个法向量．
设与平面所成的角为，则
，
解得或，
即存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，且或．
变式3-1．如图，四棱柱中，平面平面，底面为菱形，与交于点O，．
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在点F，使得与平面所成角的正弦值是？若存在，求出；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在；
【解析】
【分析】
(1)由条件证明，根据面面垂直性质定理可证平面；(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求与平面所成角的正弦值，由此可求.
(1)
∵，，∴，
又O是中点∴
∵平面平面，平面平面，
平面，∴平面
(2)
∵底面是菱形，∴
以O为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则．
又，所以，
∴，
设平面的法向量是，∴，
令，则，
假设线段上存在点F，且，
∴，∴，
∴，
平方整理得：，∴或（舍）.
∴时，即存在点F是中点时，与平面所成角的正弦值是．
变式3-2．如图，在三棱柱中，平面分别是的中点.
(1)求证：//平面；
(2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【解析】
【分析】
（1）连接，且交于点，再连接，由即可证明平面；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设出点，表示出，
由直线与平面所成角的正弦值解出点坐标即可.
(1)
连接，且交于点，再连接，如图所示.
因为三棱柱，所以.
又分别是的中点，所以，
所以四边形是平行四边形，所以点是的中点.
在中，点是的中点，是的中点，所以，
又平面平面，所以平面.
(2)
不妨设，则.
在中，由余弦定理得，即.
所以，所以.
因为平面，又平面，所以，
又，所以.
以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，所以.
设平面的一个法向量为，
由得
令，解得，
所以平面的一个法向量.
设，且，
所以，得，
所以点的坐标为，
所以.
设直线与平面所成的角为，
则
解得，所以.
变式3-3．如图，四棱锥中，平面平面，平面平面，四边形中，，，，.
(1)求证：平面；
(2)设，若直线与平面所成的角为，求线段的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由平面平面、可得平面，然后可得，同理可得，即可证明；
（2）设，以为原点，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量求出线面角，得到关于t的方程，求解即可.
(1)
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，同理可得，
因为，所以平面，
(2)
如图以为原点，以，，所在直线为轴建立空间坐标系，
在底面内，作交于E，则，
在直角中，
设，则，，
由，则，则，，，
所以PD=0,4-t,-t，， PB=t,0,-t
设平面的法向量为n=x,y,z，得，
取，则n=t,t,4-t
故由直线与平面所成角大小为30°，则有sin30∘=cosn,PB=n⋅PBn⋅PB，
即，化简得：，
解得：或（舍去，因为），即.
巩固练习
练习一 线面角的向量求法
1．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．
(1)求证：平面；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）取的中点为，连接，可证平面平面，从而可证平面.
（2）选①②均可证明平面，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值.
(1)
取的中点为，连接，
由三棱柱可得四边形为平行四边形，
而，则，
而平面，平面，故平面，
而，则，同理可得平面，
而平面，
故平面平面，而平面，故平面，
(2)
因为侧面为正方形，故，
而平面，平面平面，
平面平面，故平面，
因为，故平面，
因为平面，故，
若选①，则，而，，
故平面，而平面，故，
所以，而，，故平面，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则，
故，
设平面的法向量为，
则，从而，取，则，
设直线与平面所成的角为，则
.
若选②，因为，故平面，而平面，
故，而，故，
而，，故，
所以，故，
而，，故平面，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则，
故，
设平面的法向量为，
则，从而，取，则，
设直线与平面所成的角为，则
.
2．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点，分别为棱，的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,利用向量法证明线面平行；
（2）利用向量法求直线与平面所成角的正弦值.
(1)
证明: 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则,,
则,,
设平面的一个法向量为,
则,
令, 则,
则平面的一个法向量为,
平面
(2)
由（1）得 ,
设直线与平面所成角为.
直线与平面所成角的正弦值为.
3．如图，已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，平面AEFC⊥平面ABCD，EFAC，AE=AB，AC=2EF.
(1)求证：平面BED⊥平面AEFC；
(2)若四边形AEFC为直角梯形，且EA⊥AC，求直线BD与平面BCF所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据线面垂直的判定证明BD⊥平面AEFC即可；
（2）先证明FO⊥平面ABCD，再以OB，OC，OF所在直线为x轴､y轴､z轴正方向，建立空间直角坐标系，根据线面所成角的向量方法求解即可
(1)
菱形ABCD中，BD⊥AC
又∵平面AEFC⊥平面ABCD，平面AEFC∩平面ABCD=AC，
∴BD⊥平面AEFC，
又BD平面BED，
∴平面BED⊥平面AEFC
(2)
∵四边形AEFC为直角梯形，且EA⊥AC
又平面AEFC⊥平面ABCD，平面AEFC∩平面ABCD=AC，
所以EA⊥平面ABCD，
直角梯形中，AC=2EF，设AC交BD于O，连接FO，FB，则有AO=EF，AOEF，
∴AOFE为平行四边形，∴OFEA，
∴FO⊥平面ABCD，
分别以OB，OC，OF所在直线为x轴､y轴､z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
菱形ABCD中，∠ABC=60°，所以三角形ABC为等边三角形，
则OC=1，OF=AE=AB=2，OB=OD=，
则B（，0，0），C（0，1，0），F（0，0，2），D（-，0，0），
∴，，
设平面BCF的法向量为，则由即，
取，则，，所以.
∴，
设直线BD与平面BCF所成的角为
∴
故直线BD与平面BCF所成角的正弦值为
4．如图，四棱锥，底面ABCD为菱形，BD的中点为O，且PO⊥平面ABCD.
(1)证明：；
(2)若，，求直线PO与平面PAD所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）连接，由菱形的性质可得，再由线面垂直的性质可得，即可得到平面，从而得到.
（2）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，求出平面法向量和直线的方向向量，利用向量夹角公式即可求解.
(1)
连接，因为底面ABCD为菱形，的中点为，所以且，
又因为底面，平面，所以，
又，平面，平面，则平面，
因为平面，所以.
(2)
由（1）知，直线，，两两垂直，则以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系.
由题意设，，由，得，，又，，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量，由，令，得
设直线PO与平面PAD所成角为，则，
直线PO与平面PAD所成角的正弦值为.
5．已知空间几何体中，与均为等边三角形，平面平面，和平面所成的角为．
(1)求证：；
(2)若点E在平面上的射影落在的平分线上，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）取中点，由证得平面，即可证得；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，由线面角的向量求法即可求解.
(1)
取中点，连接，由与均为等边三角形，可得，
又平面，，则平面，又平面，则；
(2)
由（1）知，又平面平面，平面平面，平面，则平面，
以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设点E在平面上的射影为，则落在上，
，即为和平面所成的角，则，则，，
，则四边形为平行四边形，，则，
则，设平面的法向量，则，
令，则，设直线与平面所成角为，则.
6．如图，四棱锥的底面是梯形，，，E为线段中点．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）取中点F，连接交于点O，连接，利用线线垂直证明面即可；
（2）解析1：几何法，先根据线面垂直的性质证明面面，再作，证明B到面距离等于，进而求得线面夹角的正弦值；
解析2：向量法，以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，求面的法向量，进而求得线面角的正弦值即可
(1)
取中点F，连接交于点O，连接，
由，且梯形，有且，
故平行四边形，又，故为菱形，
所以为的中点，故.
又因为，故，
因为，面，
故面，又面，故．
(2)
解析1：几何法
在中，，故，
因为，故，由，即，
即，故面，
又，故面，面，故面面，
作，面面，面，故面，
在中，，因为，故B到面距离等于，
设与平面所成角为，，
故，故与平面所成角的正弦值为．
解析2：向量法
在中，，故，
因为，故，由，即，
即，故面，
以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，
故，
故，
设面的法向量为，则，令，故，
所以sinθ=|cos|=3272×2=3714，故与平面所成角的正弦值为．
7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，，，点M是AB的中点．
(1)求证：CM⊥平面PAB；
(2)若点N为CD的中点，求直线PN与平面PMD所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
(1)先证明， ，再利用线面垂直判定定理证明CM⊥平面PAB；
(2)以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用向量法求直线与平面所成的角的正弦值.
(1)
连接、，
∵，，所以，为等边三角形，且，
为的中点，则，
，则，
又因为，则，，
又，平面
平面；
(2)
平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图示所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设平面的法向量为，，，
由，可得，取，可得，
，则.
因此，直线与平面所成的角的正弦值为.
8．如图，正三棱柱的高和底面边长均为2，点P，Q分别为，BC的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)求直线BP与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由于是正三角形，为BC的中点，可得，再由正棱柱的性质得，则由线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可证得结论，
（2）设线段AC，的中点分别为，，以为坐标原点，分别以OB，OC，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解
(1)
因为是正三角形，为BC的中点，所以，
因为平面ABC，平面ABC，所以，
因为，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
(2)
设线段AC，的中点分别为，，以为坐标原点，分别以OB，OC，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．
因为正三棱柱的底面边长和高均为2，所以，，，，
，所以，，，．
设为平面的一个法向量，
则，令，则
设直线BP与平面所成角为，则
，
所以直线BP与平面所成角的正弦值为．
练习二 已知线面角求其他量
9．在四棱锥中，侧面为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，，，，，E为线段AB的中点，过直线CE的平面与线段PA，PD分别交于点M，N.
(1)求证：；
(2)若直线PC与平面CEMN所成的角的余弦值为，求的值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【解析】
(1)
∵ 为等边三角形，，∴ ，
又 E为中点，
，
∵ ，，
∴ 四边形AECD为矩形，故，
又平面PAD，平面，
∴ 平面PAD，
∵平面，平面平面
∴ ， 又E为等边三角形PAB边AB的中点，
∴ ，，，∴ △PEC为直角三角形，
且，又，，平面,平面,
∴ ，
∴ 平面PAB，平面,
∴ .
(2)
∵ 为正三角形，∴ ，又，,
∴ 平面ABCD.
以E为原点，以EC，EB，EP分别为x轴，y轴，z轴建立如图直角坐标系，
，，，
∴ ，，
设，，
，
设平面CEMN的法向量为，则.
取，，，
依题意有PC与平面CEMN所成的角的正弦值为，
即，
∴ 或(舍去），
∴ ，即.
10．如图，已知直三棱柱分别为线段的中点，为线段上的动点，.
(1)若，试证：；
(2)在（1）的条件下，当时，试确定动点的位置，使线段与平面所成角的正弦值为.
【答案】(1)证明见详解；
(2)为的中点．
【解析】
【分析】
（1）先证平面，得，结合已知条件得出，根据及勾股定理的逆定理，得出，进而得出平面，即证；
（2）建立空间直角坐标系，求出相关平面的法向量和直线的方向向量，再由向量的夹角公式可求出线面角，解方程即可得结果．
(1)
在中，
∵为中点且，
∴.
∵平面平面交线为，
∴平面，∴.
∵，分别为，的中点，
∴.
∴.
在直角和直角中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴.
∴平面，平面，
∴.
(2)
∵平面，由（1）得，，三线两两垂直，以为原点，
以，，为，，轴建立空间直角坐标系如图，
则，，，，，，
∴，.
设平面的一个法向量为，
则，
令得，，
设，，则，
∴，，
设直线与平面所成的角为，
则
即，为的中点．
11．已知边长为6的等边三角形△ABC中，点M，N分别是边AB，AC的三等分点，且，，沿MN将△AMN折起到的位置，使．
(1)求证：平面MBCN；
(2)在线段BC上是否存在点D，使直线与平面所成角为60°？若存在，求BD；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)存在点D，使直线与平面所成角为60°，此时BD=5.
【解析】
【分析】
（1）用余弦定理求出MN的长，进而用勾股定理逆定理得到，从而证明出线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，假设存在点D，设出点D坐标，用空间向量求解出答案.
(1)
证明：因为，所以，在△中，，，由余弦定理得：，所以，则，由勾股定理逆定理得：，
因为，所以平面MBCN；
(2)
由第一问可知：三线两两垂直，故以M为坐标原点，，MN，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，假设存在点D，BD=m，使得直线与平面所成角为60°，则，
所以，平面的法向量为，则，解得：，符合要求，
故在线段BC上存在点D，使直线与平面所成角为60°，此时BD=5.
12．如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.
(1)求证：；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用面面垂直的性质可证得平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；
（2）取的中点，连接，证明出平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的方程，求出的值，即可求得棱的长.
(1)
证明：因为四边形为正方形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，所以，.
(2)
解：取的中点，连接，
，为的中点，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，设，其中，
则、、、、，
，A1C1=2,2,0，，
设平面的法向量为，则，取，则，
由题意可得，
，解得，则.
第一章 空间向量与立体几何
1.2空间向量在立体几何中的应用
1.2.3 直线与平面的夹角
知识梳理
1.直线与平面所成的角
（1）定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫作这条直线和这个平面所成的角,若一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；若一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.
（2）利用向量方法求直线与平面所成角
若直线l与平面α所成的角为θ，直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，
则有sin θ=|cos
特别提醒：直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角.
2.最小角定理
（1）线线角、线面角的关系式
如图，设OA是平面α的一条斜线段，O为斜足，B为A在
平面α内的射影，OM是平面α内的一条射线.θ是OA与
OM所成的角，θ1是OA与OB所成的角，θ2是OB与OM所成的角.
则有cos θ=cos θ1cos θ2.
（2）最小角定理
平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角.
常见考点
考点一 线面角的向量求法
典例1．如图，斜三棱柱中，为正三角形，为棱的中点，平面．
(1)证明：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由平面，得，再由，可得线面垂直；
（2）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求线面角．
(1)
在正中，因为为的中点，
所以．
因为平面，平面
所以
因为，，均在平面内，
所以平面
(2)
因为平面．所以，．
即，，两两相互垂直．
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，所以点，，，
所以，，
从而，
设平面的一个法向量为，
则n⋅BC=0，
即，令，
则
记直线与平面所成角为．
则，
所以，直线与平面所成角的正弦值为．
变式1-1．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面PAD⊥底面ABCD，PA=PD，点E为BC的中点，△AEB为等边三角形.
(1)证明：PB⊥AE；
(2)点F在线段PD上且DF=2FP，若二面角F−AC−D的大小为45°，求直线AE与平面ACF所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）作出辅助线，证明，由面面垂直得到线面垂直，进而得到，得到平面，求出PB⊥AE；（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值；方法二：作出辅助线，得到二面角的平面角，求出各边长，利用等体积法求解点到平面的距离，从而求出线面角的正弦值.
(1)
因为点为的中点且为等边三角形，
所以，从而.
取的中点，则四边形为菱形，连接BO，
故，①
又，且为的中点，则，
又平面平面，平面平面，所以平面，
从而②
由①②得：平面，
又平面，故.
(2)
解法一：设，作交，由（1）已证平面，从而两两垂直，以点，为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示.
则.
设平面的一个法向量为，
又，
由得
今，则，故，
由平面知为平面的一个法向量.
由二面角的大小为知，解得.
从而为平面的一个法向量，
所以点到平面的距离为，
从而直线与平面所成角的正弦值为.
解法二：作交于，作于，连接，
由（1）已证平面，故平面，
又平面，所以，
又，所以平面，
所以为二面角的平面角，由题知.
不妨设，又，
所以，且，
所以.
设点到平面的距离为，则由知，
得，解得.
从而直线与平面所成角的正弦值为.
变式1-2．已知四棱锥中，四边形为菱形，，
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）取的中点，连接、，证明出平面，可得出，可得出，再利用菱形的性质可证得结论成立；
（2）证明出，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得与平面所成角的正弦值.
(1)
证明：取的中点，连接、，
因为，为的中点，则，
因为，，平面，
平面，则，故，
因为四边形为菱形，则，所以，，
因此，为等边三角形.
(2)
解：由已知，，则，，
为的中点，所以，，
因为是边长为的等边三角形，则，
因为，则，，
因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
，.
因此，与平面所成角的正弦值为.
变式1-3．在四棱锥中，为正三角形，四边形为等腰梯形，M为棱的中点，且，，AO=14AB.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）为中点，连接，易得为平行四边形，即知△为等腰三角形，进而有，由等边三角形性质有，根据中位线、平行线的推论知，再根据线面垂直的判定、面面垂直的判定证结论.
（2）构建空间直角坐标系，求出直线方向向量和平面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值.
(1)
若为中点，连接，
由且，故为平行四边形，
所以，又且AO=14AB，即为中点，
等腰△中，即，
又为正三角形，故，
因为分别为，中点，故，则，
由，面，故面，
而面，则平面平面；
(2)
过作面，由（1）可构建以为原点，为轴的空间直角坐标系，
所以，而，则，
所以，故，
若是面的一个法向量，则，令，则，
所以，故直线与平面所成角的正弦值.
典例2．在矩形中，，，点为线段上的中点，沿将翻折，使得，点在线段上且满足.
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析；
(2).
【解析】
【分析】
(1) 取中点，连接,证明平面即可；
(2)建立坐标系，用空间向量求解.
(1)
解：如图的示，取中点，连接，
因为为线段上的中点，
所以，所以，
又因为,
所以，
所以①，
由题意可得，,
,
又因为，
所以为等边三角形，
所以，
所以，
所以②，
又因③,
由①②③可得平面，
又因为平面，
所以平面平面；
(2)
建立如图所示的坐标系：
则，，，.
又因为.
所以.
所以，,,,
设平面的法向量，
则 ，所以，
故取，
设直线与平面所成角为（ ），
则有＝＝.
变式2-1．在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；
（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.
(1)
证明：在四边形中，作于，于，
因为，
所以四边形为等腰梯形，
所以，
故，，
所以，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又，
所以平面，
又因平面，
所以；
(2)
解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
，
则，
则，
设平面的法向量，
则有，可取，
则，
所以与平面所成角的正弦值为.
变式2-2．如图，三棱台中，，，．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成的角．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题，取中点，连接，，先由线线垂直证面，即可由线面垂直证，即可证；
（2）分别以为轴建立如图空间直角坐标系，即可由向量法求所求线面角.
(1)
由题，取中点，连接，由，，则，又面，故面，
因为面，故，又，则，得证；
(2)
由题，，则，又，，
故，故.
分别以为轴建立如图空间直角坐标系，
易得，，，，，，设平面法向量，
则，令，则，
故，故直线与平面所成的角为.
即直线与平面所成的角为.
变式2-3．如图，在四棱锥中，平面，底面是梯形，点E在上，．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意可得两两垂直，所以以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量可得，由线面垂直的判定定理可得平面，然后由面面垂直的判定定理可证得结论，
（2）由（1）可得是平面的法向量，然后向量的夹角公式可求得结果
(1)
证明：因为平面，平面，
所以，
因为，
所以两两垂直，
所以以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，即，
因为,，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面；
(2)
设直线与平面所成的角为，
由（1）可知平面，
所以为平面的一个法向量，
因为，
所以，
所以直线与平面所成的角的正弦值为
考点二 已知线面角求其他量
典例3．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，且，平面ABCD，E为BC的中点，F为棱PC上一点．
(1)求证：平面平面PAD；
(2)若G为PD的中点，，是否存在点F，使得直线EG与平面AEF所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在；或
【解析】
【分析】
（1）根据底面菱形的特点得到，再由线面垂直得到，平面，进而得到面面垂直；
（2）建立空间坐标系得到线面角的表达式，求解即可.
(1)
证明：连接，
因为底面为菱形，，
所以是正三角形，
是的中点，
，
又，
平面，平面，
又平面，
又平面，
所以平面平面．
(2)
由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以为坐标原点，直线AE，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，
所以AE=3,0,0，，．
设平面的法向量n=x,y,z，则即
令，得平面的一个法向量．
设与平面所成的角为，则
，
解得或，
即存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，且或．
变式3-1．如图，四棱柱中，平面平面，底面为菱形，与交于点O，．
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在点F，使得与平面所成角的正弦值是？若存在，求出；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在；
【解析】
【分析】
(1)由条件证明，根据面面垂直性质定理可证平面；(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求与平面所成角的正弦值，由此可求.
(1)
∵，，∴，
又O是中点∴
∵平面平面，平面平面，
平面，∴平面
(2)
∵底面是菱形，∴
以O为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则．
又，所以，
∴，
设平面的法向量是，∴，
令，则，
假设线段上存在点F，且，
∴，∴，
∴，
平方整理得：，∴或（舍）.
∴时，即存在点F是中点时，与平面所成角的正弦值是．
变式3-2．如图，在三棱柱中，平面分别是的中点.
(1)求证：//平面；
(2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【解析】
【分析】
（1）连接，且交于点，再连接，由即可证明平面；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设出点，表示出，
由直线与平面所成角的正弦值解出点坐标即可.
(1)
连接，且交于点，再连接，如图所示.
因为三棱柱，所以.
又分别是的中点，所以，
所以四边形是平行四边形，所以点是的中点.
在中，点是的中点，是的中点，所以，
又平面平面，所以平面.
(2)
不妨设，则.
在中，由余弦定理得，即.
所以，所以.
因为平面，又平面，所以，
又，所以.
以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，所以.
设平面的一个法向量为，
由得
令，解得，
所以平面的一个法向量.
设，且，
所以，得，
所以点的坐标为，
所以.
设直线与平面所成的角为，
则
解得，所以.
变式3-3．如图，四棱锥中，平面平面，平面平面，四边形中，，，，.
(1)求证：平面；
(2)设，若直线与平面所成的角为，求线段的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由平面平面、可得平面，然后可得，同理可得，即可证明；
（2）设，以为原点，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量求出线面角，得到关于t的方程，求解即可.
(1)
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，同理可得，
因为，所以平面，
(2)
如图以为原点，以，，所在直线为轴建立空间坐标系，
在底面内，作交于E，则，
在直角中，
设，则，，
由，则，则，，，
所以PD=0,4-t,-t，， PB=t,0,-t
设平面的法向量为n=x,y,z，得，
取，则n=t,t,4-t
故由直线与平面所成角大小为30°，则有sin30∘=cosn,PB=n⋅PBn⋅PB，
即，化简得：，
解得：或（舍去，因为），即.
巩固练习
练习一 线面角的向量求法
1．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．
(1)求证：平面；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）取的中点为，连接，可证平面平面，从而可证平面.
（2）选①②均可证明平面，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值.
(1)
取的中点为，连接，
由三棱柱可得四边形为平行四边形，
而，则，
而平面，平面，故平面，
而，则，同理可得平面，
而平面，
故平面平面，而平面，故平面，
(2)
因为侧面为正方形，故，
而平面，平面平面，
平面平面，故平面，
因为，故平面，
因为平面，故，
若选①，则，而，，
故平面，而平面，故，
所以，而，，故平面，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则，
故，
设平面的法向量为，
则，从而，取，则，
设直线与平面所成的角为，则
.
若选②，因为，故平面，而平面，
故，而，故，
而，，故，
所以，故，
而，，故平面，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则，
故，
设平面的法向量为，
则，从而，取，则，
设直线与平面所成的角为，则
.
2．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点，分别为棱，的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,利用向量法证明线面平行；
（2）利用向量法求直线与平面所成角的正弦值.
(1)
证明: 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则,,
则,,
设平面的一个法向量为,
则,
令, 则,
则平面的一个法向量为,
平面
(2)
由（1）得 ,
设直线与平面所成角为.
直线与平面所成角的正弦值为.
3．如图，已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，平面AEFC⊥平面ABCD，EFAC，AE=AB，AC=2EF.
(1)求证：平面BED⊥平面AEFC；
(2)若四边形AEFC为直角梯形，且EA⊥AC，求直线BD与平面BCF所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据线面垂直的判定证明BD⊥平面AEFC即可；
（2）先证明FO⊥平面ABCD，再以OB，OC，OF所在直线为x轴､y轴､z轴正方向，建立空间直角坐标系，根据线面所成角的向量方法求解即可
(1)
菱形ABCD中，BD⊥AC
又∵平面AEFC⊥平面ABCD，平面AEFC∩平面ABCD=AC，
∴BD⊥平面AEFC，
又BD平面BED，
∴平面BED⊥平面AEFC
(2)
∵四边形AEFC为直角梯形，且EA⊥AC
又平面AEFC⊥平面ABCD，平面AEFC∩平面ABCD=AC，
所以EA⊥平面ABCD，
直角梯形中，AC=2EF，设AC交BD于O，连接FO，FB，则有AO=EF，AOEF，
∴AOFE为平行四边形，∴OFEA，
∴FO⊥平面ABCD，
分别以OB，OC，OF所在直线为x轴､y轴､z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
菱形ABCD中，∠ABC=60°，所以三角形ABC为等边三角形，
则OC=1，OF=AE=AB=2，OB=OD=，
则B（，0，0），C（0，1，0），F（0，0，2），D（-，0，0），
∴，，
设平面BCF的法向量为，则由即，
取，则，，所以.
∴，
设直线BD与平面BCF所成的角为
∴
故直线BD与平面BCF所成角的正弦值为
4．如图，四棱锥，底面ABCD为菱形，BD的中点为O，且PO⊥平面ABCD.
(1)证明：；
(2)若，，求直线PO与平面PAD所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）连接，由菱形的性质可得，再由线面垂直的性质可得，即可得到平面，从而得到.
（2）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，求出平面法向量和直线的方向向量，利用向量夹角公式即可求解.
(1)
连接，因为底面ABCD为菱形，的中点为，所以且，
又因为底面，平面，所以，
又，平面，平面，则平面，
因为平面，所以.
(2)
由（1）知，直线，，两两垂直，则以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系.
由题意设，，由，得，，又，，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量，由，令，得
设直线PO与平面PAD所成角为，则，
直线PO与平面PAD所成角的正弦值为.
5．已知空间几何体中，与均为等边三角形，平面平面，和平面所成的角为．
(1)求证：；
(2)若点E在平面上的射影落在的平分线上，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）取中点，由证得平面，即可证得；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，由线面角的向量求法即可求解.
(1)
取中点，连接，由与均为等边三角形，可得，
又平面，，则平面，又平面，则；
(2)
由（1）知，又平面平面，平面平面，平面，则平面，
以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设点E在平面上的射影为，则落在上，
，即为和平面所成的角，则，则，，
，则四边形为平行四边形，，则，
则，设平面的法向量，则，
令，则，设直线与平面所成角为，则.
6．如图，四棱锥的底面是梯形，，，E为线段中点．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）取中点F，连接交于点O，连接，利用线线垂直证明面即可；
（2）解析1：几何法，先根据线面垂直的性质证明面面，再作，证明B到面距离等于，进而求得线面夹角的正弦值；
解析2：向量法，以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，求面的法向量，进而求得线面角的正弦值即可
(1)
取中点F，连接交于点O，连接，
由，且梯形，有且，
故平行四边形，又，故为菱形，
所以为的中点，故.
又因为，故，
因为，面，
故面，又面，故．
(2)
解析1：几何法
在中，，故，
因为，故，由，即，
即，故面，
又，故面，面，故面面，
作，面面，面，故面，
在中，，因为，故B到面距离等于，
设与平面所成角为，，
故，故与平面所成角的正弦值为．
解析2：向量法
在中，，故，
因为，故，由，即，
即，故面，
以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，
故，
故，
设面的法向量为，则，令，故，
所以sinθ=|cos
7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，，，点M是AB的中点．
(1)求证：CM⊥平面PAB；
(2)若点N为CD的中点，求直线PN与平面PMD所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
(1)先证明， ，再利用线面垂直判定定理证明CM⊥平面PAB；
(2)以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用向量法求直线与平面所成的角的正弦值.
(1)
连接、，
∵，，所以，为等边三角形，且，
为的中点，则，
，则，
又因为，则，，
又，平面
平面；
(2)
平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图示所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设平面的法向量为，，，
由，可得，取，可得，
，则.
因此，直线与平面所成的角的正弦值为.
8．如图，正三棱柱的高和底面边长均为2，点P，Q分别为，BC的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)求直线BP与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由于是正三角形，为BC的中点，可得，再由正棱柱的性质得，则由线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可证得结论，
（2）设线段AC，的中点分别为，，以为坐标原点，分别以OB，OC，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解
(1)
因为是正三角形，为BC的中点，所以，
因为平面ABC，平面ABC，所以，
因为，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
(2)
设线段AC，的中点分别为，，以为坐标原点，分别以OB，OC，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．
因为正三棱柱的底面边长和高均为2，所以，，，，
，所以，，，．
设为平面的一个法向量，
则，令，则
设直线BP与平面所成角为，则
，
所以直线BP与平面所成角的正弦值为．
练习二 已知线面角求其他量
9．在四棱锥中，侧面为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，，，，，E为线段AB的中点，过直线CE的平面与线段PA，PD分别交于点M，N.
(1)求证：；
(2)若直线PC与平面CEMN所成的角的余弦值为，求的值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【解析】
(1)
∵ 为等边三角形，，∴ ，
又 E为中点，
，
∵ ，，
∴ 四边形AECD为矩形，故，
又平面PAD，平面，
∴ 平面PAD，
∵平面，平面平面
∴ ， 又E为等边三角形PAB边AB的中点，
∴ ，，，∴ △PEC为直角三角形，
且，又，，平面,平面,
∴ ，
∴ 平面PAB，平面,
∴ .
(2)
∵ 为正三角形，∴ ，又，,
∴ 平面ABCD.
以E为原点，以EC，EB，EP分别为x轴，y轴，z轴建立如图直角坐标系，
，，，
∴ ，，
设，，
，
设平面CEMN的法向量为，则.
取，，，
依题意有PC与平面CEMN所成的角的正弦值为，
即，
∴ 或(舍去），
∴ ，即.
10．如图，已知直三棱柱分别为线段的中点，为线段上的动点，.
(1)若，试证：；
(2)在（1）的条件下，当时，试确定动点的位置，使线段与平面所成角的正弦值为.
【答案】(1)证明见详解；
(2)为的中点．
【解析】
【分析】
（1）先证平面，得，结合已知条件得出，根据及勾股定理的逆定理，得出，进而得出平面，即证；
（2）建立空间直角坐标系，求出相关平面的法向量和直线的方向向量，再由向量的夹角公式可求出线面角，解方程即可得结果．
(1)
在中，
∵为中点且，
∴.
∵平面平面交线为，
∴平面，∴.
∵，分别为，的中点，
∴.
∴.
在直角和直角中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴.
∴平面，平面，
∴.
(2)
∵平面，由（1）得，，三线两两垂直，以为原点，
以，，为，，轴建立空间直角坐标系如图，
则，，，，，，
∴，.
设平面的一个法向量为，
则，
令得，，
设，，则，
∴，，
设直线与平面所成的角为，
则
即，为的中点．
11．已知边长为6的等边三角形△ABC中，点M，N分别是边AB，AC的三等分点，且，，沿MN将△AMN折起到的位置，使．
(1)求证：平面MBCN；
(2)在线段BC上是否存在点D，使直线与平面所成角为60°？若存在，求BD；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)存在点D，使直线与平面所成角为60°，此时BD=5.
【解析】
【分析】
（1）用余弦定理求出MN的长，进而用勾股定理逆定理得到，从而证明出线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，假设存在点D，设出点D坐标，用空间向量求解出答案.
(1)
证明：因为，所以，在△中，，，由余弦定理得：，所以，则，由勾股定理逆定理得：，
因为，所以平面MBCN；
(2)
由第一问可知：三线两两垂直，故以M为坐标原点，，MN，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，假设存在点D，BD=m，使得直线与平面所成角为60°，则，
所以，平面的法向量为，则，解得：，符合要求，
故在线段BC上存在点D，使直线与平面所成角为60°，此时BD=5.
12．如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.
(1)求证：；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用面面垂直的性质可证得平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；
（2）取的中点，连接，证明出平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的方程，求出的值，即可求得棱的长.
(1)
证明：因为四边形为正方形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，所以，.
(2)
解：取的中点，连接，
，为的中点，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，设，其中，
则、、、、，
，A1C1=2,2,0，，
设平面的法向量为，则，取，则，
由题意可得，
，解得，则.
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