高中数学1.2.4 二面角练习

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第一章 空间向量与立体几何
1.2空间向量在立体几何中的应用
1.2.4 二面角
知识梳理
1.二面角的定义

角
二面角
图形


定义
从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形
从空间一直线出发两个半平面所组成的图形
构成
边 — 点（顶点）一 边
半平面 一 直线（棱）一 半平面
表示
∠AOB
二面角α-a-β或α-AB-β
2.利用向量方法求二面角
（1）若二面角α-l-β的平面角的大小为θ，其两个面α，β的法向量分别为n1，n2，则|cos θ|=|cos|= |n1·n2||n1||n2|
（2）二面角的大小还可以转化为两直线方向向量的夹角.在二面角α-l-β的两个半平面α，β内，各取一条与棱l垂直的直线，则当直线的方向向量的起点在棱上时，两个方向向量的夹角即为二面角的大小.
特别提醒：由于二面角的取值范围是[0，π]，而两个面的法向量的方向无法从图形上直观确定，因此不能认为二面角的大小就是其两个面法向量夹角的大小，需要结合具体图形判断二面角是锐角还是钝角，从而求得其大小.



常见考点
考点一 二面角的向量求法
典例1．如图，在直三棱柱中，底面是等边三角形，是的中点，且．

(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）连接交于点，连接，由中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.
(1)
证明：连接交于点，连接，
在三棱柱中，四边形为平行四边形，
因为，则为的中点，
又因为为的中点，则，
平面，平面，因此，平面.
(2)
解：因为为等边三角形，为的中点，则，
又因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
.
因为，平面与平面夹角的余弦值为.
变式1-1．如图，三棱锥，侧棱，底面三角形为正三角形，边长为，顶点在平面上的射影为，有，且.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）证明，原题即得证；
（2）以为原点，方向直线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
(1)
解：因为，且，，所以，
所以．
因为为正三角形，所以，
又由已知可知为平面四边形，所以．
因为平面，平面，
所以平面．
(2)
解：由点在平面上的射影为可得平面，
所以，．
如图，以为原点，方向直线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则由已知可知，1，，，，，，0，，，，．
平面的法向量，0，，所以,
设，，为平面的一个法向量，则
由，得，令，则，，
所以平面的一个法向量， ，所以，
由图象知二面角是钝二面角，
所以二面角的余弦值为.

变式1-2．如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

(1)证明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）连接并延长交于点，连接、，根据三角形全等得到，再根据直角三角形的性质得到，即可得到为的中点从而得到，即可得证；
（2）过点作，如图建立平面直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；
(1)
证明：连接并延长交于点，连接、，
因为是三棱锥的高，所以平面，平面，
所以、，
又，所以，即，所以，
又，即，所以，，
所以
所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面

(2)
解：过点作，如图建立平面直角坐标系，
因为，，所以，

又，所以，则，，
所以，所以，，，，所以，
则，，，
设平面的法向量为，则，令，则，，所以；
设平面的法向量为，则，令，则，，所以；
所以
设二面角为，由图可知二面角为钝二面角，
所以，所以
故二面角的正弦值为；
变式1-3．如图，在三棱台中，，，，侧棱平面，点是棱的中点．

(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）先根据线面垂直的性质与判定证明，再根据勾股定理证明，进而根据线面垂直得到平面，从而根据面面垂直的判定证明即可
（2） 为坐标原点，，，的所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，再分别求解平面的一个法向量，进而得到面面角的正弦即可
(1)
证明：因为平面，平面，所以，
又，，，平面，所以平面．
又平面，所以．
又因为，，所以，所以．
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
(2)
以 为坐标原点，，，的所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示．

因为，，
所以，，，，．
设平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，且，，，，
因为所以令，则，，所以．
又因为所以令，则，，所以．
所以．
设二面角的大小为，则，
所以二面角的正弦值为．
典例2．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，为的中点，平面，．


(1)若点在线段上，且直线平面，确定点的位置；
(2)若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】(1)M为PB的中点
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据线面平行的性质定理及线面平行的判定定理，再利用平行四边形的性质及三角形的中位线，结合平行的传递性即可求解；
（2）根据（1）建立空间直角坐标系，得出相关点的坐标，分别求出平面和平面的法向量，再利用向量的夹角公式即可求解.
(1)
为的中点时，直线平面．
证明如下：设平面交直线于，连接.
因为平面，
平面平面,平面,所以．
因为，平面，平面，所以平面，
平面平面,平面,所以，
所以四边形为平行四边形，从而．
因为为的中点，则，
所以又，所以点为的中点．
(2)
因为平面PAB，则，，以为原点，以垂直所在直线为x轴，为y轴，为z轴，建立的空间直角坐标系，如图所示

设，则，．因为，则．
所以点，，，，，，，
设平面PCE的一个法向量为，则，
即
不妨令，得，，所以，
因为平面，所以为平面的一个法向量．
设平面与平面所成锐为二面角为，则，
所以平面PCE与平面PAB所成锐二面角的余弦值为．
变式2-1．如图，在等腰直角三角形中,分别是上的点，且分别为的中点，现将沿折起，得到四棱锥，连接

(1)证明：平面；
(2)在翻折的过程中，当时，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据三角形和梯形的中位线定理及面面平行的判定定理，结合面面平行的性质定理即可求解.
（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后求出平面与平面的法向量，再利用向量的夹角公式，进而可以求出二面角的余弦值，.
(1)
在四棱锥中，取的中点，连接.
因为分别为的中点，，
所以
又平面, 平面，所以平面，
同理可得，平面，
又平面，所以平面平面，
因为MN C平面，所以平面.
(2)
因为在等腰直角三角形中所以，
在四棱锥中，
因为则
又平面，所以平面，
又平面，所以
因为则
所以，故，
所以以点为坐标原点，分别以所在方向为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示，

，
所以，
设为平面的一个法向量，则
，即，
令，则，，
设为平面的一个法向量，则
，即，
令，则，，
设二面角所成角为，则
.
因为二面角的余弦值为.
变式2-2．如图，在四棱台中，，，四边形ABCD为平行四边形，点E为棱BC的中点．

(1)求证：平面；
(2)若四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）连，利用给定条件证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.
（2）以点A为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答.
(1)
在四棱台中，四边形为平行四边形，且，点E为棱BC的中点，连，如图，

则有，，即四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，
所以平面．
(2)
以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
设平面的一个法向量为，则，令，得，
平面DEC的一个法向量为，则，显然二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
变式2-3．在四棱锥中，底面为直角梯形，，E，F分别为的中点，.

(1)证明：平面平面；
(2)若与所成角为，求平面和平面所成角的余弦值.
【答案】(1)详见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据，E为的中点，得到，再由，利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；
（2）以E为原点，以EA为x轴，EB为y轴，以EP为z轴，建立空间直角坐标系，求得平面EBF的一个法向量为，再由平面ABE的一个法向量为，由求解.
(1)
证明：因为，E为的中点，
所以，又，且.
所以平面ABCD，
又因为平面PAD，
所以平面平面；
(2)
易证，则，
所以四边形是平行四边形，则，
所以，则，
以E为原点，以EA为x轴，EB为y轴，以EP为z轴，建立空间直角坐标系：

则，
所以，
设平面EBF的一个法向量为，
则，即，
令，则，
平面ABE的一个法向量为，
则，
又是钝角，
所以平面和平面所成角的余弦值.

考点二 已知二面角求其他量
典例3．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，M为线段PC的中点，，N为线段BC上的动点．

(1)证明：平面平面
(2)当点N在线段BC的何位置时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°？指出点N的位置，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)点N在线段BC的中点
【解析】
【分析】
（1）由底面ABCD，可得，而，可证得平面，从而得，而，所以平面，再由面面垂直的判定定理可得结论，
（2）设，以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可
(1)
证明：因为底面ABCD，底面ABCD，
所以，
因为，，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为四边形为正方形，，
所以，
因为在中，，M为线段PC的中点，
所以，
因为，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面，
(2)
当点N在线段BC的中点时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°，理由如下：
因为底面，平面，
所以，
因为，
所以两两垂直，
所以以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设，则，
设，则，
设为平面的法向量，则
，令，则，
设为平面的法向量，则
，令，则，
因为平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°，
所以，
化简得，得，
所以当点N在线段BC的中点时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°

变式3-1．如图1，在边上为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥．

(1)在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；
(2)当四棱锥体积最大时，求直线和平面所成角的正弦值；
(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点，使得二面角余弦值的绝对值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)在翻折过程中总有平面平面，证明见解析
(2)
(3)存在且为线段的中点
【解析】
【分析】
（1）证明出平面，进而证明面面垂直；（2）找到当平面时，四棱锥体积最大，直线和平面所成角的为，
求出，，由勾股定理得：，从而求出的正弦值；（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量和二面角的大小，列出方程，确定点的位置
(1)
在翻折过程中总有平面平面，
证明如下：∵点，分别是边，的中点，
又，∴，且是等边三角形，
∵是的中点，∴，
∵菱形的对角线互相垂直，∴，∴，
∵，平面，平面，
∴平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
(2)
由题意知，四边形为等腰梯形，
且，，，
所以等腰梯形的面积，
要使得四棱锥体积最大，只要点到平面的距离最大即可，
∴当平面时，点到平面的距离的最大值为，
此时四棱锥体积的最大值为，
直线和平面所成角的为，
连接，在直角三角形中，，，
由勾股定理得：.
．
(3)
假设符合题意的点存在．
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，
由（2）知，，
又，且，平面，平面，
平面，
故平面的一个法向量为，
设（），
∵，
，故，
∴，，
平面的一个法向量为，
则，，
即
令，所以
，
则平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，
则，解得：，
故符合题意的点存在且为线段的中点．
变式3-2．如图所示，在四棱锥中，，，，且．

(1)求证：平面ADP；
(2)已知点E是线段BP上的点且，，若二面角的大小为，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据向量数量积垂直及勾股定理的逆定理，再利用正方形的定义及线面垂直的判定定即可求解；
（2）根据（1）建立空间直角坐标系，得出相关点的坐标，分别求出平面PAD和平面EAD的法向量，再利用向量的夹角公式，进而可以求出二面角的余弦值，再结合已知条件即可求解.
(1)
连接BD，如图所示

由，知
，，，
在中，，，
设AB的中点为Q，连接DQ，则，，
所以四边形BCDQ为平行四边形，
又，，所以四边形BCDQ为正方形，
所以，，
在中，，
在中，，
所以，
又，，AP，平面ADP．
所以平面ADP．
(2)
由平面ADP，且平面ABCD，所以平面平面ABCD；
以D为原点，分别以DA，DB所在直线为x，y轴，以过点D与平面ABCD垂直的直线为z轴（显然z轴在面PAD内），建立如图所示空间坐标系，

则，，，，
，，，
设，，则
，
易知平面PAD的一个法向量为，
设平面EAD的法向量为，则
，即，
令，则，
设二面角的大小为，则
所以，
因为二面角的大小为，
所以，即，解得（舍）或．
所以，时，二面角E－AD－P的大小为．
变式3-3．如图1，在平面四边形PDCB中，，，，.将沿BA翻折到的位置，使得平面平面ABCD，如图2所示.

(1)设平面SDC与平面SAB的交线为l，求证：BC⊥l；
(2)点Q在线段SC上（点Q不与端点重合），平面QBD与平面BCD夹角的余弦值为，求线段BQ的长.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由题可得平面，进而证得；
（2）建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式列出方程，即可求解.
(1)
依题意，，
因为，所以，
由于平面平面ABCD，且交线为AB，平面ABCD，
所以平面SAB，
因为l是平面SDC与平面SAB的交线，
所以平面SAB，
故.
(2)
由上可知，平面SAB，所以，
由题意可知，，
以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，


，，
设，则，，
设是平面QBD的一个法向量，
则，令，可得
由于是平面CBD的一个法向量，
依题意，二面角的余弦值为，
所以，
解得，
此时，，
即线段BQ的长为.


巩固练习
练习一 二面角的向量求法
1．如图所示的几何体中，，，都是等腰直角三角形，，且平面平面，平面平面．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
(1) 分别取的中点，连接，由面面垂直的性质定理可得平面，平面，所以，进一步证得四边形是平行四边形，所以，再由线面平行的判定定理即可证明平面.
（2）如图，取的中点为，则，以点为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系,分别求出平面与平面的法向量，再由二面角代入即可得出答案.
(1)
证明：分别取的中点，连接，

设，则，
，
又平面平面，平面平面平面，
平面，
同理可证平面，，
又因为，所以四边形是平行四边形，，
又平面平面，平面；
(2)
如图，取的中点为，则，
以点为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，

则，
则，
设平面的一个法向量为，
则，
令，得平面的一个法向量为
设平面的一个法向量为，
则，
令，得平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
2．在如图所示的圆柱中，为圆的直径，、是的两个三等分点，、、都是圆柱的母线．

(1)求证：平面；
(2)若，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）连接、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立；
（2）连接，证明出，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值.
(1)
证明：连接、，
在圆柱中，为圆的直径，、是的两个三等分点，
则，且，
故、、均为等边三角形，
所以，在底面中，，则，
平面，平面，所以，平面，
因为、、都是圆柱的母线，则，
平面，平面，平面，
，所以，平面平面，
因为平面，因此，平面.
(2)
解：连接，因为是边长为的等边三角形，则，
因为，由余弦定理可得，
，，
因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
易知平面的一个法向量为，所以，，
由图可知，二面角为锐角，因此，二面角的余弦值为.
3．如图，在四棱锥中，，底面ABCD是边长为的正方形.E是PC的中点，过点A，E作棱锥的截面，分别与侧棱PB，PD交于M，N两点，

(1)证明：；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）连接交于，连接，根据线面垂直的判定，结合正四棱锥的性质证明面即可；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，再求解平面的法向量，根据二面角的向量解法求解即可
(1)
如图，连接交于，连接，因为，故正四棱锥，故底面，且为的中点.又底面ABCD是边长为的正方形，故，又面，故，又，面，故面，又面，故

(2)
由（1）可得，，，故以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示. 底面ABCD是边长为的正方形，故,又，故，故，因为E是PC的中点，故.
故，，设平面的法向量为，则 ，即，设则，，故，又底面，故面的一个法向量为.
设二面角为，则cosθ=m⋅nm⋅n=31+1+3=155，即二面角的余弦值为

4．如图，是边长为的等边三角形，四边形为菱形，平面平面，，，．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）证明出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立；
（2）取的中点，连接、，证明出平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成锐二面角的余弦值.
(1)
证明：因为四边形为菱形，则，
平面，平面，平面，
，平面，平面，平面，
，所以，平面平面，
因为平面，平面.
(2)
解：取的中点，连接、，
因为四边形为菱形，则，
因为，则为等边三角形，
因为为的中点，则，同理可得，
因为平面平面，平面平面，平面，
平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、，
设平面的向量为，，，
则，取，可得，
易知平面的一个法向量为，则.
因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
5．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．

(1)证明：MN∥平面；
(2)求平面与平面夹角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据线面平行的判定定理可知，要证平面C1DE，只需证明即可.
（2）以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为轴正方向,的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系，利用空间向量求解两平面的法向量，即可求解两个平面夹角的正弦值.
(1)
证明：连接．
因为分别为的中点，
所以，且．又因为为的中点，所以．
由题设知，可得，故，
因此四边形MNDE为平行四边形，．
又平面EDC1，平面EDC1，所以平面C1DE．
(2)
解：由已知可得DE⊥DA．
以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为轴正方向,的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
则，，，，
，，，．
设为平面A1MA的法向量，则，所以可取．
设为平面A1MN的法向量，则所以可取.
于是，.
所以平面AMA1与平面NMA1夹角的正弦值为．

6．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，为的中点，，.

(1)证明：.
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先求出，然后根据勾股定理可得，然后可得平面，然后可得，然后可证明；
（2）平面，取的中点，连接，则，，两两垂直，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后利用向量求解即可.
(1)
证明：在中，，，，由余弦定理可得，
所以，所以.
由题意，且，所以平面，
而平面，所以，又，所以.
(2)
由，，而与相交，所以平面，
因为，所以.
如图，取的中点，连接，则，，两两垂直，
以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，
所以，.
由（1）得平面，所以平面的一个法向量.
设平面的法向量为，
则，即
令，则，，，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.

7．如图所示的几何体中，底面ABCD是等腰梯形，，平面，，且，E，F分别为，的中点．

(1)证明：面ABCD；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）取的中点G，连接EG，FG，AC，证明平面平面ABCD，原题即得证；
（2）以C为坐标原点，分别以CA，CB，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
(1)
证明：取的中点G，连接EG，FG，AC，
因为，平面ABCD，平面ABCD，
所以平面ABCD，
因为，，所以四边形AGFC是平行四边形，
，又平面ABCD，平面ABCD，
所以平面ABCD，
因为，平面,
所以平面平面ABCD，
因为平面ABCD，所以平面ABCD．

(2)
解：设，
由，得，且，
由题意知CA，CB，两两垂直，以C为坐标原点，分别以CA，CB，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
由得，取，得，
连接BD，因为，，，所以平面，
所以平面的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
8．如图，已知四棱台的底面是矩形，平面平面，，为的中点，且.

(1)证明：平面平面；
(2)若，，求二面角的余弦值
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）证明平面，原题即得证；
（2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
(1)
证明：平面平面，平面平面，，平面，
平面． 又平面，．
，平面，，
平面．
又平面，平面平面．
(2)
解：设，则．
由（1）知，故．
所以，即，解得，所以．
又由棱台的性质可知故．
由（1）可知所在直线两两垂直，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示 ，

则
所以．
设，且平面，则，即
故可取．
设平面，可取，
所以．
由图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.

练习二 已知二面角求其他量
9．直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，且AC=AB=AA1=2．


(1)求证A1B⊥B1C；
(2)M、N分别为棱CC1、BC的中点，点P在线段A1B1上，是否存在点P，使平面PMN与平面ABC所成角的余弦值为，若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)不存在；理由见解析
【解析】
【分析】
（1）建立如图所示的空间直角坐标系，写出点的坐标，求出向量的坐标，由数量积为0证明直线垂直；
（2）假设存在，设，，求出两个平面法向量，由法向量夹角得二面角，从而求解，有解则存在，无解，则不存在．
(1)
如图，以AB，AC，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0),
，，，
，
，所以，即，

(2)
假设存在点满足题意，
设，
∴P(2，0，2)，N(1，1，0)，M(0，2，1)
，
设平面PMN的一个法向量为，
，即，令，得
又平面ABC的一个法向量为=(0，0，1)

∴，又，故方程无根，
所以线段上不存在点P，使平面PMN与平面ABC所成角的余弦值为．
10．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，，.

(1)求证：；
(2)在线段PD上是否存在点M，使得二面角的余弦值为？若存在，求三棱锥的体积；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）证明，结合，证明平面PAC，根据线面垂直的性质定理即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，设，求出平面MAC的一个法向量，结合平面ACD法向量以及条件可推出，即可求得答案.
(1)
证明：因为，，，所以，
又因为，且，，
所以，所以，
又因为平面ABCD，且平面ABCD，所以，
又因为，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC，
又因为平面PAC，所以．
(2)
解：在BC上取点E，使，则，故以A为原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，

则，，，，
设，，
在平面MAC中，，，
设平面MAC的一个法向量为，则，
令，则，，所以，
可取平面ACD法向量为，
所以，即，解得（2舍去），
所以三棱锥的高h为，所以．
11．如图，直角三角形中，，点在斜边上，且，平面，平面，，．

(1)求证：平面；
(2)点在线段上，且二面角的余弦值为，求的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由余弦定理可求得，从而得到；由线面垂直性质知，由线面垂直的判定与性质可得；分别求得的长，利用勾股定理可证得，由线面垂直的判定可证得结论；
（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可构造方程求得的长.
(1)
，，，，又，；
，解得：，
，则；
平面，平面，；
又平面，，平面，
平面，；
连接，在四边形中，作，垂足为，如下图所示，

，，，
，则；
平面，，平面.
(2)
以为坐标原点，正方向为轴，以的平行线为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

设，则，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
二面角的余弦值为，，
即，
，解得：或；
当时，由图形可知：二面角为钝二面角，不合题意；
则二面角的余弦值为时，.
12．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧面ACC1A1是菱形，平面ACC1A1⊥平面ABC，E，F分别是棱A1C1，BC的中点，G是棱CC1上一点，且．

(1)证明：EF平面ABB1A1；
(2)若三棱锥C1-ABC的体积为1，且二面角A-EG-F的余弦值为，求t的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）取中点，连接证明，原题即得证；
（2）证明平面，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
(1)
证明：取中点，连接为的中点，为的中点，
四边形为平行四边形，
平面平面，
平面.

(2)
解：平面平面过作平面，
，
为中点，，
如图分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，

由，

设平面和平面的一个法向量分别为,
∴,∴
，设二面角的平面角为,
.