人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.5 椭圆及其方程2.5.2 椭圆的几何性质达标测试

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第二章 平面解析几何几何
2.5椭圆及其方程
2.5.2 椭圆的几何性质
知识梳理
定义
到两定点F1，F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹
图形


标准方程
(>0)
(>0)
对称轴
x轴，y轴；
x轴，y轴；
中心
原点O（0，0）
原点O（0，0）
顶点
(a，0)， (─a，0)， (0，b) ， (0，─b)
(0， a)， (0，─a)， (b ，0) ， (─b ，0)
焦点
F1(c，0)， F2(─c，0)
F1(0，─c)， F2 (0 ，c)
轴长与焦距
长轴长2a，短轴长2b ，焦距2c
长轴长2a，短轴长2b ，焦距2c
离心率


通径


a，b，c关系


常见考点
考点一 椭圆的焦点、焦距
典例1．椭圆的一个焦点坐标为，则实数m的值为（       ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由焦点坐标得到，求解即可.
【详解】
根据焦点坐标可知，椭圆焦点在y轴上，所以有，解得．
故选：C.
变式1-1．下列与椭圆焦点相同的椭圆是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由椭圆的简单几何性质：“焦点跟着大的走”，椭圆的焦点在轴上，且，得出椭圆的焦点坐标为：，依次判断各个选项即可.
【详解】
由题意得，椭圆C中，，即焦点坐标为和；
对于A选项，椭圆焦点在轴上，不满足题意；
对于B选项，椭圆焦点在轴上，，，，不满足题意；
对于C选项，椭圆焦点在轴上，，，不满足题意；
对于D选项，椭圆焦点在轴上，，，，满足题意；
故答案为：D.
变式1-2．椭圆的焦距为2，则的值为（       ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可得焦点在轴上，且，再根据，即可得出答案.
【详解】
解：因为椭圆，
所以焦点在轴上，
又椭圆的焦距为2，所以，
所以，解得.
故选：C.
变式1-3．已知椭圆的焦距为，则m的值不可能为（       ）
A．1 B．7 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据椭圆的焦距，分，求解.
【详解】
由题知，.
若，则，，
所以，即；
若，则，，即.
故选：D

考点二 椭圆的顶点、轴长
典例2．已知椭圆的短轴长为8，且一个焦点是圆的圆心，则该椭圆的左顶点为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据椭圆的一个焦点是圆的圆心，求得c，再根据椭圆的短轴长为8求得b即可.
【详解】
圆的圆心是，
所以椭圆的一个焦点是，即c=3，
又椭圆的短轴长为8，即b=4，
所以椭圆的长半轴长为，
所以椭圆的左顶点为，
故选：D
变式2-1．以椭圆的两个焦点及短轴的两个端点为四个顶点的椭圆方程是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出已知椭圆的两个焦点及短轴的两个端点坐标，确定出所求椭圆的长轴、短轴即可得解.
【详解】
椭圆的两个焦点，短轴的两个端点，
则以点及为四个顶点的椭圆长轴长，短轴长，
其焦点在y轴上，中心在原点，方程为，
所以所求的椭圆方程是：.
故选：B
变式2-2．连接椭圆短轴的一个顶点与两焦点的三角形是等边三角形，长轴长与短轴长之比为（       ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可得，再根据之间的关系，将用表示，从而可得出答案.
【详解】
解：因为连接椭圆短轴的一个顶点与两焦点的三角形是等边三角形，
所以，
所以，所以，
故，
所以长轴长与短轴长之比为.
故选：C.
变式2-3．椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的倍，则 m 的值为（     ）
A．2 B． C．4 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件列方程，化简求得的值.
【详解】
依题意，方程，表示焦点在轴上的椭圆，
所以，，故，只有B选项符合.
，由于长轴长是短轴长的倍，
即，即，解得.
故选：B

考点三 求椭圆的离心率
典例3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若的周长为18，长半轴长为5，则椭圆C的离心率为（       ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
因为的周长为18，所以，结合题意可得，代入离心率公式运算求解．
【详解】
设焦距为．
因为的周长为18，所以，所以．
因为长半轴长为5，即
所以椭圆C的离心率为
故选：B．
变式3-1．已知点A，B分别是椭圆的右、上顶点，点O为椭圆C上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为左焦点，且，则椭圆C的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可得，，，再根据列式求解即可
【详解】

由已知得：，，
所以，
由得：
所以
所以
由得：
所以     
故选：C
变式3-1．已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义以及焦点三角形中的余弦定理即可建立齐次式求解.
【详解】
在椭圆中，由椭圆的定义可得，
因为，所以，在中，，
由余弦定理得，
即所以所以的离心率.
故选：C
变式3-3．已知椭圆与圆，过椭圆的顶点作圆的两条切线，若两切线互相垂直，则椭圆的离心率是（        ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据椭圆和圆的方程，结合图形，可判断出相切时，切线与坐标轴的夹角的大小，进而求解.
【详解】
由题意可知，若两切线垂直，则过椭圆的左右顶点作圆的切线.
两切线垂直，只需要,所以
故选：B


考点四 椭圆的离心率的取值范围
典例4．已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据椭圆性质结合离心率运算处理．
【详解】
由题得：，所以
故选：A．
变式4-1．已知椭圆C：（）的左､右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（       ）
A． B． C． D．.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题设以线段为直径的圆为，根据直线与圆相交，利用点线距离公式列不等式求椭圆C的离心率的范围.
【详解】
由题设，以线段为直径的圆为，与直线相交，
所以，可得，即，又，
所以.
故选：B
变式4-2．设分别为椭圆的左､右焦点，若在直线（c为半焦距）上存在点P，使的长度恰好为椭圆的焦距，则椭圆离心率的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意得到，得到，求得，进而求得椭圆离心率的范围.
【详解】
如图所示，椭圆，可得焦距，
因为在直线上存在点P，使的长度恰好为椭圆的焦距，
可得，即，可得，即，解得
又因为椭圆的离心率，所以.
故选：B.

变式4-3．已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆上一点M满足，则该椭圆离心率取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
如图根据椭圆的性质可知，当点在短轴顶点（不妨设上顶点时最大，要椭圆上存在点，满足，，，即可，
【详解】
解：如图根据椭圆的性质可知，当点在短轴顶点（不妨设上顶点时最大，

要椭圆上存在点，满足，则，，，即，又，所以
故椭圆离心率的取值范围是，
故选：D．

考点五 由离心率求参数或参数的范围
典例5．已知椭圆=1的离心率为，则k的值为（       ）
A．4 B． C．4或 D．4或
【答案】C
【解析】
【分析】
根据焦点所在坐标轴进行分类讨论，由此求得的值.
【详解】
当焦点在轴上时，，且.
当焦点在轴上时，且.
故选：C
变式5-1．已知椭圆(a>b>0)的离心率为，则＝（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由离心率得，再由转化为．
【详解】
因为，所以8a2＝9b2，所以．
故选：D.
变式5-2．已知椭圆的离心率为，则的值为（       ）
A．或4 B． C．或2 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分焦点在轴和轴上进行分类讨论，分别表示出a、b、c，列出关于离心率的方程，即可求出n.
【详解】
当椭圆的焦点在轴上时，则，则，，则，
此时，椭圆的离心率为，解得；
当椭圆的焦点在轴上时，则，则，，则，
此时，椭圆的离心率为，解得.因此，或4.
故选：A
变式5-3．设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】
当焦点在x轴时，
，
当焦点在y轴时，
所以实数的取值范围是.
故选：D.

考点六 由几何性质求椭圆方程
典例6．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆方程是（       ）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【解析】
【分析】
讨论焦点在轴和轴两种情况，根据已知计算即可得出结果.
【详解】
当椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为，由离心率为，
∴
∵椭圆过点（2，0），∴，∴ ，∴ ，
∴椭圆标准方程为
当椭圆的焦点在y轴上，同理易得：
故选：D.
变式6-1．已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，过的直线l交C与A，B两点，若△的周长为，则C的方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由焦点三角形的周长及椭圆的定义可得，再根据离心率求参数c，进而求得，即可写出椭圆方程.
【详解】
由题设，，且，
所以△的周长为，即，
又，可得，则，
综上，C的方程为.
故选：B
变式6-2．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是（        ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据椭圆的离心率公式，结合配方法进行求解即可.
【详解】
圆C：(x－1)2＋y2＝16，∴ 2a＝4，即a＝2．由，
而，所以椭圆的标准方程是：，
故选：B
变式6-3．已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.
【详解】
解：因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，
B为上顶点，所以.
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为.
故选：B.


巩固练习
练习一 椭圆的焦点、焦距
1．椭圆的一个焦点坐标为，则（       ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】D
【解析】
【分析】
由条件可得，，，，由关系可求值.
【详解】
∵椭圆方程为：，
∴，
∴，，
∵椭圆的一个焦点坐标为，
∴，又，
∴，
∴ ，
故选：D.
2．下列选项中，与椭圆有相同焦点的椭圆是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出椭圆的半焦距，得焦点坐标，再判断各选项．
【详解】
由题意已知椭圆方程得，，焦点为，
C中椭圆焦点在轴，显然不合题意，
A中椭圆的，不合题意，
B中椭圆的，，焦点为，满足题意，
D中椭圆的，不合题意．
故选：B．
3．椭圆的焦距是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将椭圆化成标准式，即可求解.
【详解】
由得，所以焦距为.
故选：D
4．已知椭圆的焦距等于，则实数的值为（       ）
A．或 B． C．或 D．或
【答案】A
【解析】
【分析】
对椭圆焦点的位置进行分类讨论，结合、、三者的关系可求得的值.
【详解】
若椭圆的焦点在轴上，则，，则，解得；
若椭圆的焦点在轴上，则，，则，解得.
综上所述，或.
故选：A.

练习二 椭圆的顶点、轴长
5．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，则＝（       ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据椭圆的标准方程求出，可求得的值.
【详解】
由得，所以，所以，
所以，所以.
故选：D
6．椭圆的长轴长、短轴长和焦点坐标依次为（       ）．
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】A
【解析】
【分析】
根据椭圆中长轴长、短轴长和焦点坐标的定义可答案.
【详解】
在椭圆中，
所以椭圆的长轴长为 、短轴长为，焦点坐标为
故选：A
7．已知椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则（       ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
先将椭圆方程化为标准形式，再根据椭圆的焦点在轴上，且长轴长是短轴长的两倍求解.
【详解】
将椭圆化为标准形式为 ，
因为椭圆的焦点在轴上，
长轴长是短轴长的两倍，
所以，
解得，
故选：C．
8．已知椭圆的长轴长与短轴长之差为2，则C的焦距为（       ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】
【分析】
分椭圆的焦点在x轴上和在y轴上分别得出，根据条件先求出，再求焦距.
【详解】
当C焦点在x轴上，此时，则，解得
此时焦距为
当C的焦点在y轴上，此时，则，解得
此时C的焦距为；.
故选：D.

练习三 求椭圆的离心率
9．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，为上一点，，，则椭圆的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意可得：，所以，化简即可得解.
【详解】
由题意可得：，
所以，得，
所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查了椭圆离心率的计算，考查了椭圆通径长，属于基础题.
10．椭圆的左右焦点分别为，点P在椭圆上，轴，且是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
依题意可知，结合，化简后可求得离心率.
【详解】
由于轴，且是等腰直角三角形，所以，即，即.两边除以得，解得，故选D.
【点睛】
本小题考查椭圆的几何性质，考查等腰直角三角形的几何性质，考查椭圆离心率的求法.解题的关键是通过阅读题目，得到一个方程，然后结合，将得到的方程转化为离心率的形式，然后解方程可求得离心率的值.考查了分析和求解问题的能力，属于基础题.
11．已知椭圆C的左、右焦点分别为，，直线AB过与该椭圆交于A，B两点，当为正三角形时，该椭圆的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义，结合余弦定理、椭圆离心率公式进行求解即可.
【详解】
设正三角形的边长为，
设椭圆的标准方程为：，设左、右焦点分别为，
设，则有，
由椭圆的定义可知：，
，解得：，，
在中，由余弦定理可知：，

故选：B
12．已知椭圆的左顶点和上顶点分别为，若的垂直平分线过的下顶点，则的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题干条件得到，进而列出方程，求出，进而求出离心率.
【详解】
由题可知，因为的垂直平分线过的下顶点，所以，则，解得：，所以的离心率.
故选：A

练习四 椭圆的离心率的取值范围
13．已知，分别是椭圆的左，右焦点，若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意得出以原点为圆心以c为半径的圆与椭圆有交点，即，从而结合，即可求出椭圆离心率e的取值范围.
【详解】
因为椭圆上存在点P，使，
所以以原点为圆心以c为半径的圆与椭圆有交点，
即，所以，又因为，所以，
即，又因为， 所以， 
所以椭圆的离心率e的取值范围为 
故选：B.
14．已知椭圆：，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由P在上顶点时，最大，进而得到，由求解.
【详解】
如图：

当P在上顶点时，最大，此时，
则，
所以，
即，，
所以，
则，
所以椭圆的离心率的取值范围是，
故选：A
15．已知椭圆，，分别为椭圆的左､右顶点，若在椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设，得到，结合，得到，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】
由题意，椭圆，可得，，
设，代入椭圆的方程，可得，
则，
即，即.
又因为，所以.
故选：A.
16．已知圆：与圆：，若在椭圆上存在点P，使得过点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用相切得∠APO 45°，转化为，代入离心率公式求解即可.
【详解】
解：若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直,设切点为A，
由∠APO 45°
即sin∠APO sin 45
即
则，
故选：C.


练习五 由离心率求参数或参数的范围
17．已知焦点在轴上的椭圆离心率为，则实数等于（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，由椭圆的标准方程分析可得，，则，进而由椭圆的离心率公式，解得的值.
【详解】
由题意，得，，则，
所以椭圆的离心率，解得m=8.
故选：B.
18．已知椭圆的离心率为，则的值为（       ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】
【分析】
求出的值，对椭圆焦点的位置进行分类讨论，可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.
【详解】
因为，可得.
若椭圆的焦点在轴上，则，解得；
若椭圆的焦点在轴上，则，解得.
综上所述，或.
故选：C.
19．已知椭圆x2＋＝1(b＞0)的离心率为，则b等于(　　)
A．3 B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用椭圆的离心率，列出关系式转化求解即可．
【详解】
椭圆x2＋＝1(b＞0)的离心率为，
可得 ，解得b=．
故选B．
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
20．已知椭圆的离心率(，1)，则实数m的取值范围是
A．(0，) B．(，+∞)
C．(0，)∪(，+∞) D．(，1)∪(1，)
【答案】C
【解析】
【分析】
由椭圆离心率的范围可得的范围，再分别讨论椭圆的焦点在x轴和y轴两种情况求解即可.
【详解】
椭圆的标准方程为．
又，
所以．
当椭圆的焦点在x轴上时，，，则 ；
当椭圆的焦点在y轴上时，，，则．
所以实数m的取值范围是(0，)∪(，+∞)．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了由椭圆的离心率求参数范围，注意讨论椭圆的焦点在哪个轴上，属于易错题型.

练习六 由几何性质求椭圆方程
21．焦点在轴上，长轴长为10，离心率为的椭圆的标准方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据长轴长算出后，由离心率可得的值，从而可得椭圆的标准方程.
【详解】
因为长轴长为，故长半轴长，因为，所以半焦距，
故，
又焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为，
故选：D
22．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆：的直径，则椭圆的标准方程是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求得圆的半径，由此求得，结合椭圆离心率求得，由此求得，进而求得椭圆的标准方程.
【详解】
依题意可设椭圆的标准方程为，半焦距为，
由，半径为4，
故有，又，，
.
所以椭圆的标准方程为.
故选：B
23．已知椭圆的右焦点为F，椭圆上的两点P､Q关于原点对称，若6，且椭圆C的离心率为，则椭圆C的方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义与对称性可得，再根据离心率为可得，进而得出椭圆方程
【详解】
由椭圆的定义及椭圆的对称性可得由椭圆C的离心率为得，所以
故选：A
24．已知椭圆：（）的左、右焦点为，，离心率为，过的直线交椭圆于两点，若的周长为，则它的方程为（          ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
根据椭圆的定义，可得，得，再由离心率为，求得，进而得到，即可求得椭圆的方程.
【详解】
因为△AF1B的周长为，根据椭圆的定义，可得，即，
又由离心率为，即，所以，则，
所以椭圆C的方程为.
故选：B.