苏科版九年级上册2.2 圆的对称性课后测评

2022-2023学年苏科版九年级数学上册《2.2圆的对称性》同步测试题（附答案）

一．选择题（共8小题，满分32分）

1．如图，等腰△ABC的顶角∠CAB为50°，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则的度数为（　　）

A．25° B．35° C．50° D．65°

2．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且＝3，则弦AC与弦BC的关系是（　　）

A．AC＝3BC B．AC＝BC C．AC＝（+1）BC D．AC＝BC

3．如图，圆内接四边形ABCD，BD是⊙O的直径，且AC⊥BD．若∠ACD＝28°，则∠CBD的度数为（　　）

A．28° B．30° C．36° D．45°

4．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（　　）

A．AE＝BE B．OE＝DE C． D．

5．如图，在⊙O中，弦AB＝5，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（　　）

A．5 B．2.5 C．3 D．2

6．如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为（　　）

A．36 B．24 C．18 D．72

7．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点M是弦AB上的动点，则（　　）

A．4≤OM≤5 B．3≤OM＜5 C．3＜OM≤5 D．3≤OM≤5

8．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC＝30°，则CD的长为（　　）

A．5 B．2 C．4 D．

二．填空题（共5小题，满分20分）

9．如图，AB为圆O的一弦，且C点在AB上．若AC＝6，BC＝2，AB的弦心距为3，则OC的长度为              

10．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8，OF＝，则OE的长为              

11．已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝              

12．如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC＝4，DE＝4，则BC的长是（　　）

13．如图，某下水道的横截面是圆形的，水面CD的宽度为2m，F是线段CD的中点，EF经过圆心O交⊙O于点E，EF＝3m，则⊙O半径的长是              

三．解答题（共8小题，满分68分）

14．如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点H，AB＝CD，连接AD、BC．求证：AH＝CH．

15．如图，⊙O的半径长为5，AB为⊙O的直径，弦AC的长为8，点D为的中点．求弦DC的长．

16．如图，在⊙O中，＝，∠BOC＝120°．求证△ABC是等边三角形．

17．如图，在⊙O中，点E是弦CD的中点，过点O，E作直径AB（AE＞BE），连接BD，过点C作CF∥BD交AB于点G，交⊙O于点F，连接AF．求证：AG＝AF．

18．已知：如图，A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD＝80°，B是的中点．

（1）在CD上求作一点P，使得AP+PB最短；

（2）若CD＝4cm，求AP+PB的最小值．

19．如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，求AB的长．

20．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为16m，拱高（的中点C到弦AB的距离）CD为4m．

（1）求圆弧形拱桥所在圆的半径；

（2）有一艘宽为10m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面2m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由．

21．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．

（1）求证：AC＝CG；

（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．

参考答案

一．选择题（共8小题，满分32分）

1．解：设圆心为O，连接OE、OD，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵OB＝OD，

∴∠OBD＝∠ODB，

∴∠ODB＝∠ACB，

∴OD∥AC，

∴∠DOE＝∠OEA，

∵OA＝OE，

∴∠BAC＝∠OEA，

∴∠DOE＝∠BAC＝50°，

即弧DE的度数为50°，

故选：C．

2．解：如图，过点O作OD⊥AB，交AC于D，连接BD，OC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵＝3，

∴∠AOC＝135°，

∵OA＝OC，

∴∠A＝∠ACO＝22.5°，

∵OD是AB的垂直平分线，

∴AD＝BD，

∴∠A＝∠ABD＝22.5°，

∴∠CDB＝∠CBD＝45°，

设CD＝CB＝x，则AD＝BD＝x，

∴＝＝，

∴AC＝（+1）BC．

故选：C．

3．解：∵BD是⊙O的直径，且AC⊥BD，

∴BD是AC的垂直平分线，

∴，

∴∠ABD＝∠CBD，

∵∠ACD＝∠ABD＝28°，

∴∠CBD＝28°，

故选：A．

4．解：∵AB⊥CD，CD过圆心O，

∴AE＝BE，＝，＝，

不能推出OE＝DE，

所以选项A、选项C、选项D都不符合题意，只有选项B符合题意；

故选：B．

5．解：连接OD，如图，

∵CD⊥OC，

∴∠DCO＝90°，

∴CD＝，

当OC的值最小时，CD的值最大，

而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，

∴CD＝CB＝AB＝×5＝2.5，

即CD的最大值为2.5，

故选：B．

6．解：如图，连接OC，

∵AB＝12，BE＝3，

∴OB＝OC＝6，OE＝3，

∵AB⊥CD，

在Rt△COE中，EC＝，

∴CD＝2CE＝6，

∴四边形ACBD的面积＝．

故选：A．

7．解：当M与A（B）重合时，OM的值最大＝OA＝5；

当OM垂直于AB时，可得出M为AB的中点，此时OM最小，连接OA，

在Rt△AOM中，OA＝5，AM＝AB＝4，

根据勾股定理得：OM＝＝3，

∴3≤OM≤5，

故选：D．

8．解：过点O作OF⊥CD于F，连接CO，

∵AE＝5，BE＝1，

∴AB＝6，

∴⊙O的半径为3，

∴OE＝3﹣1＝2．

∵∠AEC＝30°，

∴OF＝1，

∴CF＝2，

∴CD＝2CF＝4，

故选：C．

二．填空题（共5小题，满分20分）

9．解：作OD⊥AB于点D，如图所示，

由题意可知：AC＝6，BC＝2，OD＝3，

∴AB＝8，

∴AD＝BD＝4，

∴CD＝2，

∴OC＝＝＝，

10．解：连接OB、AB，

∵BD⊥AO，BD＝8，

∴BE＝ED＝BD＝4，

∵OF⊥BC，

∴CF＝FB，

∵CO＝OA，OF＝，

∴AB＝2OF＝2，

由勾股定理得：AE＝＝2，

在Rt△BOE中，OB2＝OE2+BE2，

即OA2＝（OA﹣2）2+42，

解得：OA＝5，

∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3．

11．解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，

则OB＝7，

∵PA＝4，PB＝6，

∴AB＝PA+PB＝10，

∵OC⊥AB，

∴AC＝BC＝5，

∴PC＝PB﹣BC＝1，

在Rt△OBC中，根据勾股定理得：

OC2＝OB2﹣BC2＝72﹣52＝24，

在Rt△OPC中，根据勾股定理得：

OP＝＝＝5，

12．解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠C＝90°，

∵OD⊥AC，

∴点D是AC的中点，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD∥BC，且OD＝BC，

设OD＝x，则BC＝2x，

∵DE＝4，

∴OE＝4﹣x，

∴AB＝2OE＝8﹣2x，

在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AB2＝AC2+BC2，

∴（8﹣2x）2＝（4）2+（2x）2，

解得x＝1．

∴BC＝2x＝2．

13．解：∵CD是弦，CD＝2m，点F是CD的中点，EF过圆心O，

∴EF⊥CD，CF＝DF＝＝1（m），

连接OC，设OC＝xm，则OF＝（3﹣x）m，

在Rt△COF中，由勾股定理得，

OC2＝OF2+CF2，

即x2＝（3﹣x）2+12，

解得x＝，

三．解答题（共8小题，满分68分）

14．证明：∵AB＝CD，

∴，即，

∴，

∴AD＝BC，

又∵∠ADH＝∠CBH，∠A＝∠C，

∴△ADH≌△CBH（ASA），

∴AH＝CH．

15．解：连接DO并延长交AC于点E，

∵点D为弧ABC的中点，

∵DE⊥AC，且AE＝EC，

 AC＝8，．AE＝EC＝4

∵DO＝AO＝5，

∴OE＝3，

∴DE＝8，

∴在Rt△DEC中，

DC＝＝．

16．证明：∵，

∴AB＝AC，

∵∠BOC＝120°，

∴∠BAC＝60°，

∴△ABC是等边三角形．

17．证明：∵AB为⊙O的直径，点E是弦CD的中点，

∴AB⊥CD，

∴＝，

∴∠B＝∠F，

∵CF∥BD，

∴∠AGF＝∠B，

∴∠AGF＝∠F，

∴AG＝AF．

18．解：（1）作BB′⊥CD，交圆于B′，然后连接AB′，交CD于P点，P就是所求的点；

（2）延长AO交圆于E，连接OB′，B′E．

∵BB′⊥CD

∴＝，

∵∠AOD＝80°，B是的中点，

∴∠DOB′＝∠AOD＝40°．

∴∠AOB′＝∠AOD+∠DOB′＝120°，

又∵OA＝OB′，

∴∠A＝＝30°．

∵AE是圆的直径，

∴∠AB′E＝90°，

∴直角△AEB′中，B′E＝AE＝×4＝2，

∴AB′＝＝＝2cm．

19．解：

连接OA，

∵直径CD＝20，

∴半径OD＝OA＝10，

∵OM：OD＝3：5，

∴OM＝6，

∵AB⊥CD，

∴∠AMO＝90°，

在Rt△AOM中，由勾股定理得：AM2＝OA2﹣AM2，

即AM2＝102﹣62＝64，

解得：AM＝8（负数舍去），

∵AB⊥CD，CD过圆心O，

∴BM＝AM＝8，

∴AB＝8+8＝16．

20．解：（1）如图，连接ON，OB．

∵OC⊥AB，

∴D为AB中点，

∵AB＝16m，

∴BD＝AB＝8m．

又∵CD＝4m，

设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝（r﹣4）m．

在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+82，

解得r＝10，

∴圆的半径为10m．

（2）此货船能顺利通过这座拱桥．

理由：∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面2m，

∴CE＝4﹣2＝2（m），

∴OE＝r﹣CE＝10﹣2＝8（m），

在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝102﹣82＝36，

∴EN＝6（m）．

∴MN＝2EN＝2×6＝12＞10．

∴此货船能顺利通过这座拱桥．

21．（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，

∴∠DEB＝∠BFG＝90°，

∵∠DBE＝∠GBF，

∴∠D＝∠G，

∵∠A＝∠D，

∴∠A＝∠G，

∴AC＝CG；

（2）解：连接OC，如图，

设⊙O的半径为r．

∵CA＝CG，CD⊥AB，

∴AE＝EG＝8，EC＝ED＝4，

∴OE＝AE﹣OA＝8﹣r，

在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，

∴r2＝（8﹣r）2+42，

解得r＝5，

∴⊙O的半径为5．