初中数学北师大版九年级下册6 利用三角函数测高课后练习题

这是一份初中数学北师大版九年级下册6 利用三角函数测高课后练习题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共9小题）
1. 小新站在高楼上的点 A 处看一棵小树顶端 B 的仰角为 30∘，同时看小树底端 C 的俯角为 70∘，则 ∠BAC 等于
A. 40∘B. 100∘C. 20∘D. 50∘

2. 如图，从点 C 观测点 D 的仰角是
A. ∠DABB. ∠DCEC. ∠DCAD. ∠ADC

3. 直角梯形 ABCD 如图放置，AB，CD 为水平线，BC⊥AB，如果 ∠BCA=67∘，从低处 A 处看高处 C 处，那么点 C 在点 A 的
A. 俯角 67∘ 方向B. 俯角 23∘ 方向C. 仰角 67∘ 方向D. 仰角 23∘ 方向

4. 如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部 E 点处测得旗杆顶端的仰角 ∠AED=58∘，升旗台底部到教学楼底部的距离 DE=7 米，升旗台坡面 CD 的坡度 i=1:0.75，坡长 CD=2 米，若旗杆底部到坡面 CD 的水平距离 BC=1 米，则旗杆 AB 的高度约为（参考数据：sin58∘≈0.85，cs58∘≈0.53，tan58∘≈1.6）
A. 12.6 米B. 13.1 米C. 14.7 米D. 16.3 米

5. 如图，某梯子长 10 米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为 α 时，梯子顶端靠在墙面上的点 A 处，底端落在水平地面的点 B 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为 β，已知 sinα=csβ=35，则梯子顶端上升了
A. 1 米B. 1.5 米C. 2 米D. 2.5 米

6. 某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门 A 测得历下亭 C 在北偏东 37∘ 方向，继续向北走 105 m 后到达游船码头 B，测得历下亭 C 在游船码头 B 的北偏东 53∘ 方向．如图，则南门 A 与历下亭 C 之间的距离约为（参考数据：tan37∘≈34，tan53∘≈43）
A. 225 mB. 275 mC. 300 mD. 315 m

7. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是 40 米/分，小红用 15 分钟到家，小颖 20 分钟到家，小红和小颖家的直线距离为
A. 600 米B. 800 米C. 1000 米D. 不能确定

8. 如图，在 Rt△ABC 中 ∠CAB=90∘，AD⊥BC 于点 D，BD=2，tanC=12，则线段 AC 的长为
A. 10B. 8C. 85D. 45

9. 如图，AB 是垂直于水平面的建筑物．为测量 AB 的高度，小红从建筑物底端 B 点出发，沿水平方向行走了 52 米到达点 C，然后沿斜坡 CD 前进，到达坡顶 D 点处，DC=BC．在点 D 处放置测角仪，测角仪支架 DE 高度为 0.8 米，在 E 点处测得建筑物顶端 A 点的仰角为 27∘（点 A，B，C，D，E 在同一平面内），斜坡 CD 的坡度（或坡比）i=1:2.4，那么建筑物 AB 的高度约为
（参考数据 sin27∘≈0.45，cs27∘≈0.89，tan27∘≈0.51）
A. 65.8 米B. 71.8 米C. 73.8 米D. 119.8 米

二、填空题（共5小题）
10. 仰角与俯角
1 抬头看时，视线与水平线的夹角叫仰角，图中人眼看点 A 的仰角 = ；
2 低头看时，视线与水平线的夹角叫俯角，图中人眼看点 B 的俯角 = ．

11. 小明站在 A 处放风筝，风筝飞到 C 处时的线长为 20 m，这时测得 ∠CBD=60∘，若牵引底端 B 离地面 1.5 m，则此时风筝离地面高度为 ．（结果保留根号）

12. 坡度等于 1:3 的斜坡的坡角的度数是 ．

13. 如果在 A 点处观察 B 点的仰角为 α，那么在 B 点处观察 A 点的俯角为 ．（用含 α 的式子表示）

14. 某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角为 45∘ 的传送带 AB 调整为坡度 i=1:3 的新传送带 AC（如图所示）．已知原传送带 AB 的长是 42 m，那么新传送带 AC 的长是 m．

三、解答题（共6小题）
15. 新冠肺炎疫情期间，我国各地采取了多种方式进行预防．其中，某地运用无人机规劝居民回家．如图，无人机于空中 A 处测得某建筑顶部 B 处的仰角为 45∘，测得该建筑底部 C 处的俯角为 17∘，若无人机的飞行高度 AD 为 10 m，求该建筑 BC 的高度（结果取整数）．参考数据：sin17∘≈0.29，cs17∘≈0.96，tan17∘≈0.31．

16. 如图，拦水坝的横截面为梯形 ABCD，AD=3 m，坝高 AE=DF=6 m，坡角 α=45∘，β=30∘，求 BC 的长．

17. 图 1 是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图 2 是其侧面示意图，其中枪柄 BC 与手臂 MC 始终在同一直线上，枪身 BA 与额头保持垂直，量得胳膊 MN=28 cm，MB=42 cm，肘关节 M 与枪身端点 A 之间的水平宽度为 25.3 cm（即 MP 的长度），枪身 BA=8.5 cm．
（参考数据：sin66.4∘≈0.92，cs66.4∘≈0.40，sin23.6∘≈0.40，2≈1.414）
（1）求 ∠ABC 的度数；
（2）测温时规定枪身端点 A 与额头距离范围为 3∼5 cm．在图 2 中，若测得 ∠BMN=68.6∘，小红与测温员之间距离为 50 cm．问此时枪身端点 A 与小红额头的距离是否在规定范围内?并说明理由．（结果保留小数点后一位）

18. 如图，为了加快 5G 网络信号覆盖，某地在附近小山的顶部架设信号发射塔．为了知道信号发射塔的高度，在地面上的 A 处测得塔顶 P 处的仰角是 31∘，向发射塔方向前行 100 m 到达地面上的 B 处，测得塔顶 P 处的仰角是 58∘，塔底 Q 处的仰角是 45∘．根据测得的数据，求信号发射塔 PQ 的高度（结果取整数）．
参考数据：tan31∘≈0.60，tan58∘≈1.60．

19. 淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度．
（1）如图①所示，淇淇将镜子放在地面上，然后后退直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端 E，测得脚掌中心位置 B 到镜面中心 C 的距离是 50 cm，镜面中心 C 距离旗杆底部 D 的距离为 4 m，已知淇淇同学的身高是 1.54 m，眼睛位置 A 距离淇淇头顶的距离是 4 cm，求旗杆 DE 的高度．
（2）如图②所示，嘉嘉在某一时刻测得 1 米长的竹竿竖直放置时影长为 2 米，在同一时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上（BC），另一部分落在斜坡上（CD），他测得落在地面上的影长为 10 米，落在斜坡上的影长为 22 米，CD 与地面成 45∘ 角，求旗杆 AB 的高度．

20. 如图，某种路灯灯柱 BC 垂直于地面，与灯杆 AB 相连．已知直线 AB 与直线 BC 的夹角是 76∘，在地面点 D 处测得点 A 的仰角是 53∘，点 B 仰角是 45∘，点 A 与点 D 之间的距离为 3.5 米．求：
（参考数据：sin53∘≈0.8，cs53∘≈0.6，sin76∘≈0.97，cs76∘≈0.24）
（1）点 A 到地面的距离；
（2）AB 的长度．（精确到 0.1 米）
答案
1. B
2. B
【解析】∵ 从点 C 观测点 D 的视线是 CD，水平线是 CE，
∴ 从点 C 观测点 D 的仰角是 ∠DCE．
3. D
【解析】∵BC⊥AB，∠BCA=67∘，
∴∠BAC=90∘-∠BCA=23∘，
从低处 A 处看高处 C 处，那么点 C 在点 A 的仰角 23∘ 方向．
4. B
【解析】如图，延长 AB 交 ED 所在直线于 M，作 CJ⊥DM 于 J，则四边形 BMJC 是矩形．
在 Rt△CJD 中，CJDJ=10.75=43，
设 CJ=4k（k>0）米，则 DJ=3k 米，
又 CD=2 米，
∴9k2+16k2=4，
∴k=25，
∴BM=CJ=85 米，DJ=65 米，
又 ∵BC=MJ=1 米，
∴EM=MJ+DJ+DE=465 米，
在 Rt△AEM 中，tan∠AEM=AMEM，
∴tan58∘=AB+85465≈1.6，
解得 AB≈13.1 米．
5. C
【解析】如图所示，
在 Rt△ABC 中，AC=sinα×AB=35×10=6（米）；
在 Rt△DEC 中，DC=csβ×DE=35×10=6（米），EC=DE2-DC2=100-36=8（米）；
∴AE=EC-AC=8-6=2（米）．
6. C
【解析】如图，作 CE⊥BA 于 E．
设 EC=x m，BE=y m．
在 Rt△ECB 中，tan53∘=ECEB，即 43≈xy, ⋯⋯①
在 Rt△AEC 中，tan37∘=ECAE，即 34≈x105+y, ⋯⋯②
由①②可得 x≈180，y≈135，
∴AC=EC2+AE2=1802+2402=300m，即南门 A 与历下亭 C 之间的距离约为 300 m．
7. C
8. D
【解析】∵∠CAB=90∘，AD⊥BC，
∴∠B+∠C=90∘，∠B+∠BAD=90∘，
∴∠BAD=∠C．
在 Rt△ABD 中，∠ADB=90∘，BD=2，
∵tan∠BAD=BDAD=12，
∴AD=2BD=4，
∴AB=BD2+AD2=25．
在 Rt△ABC 中，∠CAB=90∘，AB=25，
∵tanC=ABAC=12，
∴AC=2AB=45．
9. B
【解析】如图，过点 E 作 EM⊥AB 于点 M，延长 ED 交 BC 的延长线于 G，
∵ 斜坡 CD 的坡度（或坡比）i=1:2.4，
∴ 可设 DG=x 米，CG=2.4x 米．在 Rt△CDG 中，
∵DG2+CG2=DC2，即 x2+2.4x2=522，
∴x=20，即 DG=20 米，
∴CG=48 米，
∴EG=20+0.8=20.8 米，BG=52+48=100 米．
∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，
∴ 四边形 EGBM 是矩形，
∴EM=BG=100 米，BM=EG=20.8 米，在 Rt△AEM 中，
∵∠AEM=27∘，
∴AM=EM⋅tan27∘≈100×0.51=51 米，
∴AB=AM+BM=51+20.8=71.8 米．
故建筑物 AB 的高度约为 71.8 米．
10. 30∘，70∘
11. 1.5+103m
12. 30∘
13. α
14. 8
【解析】作 AD⊥直线CB 于点 D，
∵∠ABD=45∘，
∴AD=BD，
∵AB=42，
∴AD=BD=ABsin45∘=42×22=4，
∵ 新传带 AC 的坡度 i=1:3，
∴ADDC=4DC=13，则 DC=43，
∴AC=AD2+DC2=8m．
15. 如图，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为 E．
由题意可知，EC=AD=10 m，∠BAE=45∘，∠EAC=17∘．
在 Rt△AEC 中，tan∠EAC=ECAE，
∴AE=ECtan∠EAC=10tan17∘，
在 Rt△ABE 中，tan∠BAE=BEAE，
∴BE=AE⋅tan∠BAE=10tan17∘×tan45∘．
∵BC=BE+CE，
∴BC=10tan17∘×tan45∘+10≈100.31×1+10≈42．
答：该建筑 BC 的高度约为 42 m．
16. 由题意，得四边形 AEFD 是矩形，则 EF=AD=3．
∵ 坡角 α=45∘，β=30∘，
∴BE=AE=6，CF=3DF=63．
∴BC=BE+EF+CF=6+3+63=9+63．
故 BC 的长为 9+63m．
17. （1） 过点 B 作 BH⊥MP，垂足为 H，过点 M 作 MI⊥FG，垂足为 I，过点 P 作 PK⊥DE，垂足为 K，
因为 MP=25.3 cm，BA=HP=8.5 cm，
所以 MH=MP-HP=25.3-8.5=16.8cm，
在 Rt△BMH 中，
cs∠BMH=MHBM=16.842=0.4，
所以 ∠BMH=66.4∘，
因为 AB∥MP，
所以 ∠BMH+∠ABC=180∘，
所以 ∠ABC=180∘-66.4∘=113.6∘．
（2） 因为 ∠BMN=68.6∘，∠BMH=66.4∘，
所以 ∠NMI=180∘-∠BMN-∠BMH=180∘-68.6∘-66.4∘=45∘，
因为 MN=28 cm，
所以 cs45∘=MIMN=MI28，
所以 MI≈19.80 cm，
因为 KI=50 cm，
所以 PK=KI-MI-MP=50-19.80-25.3=4.90≈5.0cm，
所以此时枪身端点 A 与小红额头的距离是在规定范围内．
18. 根据题意，∠PAC=31∘，∠PBC=58∘，∠QBC=45∘，AB=100，
∵ 在 Rt△PAC 中，tan∠PAC=PCAC，
∴AC=PCtan31∘，
∵ 在 Rt△PBC 中，tan∠PBC=PCBC，
∴BC=PCtan58∘，
∵AC=AB+BC，
∴PCtan31∘=100+PCtan58∘，
∴PC=100×tan31∘×tan58∘tan58∘-tan31∘≈100×1.60×，
∵ 在 Rt△QBC 中，tan∠QBC=QCBC，
∴QC=BC≈961.60=60，
∴PQ=PC-QC≈96-60=36．
答：信号发射塔 PQ 的高度约为 36 m．
19. （1） 由题意可得 AB=1.5 m，BC=0.5 m，DC=4 m，
∵∠ABC=∠EDC，∠ACB=∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
∴ABED=BCDC，即 1.5DE=0.54，
∴DE=12 m．
答：旗杆 DE 的高度为 12 m．
（2） 延长 AD 交 BC 的延长线于点 F，过点 D 作 DE⊥BF 于点 E，如图所示．
∵CD=22 米，∠DCE=45∘，
∴DE=CE=2 米，
∵ 同一时刻物高与影长成正比，
∴DEEF=12，
∴EF=2DE=4 米，
∴BF=BC+CE+EF=10+2+4=16（米）．
∵DE⊥BC，AB⊥BC，
∴△EDF∽△BAF，
∴DEAB=EFBF，即 2AB=416，
∴AB=8 米．
答：旗杆 AB 的高度为 8 米．
20. （1） 过点 A 做 AH⊥CD，垂足为点 H，
据题意，AD=3.5，∠ADC=53∘．
在 Rt△AHD 中，sin∠ADH=AHAD，
AH=AD⋅sin∠ADC=3.5⋅sin53∘≈2.8．
答：“路灯 A”到地面的距离约为 2.8 米．
（2） 过点 A 做 AP⊥BC，垂足为点 P，设 AB=x，
据题意，∠ABE=76∘，∠CDB=45∘，AP=CH，AH=CP，
在 Rt△AHD 中，sin∠ADH=AHAD，
DH=AD⋅cs∠ADC=3.5⋅cs53∘≈2.1．
在 Rt△ABP 中，sin∠ABP=APAB=sin76∘≈0.97，
cs∠ABP=BPAB=cs76∘≈0.24．
∴AP=0.97x，BP=0.24x．
在 Rt△BCD 中，tan∠BDC=BCCD=tan45∘=1，
∴BC=CD，
∴2.8-0.24x=2.1+0.97x，
解得：x≈0.6．
答：“灯杆”AB 的长度为 0.6 米．