第二章 平面解析几何章末检测（能力篇）-2022-2023学年高二数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第一册)

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第二章 平面解析几何章末检测（能力篇）
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知两点到直线的距离相等，则（       ）
A．2 B． C．2或 D．2或
【答案】D
【解析】
【分析】
利用点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】
因为两点到直线的距离相等，
所以有，或，
故选：D
2．已知抛物线的焦点为F，准线为l．点P在C上，直线PF交x轴于点Q，且PF=3FQ，则点P到准线l的距离为（       ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义即可求解.
【详解】
设，，∵，,
∴，∴，
∴P到l的距离，
故选：C．
3．已知圆：与圆：，若在椭圆上存在点P，使得过点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用相切得∠APO 45°，转化为，代入离心率公式求解即可.
【详解】
解：若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直,设切点为A，
由∠APO 45°
即sin∠APO sin 45
即
则，
故选：C.

4．若椭圆上存在点，使得点到椭圆的两个焦点的距离之比为，则称该椭圆为“倍径椭圆”，则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用椭圆定义及焦半径的范围，找出，所满足的关系，检验出符合要求的椭圆.
【详解】
由题意，设点到椭圆两个焦点的距离分别为和，则，即.
因为，则，即.
经检验，可知椭圆满足要求.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题的解答的关键是利用椭圆的焦半径范围找到与的关系.
5．已知点在离心率为的椭圆上，是椭圆的一个焦点，是以为直径的圆上的动点，是半径为2的圆上的动点，圆与圆相离且圆心距，若的最小值为1，则椭圆的焦距的取值范围是（     ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由圆与圆相离且圆心距，以及的最小值为1，可得圆的直径，即的长，再由在椭圆上，可得，进而可求出结果.
【详解】
因为是以为直径的圆上的动点，是半径为2的圆上的动点，圆与圆相离且圆心距，又的最小值为1，所以，解得，
又因在椭圆上，所以，因为离心率为，所以,
所以，故，所以.
故选C
【点睛】
本题主要考查椭圆的简单性质，做题的关键在于，由两圆相离先确定的长，进而可根据椭圆的性质，即可求出结果，属于常考题型.
6．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为，，过C的右支上一点P作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若的最小值为，则C的离心率为（       ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
结合与双曲线的定义，可判断当为渐近线的垂线时能得到的最小值，再利用渐近线的斜率的几何意义即可求解.
【详解】
由题，设原点为，
根据双曲线的定义可知，且（当且仅当为线段上的点时等号成立），
所以，
因为的最小值为，即，
所以，此时为渐近线的垂线，
因为双曲线的一条渐近线为,
所以在中，，
因为，所以，即，
所以，则.
故选：B
7．已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
作出曲线（上半圆），直线过定点，求出图中两条的斜率可得所求范围．
【详解】
解：曲线整理得，则该曲线表示圆心为，半径为1的圆的上半部分，直线过定点，如图，当时，曲线与直线有两个不同的交点，
由，得或，所以，
，
所以实数的取值范围是.
故选：A．

【点睛】
方法点睛：本题考查直线与曲线的位置关系，解题方法是数形结合思想，即作出曲线（半圆），而直线是过定点的动直线，由直线与半圆的交点个数可得直线的位置，求出临界点直线的斜率后可得结论．
8．已知双曲线：的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，为双曲线的左支上一点，且直线与的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（       ）
A．双曲线的离心率为
B．若，且，则
C．以线段，为直径的两个圆外切
D．若点到的一条渐近线的距离为，则的实轴长为4
【答案】C
【解析】
【分析】
设，则，根据两点坐标求斜率的方法求得，再由求出结果，即可判断A选项；由，得，根据双曲线的定义可得，根据题意得出和，可得出的值，即可判断B选项；设的中点为，为原点，则为的中位线，所以，根据两个圆的位置关系即可判断C选项；由点到的一条渐近线的距离为，得出，而得出的值，即可得出的实轴长，即可判断D选项.
【详解】
解：对于A，设，则，
因为，直线与的斜率之积等于3，
所以，得，故A错误；
对于B，因为，所以，
而为双曲线的左支上一点，根据双曲线的定义可得，
又因为，且，
所以，则，
由，可得，
即，解得：，故B错误；
对于C，设的中点为，为原点，则为的中位线，
所以，
则以线段为直径的圆，圆心为，半径，
以线段为直径的圆，圆心为，半径，
所以，故两个圆外切，故C正确；

对于D，因为点到的一条渐近线的距离为，所以，
又由前面的推理可知，所以，故的实轴长为，故D错误.
故选：C.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知Р是圆上动点，直线与交于点Q，则（       ）
A．
B．直线与圆O相切
C．直线与圆O截得弦长为
D．长最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由两直线垂直的条件判断A，由圆心到直线的距离判断B，由到直线的距离结合勾股定理求弦长判断C，求出到圆心的距离的最大值加圆半径判断D．
【详解】
圆半径为2，
，所以，A正确；
圆心到的距离为，与圆相离，B错误；
圆心到直线的距离为，所以弦长为，C正确；
由，得，即，
所以，
所以长最大值为，D正确
故选：ACD．
10．过抛物线上一点作两条相互垂直的直线，与的另外两个交点分别为，，则（       ）
A．的准线方程是
B．过的焦点的最短弦长为8
C．直线过定点
D．当点到直线的距离最大时，直线的方程为
【答案】AD
【解析】
【分析】
由点在抛物线上求得为，结合抛物线的性质判断A、B；设为并联立抛物线，结合及韦达定理、向量垂直的坐标表示列方程求出m、n的数量关系，代入直线方程即可判断C；由C分析所得的定点P，要使到直线的距离最大有，即可写出直线的方程判断D.
【详解】
将代入中得：，则为，
所以的准线方程是，故A正确；
当过的焦点且与轴垂直时弦长最短，此时弦长为16，故B不正确；
设，，直线为，联立抛物线得：，
所以，，又，
所以.
因为，，即，
所以，整理得，故，得，
所以直线为，所以直线过定点，故C不正确.
当时到直线的距离最大，此时直线为，故D正确.
故选：AD

11．在平面直角坐标系xOy中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（       ）
A．C的方程为
B．在x轴上存在异于A，B的两个定点D，E，使得
C．当A，B，P三点不共线时，
D．若点，则在C上存在点M，使得
【答案】BCD
【解析】
【分析】
结合两点的距离公式计算即可判断A；
利用对称的特点即可判断B；
利用坐标表示向量的线性运算即可判断C；
结合点到直线的距离即可判断D.
【详解】
选项A：设，由条件，，即，所以C的方程为，故A错误；
选项B：由对称性可知，存在D，E满足条件，故B正确；
选项C：，
，所以，故，故C正确；
选项D：由知，M的轨迹是线段B的垂直平分线，其方程为，圆C的圆心到l的距离，所以直线1与圆C相交，故在C上存在点M，使得，故D正确.
故选：BCD
12．过椭圆的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，，是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（       ）
A．周长的最小值为18
B．四边形可能为矩形
C．若直线PA斜率的取值范围是，则直线PB斜率的取值范围是
D．的最小值为-1
【答案】AC
【解析】
【分析】
A由椭圆对称性及定义有周长为，根据椭圆性质即可判断；B根据圆的性质，结合椭圆方程与已知判断正误；C、D设，利用斜率两点式可得，进而判断C正误，应用向量数量积的坐标表示列关于的表达式，结合椭圆有界性求最值.
【详解】
A：根据椭圆的对称性，，当PQ为椭圆的短轴时，有最小值8，所以周长的最小值为18，正确；
B：若四边形为矩形，则点P，Q必在以为直径的圆上，但此圆与椭圆无交点，错误；
C：设，则，因为直线PA斜率的范围是，所以直线PB斜率的范围是，正确；
D：设，则．因为，所以当时，最小值为，错误.
故选：AC．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由椭圆的标准方程的特征列方程组求解可得.
【详解】
因为椭圆的焦点在y轴上，
所以，解得，即实数k的取值范围为.
故答案为：
14．已知抛物线的焦点为，准线为，：过点且与相切，轴被所截得的弦长为4，则=________.
【答案】1或3
【解析】
【分析】
根据题意，得到圆心在抛物线上，推出；再由抛物线的定义，得到；联立求出；再由圆的性质，由题中条件，得出，进而可求出，从而可求出.
【详解】
由已知得圆心在抛物线上，所以；
又抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，则，
所以，
因为轴被所截得的弦长为，
根据圆的性质：圆心到弦的距离的平方，与弦长一半的平方之和，等于半径的平方；
所以，故.
所以，即，所以或，故或.
故答案为：1或3.
【点睛】
本题主要考查抛物线的方程与抛物线定义的应用，考查由圆的弦长求参数，属于常考题型.
15．已知椭圆的左焦点为F，过原点O的直线l交椭圆C于点A，B，且，若，则椭圆C的离心率是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
设右焦点为，连接，.判断出四边形为矩形.在中，解三角形求出，，利用椭圆的定义得到，即可求出离心率.
【详解】
设右焦点为，连接，.
因为，即，可得四边形为矩形.
在中，，.
由椭圆的定义可得，所以，所以离心率.
故答案为：.
16．已知圆O的方程为，P是圆C：上一点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由圆切线的性质可知圆心切点连线与切线垂直，设PA与PB的夹角为2α，通过解直角三角形求出PA，PB的长;利用向量的数量积公式表示出，利用三角函数的二倍角公式化简函数，通过换元，再利用对勾函数求出最值.
【详解】
如图，

设PA与PB的夹角为2α，
则|PA|=|PB|=，
∴．
P是圆C：上一点，
，
，

令,
则在上递减，
所以当时，，此时P的坐标为，
当时，，此时P的坐标为，
∴的范围为．
故答案为：.


四、解答题：本题共6小题，共70分．其中17题10分，18-22每题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知椭圆C：和点.
（1）求椭圆C的焦点坐标和离心率；
（2）设直线l：与椭圆C交于A，B两点，求弦长；
（3）求通过M点且被这点平分的弦所在的直线方程.
【答案】（1）和，；（2） ；（3）.
【解析】
【分析】
（1）将椭圆的一般方程化为标准方程，即可求得焦点坐标和离心率；
（2）将直线方程与椭圆方程联立，求得两个交点坐标，结合两点间距离公式即可求得弦长；
（3）设、，代入椭圆方程并作差，结合中点坐标公式及直线的斜率公式即可确定直线方程.
【详解】
（1）由得，
，，，
∴焦点坐标是和；离心率.
（2）联立方程组，
消y得，得，或，
则A，B两点坐标分别为和，
弦长.
（3）显然直线不与x轴垂直，可设此直线方程为，
设交点分别为、，则，
，
又，
，，
，
直线方程为 即.
【点睛】
本题考查了椭圆标准方程及几何性质简单应用，两点间距离公式求弦长，中点弦所在直线方程的求法，点差法的应用，属于中档题.

18．已知抛物线：的焦点为F，直线过F且与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M，当时，点M的横坐标为2.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与抛物线的准线交于点D，点D关于x轴的对称点为E，当的面积取最小值时，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设，根据焦点弦的性质得到，从而求出，即可得解；
（2）设，联立直线与抛物线，消元、利用韦达定理得到，从而得到，则最后利用基本不等式求出最小值，即可得解；
(1)
解：设，由题知时，，故抛物线方程为；
(2)
解：设，联立抛物线方程得，∴，，而，，
所以，
当且仅当时等号成立，故直线的方程为．
19．已知点在椭圆上，椭圆C的左右焦点分别为，，的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆相切，记直线PA，PB的斜率分别为，.
（i）证明：；
（ii）证明：直线AB过定点.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用，结合三角形的面积公式，求出，即可求椭圆的方程.
(2) （i）设直线的方程为，直线的方程为，由题意可知，可得是方程的两根，利用韦达定理即可证明.
（ii）设直线的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合，可得与的关系式，即可证明直线过定点.
(1)
解：由题知，，的面积等于，
所以，解得，，所以，椭圆C的方程为.
(2)
（i）设直线PA的方程为，
直线PB的方程为，由题知，
所以，所以，
同理，，
所以，是方程的两根，所以.
（ii）设，，设直线AB的方程为，
将代入得，
所以，①
，②
所以，③
，④
又因为，⑤
将①②③④代入⑤，化简得，
所以，所以，
若，则直线，此时AB过点P，舍去.
若，则直线，此时AB恒过点，
所以直线AB过定点.
20．已知双曲线（，）的左、右顶点分别为、，离心率为2，过点斜率不为0的直线l与交于P、Q两点．
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)记直线、的斜率分别为、，求证：为定值．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由双曲线的顶点坐标、离心率，结合双曲线参数的关系求a、b，进而写出双曲线方程，即可得渐近线方程.
（2）讨论l的斜率：当不存在求P、Q的坐标，进而可得；当存在，设，，l为，并联立双曲线方程，应用韦达定理及斜率的两点式求证是否成立即可.
(1)
设双曲线的半焦距为c，
由题设，，，   
双曲线的方程为，故渐近线方程为．
(2)
当l的斜率不存在时，点P、Q的坐标分别为和，
所以，当时有；当时有，此时，
当l的斜率k存在时，设，，l为，
将直线l代入双曲线方程得，
所以，，
   
因为，
所以，即，
综上，为定值，得证．
21．已知椭圆的离心率，且点在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)直线与椭圆E交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线经过点．求（O为坐标原点）面积的最大值．
【答案】(1)
(2)1
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆离心率可得，结合椭圆方程代入点即可解除，；（2）利用弦长公式计算△AOB​面积，进而求出面积的最大值，本题要注意讨论 的斜率 是否为0．
(1)
解： 由已知，所以，
因为点 在椭圆上，所以 ，解得 ，．
所以所求椭圆方程为 ．
(2)
设 ，，因为 的垂直平分线过点 ，所以 的斜率 存在．
当直线 的斜率 时，所以 ，，
所以，
当且仅当 时取" = "，所以 时，，
当直线 的斜率 时，设 ．
联立方程 消去 得 ，
由 得 ①
所以 ，，
所以 ， ，
所以 的中点为 ，
由直线的垂直关系有 ，化简得 ②
由①②得 ，所以 ，
又O 到直线 的距离为 ，
，
，
所以 时，．
由 ，所以 ，解得 ．
即 时，．
综上所述，△AOB​面积的最大值1．


22．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且点在上.
(1)求的方程；
(2)点为的下顶点，点在内且满足，直线交于点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）据条件求得椭圆E的基本量a、b、c，代入标准方程即可解决；
（2）通过设直线斜率为k，可以由此表达出P、Q的坐标，进而把用斜率k表达出来，再求其取值范围即可解决.
(1)
因为椭圆的离心率为，所以，即
又由，可得
因为点在上，所以，所以
所以的方程为.
(2)
因为为的下顶点，所以.
因为点在内，所以直线､的斜率存在且不为0.
设，
由，可得，则直线､的斜率乘积为
所以.
由消去得，
所以，所以，
由消去得，
所以，
，


.
令，当且仅当时，等号成立；
，所以，
所以的取值范围为.