初中数学北师大版九年级上册第二章 一元二次方程3 用公式法求解一元二次方程巩固练习

2.3用公式法求解一元二次方程讲义

同步教材划重点

知识点01公式法解一元二次方程

当时，方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．

知识点02一元二次方程根的判别式

一元二次方程根的判别式：

一般地，式子叫做方程根的判别式，通常用希腊字母表示，即．

（1）当>0时，方程有两个不相等的实数根，即．

（2）当=0时，方程有两个相等的实数根，即．

（3）当<0时，方程没有实数根．

知识点03用公式法解一元二次方程的步骤

公式法解一元二次方程的步骤：

（1）把方程化为一般形式；

（2）确定、、的值；

（3）计算的值；

（4）当时，把、、的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当时，方程没有实数根．

【点石成金】

（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.

（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：.

 ①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：.

② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：.

③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.

知识点04一元二次方程根的判别式的逆用    

在方程中，

（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；

（2）方程有两个相等的实数根=0；

（3）方程没有实数根﹤0.

【点石成金】

（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；

（2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0.

【典例分析】

1．解方程：．

【答案】，

【分析】

将方程化为一般式，再利用公式法进行求解即可．

【详解】

解：原方程可化为：，

∴，

∴，

∴，

∴，．

【点睛】

本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．

【变式1-1】解方程：         

【答案】x1，x2；

【分析】

利用公式法求解即可；

【详解】

解：，，，

∴

∵，

∴原方程有两个不相等的实数根，

∴，

∴，；

【点睛】

本题考查公式法解一元二次方程，掌握基本求解方法是解题关键．

【变式1-2】用公式法解下列方程：  

【答案】

∵

∴

∴

∴

2.不解方程，判断下列关于x的方程根的情况：

（1）；

（2）．

【答案】（1）没有实数根；（2）有两个不相等的实数根

【分析】

（1）根据根的判别式即可判断；

（2）根据根的判别式即可判断；

【详解】

解：（1）由题得：

∴原方程没有实数根；     

（2）由题得：         

∴原方程有两个不相等的实数根．

【点睛】

此题主要考查一元二次方程方程根的情况判断，解题的关键是熟知根的判别式的性质特点．

3．已知关于x的方程有两个不相等的实数根．

（1）求实数k的取值范围；

（2）请你给出一个k的值，并求出此时方程的根．

【答案】（1）；（2）当时，

【分析】

（1）根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到k≠0，且△＞0，然后解两个不等式即可得到实数k的取值范围；

（2）根据（1）中k的取值范围，任取一k的值，然后解方程即可．

【详解】

（1）∵方程有两个不相等的实数根

∴

∴

（2）答案不唯一

当时，

∴或

解得：

【点睛】

本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式△＝b2−4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；也考查了直接开平方法解一元二次方程．

4．下图是嘉淇同学用配方法推导一元二次方程在时的求根公式的过程．

（1）嘉淇同学从第________步开始出现错误，直接写出一元二次方程在时的求根公式．

（2）用配方法解方程．

【答案】（1）四，；（2），，见解析．

【分析】

（1）第四步开方时出错；

（2）根据配方法，解题即可．

【详解】

解：（1）由于，方程变形为

故方程在时的求根公式为：

，

故答案为：四；

（2）

．

【点睛】

本题考查解一元二次方程—公式法，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

【跟踪训练】

1．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

直接根据一元二次方程根的判别式的值的符号来判断即可．

【详解】

∵一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴，

解得，，

故选：A．

【点睛】

本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系为：①，方程有两个不相等的实数根；②，方程有两个相等的实数根；③，方程没有实数根，解答本题的关键是利用判别式判断一元二次方程根的个数．

2．如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】

根据一元二次方程根的判别式进行判断即可．

【详解】

根据题意可知，即

解得：．

故选D．

【点睛】

本题考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的意义是解题关键．

3．一元二次方程的根的情况是（  ）

A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．没有实数根

D．无法判断

【答案】C

【分析】

计算出判别式的值，根据判别式的值即可判断方程的根的情况．

【详解】

∵a＝１，b=-3，c=4

而

∴一元二次方程没有实数根

故选：C

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式，根据判别式的值的情况可以判断方程有无实数根．

4．求方程x2﹣x﹣6＝0的根的情况是（　　）

A．没有实根 B．两个不相等的实数根

C．两个相等的实数根 D．无法确定

【答案】B

【分析】

根据根的判别式公式，求该方程的判别式，根据结果的正负情况即可得到答案．

【详解】

解：根据题意得：△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣6）＝25＞0，

即该方程有两个不相等的实数根，

故选：B．

【点睛】

本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．

5．下列方程中，没有实数根的是（　　）

A．x2﹣2x+1＝0 B．x2﹣2x﹣1＝0 C．x2﹣2x+2＝0 D．kx2﹣x﹣k＝0

【答案】C

【分析】

分别计算出各项中方程根的判别式的值，找出小于0的选项即可．

【详解】

A、∵，，，

∴，

此方程有两个相等的实数根，

B、∵，，，

∴，

此方程有两个不相等的实数根，

C、∵，，，

∴，

此方程没有实数根，

D、∵，，，

∴，

此方程有两个不相等的实数根，

故选：C．

【点睛】

本题考查一元二次方程根的判别式，即，解题的关键是熟练掌握：当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，可得该方程有两个相等的实数根；当时，原方程无实数根．

6．下列关于一元二次方程的说法正确的是　　

A．该方程只有一个实数根

B．该方程只有一个实数根

C．该方程的实数根为，

D．该方程的实数根为，

【答案】D

【分析】

用一元二次方程的根的判别式判断根的情况，求出一元二次方程的解即可．

【详解】

解：，

△，

故原方程有两个不相等的实数根，

解得，．

故选：．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根的判别式，以及解一元二次方程，解题的关键是熟悉一元二次方程根的判别式，以及学会解一元二次方程．

7．在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个

【答案】D

【分析】

直线不经过第一象限，则m=0或m＜0，分这两种情形判断方程的根．

【详解】

∵直线不经过第一象限，

∴m=0或m＜0，

当m＝0时，方程变形为x+1=0，是一元一次方程，故有一个实数根；

当m＜0时，方程是一元二次方程，且△=，

∵m＜0，

∴-4m＞0,

∴1-4m＞1＞0,

∴△＞0,

故方程有两个不相等的实数根，

综上所述，方程有一个实数根或两个不相等的实数根，

故选D．

【点睛】

本题考查了一次函数图像的分布，一元一次方程的根，一元二次方程的根的判别式，准确判断图像不过第一象限的条件，灵活运用根的判别式是解题的关键．

8．对于函数，规定，例如，若，则有．已知函数，那么方程的解的情况是（    ）

A．有一个实数根 B．没有实数根

C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根

【答案】C

【分析】

根据规定将方程转化为一般式，再由根的判别式判断即可．

【详解】

解：根据题意：

，

由：，

故：，

即：，

，

方程有两个不相等的实数根．

故选：C．

【点睛】

本题考查了利用根的判别式来判断方程根的情况，解题的关键是：要理解规定的内容，将函数转化为一般式后，方程就为一元二次方程再解即可．

9．函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（    ）

A．没有实数根 B．有两个相等的实数根

C．有两个不相等的实数根 D．无法确定

【答案】C

【分析】

根据一次函数图象经过的象限找出k、b的正负，再结合根的判别式即可得出△＞0，由此即可得出结论．

【详解】

解：观察函数图象可知：函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，

∴k＜0，b＜0．

在方程中，

△=，

∴一元二次方程有两个不相等的实数根．

故选：C．

【点睛】

本题考查了一次函数图象与系数的关系以及根的判别式，根据一次函数图象经过的象限找出k、b的正负是解题的关键．

10.用公式法解下列方程：  

【答案】∵

∴

∴

∴

11.用公式法解下列方程．

(1) x2+3x+1=0；        (2)；   (3) 2x2+3x-1=0．

【解析】

(1) a=1，b=3，c=1

∴=．

∴x1=，x2=．

(2)原方程化为一般形式，得．

∵，，，

∴．

∴，即，．

(3) ∵a=2，b=3，c=﹣1

∴b2﹣4ac=17＞0

∴x=

∴x1=，x2=．

【总结】用公式法解一元二次方程的关键是对a、b、c的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a，b，c的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解．