北师大版九年级上册1 认识一元二次方程随堂练习题

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题型导航
一
元
二
次
方
程
一元二次方程的定义
题型1
一元二次方程的一般形式
题型2
根据一元二次方程定义求参数
题型3
一元二次方程的根
题型4


题型变式
【题型1】一元二次方程的定义
1．（2020·全国·九年级期中）下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程定义逐项判定即可．
【详解】
解：A、，是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、，化简得-10x=4，不是一元二次方程，故此选项不符合题；
C、，分母含有未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题；
D、，当m=-3时，是一元一次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题；
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义，只含量有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程叫一元二次方程．
【变式1-1】
2．（2022·全国·九年级）下列方程中，一元二次方程共有（ ）个．
①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2＋y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根的定义一一判定即可．
【详解】
解：①x2﹣2x﹣1＝0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
②ax2+bx+c＝0，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；
③不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；
④﹣x2＝0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
⑤（x﹣1）2+y2＝2，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；
⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程．
综上所述，一元二次方程共有2个．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
【题型2】一元二次方程的一般形式
1．（2022·全国·九年级）将方程2x2+7＝4x改写成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．2，4，7B．2，4，﹣7C．2，﹣4，7D．2，﹣4，﹣7
【答案】C
【解析】
【分析】
根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫做常数项，进行分析即可．
【详解】
解：2x2+7＝4x可化为2x2﹣4x+7＝0，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为2，﹣4，7，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是要掌握二次项系数，一次项系数和常数项的定义，先把一元二次方程化成一般形式．
【变式2-1】
2．（2022·全国·九年级）一元二次方程x2+4x＝3的二次项系数、一次项系数及常数项之和为（ ）
A．8B．﹣1C．0D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
将方程化为一元二次方程的一般形式，然后找出二次项系数、一次项系数、常数项．
【详解】
解：方程可化为：x2+4x﹣3＝0，
二次项系数为1、一次项系数为4、常数项为﹣3．
所以二次项系数、一次项系数及常数项之和为：1+4﹣3＝2，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a≠0），其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．
【题型3】根据一元二次方程的定义求参数
1．（2022·全国·九年级）若关于x的方程（c﹣1）x|c|+1+9x﹣4＝0是一元二次方程，则c＝_____．
【答案】
【解析】
【详解】
根据一元二次方程的定义得出且，由此即可得出答案．
【解答】
解：∵关于的方程是一元二次方程，
且，
解得，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，掌握理解一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程）是解题关键．
【变式3-1】
2．（2022·全国·九年级）若关于x的一元二次方程的常数项为0，求m的值．
【答案】m＝﹣2
【解析】
【分析】
根据常数项为0，二次项系数不为0，确定出m的值即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程的常数项为0，
∴
解得：
【点睛】
此题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，熟练掌握其定义是解本题的关键．
【题型4】一元二次方程的根
1．（2022·湖南·长沙市雅礼实验中学二模）已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则m＝________．
【答案】2
【解析】
【分析】
把代入方程计算即可求出的值．
【详解】
解：把代入方程得：，
去括号得：，
解得：，
故答案为：2
【点睛】
此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
【变式4-1】
1．（2021·安徽安庆·八年级期末）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．1B．4C．6D．10
【答案】A
【解析】
【分析】
利用一元二次方程的解的定义得到m2+3m=3，再把2m2+6m-5变形为2（m2+3m）-5，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：∵m为一元二次方程x2+3x−3=0的一个根．
∴m2+3m-3=0，即m2+3m=3，
∴2m2+6m-5=2（m2+3m）-5=2×3-5=1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
专项训练
一．选择题
1．（2022·黑龙江七台河·九年级期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
A方程最高次项次数是五次，A选项错误；
B方程左边展开化简后的方程最高次项次数是四次，B选项错误；
C方程最高次项次数是二次，且只有一个未知数，C选项正确；
D方程是分式方程，不是整式方程，D选项错误．
【详解】
A、，最高次项次数是五次，A选项错误；
B、方程左边展开化简后为最高次项次数是四次，B选项错误；
C、最高次项次数是二次，且只有一个未知数，C选项正确；
D、是分式方程，不是整式方程，D选项错误．
故选：C
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，解决问题的关键是熟练掌握一元二次方程概念中最高次项的次数为二，含一个未知数，整式方程这三个要点．A方程最高次项的次数是五次，B方程左边展开化简后的方程最高次项的次数是四次，C方程最高次项的次数是二次，且只有一个未知数，D方程是分式方程，不是整式方程，只有C选项符合要求．
2．（2021·天津市静海区运河学校九年级期中）一元二次方程4x2﹣1=5x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．4，﹣1，5B．4，﹣5，﹣1C．4，5，﹣1D．4，﹣1，﹣5
【答案】B
【解析】
【分析】
将方程整理为一般形式，利用二次项系数、一次项系数、常数项的定义解答即可．
【详解】
∵一元二次方程4x2﹣1=5x，
∴整理为：4x2﹣5x﹣1=0，
∴一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为：4，﹣5，﹣1．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握一元二次方程的定义是解题关键．
3．（2022·全国·九年级专题练习）关于x的方程x2+3x+m＝0有一个根是为1，则m的值为（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据方程根的定义使方程两边值相等的未知数的值是方程的根，将已知根代入一元二次方程从而得出关于m的方程进行求解．
【详解】
解：x的方程x2+3x+m＝0有一个根是为1，
将代入有1+3+ =0
解得.
故选D．
【点睛】
本题考查一元二次方程根据根求参数问题，解一元一次方程，掌握方程根的定义，和一元一次方程的解法是解题关键，本题难度较小．
4．（2022·全国·九年级）我们知道方程x2＋2x-3＝0的解是x1＝1，x2＝-3，现给出另一个方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)-3＝0，它的解是( )．
A．x1＝1，x2＝3B．x1＝1，x2＝-3
C．x1＝-1，x2＝3D．x1＝-1，x2＝-3
【答案】D
【解析】
【分析】
将作为一个整体，根据题意，即可得到的值，再通过求解一元一次方程，即可得到答案．
【详解】
根据题意，得：或
∴或
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元一次方程、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．
5．（2018·辽宁大连·中考真题）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（ ）
A．10×6﹣4×6x=32B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32
C．（10﹣x）（6﹣x）=32D．10×6﹣4x2=32
【答案】B
【解析】
【详解】
分析：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
详解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，
根据题意得：（10−2x）（6−2x）＝32．
故选B．
点睛：本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．（2022·全国·九年级）已知a是方程x2﹣2020x＋1＝0的一个根，则的值为（ ）
A．2017B．2018C．2019D．2020
【答案】C
【解析】
【分析】
将a代入方程，得到，即，，再利用换元法的思想整体代入代数式求值即可．
【详解】
解：∵a是方程的一个根，
∴，即，，
∴
，
故选：C．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，利用换元法的思想是解答本题的关键．
二、填空题
7．（2013·黑龙江·中考真题）若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，则6m+2n=______．
【答案】-2
【解析】
【详解】
试题分析：把x=1代入+3mx+n=0得：1+3m+n=0，3m+n=﹣1， ∴6m+2n=2（3m+n）=2×(－1)=﹣2
考点：整体思想求代数式的值.
8．（2021·山东德州·九年级期中）方程是关于x的一元二次方程，则_________．
【答案】-3
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义进行分析即可.
【详解】
解：∵方程是关于x的一元二次方程
所以|n|-1=2，n-3≠0
解得n=-3
故答案为：-3.
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
9．（2021·上海·八年级期中）关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a(x+m+2)2+b=0 的解是__________.
【答案】x=-4,x=-1
【解析】
【分析】
把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
【详解】
解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=-2或x+2=1，
解得x=-4或x=-1．
故方程a（x+m+2）2+b=0的解为x1=-4，x2=-1．
故答案为x1=-4，x2=-1．
【点睛】
本题考查方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．
10．（2022·福建·九年级专题练习）若x = 1是一元二次方程x2 +(m - 1)x - 2 = 0的解，则m的值是 _____．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的意义，把x=1代入原方程得到m的一次方程，然后解一次方程即可．
【详解】
解：把x=1代入x2 +(m - 1)x - 2 = 0得，
1+m-1-2=0，
解得m=2．
故答案为2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
11．（2022·山东·邹城市北大新世纪实验学校一模）若x＝0是关于x的一元二次方程m2x2+6x+m2﹣2m＝0的一个根，则m＝_____
【答案】2
【解析】
【分析】
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把x=0代入方程求解可得m的值．
【详解】
把x=0代入方程m²x²﹣6x+m²﹣2m=0
得到m²﹣2m=0，
解得：m=2或0．
∵m²≠0，
∴m=2．
故答案为2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义，属于基础题型．
12．（2022·全国·九年级）若关于x的方程（c﹣1）x|c|+1+9x﹣4＝0是一元二次方程，则c＝_____．
【答案】
【解析】
【详解】
根据一元二次方程的定义得出且，由此即可得出答案．
【解答】
解：∵关于的方程是一元二次方程，
且，
解得，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，掌握理解一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程）是解题关键．
三、解答题
13．（2019·全国·九年级课时练习）已知关于的方程的一个根为，求的值．
【答案】．
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义把x=1代入原方程得到关于m的一次方程，然后解此一元一次方程即可．
【详解】
把代入得，
解得．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
14．（2021·全国·九年级专题练习）若方程(m-2)+(3-m)x-2=0是关于x的一元二次方程,试求代数式m2+2m-4的值.
【答案】-4
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义列式求出m的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解:根据题意,得m2-2=2且m-2≠0,
解得m=±2且m≠2,
所以m=-2,m2+2m-4=(-2)2+2×(-2)-4=4-4-4=-4.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的定义，熟悉掌握是关键.
15．（2018·全国·九年级课时练习）已知关于x的方程(m＋1)＋(m－2)x－1＝0.
(1)m取何值时，它是一元二次方程？并写出这个方程的解；
(2)m取何值时，它是一元一次方程？
【答案】(1) m＝1 (2) m＝－1
【解析】
【分析】
利用一元二次方程和一元一次方程的定义求值.
【详解】
解：(1)由解得m＝1，∴方程为2x2－x－1＝0，∴x1＝－，x2＝1.
(2)当时，解得m＝－1；当时，解得m＝0，即当m＝－1或0时，是一元一次方程.
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的定义：ax2＋bx＋c=0（）.
16．（2021·全国·九年级专题练习）把方程x2-x=2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．
（1）下列式子中，有哪几个是方程x2-x=2所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号）
①x2-x-2=0；②-x2+x+2=0；③x2-2x-4=0；
④-x2+2x+4=0； ⑤x2-2x-4=0．
（2）方程x2-x=2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？
【答案】（1）①，②，③，④；（2）二次项系数：一次项系数：常数项=1：（-2）：（-4）．
【解析】
【分析】
（1）把方程通过移项或根据等式的性质两边同乘以-1，-2，2, 即可变形得到正确选项；
（2）通过观察可找到的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有的关系是，二次项系数：一次项系数：常数项=1：（-2）：（-4）．
【详解】
解：（1）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），
因此①，②，③，④是方程x2-x=2所化的一元二次方程的一般形式．
（2）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），
在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．
其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
若设方程x2-x=2的二次项系数为a（a≠0），
则一次项系数为-2a，常数项为-4a，
因此二次项系数：一次项系数：常数项=1：（-2）：（-4）．综述, 这个方程的二次项系数：一次项系数：常数项=1：（-2）：（-4）．
【点睛】
一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
17．（2022·安徽合肥·模拟预测）为美化市容，某广场要在人行雨道上用10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示．
[观察思考]图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．
(1)[规律总结]图4灰砖有______块，白砖有______块；图n灰砖有______块时，白砖有______块；
(2)[问题解决]是否存在白砖数恰好比灰砖数少1的情形，请通过计算说明你的理由．
【答案】(1)16，20；，4n＋4
(2)存在，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据图形算出图3白砖和灰砖的数量，再根据图形规律算出图4白砖和灰砖的数量，通过图1到图4的数字规律得出图n白砖和灰砖的数量；
（2）假设存在图n白砖数恰好比灰砖数少1的情形，根据白砖和灰砖的数量建立方程，方程有解证明假设成立．
(1)
图3的灰砖数量应为1+2+3+2+1=9
图3的白砖数量为12+4=16
图4的灰砖数量应为1+2+3+4+3+2+1=16
图4的白砖应比图3上下各多一行
得图4白砖的数量为：16+4=20
图1灰砖的数量为1
图2灰砖的数量为4
图3灰砖的数量为9
图4灰砖的数量为16
得图灰砖的数量为
图1白砖的数量为8=
图2白砖的数量为12=
图3白砖的数量为16=
图4白砖的数量为20=
得图白砖的数量为
故答案为：16，20；，4n＋4．
(2)
假设存在，设图n白砖数恰好比灰砖数少1
∴白砖数量为，灰砖数量为
∴=
∴
∴
∴，或（舍去）
故当时，白砖的数量为24，灰砖的数量为25，白砖比灰砖少1
故答案为：存在．
【点睛】
本题考查数字规律和一元二次方程的相关知识，解题的关键是掌握数字规律的分析方法和一元二次方程的性质．