2021学年4 用因式分解法求解一元二次方程当堂达标检测题

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用因式分解
法
求解
一元
二次方程
因式分解法解一元二次方程
题型1
换元法解一元二次方程
题型2


题型变式
【题型1】因式分解法解一元二次方程
1．（2022·天津·中考真题）方程的两个根为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将进行因式分解，，计算出答案．
【详解】
∵
∴
∴
故选：D．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程．
【变式1-1】
2．（2022·全国·九年级）如果二次三项式x2＋px＋q能分解成（x＋3）（x﹣1）的形式，则方程x2＋px＋q＝0的两个根为（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝1B．x1＝﹣3；x2＝﹣1C．x1＝3；x2＝﹣1D．x1＝3；x2＝1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知分解因式和方程得出x＋3＝0，x−1＝0，求出方程的解即可．
【详解】
解：∵二次三项式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，
∴x+3＝0，x﹣1＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，
即方程x2+px+q＝0的两个根为x1＝﹣3，x2＝1，
故选：A．
【点睛】
本题考查了解分解因式法解一元二次方程，能根据题意得出x+3＝0和x﹣1＝0是解此题的关键．
【题型2】换元法解一元二次方程
1．（2022·内蒙古包头·一模）若实数x，y满足，则的值为（ ）
A．－1B．2C．－1或2D．－2或1
【答案】C
【解析】
【分析】
设：，则变为，进而解含a的一元二次方程，即可求出x+y的值．
【详解】
解：设：，则变为，
变形可得：，则，则，
解得：，即的值为2或﹣1，
故选：C．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，整体思想，能够将等式转化为一元二次方程是解决本题的关键．
【变式2-1】
2．（2022·四川泸州·一模）请阅读下列材料：
解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0．
解法如下：
将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，
原方程可化为y2﹣5y+4＝0，
解得y1＝1，y2＝4．
（1）当y＝1时，x2﹣1＝1，解得x＝±；
（2）当y＝4时，x2﹣1＝4，解得x＝±．
综合（1）（2），可得原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣．
参照以上解法，方程x4﹣x2﹣6＝0的解为 _____．
【答案】，
【解析】
【分析】
仿照范例，可以设，则原方程化为一元二次方程：，先解出y的值，再进一步解出x的值．
【详解】
解：设，则原方程可化为：，
解得：y1＝3，y2＝﹣2，
（1）当y＝3时，x2＝3，解得x1＝，x2＝，
（2）当y＝﹣2．时，x2＝﹣2，此方程无实数根，
综合（1）（2），可得原方程的解是：x1＝，x2＝，
故答案为：x1＝，x2＝
【点睛】
本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
专项训练
一．选择题
1．（2018·上海市宝山实验学校八年级阶段练习）一元二次方程的解是
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【解析】
【分析】
先把方程化为一般式， 然后利用因式分解法解方程 ．
【详解】
解：，
，
或，
所以，．
故选．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程---因式分解法： 就是先把方程的右边化为 0 ，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式， 那么这两个因式的值就都有可能为 0 ，这就能得到两个一元一次方程的解， 这样也就把原方程进行了降次， 把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想） ．
2．（2021·辽宁丹东·中考真题）若实数k、b是一元二次方程的两个根，且，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解法求出k、b的值，由一次函数的图像即可求得．
【详解】
∵实数k、b是一元二次方程的两个根，且，
∴,
∴一次函数表达式为，
有图像可知，一次函数不经过第三象限．
故选：C．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的解法，一次函数图像，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法和一次函数图像．
3．（2021·山东聊城·中考真题）关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（ ）
A．2或4B．0或4C．﹣2或0D．﹣2或2
【答案】B
【解析】
【分析】
把x=-2代入方程即可求得k的值；
【详解】
解：将x=-2代入原方程得到：，
解关于k的一元二次方程得：k=0或4，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了解一元二次方程相关知识点，代入解求值是关键．
4．（2019·广东深圳·九年级阶段练习）若实数满足，则的值是（ ）
A．1B．-3或1C．-3D．-1或3
【答案】A
【解析】
【分析】
设x2-3x=y．将y代入原方程得到关于y的一元二次方程y2+2y-3=0即可，解这个方程求出y的值，然后利用根的判别式检验即可.
【详解】
设x2-3x=y．将y代入原方程，得
y2+2y-3=0，
解之得，
y=1或y=-3．
当y=1时，x2-3x=1，△=b2-4ac=（-3）2-4×1×（-1）=9+4=13＞0，有两个不相等的实数根，当y=-3时，x2-3x=-3，△=b2-4ac=（-3）2-4×1×3=9=12＜0，无解．故y=1，即x2-3x=1．
故选A．
【点睛】
本题考查了换元法解一元二次方程及一元二次方程根的判别式，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它,从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理.
5．（2020·全国·九年级专题练习）下列命题:①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x2=1是同解方程；③方程x2=x与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3.其中正确的命题有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】A
【解析】
【分析】
利用方程、方程的解的有关定义以及解方程进行判断后即可得到结论．
【详解】
①方程kx2−x−2=0当k≠0时才是一元二次方程，故错误；
②x=1与方程x2=1不是同解方程，故错误；
③方程x2=x与方程x=1不是同解方程，故错误；
④由(x+1)(x−1)=3可得x=±2，故错误；
故选:A.
【点睛】
考查一元二次方程的定义，解一元二次方程等，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.
6．（2022·上海·八年级期末）如图，将边长的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=2-x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．
【详解】
解：设AC交A′B′于H，
∵AC是正方形的对角线，
∴∠A=45°，∠D=90°，
∴△A′HA是等腰直角三角形，
设AA′=x，则阴影部分的底A′H=x，高A′D=2-x，
∴x•(2-x)=1，即，
解得：，
即AA′=1cm．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平移的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解一元二次方程，解决本题关键是抓住平移后图形的特点，利用方程方法解题．
二、填空题
7．（2015·福建厦门·中考真题）方程的解是 ．
【答案】，
【解析】
【详解】
解：，
∴或，
所以，．
故答案为：，．
8．（2020·江苏苏州·九年级期中）一元二次方程x2-10x+25＝2（x﹣5）的解为____________．
【答案】x1＝5，x2＝7
【解析】
【分析】
移项后分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可；
【详解】
解：∵（x﹣5）2﹣2（x﹣5）＝0，
∴（x﹣5）（x﹣7）＝0，
则x﹣5＝0或x﹣7＝0，
解得x1＝5，x2＝7，
故答案为：x1＝5，x2＝7．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
9．（2021·贵州黔西·中考真题）三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为 _____.
【答案】12
【解析】
【分析】
解方程得第三边边长可能的值，代入三角形三边关系验证，进而求出周长即可．
【详解】
∵第三边的长是方程的根，解得x=3或5
当x=3时，由于2＋3=5，不能构成三角形；
当x=5时，由于2＋5>5，能构成三角形；
故该三角形三边长分别为2,5,5，则周长为2＋5＋5=12．
故答案为12．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系，利用三角形三边关系验证三边长是否能构成三角形是解决本题的关键．
10．（2021·全国·九年级专题练习）如果（x2+y2）2+3(x2+y2)-4=0，那么x2+y2的值为_______．
【答案】1
【解析】
【分析】
先设，则原方程可变形为：，解方程即可求得m的值，从而求得的值.
【详解】
设，则原方程可变形为：，
分解因式得，
∴m=-4，m=1，
∵≥0
∴=1
故答案为：1.
【点睛】
此题主要考查了用换元法解一元二次方程，换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法，这种解题方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，被告等量代换，这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观.
11．（2020·山东德州·中考真题）菱形的一条对角线长为8，其边长是方程的一个根，则该菱形的周长为________．
【答案】20
【解析】
【分析】
解方程得出x=4，或x=5，分两种情况：①当AB=AD=4时，4+4=8，不能构成三角形；②当AB=AD=5时，5+5＞8，即可得出菱形ABCD的周长．
【详解】
解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵
因式分解得：（x-4）（x-5）=0，
解得：x=4，或 x=5，
分两种情况：
当AB=AD=4时，4+4=8，不能构成三角形；
当AB=AD=5时，5+5＞8，可构成三角形；
∴菱形ABCD的周长=4AB=20．
故答案为：20．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、一元二次方程的解法、三角形的三边关系；熟练掌握菱形的性质，由三角形的三边关系得出AB是解决问题的关键．
12．（2020·贵州毕节·中考真题）关于的一元二次方程有一个根是，则的值是_______．
【答案】1
【解析】
【分析】
把方程的根代入原方程得到，解得k的值，再根据一元二次方程成立满足的条件进行取舍即可．
【详解】
∵方程是一元二次方程，
∴k+2≠0，即k≠-2；
又0是该方程的一个根，
∴，
解得，，，
由于k≠-2，
所以，k=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解．解此类题时，要擅于观察已知的是哪些条件，从而有针对性的选择解题方法．同时要注意一元二次方程成立必须满足的条件，这是容易忽略的地方．
三、解答题
13．（2021·广东·华中师范大学海丰附属学校九年级期中）用适当的方法解方程：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用因式分解法解答，即可求解；
（2）利用因式分解法解答，即可求解．
(1)
解∶
整理得：
∴
∴或
解得：；
(2)
解：
∴
∴或
解得：
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平方法，因式分解法，公式法，配方法是解题的关键．
14．（2022·全国·九年级）解方程．
(1)
(2)
(3)（
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
（1）根据直接开平方法解一元二次方程；
（2）根据公式法解一元二次方程；
（3）根据因式分解法解一元二次方程；
（4）根据因式分解法解一元二次方程．
(1)
解：3x+2=±5，
解得；
(2)
3x2-4x-1=0，△=（-4）2-4×3×（-1）=28，
所以；
(3)
（2x+1）2-3（2x+1）=0，
（2x+1）（2x+1-3）=0，
2x+1=0或2x+1-3=0，
解得；
(4)
（x-2）（x-5）=0，
x-2=0或x-5=0，
解得x1=2，x2=5．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
15．（2021·北京·人大附中九年级阶段练习）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都为正整数，求这个方程的根．
【答案】证明见祥解； ．
【解析】
【分析】
（1）先求出判别式，再配方变为即可；
（2）用十字相乘法可以求出根的表达式，方程的两个实数根都为正整数，列不等式组
，即可得出m的值．
【详解】
证明：∵是关于的一元二次方程，
，
∴此方程总有两个实数根．
解：∵，
∴，
∴，．
∵方程的两个实数根都为正整数，
，
解得，，
∴．
．
【点睛】
本题考查了根的判别式，配方为平方式，根据方程的两个实数根都为正整数，列出不等式组，求出是解题的关键．
16．（2022·全国·九年级）解方程：x2﹣|x|﹣2＝0
解：当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍）．
当x＜0时，原方程化为x2＋x﹣2＝0，
解得： ．
综上，原方程的根是 ．
请参照例题解方程x2﹣|x﹣3|﹣3＝0，则此方程的根是 ．
【答案】x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）；x1＝2，x2＝﹣2；x1＝2，x2＝﹣3
【解析】
【分析】
①②当x≤0时，去绝对值，将原方程化为: x2＋x﹣2＝0， 然后利用因式分解法解两个一元二次方程，即可解答；
③参照例题分类讨论：当x≥3, 原方程化为x2-x=0，当x