高中数学第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算复习练习题

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6.2.4向量的数量积 (精讲）一、必备知识分层透析知识点1：平面向量数列积的物理背景如图,一个物体在力F的作用下产生了位移s,且力F与位移s的夹角为，那么力F所做的功.其中是F在物体位移方向上的分量的数量,也就是力F在物体位移方向上正投影的数量.从物理角度来看数量积的意义,有利于理解数量积的概念,两个向量的数量积可以运算,其结果是一个数量.知识点2：向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量,,是平面上的任意一点,作,,则叫做向量与的夹角.(2)向量的夹角范围.(3)特殊情况：①，与同向；②，与垂直，记作；③，与反向.知识点3：平面向量数量积的概念（1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积).记作：，即.规定：零向量与任一向量的数量积为0特别提醒:（1）“·”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”；(2)数量积的结果为数量,不再是向量；(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角决定:当是锐角时,数量积为正；当是钝角时,数量积为负；当是直角时,数量积等于零.（2）投影如图,设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量.特别提醒:①为向量在上的投影的数量；②为向量在上的投影的数量；③投影的数量（）是一个值，不是向量.知识点4：平面向量数量积的性质设,是非零向量,它们的夹角是,是与方向相同的单位向量,则①. ②.③当与同向时,；④当与反向时,；⑤ 或；⑥；⑦.知识点5：向量数量积的运算律①交换律：②对数乘的结合律：③分配律：④⑤二、重点题型分类研究题型1: 与向量数量积有关的概念1．（2022·全国·高一课时练习）已知、、不共线的非零向量，则下列等式中不成立的是（       ）．A． B．C． D．【答案】B【详解】A：，A正确；B：设，则，设，则，因为与非零不共线，所以一般情况下，故B错误；C：向量数乘的数量积满足结合律，C正确；D：数量积满足交换律，D正确；故选：B2．（2022·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）已知，，且与的夹角，则等于（       ）A． B．6 C． D．【答案】A【详解】因为，，且与的夹角，所以.故选：A.3．（2022·全国·高一课时练习）已知三角形中，，则三角形的形状为_________三角形（       ）A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰直角【答案】C【详解】因为，故，故，而，故，故三角形为钝角三角形，故选：C.4．（2022·安徽·定远县育才学校高一阶段练习（文））在△ABC中，若(－)·(＋)＝0，则△ABC一定是（       ）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】A【详解】(－)·(＋)＝·＝0，则CA⊥BA，所以△ABC一定是直角三角形．故选：A5．（2022·新疆·乌鲁木齐市第二十中学高一期末）已知在中，，则的形状是（       ）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形【答案】C【详解】解：因为，所以，所以，因为，所以，所以角为钝角，所以为钝角三角形，故选：C题型2：向量的夹角1．（2022·福建福州·高三期中）已知，，且与相互垂直，则与的夹角为（        ）A．45° B．60° C．90° D．120°【答案】C【详解】设与的夹角为，，由于与相互垂直，所以，所以.故选：C2．（2022·全国·高一课时练习）若向量，满足，且，则向量与的夹角为（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，，即，，求得，所以向量与的夹角为.故选：B3．（2022·河北·武安市第一中学高一阶段练习）已知向量，其中，且，则与的夹角是（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由于，所以，设与的夹角为，则，由于，所以.故选：B4．（2022·山东临沂·高三阶段练习）若向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为向量，的夹角为，且，，所以，，因为，所以故选：A5．（2022·河南·高三阶段练习（文））若单位向量，满足，则与的夹角为（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，，所以，即，所以，所以，又，所以.故选:.题型3：平面向量的数量积1．（2022·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）已知向量，，与的夹角为.（1）求；（2）求.【答案】（1）（2）（1）解：由题意，向量，，与的夹角为，可得，又由.（2）解：因为向量，，且，所以.2．（2022·湖北·高三期中）如图，在菱形中，若，，，．（1）若，，求，，，的值；（2）求的值．【答案】（1），，，.（2）-2（1）,,故，，，.（2）由(1)得：3．（2022·全国·高一课时练习）已知向量与的夹角大小为，且，，求的值．【答案】13【详解】根据题意，得.4．（2022·全国·高一课时练习）已知，是夹角为60°的两个单位向量，，．（1）；（2）求证：．【答案】（1）（2）证明见解析（1）解：因为，是夹角为60°的两个单位向量，所以，因为，，所以（2）解：因为，，所以，，所以，所以；题型4：向量的投影1．（2022·四川·射洪中学高三阶段练习（理））已知向量，，则在方向上的投影是（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】因向量，，则有，所以在方向上的投影是3.故选：C2．（2022·黑龙江·佳木斯市第二中学高三阶段练习（理））已知向量，满足，且，则在方向上的投影为（       ）A．3 B．-3 C．- D．【答案】B【详解】由,得,,于是,因此在方向上的投影为.故选：B3．（2022·云南·峨山彝族自治县第一中学高二阶段练习）已知，且，则在方向上的投影为（       ）A． B．1 C． D．【答案】A【详解】由题意，，所以在方向上的投影．故选：A．4．（2022·重庆·西南大学附中高三开学考试）已知向量，满足，，且⊥(-)，则在方向上的投影为（       ）A． B．3 C．- D．【答案】D【详解】由题设，，即，∴.∴在方向上的投影为.故选：D5．（2022·广东汕尾·高一期末）在三角形中，已知，，点满足，则向量在向量方向上的投影向量为（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由可得：，即，可得，所以，如图设的中点为，则，由可得，所以，所以，所以 向量在向量方向上的投影向量为：，因为，所以，所以向量在向量方向上的投影向量为，故选：B.题型5：向量垂直问题1．（2022·河南·漯河高中高二阶段练习（文））设，均为单位向量，则“”是“⊥”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】由， 又，均为单位向量，所以，所以，所以“”是“⊥”的充分必要条件.故选：C2．（2022·全国·高一课时练习）已知，且，，若有两个不同时为零的实数k，t，使得与垂直，试求的最小值．【答案】【详解】因为，所以，又与垂直，所以，即，又，，所以，，当时，取到最小值.3．（2022·江西·永新中学高二期中（理））已知，， 与的夹角为，问：当为何值时，？【答案】.【详解】因为，， 与的夹角为，所以，若，则，即，所以，所以，可得：.4．（2022·山西省长治市第二中学校高一期中）已知，（1）若向量与垂直，求实数的值;【答案】（1）；（2）.【详解】（1）∵向量与垂直,∴,即,解得.题型6：利用平面向量数量积求向量的模1．（2022·陕西·长安一中高三阶段练习（理））已知，且，则的值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由已知，，，所以．故选：B．2．（2022·河北·高三阶段练习）已知单位向量，满足，则（       ）A． B．5 C．2 D．【答案】D【详解】由题意，，，对两边同时平方可得，，解得，故，得.故选：D.3．（2022·贵州师大附中高二阶段练习（理））已知向量与的夹角为60°，，则（       ）A．1 B． C． D．【答案】B【详解】因为向量与的夹角为60°，，所以，所以，所以.故选：B.4．（2022·河北·衡水市冀州区第一中学高二期中）已知向量，满足，则（       ）A．1 B． C．5 D．【答案】D【详解】因为，所以，故.故选：D.5．（2022·辽宁·凌源市实验中学高三阶段练习）已知向量，满足，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由已知，得，结合，得，解得，所以，即.故选：B.题型7：利用平面向量数量积判断三角形的形状1．（2022·全国·高一课时练习）已知在中，，则的形状是（    ）三角形A．直角 B．等腰直角 C．等边 D．钝角【答案】C【详解】解：由题得，所以8＝4×4cos ∠BAC，于是cos ∠BAC＝，因为0°<∠BAC<180°，所以∠BAC＝60°.又AB＝AC，故ABC是等边三角形.故选：C.2．（2022·安徽省涡阳第一中学高一阶段练习）在中，向量与满足，且，则为（    ）A．等边三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【详解】，分别为向量与的单位向量，因为，所以角的角平分线与垂直，所以是等腰三角形，且，由，，所以，所以，可得，所以是等腰直角三角形.故选：D.3．（2022·安徽宣城·高一期中）为平面上的定点，是平面上不共线的三点，若，则是（    ）A．以为底边的等腰三角形B．以为底边的等腰三角形C．以为斜边的直角三角形D．以为斜边的直角三角形【答案】B【详解】，所以，所以是以为底边的等腰三角形，故选：B.4．（2022·江苏·南京市第六十六中学高一阶段练习）已知非零向量，满足，且，则的形状是（   ）A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形C．等腰（非等边）三角形 D．等边三角形【答案】D【详解】由题意，可得的平分线垂直于，所以，又因为，且，所以，所以为等边三角形，故选：D．题型8：利用平面向量数量积求参数1．（2022·全国·高三专题练习）若单位向量，的夹角为，向量（），且 ，则（    ）A． B．－C． D．－【答案】B【详解】由题意可得：，，化简得，解得.故选：B.2．（2022·辽宁实验中学二模）若存在单位向量，满足，，则的值为（    ）．A．1 B．或1 C．0 D．1或0【答案】D【详解】，是单位向量，则，，于是有，即，显然，则或1，所以的值为为1或0．故选：D3．（2022·江西·兴国县将军中学高二阶段练习（文））在中，，且，则取最小值时的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为所以当时，取最小值.故选：B.4．（2020·天津经济技术开发区第二中学高三阶段练习）若单位向量，的夹角为，向量，且，则（　　）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，可得所以，即，所以故选：A5．（2020·河北·邢台一中高三阶段练习）已知向量与的夹角是，且，，若，则实数的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意 ，可得，即，解得.故选：C.题型9：利用平面向量数量积求最值1．（2022·江苏·高一期中）设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意，非零向量的夹角为，且，则，不等式对任意恒成立，所以，即，整理得恒成立，因为，所以，即，可得，即实数的取值范围为.故选：A.2．（2020·湖南·雅礼中学模拟预测（理））已知向量的夹角为，，，则的取值范围是________.【答案】【详解】可设，.，故答案为：3．（2022·全国·高一课时练习）已知平面上三个向量，，的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.（1）求证：(－)⊥；（2）若|k＋＋|>1()，求的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）{k|k<0或k>2}．【详解】(1)因为||＝||＝||＝1，且，，之间的夹角均为120°，所以(－)·＝·－·＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0，所以(a－b)⊥c.(2)因为|k＋＋|>1，所以(k＋＋)2>1，即k22＋2＋2＋2k·＋2k·＋2·>1，所以k2＋1＋1＋2kcos 120°＋2kcos 120°＋2cos 120°>1.所以k2－2k>0，解得k<0或k>2.所以实数k的取值范围为{k|k<0或k>2}．