人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示综合训练题

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6.3.1平面向量基本定理 (精讲）一、必备知识分层透析知识点1：平面向量基本定理（1）平面向量基本定理如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使.若,不共线,我们把,叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.（2）对平面向量基本定理的理解(1)这个定理告诉我们,平面内任意两个不共线向量都可以作为基底,一旦选定一组基底,则平面内的任一向量都可用该组基底唯一表示.(2)对于确定的基底,,同一向量的分解式是唯一的,不同向量的分解式是不同的.(3)同一个非零向量在不同的基底下分解式是不同的,零向量的分解式是唯一的,即,且.(4)这个定理可推广为:平面内任意三个不共线的向量中,任何一个向量都可表示例示为其余两个向量的线性组合,且形式唯一.知识点2：平面向量基本定理的有关结论（1）设,是平面内一组基底，若，当时，与共线；当时，与共线；当时，，同样的时，.（2）设是同一平面内的两个不共线的向量，若，则.二、重点题型分类研究题型1:对基底的理解1．（2022·全国·高一课时练习）已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（    ）A．与B．与C．与D．与2．（2022·全国·高一课时练习）若是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（    ）A．， B．，C．， D．，3．（2022·浙江·宁波市北仑中学高一期中）若是平面内两个不共线的向量，则下列说法中正确的是（    ）A．不可以表示平面内的所有向量；B．对于平面中的任一向量，使的实数有无数多对；C．若均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使；D．若存在实数使，则.4．（2022·全国·高一课时练习）若，是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（    ）．A．和 B．和C．和 D．和题型2：用基底表示向量1．（2022·云南·模拟预测（文））如图，在中，点M是上的点且满足，是上的点，且，设，则（       ）A． B．C． D．2．（2022·广东·华南师大附中高三阶段练习）在△ABC中，点D在AB上，满足，若，，则=（       ）A． B．C． D．3．（2022·云南·高三阶段练习（文））在中，边上的点满足，设，，则（       ）A． B． C． D．4．（2022·广东·高二阶段练习）如图，在中，点D是线段上靠近A的三等分点，点E是线段的中点，则（       ）A． B．C． D．5．（2022·安徽·合肥市第八中学高三阶段练习（文））如图，在中，，P为上一点，且满足，则的值为（       ）A． B． C． D．6．（2022·全国·高一单元测试）过的中线的中点作直线分别交､于､两点，若，则（       ）A．4 B． C．3 D．1 题型3：用平面向量基本定理求待定参数1．（2022·河南·高三期中（理））如图所示，矩形的对角线相交于点，点在线段上且，若（，），则（       ）A． B． C． D．2．（2022·四川遂宁·模拟预测（文））如图,在中,，，若，则（       ）A． B． C． D．3．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学高三阶段练习（理））已知点是所在平面内的一点，且，设，则（       ）A． B． C．3 D． 4．（2022·河南·郑州外国语中学高三阶段练习（理））在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，则（       ）A． B． C． D．5．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学高三期中（理））如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（       ）A． B． C． D．题型4：平面向量基本定理的综合应用1．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，在中，，，，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若，则的值为（       ）A． B． C． D．2．（2022·全国·高一课时练习）在中，，，设，则（       ）A． B． C． D．3．（2022·福建·厦门市湖滨中学高三期中）.如图，在中，，是线段上一点，若，则实数的值为（       ）A． B．C．2 D．4．（2022·广东·深圳市福田区福田中学高三阶段练习）如图所示，是的中线.是上的一点，且，若，其中，则的值为（       ）A． B． C． D．5．（2022·浙江·金乡卫城中学高一阶段练习）在中，是的中点，是的中点，过点作一直线分别与边，交于，，若，，则（       ）A． B．C． D． 6．（2022·山西·高三阶段练习（理））在等边△ABC中，D为BC的中点，点P为△ACD内一点（含边界），若，则的取值（       ）A． B． C． D．题型5：运用平面向量基本定理解决证明问题1．（2022·全国·高一课时练习）已知D，E，F分别为三边的中点.求证：相交于一点.   2．（2022·河北省临西县实验中学高一阶段练习）．已知中是直角，，点是的中点，为上一点．（1）设，，当，请用来表示，.（2）当时，判断是否垂直.若成立，给出证明，若不成立，说明理由.   3．（2022·上海·模拟预测）已知O是线段外一点，若，．（1）设点、是线段的三等分点，、及的重心依次为、、，试用向量、表示；（2）如果在线段上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．