高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用综合训练题

6.4.1平面几何中的向量方法+6.4.2向量在物理中的应用举例 (精练）

A学业基础

一、单选题

1．（2022·全国·高一课时练习）设点是正三角形的中心，则向量，，是（    ）．

A．相同的向量 B．模相等的向量

C．共线向量 D．共起点的向量

【答案】B

【详解】

是正的中心，

向量，，分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的，

是正三角形的中心，

到三个顶点的距离相等，

即，

故选：B.

2．（2022·湖南省邵东市第三中学高一期中）在中，，则一定是（    ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形

【答案】C

【详解】

∵，∴，

又∵为三角形内角，∴是钝角，即是钝角三角形.

故选：C.

3．（2022·北京市第十二中学高一期末）在中，若，则的形状是（    ）

A．为钝角的三角形

B．为直角的直角三角形

C．锐角三角形

D．为直角的直角三角形

【答案】D

【详解】

在中，，，

，则为直角三角形，

故选：D．

4．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第六中学高三阶段练习）已知点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】C

【详解】

不妨设中，，边长，边长，

以A为原点、AB为x轴、AC为y轴建立平面直角坐标系

则、、,

,设，则

故

可得，故

的面积为，

的面积为

则与的面积之比为

故选：C

5．（2022·湖南·长沙市湘郡长德实验学校高一阶段练习）已知平面向量=(3，－4)，=2，若·=－5，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

解：由题意得

又

，的夹角为

故选：A

6．（2022·福建·福州三中高一期中）已知正三角形的边长为，是边上的动点含端点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

以BC中点O为原点，BC所在直线为x轴，OA为y轴建系，如图所示：

所以，设，

所以，

所以，

因为，

所以.

故选：D

7．（2022·全国·高一课时练习）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ）

A．越小越费力，越大越省力

B．的范围为

C．当时，

D．当时，

【答案】D

【详解】

解：对A，为定值，

，

解得：；

由题意知：时，单调递减，

单调递增，

即越大越费力，越小越省力，故A错误；

对B，当时，不满足题意，故B错误；

对C，当时，，

，故C错误；

对D，当时，，

，故D正确.

故选：D.

8．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（    ）

A．船头方向与水流方向垂直 B．

C． D．该船到达对岸所需时间为分钟

【答案】B

【详解】

由题意可知，，当船的航程最短时，，而船头的方向与同向，

由，可得，，A选项错误，B选项正确；

，C选项错误；

该船到达对岸所需时间为（分钟），D选项错误.

故选：B.

二、填空题

9．（2022·河南·信阳市浉河区新时代学校高一阶段练习）如果，，那么的取值范围______

【答案】，

【详解】

解：

即

故答案为：，

10．（2022·浙江·高三期末）在梯形中，，，，，若在线段上运动，且，则的最小值为_________．

【答案】

【详解】

如图示，以A为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，则：、

不妨设

则

∴

∴的最小值为，当且仅当时取得.

故答案为：

11．（2022·广东·江门市新会第二中学高一阶段练习）河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为___________m/s

【答案】10

【详解】

为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即：静水速度斜向上游方向，

河水速度 =2m/s平行于河岸；

静水速度与河水速度的合速度=m/s指向对岸．

∴静水速度m/s．

故答案为：．

12．（2022·山西临汾·高一阶段练习）有一东西方向的河流（假设河流宽度一样），一艘快艇从河南岸出发渡河，快艇航行速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向正东，经过到达北岸，现快艇从北岸返回，速度大小不变，方向为正南，从北岸出发返回南岸的时间是__________．

【答案】

【详解】

解：如图所示，

由题意知，，，所以，

所以南北两岸的距离为；

现快艇从北岸返回，速度大小不变，方向为正南，

所以，

即从北岸出发返回南岸的时间是．

故答案为：．

三、解答题

13．（2022·全国·高一专题练习）如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，要使整个系统处于平衡状态，两根绳子的拉力为多少？

【答案】与铅垂线成角的绳子的拉力是，与铅垂线成角的绳子的拉力是.

【详解】

如图，作，使，则，.

设向量分别表示两根绳子的拉力，则表示物体所受的重力，且N.

所以 (N)， (N)．

所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是.

14．（2022·全国·高一专题练习）在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．

【答案】，方向为北偏东80°．

【详解】

如图，设表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行，表示从B地按南偏东55°的方向飞行．

则飞机飞行的路程指的是，两次飞行的位移的和指的是．

依题意，有．

又，，，

所以，

其中，所以方向为北偏东．

从而飞机飞行的路程是，两次飞行的位移和的大小为，方向为北偏东80°．

B应考能力

15．（2022·湖南师大附中高三阶段练习）骑行是目前很流行的一种绿色健身和环保出行方式，骑行属于全身性有氧活动､能有效地锻炼大脑､心脏等人体器官机能，它带给人们的不仅是简单的身体上的运动锻炼，更是心灵上的释放.如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形.设点为后轮上一点，则在骑行该自行车的过程中，的最小值为（       ）

A． B．12 C． D．24

【答案】B

【详解】

解：如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，

因为圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形

所以点，，，

所以，

所以，

所以当， 的最小值为.

故选：B

16．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（理））已知点M为椭圆上任意一点，A，B是圆上两点，且，则的最大值与最小值的和是（       ）

A．20 B． C．40 D．

【答案】C

【详解】

设圆的圆心为，易知是圆的一条直径，

因此

，

因为点是椭圆的右焦点，点在椭圆上，所以，

所以，即，

所以的最小值为，最大值为，

又因为，所以的最大值与最小值的和是．

故选：C.

17．（2022·全国·高一专题练习）如图，以为直径在正方形内部作半圆（不含，两点），为半圆上一动点，下面关于的说法正确的是（       ）

A．无最大值，但有最小值 B．既有最大值，又有最小值

C．有最大值，但无最小值 D．既无最大值，又无最小值

【答案】A

【详解】

设正方形的边长为，以为原点，所在的直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系；则圆：，，，

设，，

则

，

所以，

因为，所以，，

所以，

所以无最大值，但有最小值，

故选：A.

18．（2022·福建·莆田第五中学高一阶段练习）一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°方向移动了8m，已知|F1|=2N，方向为北偏东30°，|F2| =4N，方向为北偏东60°，|F3| =6N，方向为北偏西30°，则这三个力的合力所做的功为(　　)

A．24 J B．24J

C．24J D．24J

【答案】D

如图，建立直角坐标系，

则F1=(1，)，F2=(2，2)，F3=(-3，3)，

则F= F1+ F2+ F3=(2-2，2+4).

又位移s=(4，4)，

故合力F所做的功为W=F·s=(2-2)×4+(2+4)×4=4×6=24(J). 选D.

C新素养 新题型

19．（2022·全国·模拟预测）在中，D，E分别是线段BC上的两个三等分点（D，E两点分别靠近B，C点），则下列说法正确的是（       ）

A．

B．若F为AE的中点，则

C．若，，，则

D．若，且，则

【答案】ACD

【详解】

解：对于A，取的中点，则也是的中点，

则有，所以，故A正确；

对于B，若F为AE的中点，则，故B错误；

对于C，因为D，E分别为线段BC上的两个三等分点，所以，，，故C正确；

对于D，由A选项得，，

由，因为，

所以，即，

因为，所以，平分，

在中，，所以，

所以为等边三角形，所以，故选：D.

故选：ACD.

20．（2022·山东·莱州市第一中学高三阶段练习）设向量，则下列叙述错误的是（       ）

A．若时，则与的夹角为钝角

B．的最小值为2

C．与共线的单位向量只有一个为

D．若，则或

【答案】ACD

【详解】

对于A选项，若与的夹角为钝角，则且与不共线，则解得且，A选项错误；

对于B选项，，当且仅当时，等号成立，B选项正确；

对于C选项，，与共线的单位向量为，即与共线的单位向量为或，C选项错误；

对于D选项，∵，即，解得，D选项错误．

故选：ACD

21．（2022·辽宁葫芦岛·高二阶段练习）如图，为圆锥的顶点，该圆锥的母线长为米，底面圆的半径为米，为底面圆周上一点，一只蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线上的一点，则（       ）

A．蚂蚁爬行的最短路程为米

B．当蚂蚁爬行的路程最短时，的最大值为

C．蚂蚁爬行的最短路程为米

D．当蚂蚁爬行的路程最短时，的最大值为

【答案】BC

【详解】

圆锥的侧面展开图如图所示，

的长为，，为等边三角形，

取的中点，连接，则，

此时的长即蚂蚁爬行的最短路程，且最短路程为米，A错误，C正确；

当蚂蚁爬行的路程最短时，为的中点，

设底面圆的圆心为，则，

，，

则当为直径时，取得最大值，且最大值为，B正确，D错误.

故选：BC.