高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用综合训练题

6.4.1平面几何中的向量方法

6.4.2向量在物理中的应用举例 (精讲）

一、必备知识分层透析

知识点1：平面几何中的向量方法

（1）向量在平面几何中的应用

① 平面两个向量的数量积：；

② 向量平行的判定: ；       

③向量平行与垂直的判定:；

④平面内两点间的距离公式： （其中，）

⑤求模：； ；

⑥对于题目中遇到的有些平面图形(如长方形、正方形、直角三角形等)的计算求解问题,可通过建立平面直角坐标系,用坐标把向量表示出来,通过代数运算来解决(“形”转“数”).

（2）用向量解决平面几何问题的步骤

①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题；

②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题；

③把运算结果“翻译”成几何关系.

知识点2：向量在物理中的应用举例

向量的定义有着丰富的物理背景,物理学中的位移、力、速度等都是既有大小又有方向的量,力所做的功就是向量的数量积的物理背景,因此,向量可以解决一些物理问题归纳.

（1）力学问题的向量处理方法

①解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题,即将力学各量之间的关系抽象成数学模型,再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象；

②向量是既有大小又有方向的量,表示向量的有向线段可以有共同的起点,也可以没有共同的起点.力是既有大小,又有方向的量.用向量知识解决共点力的问题,往往需要把向量平移到同一作用点上.

（2）速度、位移问题的向量处理方法

速度、加速度与位移的合成和分解,实质就是向量的加减运算,而运动的叠加也用到了向量的合成.

①向量在速度、加速度上的应用,实质是通过向量的线性运算解决物理问题,最后获得物理结果.

②用向量解决速度、加速度和位移等问题,用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘,有时也可借助坐标来求解.

（3）功、动量问题的向量处理方法

物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是力与位移的数量积,即(为与的夹角).功是一个标量,它可正,也可负.动量实际上是数乘向量.

在解决问题时要注意数形结合

二、重点题型分类研究

题型1: 利用向量解决平面几何中的平行（共线）问题

1．（2020·全国·高一课时练习）如图，已知直角梯形中，，过点作于点，为的中点，用向量的方法证明：

（1）；

（2）三点共线.

题型2：利用向量解决垂直问题

1．（2022·全国·高一课时练习）如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF.

2．（2020·上海·高二课时练习）在中，，分别为边上的点，且．求证：．

3．（2020·全国·高一课时练习）如图，在正方形中，为对角线上任意一点（异于、两点），，，垂足分别为、，连接、，求证：.

题型3：利用向量求线段长度或证明线段相等

1．（2022·全国·高一单元测试）如图，平行四边形中，已知，，对角线，求对角线的长.

2．（2020·安徽·安庆市第二中学高一阶段练习）在中，，，，点，在边上且，.若，求的长；

3．（2022·全国·高三专题练习）已知正方形,E､F分别是､的中点,､交于点P,连接.用向量法证明:

(1);

(2).

4．（2022·全国·高一课时练习）如图，四边形是正方形，，的延长线交的延长线于点．求证：．

题型4：向量在物理中的应用

4.1有关力的问题

1．（2022·全国·高一课时练习）两个力，作用于同一质点，使该质点从点移动到点（其中、分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m）.求：

(1)，分别对该质点做的功；

(2)，的合力对该质点做的功.

2．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，一个物体受到同一平面内三个力，，的作用，沿北偏东的方向移动了，其中，方向为北偏东 ；，方向为北偏东；，方向为北偏西，求合力所做的功.

3．（2022·全国·高一课时练习）如图，在细绳O处用水平力缓慢拉起所受重力为的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受的拉力为.

(1)判断， 随θ的变化而变化的情况；

(2)当时，求角θ的取值范围．

4.2有关速度、位移的问题

1．（2022·全国·高一课时练习）长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为．设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向．

(1)当时，试判断游船航行到达北岸的位置是在的左侧还是右侧，并说明理由．

(2)当多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？（不必近似计算）

(3)当时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？

2．（2022·全国·高一课时练习）某人在静水中游泳，速度为千米/小时，他在水流速度为千米/小时的河中游泳．他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？

3．（2020·全国·高一课时练习）某人在静水中游泳，速度为千米/时，现在他在水流速度为4千米/时的河中游泳.

（1）若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？

（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？

4．（2020·全国·高一课时练习）长江某地南北两岸平行.如图所示，江面宽度，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向.回答下面的问题.

（1）当时，判断游船航行到达北岸的位置在的左侧还是右侧，并说明理由.

（2）当为多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？

4.3有功、动量的问题

1．（2022·全国·高一课时练习）一个物体受到同一平面内三个力的作用，沿北偏东的方向移动了．已知，方向为北偏东；，方向为东偏北；，方向为西偏北，求这三个力的合力所做的功．

2．（2022·山西柳林·高一期中）已知两恒力作用于同一质点，使之由点移动到点．

（1）求力对质点所做的功；

（2）求力的合力对质点所做的功．

3．（2022·全国·高一课时练习）两个力，作用于同一质点，使该质点从点移动到点（其中，分别是轴正方向、轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m）.求：

（1），分别对该质点做的功；

（2），的合力对该质点做的功.

4．（2022·陕西·宝鸡市陈仓区教育体育局教学研究室高一期中）已知两恒力，作用于同一质点，使之由点移动到点.

（1）求力、分别对质点所做的功；

（2）求力、的合力对质点所做的功.