必修 第二册7.2 复数的四则运算课后复习题

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7.2.2 复数的乘、除运算  (精讲）一、必备知识分层透析知识点1：复数代数形式的乘法运算（1）复数的乘法法则我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ，即（2）复数乘法满足的运算律复数乘法的交换律、结合律、分配律 (交换律)  (结合律) (分配律) 知识点2：复数代数形式的乘方（1）复数的乘方复数的乘方就是相同复数的乘积（2）复数乘方的运算律根据复数乘法的运算律，实数范围内的正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对任意的，，有：①②③知识点3：共轭复数的性质设，（）①②为实数③且为纯虚数④⑤，，知识点4：复数代数形式的除法运算（1）定义规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足（，）的复数叫做复数除以复数的商，记作或（2）复数的除法法则（）由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数.二、重点题型分类研究题型1: 复数的乘、除运算1．（辽宁省县级重点高中协作体2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题）复数的实部与虚部之和为（    ）A．1 B．－1 C．3 D．－3【答案】A【详解】解：因为，所以复数的实部与虚部之和为．故选：A.2．（2022·浙江杭州·高二期末）若复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是（    ）A．2i B． C．2 D．【答案】D【详解】因为，所以，所以复数的虚部为.故选：D3．（2022·广东茂名·一模）已知为实数，且(为虚数单位)，则（  ）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题意知，解得，所以故选：A4．（2022·湖北·武钢三中高三阶段练习）已知，则在复平面内，复数所对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【详解】，且的乘方运算是以4为周期的运算所以，所以复数所对应的点，在第二象限.故选：B5．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】，.故选：.6．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）已知复数为纯虚数，若（其中为虚数单位），则实数的值为___________.【答案】##【详解】由可得，若为纯虚数，则 可得，故答案为：.7．（2022·安徽·定远县育才学校高二期中（文））复数的值为________．【答案】【详解】故答案为：8．（2022·上海·高一单元测试）如果，那么＝________.【答案】【详解】因为，故，所以，故，故，故答案为：.题型2：与共轭复数有关的运算1．（山东省淄博市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知复数是纯虚数，是实数，则（    ）A．－ B． C．－2 D．2【答案】B【详解】由题意设，则，因为是实数，所以，得，所以，所以，故选：B2．（2022·青海西宁·高三期末（文））已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，故选：A.3．（2022·河南省直辖县级单位·一模（理））若复数z满足，则z的共轭复数对应的点在（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【详解】因为所以所以，对应的点在第一象限故选：A.4．（2022·广西·模拟预测（文））若，则复数在复平面内对应的点在（    ）A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．直线上【答案】D【详解】解：，所以复数在复平面内对应的点为，显然点在直线上.故选:D5．（2022·河北·高三阶段练习）复数满足，则的虚部为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：根据题意，设，（，为虚数单位），则，所以，所以，即所以，其虚部为.故选：D6．（2022·上海普陀·模拟预测）复数（为虚数单位），则__．【答案】【详解】，则，故答案为：.7．（2022·重庆实验外国语学校高一阶段练习）为的共轭复数，如果，那么______．【答案】【详解】由知，，则故答案为：题型3：复数范围内的解一元二次方程问题1．（2022·全国·高一单元测试）已知关于x的二次方程有实根，为复数.求的模的最小值.【答案】.【详解】设为方程的实根，则，当即时，.2．（2022·上海市徐汇中学高二期末）已知复数满足，求复数【答案】【详解】设，则所以，即又又，所以所以，所以.3．（2022·广东·清远市清新区凤霞中学高一期中）（1）在复平面内复数、所对应的点为、，为坐标原点，是虚数单位．，，计算与；（2）若复数是方程的一个复数根，求【答案】（1），；（2）（1），，即，（2）由题，，即，所以，故，即4．（2022·河北·武安市第一中学高一阶段练习）已知关于的方程在复数范围内的两根为、．（1）若，求、；（2）若，求的值．【答案】（1），；（2）．【详解】（1）由题意得，，∴，∴，．（2）已知关于x的方程的一根为，所以，所以，解得．题型4：复数四则运算的创新应用1．（2022·全国·高二专题练习（理））已知是复数，定义复数的一种运算“”：.当时，A． B． C． D．【答案】A【详解】由，，知，故故选：A.2．（2016·上海市向明中学高二阶段练习）已知（，是虚数单位），，定义：，，给出下列命题：①对任意，都有；②若是复数的共轭复数，则恒成立；③，则；④对任意，结论恒成立；则其中真命题是（    ）A．①②③④ B．②③④ C．②④ D．①③【答案】C【详解】对于①，当时，，所以①为假命题.对于②，令，则，所以②为真命题.对于③，由于②成立，而和不一定相等，所以③为假命题.对于④，依题意，根据复数减法的模的几何意义可知，表示复数和对应两点间的距离，表示复数和对应两点间的距离，表示复数和对应两点间的距离.根据三角形两边的和大于第三边可知，当对应的点在和对应的两点连成的线段上时，，所以成立. ④为真命题.故选：C3．(多选）（2020·江苏·南京市中华中学高二阶段练习）对任意复数，，定义，其中是的共轭复数，对任意复数，，，有如下四个命题：①；            ②；③；                ④．则真命题是（    ）A．① B．② C．③ D．④【答案】AB【详解】由题意，故①正确；，故 ②正确；，，故③不正确；，，故④不正确.故选：AB4．（2022·上海·高一课时练习）现新定义两个复数（、）和（、）之间的一个新运算，其运算法则为：.（1）请证明新运算对于复数的加法满足分配律，即求证：；（2）设运算为运算的逆运算，请推导运算的运算法则.【答案】（1）证明见解析；（2）当，时，，推导过程见解析.【详解】（1）证：设（、）.左右左=右，证毕.（2）因为运算为运算的逆运算，所以的运算结果是关于变量的方程的解.设（、），则，即.当，时，解得，，.∴，故，当，时，.