高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积同步达标检测题

8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积(精练）

A学业基础

一、单选题

1．（2022·海南鑫源高级中学高二期中）圆锥的底面半径是1，母线长为，则体积为（    ）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·高三专题练习）矩形中，，，沿将矩形折起，使面面，则四面体的外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

3．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高二期中（文））长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（    ）

A． B．

C． D．

4．（2020·四川省眉山第一中学高二阶段练习（文））若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积是（    ）

A．3π B． C．6π D．9π

5．（2022·全国·高一课时练习）如图，一个底面半径为4的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为4和6，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

6．（2022·全国·高一课时练习）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

7．（2022·北京朝阳·高三期末）如图，将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为（    ）

A． B． C． D．

8．（辽宁省县级重点高中协作体2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．已知堑堵中，，．若堑堵外接球的表面积是，则堑堵体积的最大值是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

9．（2022·上海·格致中学高二期末）已知球面上的三点，，满足，，，球心到平面的距离为，则球的表面积为______．

10．（2022·广西柳州·二模（文））阿基米德是伟大的古希腊哲学家､数学家和物理学家，他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，且内切球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为，则该圆柱的内切球体积为___________.

11．（2022·青海海东·高二期末（文））某学生到某工厂进行劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为一个大圆柱中挖去一个小圆柱后的剩余部分（两个圆柱底面圆的圆心重合），大圆柱的轴截面是边长为的正方形，小圆柱的侧面积是大圆柱侧面积的一半，打印所用原料的密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.（取）

12．（2022·吉林吉林·高三期末（理））已知球的半径为1，，是球面上两点，，为该球面上的动点．当三棱锥的体积取得最大值时，过，，三点的截面圆的面积为______．

三、解答题

13．（2022·全国·高一单元测试）某部门建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m，高4m，该部门拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是底面直径比原来增加4m（高不变）；二是高度增加4m（底面直径不变）．

（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；

（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；

（3）哪个方案更经济些？为什么？

14．（2022·上海市嘉定区第二中学高三阶段练习）在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullon，于1996年故入世界文化遗产名景（如图1）.现测量一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为m，母线长为m（如图2）.是母线的一个三等分点（靠近点）.

（1）现用鲜花铺设屋顶，如果每平方米大约需要鲜花60朵，那么装饰这个屋顶（不含底面）大约需要多少朵鲜花（此处取3.14，结果精确到个位）:

（2）从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度.

B应考能力

15．（2022·四川遂宁·高二期末（理））已知三棱锥所有顶点都在球的球面上，且平面，若，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

16．（2022·全国·高三阶段练习（理））在四边型中（如图1所示），，，，将四边形沿对角线折成四面体（如图2所示），使得，则四面体外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

17．（2022·重庆·模拟预测）地球静止同步通信卫星是当今信息时代的大量信息传递主要实现工具，例如我国航天事业的重要成果“北斗三号全球卫星导航系统”，它为全球用户提供了全天候、全天时、高精度的定位、导航和授时服务，是国家重要空间基础设施．地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，将地球看作一个球，卫星信号像一条条直线一样发射到达球面，所覆盖的范围即为一个球冠，称此球冠的表面积为卫星信号的覆盖面积．球冠，即球面被平面所截得的一部分，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．设球面半径为R，球冠的高为h，则球冠的表面积为．已知一颗地球静止同步通信卫星的信号覆盖面积与地球表面积之比为m，则它距地球表面的最近距离与地球半径之比为（    ）

A． B． C． D．

18．（2022·上海·位育中学高二期中）在立体几何讲授圆锥之前，为了让同学们对圆锥有直观的认识，善于动手的老师准备用铁皮自制一个无盖的圆锥形密封容器.

（1）如果老师希望得到的容器的尺寸如下如图所示，请问老师事先至少需要购买的铁皮的面积（假设购买的铁皮能没有损失地利用）；

（2）当老师聚精会神做好该密封容器后，发现正在下雨，猛然想起气象学上用24小时内的降水在平地上的积水厚度（）来判断降雨程度，其中小雨（<10）､中雨（10-25）､大雨（25--50）､暴雨（50~100），勤于思考的老师用刚刚做好的这个圆锥形容器接了24小时的雨水，得到雨水数据如图所示，请你帮他判断一下这天降雨属于哪个等级？并请说明你的理由.

C新素养 新题型

19．（2022·湖北省广水市实验高级中学高二期中）某艺术比赛提倡能力均衡发展，特别将水晶奖杯设计成具有对称美的形状．其形如图所示，是将棱长为的正四面体沿棱的三等分点，作平行于底面的截面得到所有棱长均为的空间几何体，则下列说法正确的是（    ）

A．该几何体的体积为 B．该几何体的外接球表面积为

C．该几何体的表面积为 D．该几何体中，二面角的余弦值为

20．（2022·全国全国·模拟预测）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体的棱长为，则（    ）

A．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为

B．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为

C．勒洛四面体的截面面积的最大值为

D．勒洛四面体的体积

21．（2020·广东·执信中学高三阶段练习）如图，在直三棱柱中，，分别为的中点，过点作三棱柱的截面，则下列结论中正确的是（    ）

A．三棱柱外接球的表面积为

B．

C．若交于，则

D．将三棱柱分成体积较大部分和体积较小部分的体积比为13：5

22．（2022·云南省下关第一中学高二阶段练习）在三棱锥中，，，点到底面的距离为，若三棱锥的外接球表面积为，则三棱锥的外接球直径长为___________，的长为___________.