2020-2021学年8.5 空间直线、平面的平行复习练习题

8.5.3 平面与平面平行 (精练）

A学业基础

一、单选题

1．（2022·天津市军粮城中学高一期中）已知直线，平面，，如果，，那么与平面的位置关系是（    ）

A． B． C．或 D．与相交

【答案】A

【详解】

因为，所以平面内的所有直线都与平面平行，

因为，所以与平面的关系是，

故选：A．

2．（2022·全国·高一课时练习）若平面∥平面，直线，点，则在平面内过点的所有直线中（    ）

A．不一定存在与平行的直线 B．只有两条与平行的直线

C．存在无数条与平行的直线 D．存在唯一一条与平行的直线

【答案】D

【详解】

因为直线与点可确定一个平面，

该平面与平面的交线即为在平面内过点B，且与直线平行的直线，

所以只有唯一一条.

故选：D

3．（2022·全国·高一课前预习）如图，已知平面平面，点为，外一点，直线，分别与，相交于，和，，则与的位置关系为（    ）

A．平行 B．相交

C．异面 D．平行或异面

【答案】A

【详解】

由题意知：在同一平面内，且面面，面面，

∵面α面β，

∴.

故选：A.

4．（2022·贵州·凯里实验高级中学高二阶段练习（文））设、为两个不重合的平面，则的充要条件是

A．内有无数条直线与平行 B．、垂直于同一平面

C．、平行于同一条直线 D．内有两条相交直线与平行

【答案】D

【详解】

A项：若无数条直线为无数条平行线，则无法得到α//β，A错误；

B项：α、β垂直于同一平面，此时α、β可以相交，B错误

C项：α、β平行于同一条直线，此时α、β可以相交，C错误

D项：由面面平行的判定定理可知，α内有两条相交直线与β平行是α//β的充分条件

由面面平行的性质可知，α内有两条相交直线与β平行是α//β的必要条件

故，α内有两条相交直线与β平行是α//β的充要条件，D正确

故选：D

5．（2022·北京·高三期末）如图，在直三棱柱中，点，分别是棱，的中点，则下列结论中不正确的是（    ）

A．平面 B．平面

C．平面 D．平面

【答案】D

【详解】

在直三棱柱中，

因为,平面,平面,所以平面，A正确；

因为平面平面，平面，所以平面，B正确；

取中点,连接,因为点，F分别是棱，BC的中点，所以,且,所以，四边形为平行四边形，所以,平面，平面,所以平面,C正确；

取中点,连接,可证得四边形为平行四边形，所以,与平面相交,所以与平面相交,D不正确；

故选:D.

6．（2022·全国·高一课时练习）在三棱台中，点在上，且，点是三角形内（含边界）的一个动点，且有平面平面，则动点的轨迹是（    ）

A．三角形边界的一部分 B．一个点

C．线段的一部分 D．圆的一部分

【答案】C

【详解】

如图，过作交于，连接，

，平面，平面，所以平面，

同理平面，又，平面，

所以平面平面，所以，（不与重合，否则没有平面），

故选：C．

7．（2022·江苏溧阳·高一期末）在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内运动.若平面，则的最小值是（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【详解】

如上图所示，取的中点,的中点，连接，

因为分别是棱 的中点，所以，，

又因为,,，

所以平面平面，平面，且点在右侧面，

所以点的轨迹是，且，，

所以当点位于中点处时，最小，此时，.

故选：B

8．（2022·全国·高一课时练习）在四棱锥中，底面为正方形，分别为侧棱上的点，且满足，平面，则（    ）

A． B．2

C．3 D．4

【答案】C

【详解】

解：过点作交与，连接，

因为平面，平面，

所以平面，

因为平面，，

所以平面平面，

因为平面，

所以平面，

连接与交于，连接，

因为平面，平面平面，

所以，

因为底面为正方形    ，

所以是中点，

所以为中点，

因为，

所以，

因为，

所以，即

故选：C

9．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，正方体，E在上，F在上，且，过作交于，则平面与平面的位置关系是（    ）

A．平行 B．相交 C．垂直 D．以上都有可能

【答案】A

【详解】

在平面中，因为，所以，

由正方体，，所以，

又因为，平面，平面，

平面，平面，，，

所以平面EFH//平面

故选: A.

10．（2022·全国·高一课时练习）如图，在长方体中，若，，，分别是棱，，，的中点，则必有（    ）

A．

B．

C．平面∥平面

D．平面∥平面

【答案】D

【详解】

易知GH∥D1C，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD1，GH不可能互相平行，故选项A错误；

易知EF∥A1B，与选项A同理，可判断选项B错误；

因为EF∥A1B，而直线A1B与平面ABCD相交，故直线EF与平面ABCD也相交，所以平面EFGH与平面ABCD相交，选项C错误；

对于，平面平面，理由是：

由，，，分别是棱，，，的中点，

得出，，

所以平面，平面，

又，所以平面平面．

故选：．

11．（2022·海南华侨中学高三阶段练习）设，表示不同的直线，，表示不同的平面，且，．则“”是“且”的（    ）

A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【详解】

依题意，因，，，由平面与平面平行的性质可得且，即命题：“若，则且”是真命题，

当，，且时，若直线，相交，必有，若，平面与可能相交，即命题“若且，则”是假命题，

综上得“”是“且”的充分但不必要条件.

故选：A

12．（2022·河南·范县第一中学高二阶段练习）如图，在边长为的正方体中，、、、、分别是、、、、的中点，在四边形边上及其内部运动，若面，则点轨迹的长度是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

解：连接GH、HN、GN，∵在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是CC1、C1D1、DD1、CD的中点，N是BC的中点，

则GH∥BA1，HN∥BD，又面A1BD，BA1面A1BD，所以面A1BD，同理可证得面A1BD，

又，∴面A1BD∥面GHN，

又∵点M在四边形EFGH上及其内部运动，MN∥面A1BD，

则点M须在线段GH上运动，即满足条件，GH=a，则点M轨迹的长度是a.

故选：D.

二、解答题

13．（2022·全国·高一课时练习）在正方体中，是棱的中点．

（1）求证：平面．

（2）若是棱的中点，求证：平面平面．

【答案】

（1）证明见解析

（2）证明见解析

（1）

连BD，使BD∩AC＝G，连EG．

∵ABCD是正方形，BD∩AC＝G，∴DG＝BG．

又∵E是BB1中点，∴B1E＝BE，

∴DB1∥GE，

又平面ACE，平面ACE，

∴B1D∥平面ACE．

（2）

∵E是棱BB1的中点，F是棱CC1的中点．

∴B1E∥CF且B1E＝CF，∴四边形B1ECF是平行四边形，

∴B1F∥CE，又∴平面ACE，平面ACE，∴B1F∥平面ACE，

由（1）B1D∥平面ACE，又∵DB1∩B1F＝B1，∴平面B1DF∥平面ACE．

14．（2022·上海浦东新·高二期中）已知是矩形所在平面外一点，，分别是，的中点，求证：平面.

【答案】证明见解析

【详解】

解法（1）取中点，连接，，

是中点，是中点，，，

是矩形边中点，，，

，，所以四边形是平行四边形，

，且是平面外的一条直线，是平面上的一条直线，

平面.

解法（2）取中点，连接，，

是中点，是中点，所以，

因为是的中点，是的中点，

所以,

因为，，

所以， ,

所以四边形为平行四边形

所以，

因为平面，平面，平面，平面，

所以平面，平面，

因为

所以平面平面，

因为平面，所以平面.

B应考能力

15．（2022·北京·人大附中高二期末）平面与平面平行的充分条件可以是（    ）

A．平面内有一条直线与平面平行

B．平面内有两条直线分别与平面平行

C．平面内有无数条直线分别与平面平行

D．平面内有两条相交直线分别与平面平行

【答案】D

【详解】

对A，若平面内有一条直线与平面平行，则平面与平面可能平行或相交，故A错误；

对B，若平面内有两条直线分别与平面平行，若这两条直线平行，则平面与平面可能平行或相交，故B错误；

对C，若平面内有无数条直线分别与平面平行，若这无数条直线互相平行，则平面与平面可能平行或相交，故C错误；

对D，若平面内有两条相交直线分别与平面平行，则根据平面与平面平行的判定定理可得平面与平面平行，故D正确.

故选：D.

16．（2022·全国·高一课时练习）在正方体中，下列四对截面彼此平行的是（    ）

A．平面与平面 B．平面与平面

C．平面与平面 D．平面与平面

【答案】A

【详解】

如图，正方体，

所以四边形是平行四边形，平面，

面，所以平面，同理平面.

因为平面，

所以平面平面.

故选：A

17．（2020·北京·北理工附中高三阶段练习）已知点分别是正方体的棱的中点，点分别是线段和上的点，则满足与平面平行的直线有（  ）

A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条

【答案】D

【详解】

取的中点，连接，则，

连接，在上任取一点，

过点在平面，作，其中为的中点，角于，

再过作，角与点，连接，

设在平面内的正投影为，连接，则，

又由且平面，平面，

所以平面，

同理：由，可推得平面，

根据面面平行的判定定理，可得平面平面，

因为平面，所以平面，

又由点为上任一点，所以这样的的直线有无数条.

故选：D.

18．（2022·全国·高一课时练习）正方体的棱长为2，，，，分别为，，，的中点，则过且与平行的平面截正方体所得的截面的面积为（      ）

A． B．2 C． D．4

【答案】C

【详解】

解：取中点为M，连接ME、MF，取CD、CB中点分别为P、Q，连接QH、PQ、QG，

在正方体中，由题意四边形PQGH为矩形，且MEGH，MFQG，

因为ME平面PQGH，MF平面PQGH，GH平面PQGH，QG平面PQGH，

所以ME平面PQGH，MF平面PQGH，

又MEMF=M，

所以平面MEF平面PQGH，

因为EF平面MEF，所以EF平面PQGH，

所以过GH且与EF平行的平面截正方体所得的截面为矩形PQGH，

因为正方体的棱长为2，所以,

所以矩形PQGH的面积为,

所以过GH且与EF平行的平面截正方体所得的截面的面积为，

故选：C.

C新素养 新题型

19．(多选)（2020·广东潮州·高三阶段练习）判断平面与平面平行的条件可以是（    ）

A．平面内有无数条直线都与平行

B．直线，，且，

C．平面，且平面

D．平面内有两条不平行的直线都平行于平面

【答案】CD

【详解】

对A： 结合图形可知A错误；

对B： 结合图形可知B错误；

对C：由平面平行的传递性可以得证；

对D：由两平面平行的判定定理即可得证.

故选：CD.

20．（2022·江苏·高三专题练习）如图，在正方体中，，，，分别是线段，，，BC的中点，给出下面四个结论：其中正确的序号为（    ）

A．平面 B．平面

C．，，三点共线 D．平面平面

【答案】AB

【详解】

平面APC即为平面，，即，而平面，

因此有平面，所以A正确.由平面平面，又平面，故平面，所以B正确.平面APC即为平面，共线，所以A，P，M三点不共线；所以C不正确.

平面MNQ与平面ABCD是相交的.所以D不正确.

故选：AB

21．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，，，分别是，，的中点，下列四个推断中正确的是（    ）

A．平面

B．平面

C．平面

D．平面平面

【答案】AC

【详解】

对于A：因为在正方体中，，，分别是，，的中点，所以，因为，所以，因为平面， 平面，所以平面，故选项A正确；

对于B：因为，与平面相交，所以与平面相交，故选项B错误；

对于C：因为，，分别是，，的中点，所以，

因为平面，平面，所以平面，故选项C正确；

对于D：与平面相交，所以平面与平面相交，故选项D错误.

故选：AC

22．（2022·全国·高一课时练习）如图，平面过正方体的三个顶点，，，且与平面的交线为，则与的位置关系是____，平面与平面的位置关系是_____.

【答案】平行    平行   

【详解】

（1）因为DD1BB1，DD1=BB1，

所以四边形BDD1B1是平行四边形.

所以BDB1D1.

又B1D1⊂平面A1B1C1D1，BD⊄平面A1B1C1D1，

所以BD平面A1B1C1D1.

又BD⊂α，α∩平面A1B1C1D1=l，所以lBD.

所以lB1D1.

（2）因为DD1BB1，DD1=BB1，

所以四边形BDD1B1是平行四边形.

所以BDB1D1.

因为A1D1BC，A1D1=BC，

所以四边形A1D1BC是平行四边形.

所以A1B D1C.

又BD与A1B相交于点B，

所以由面面平行的判定定理可知平面A1BD平面 C B1D1，

即平面α平面CB1D1