数学九年级上册2.7 弧长及扇形的面积同步达标检测题
展开2022-2023学年苏科版九年级数学上册《2.7弧长及扇形面积》同步练习题(附答案)
一.选择题
1.如图,在△ABC中,CA=CB=4,∠BAC=α,将△ABC绕点A逆时针旋转2α,得到△AB′C′,连接B′C并延长交AB于点D,当B′D⊥AB时,的长是( )
A.π B.π C.π D.π
2.如图,一条公路(公路的宽度忽略不计)的转弯处是一段圆弧(),点O是这段弧所在圆的圆心,半径OA=90m,圆心角∠AOB=80°,则这段弯路()的长度为( )
A.20πm B.30πm C.40πm D.50πm
3.如图,若半径为2cm的定滑轮边缘上一点A绕中心O逆时针转动150°(绳索与滑轮之间没有滑动),则重物上升的高度为( )
A.5πcm B. C. D.
4.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=,以点B为圆心,BA长为半径画弧,交CD于点E,连接BE,则扇形BAE的面积为( )
A. B. C. D.
5.如图,在边长为6的正方形ABCD中,以BC为直径画半圆,则阴影部分的面积是( )
A.9 B.6 C.3 D.12
6.如图,Rt△BCO中,∠BCO=90°,∠CBO=30°,BO=2cm,将△BCO绕点O逆时针旋转至△B'C'O,点C'在BO的延长线上,则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积为( )
A.πcm2 B.
C.2πcm2 D.
7.如图,在边长为4的等边△ABC中,D是BC边上的中点,以点A为圆心,AD为半径作圆与AB,AC分别交于E,F两点,求的长为( )
A. B. C. D.
二.填空题
8.如图,用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升,滑轮旋转了120°,假设绳索粗细不计,且与轮滑之间没有滑动,则重物上升了 cm.(结果保留π)
9.如图,传送带的一个转动轮的半径为18cm,如果转动轮绕着它的轴心转n°时,传送带上的物品A被传送15πcm(在传送过程中物品A无滑动),则n= .
10.如图,D是以AB为直径的半圆O的中点,=2,E是直径AB上一个动点,已知AB=2cm,则图中阴影部分周长的最小值是 cm.
11.如图,将⊙O沿弦AB折叠,恰好经过圆心O,若⊙O的半径为3,则重叠部分(即阴影部分)的面积为 .
12.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作DF⊥AC,垂足为点F,若⊙O的半径为,∠CDF=15°,则阴影部分的面积为 .
13.已知一个扇形的半径为2cm,弧长是,则它的面积为 cm2.
14.如图,边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O,以OC为半径的扇形的圆心角∠FOH=90°.则图中阴影部分面积是 .
15.如图,在△ABC中,AB=AC,点O在边AC上,以O为圆心,4为半径的圆恰好过点C,且与边AB相切于点D,交BC于点E,则劣弧的长是 .(结果保留π)
16.如图,将扇形AOB沿OB方向平移,使点O移到OB的中点O′处,得到扇形A′O′B′.若∠O=90°,OA=2,则阴影部分的面积为 .
17.如图,在扇形ABC中,∠BAC=90°,AB=1,若以点C为圆心,CA为半径画弧,与交于点D,则图中阴影部分的面积和是 .
三.解答题
18.如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,延长BC至D,使得DC=CB,延长DA与⊙O交于点E,连接AC,CE.
(1)求证:∠D=∠E;
(2)若AB=4,的长度为π,求阴影部分的面积.
19.已知四边形ABCD内接于⊙O,过点A作⊙O的直径AE交BC于点F,已知AD∥BC,AF=AB.
(1)求证:AE∥CD;
(2)∠BAE=45°,CD=,求弧AC的长.
20.平行四边形的对角线AC⊥AB,以AC为直径的⊙O交AD于点E.
(1)如图1,若=2,求的值.
(2)如图2,若AC=10,∠ACB=15°,把边BC下方的弧以BC为对称轴向上翻折,与对角线AC交于点F,求CF的值.
21.如图,C是圆O被直径AB分成的半圆上一点,过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P,连接CA,CO,CB.
(1)求证:∠ACO=∠BCP;
(2)若∠ABC=2∠BCP,求∠P的度数;
(3)在(2)的条件下,若AB=4,求图中阴影部分的面积(结果保留π和根号).
22.如图,一只小羊被主人用绳子拴在长为5米,宽为2米的长方形水泥台的一个顶点上,水泥台的周围都是草地.
(1)若绳子长为4米,求这只羊能吃到草的区域的最大面积.(结果保留π)
(2)为了增加小羊吃草的范围,现决定把绳子的长度增加到6米,求这只羊现在能吃到草的区域的最大面积.(结果保留π)
参考答案
一.选择题
1.解:∵CA=CB,CD⊥AB,
∴AD=DB=AB′.
∴∠AB′D=30°,
∴α=30°,
∵AC=4,
∴AD=2,
∴,
∴的长度l==π.
故选:B.
2.解:∵半径OA=90m,圆心角∠AOB=80°,
∴这段弯路()的长度为:=40π(m),
故选:C.
3.解:根据题意得:l==(cm),
则重物上升了cm,
故选:C.
4.解:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=∠C=90°,
∵BA=BE=2,BC=,
∴∠CBE=30°,
∴∠ABE=90°﹣30°=60°,
∴S扇形BAE==,
故选:C.
5.解:设AC与半圆交于点E,半圆的圆心为O,连接BE,OE,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠OCE=45°,
∵OE=OC,
∴∠OEC=∠OCE=45°,
∴∠EOC=90°,
∴OE垂直平分BC,
∴BE=CE,
∴弓形BE的面积=弓形CE的面积,
∴,
故选:A.
6.解:∵将△BCO绕点O逆时针旋转至△B'C'O,∠OBC=30°,
∴OC=OC′,∠C′OB′=∠COB,OB=OB′=2cm,S△COB=S△C′OB′,
∵∠BCO=90°,OBC=30°,BO=2cm,
∴∠COB=90°﹣∠OBC=60°,OC=OB=1cm,
∴∠COC′=120°,
∴∠BOB′=∠COB′=120°﹣∠C′OB′=120°﹣60°=60°,
∴阴影部分的面积S=S扇形BOB′+S△C′OB′﹣S扇形COC′﹣S△COB
=S扇形BOB′﹣S扇形COC′
=﹣
=﹣
=π(cm2),
故选:A.
7.解:连接AD,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=60°,AB=AC=BC=4,
∵D为BC的中点,
∴BD=CD=2,AD⊥BC,
∴AD===2,
∴的长为=,
故选:A.
二.填空题
8.解:由题意得,重物上升的距离是半径为6cm,圆心角为120°所对应的弧长,
即=4π,
故答案为:4π.
9.解:由题意得,=15π,
解得n=150,
故答案为:150.
10.解:连接DO,延长DO至F,使得DO=OF,连接OC、CF、EF、CD,
∵D是以AB为直径的半圆O的中点,
∴∠AOD=∠BOD=90°,
∴点D、点E关于AB对称,
∴CE=EF,
∴CE+DE=CE+EF≥CF,
当点C、E、F三点依次在同一直线上时,CE+DE=CF的值最小,
∵=2,
∴∠COD=2∠BOC=60°,
∵CO=OD=OF=1,
∴△OCD为等边三角形,∠F=∠OCF=30°,∠OCD=60°,
∴∠DCF=90°,DC=OD=1,
∴CF=,
∴CE+DE的最小值为,
∵,
∴图中阴影部分周长的最小值是(+)cm.
故答案为:(+).
11.解:过O作OD⊥AB于D,交劣弧AB于E,如图:
∵把半径为3的⊙O沿弦AB折叠,恰好经过圆心O,
∴OD=DE=,OA=3,
在Rt△ODA中,sin∠OAD==,
∴∠A=30°,
∴∠AOE=60°,
同理∠BOE=60°,
∴∠AOB=60°+60°=120°,
在Rt△ODA中,由勾股定理得:AD===,
∵OD⊥AB,OD过O,
∴AB=2AD=3,
∴阴影部分的面积S=S扇形AOB﹣S△AOB=﹣×3×=3π﹣,
故答案为:3π﹣.
12.解:连接AD,OE
∵AB为直径,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∴∠ADF+∠CDF=90°,
∵DF⊥AC,
∴∠AFD=90°,
∴∠ADF+∠DAF=90°,
∴∠CDF=∠DAC,
∵∠CDF=15°,
∴∠DAC=15°,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAC=2∠DAC=30°,
∵OA=OE,
∴∠OAE=∠OEA=30°,
∴∠AOE=120°,
作OH⊥AE于H,
在Rt△AOH中,OA=4,
∴OH=sin30°×OA=2,
AH=cos30°×OA=6,
∴AE=2AH=12,
∴S阴影=S扇形OAE﹣S△AOE=﹣=16π﹣12.
故答案为:16π﹣12.
13.解:扇形的面积=××2=(cm2).
故答案为:.
14.解:如图,∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,OA=OC=OB=OD,∠OBE=∠OCG=45°,S△OBC=S四边形ABCD=4,
∵∠BOC=∠EOG=90°,
∴∠BOE=∠COG,
在△BOE和△COG中,
,
∴△OBE≌△OCG(SAS),
∴S△OBE=S△OCG,
∴S四边形OECG=S△OBC=4,
∵△OBC是等腰直角三角形,BC=4,
∴OB=OC=2,
∴S阴=S扇形OFH﹣S四边形OECG
=﹣4
=2π﹣4,
故答案为:2π﹣4.
15.解:连接OD,OE,
∵OC=OE,
∴∠OCE=∠OEC,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵∠A+∠ABC+∠ACB=∠COE+∠OCE+∠OEC,
∴∠A=∠COE,
∵圆O与边AB相切于点D,
∴∠ADO=90°,
∴∠A+∠AOD=90°,
∴∠COE+∠AOD=90°,
∴∠DOE=180°﹣(∠COE+∠AOD)=90°,
∴劣弧的长是=2π.
故答案为:2π.
16.解:如图,设O′A′交于点T,连接OT.
∵OT=OB,OO′=O′B,
∴OT=2OO′,
∵∠OO′T=90°,
∴∠O′TO=30°,∠TOO′=60°,
∴S阴=S扇形O′A′B′﹣(S扇形OTB﹣S△OTO′)
=﹣(﹣×1×)
=+.
故答案为:+.
17.解:连接AD,
∵以点C为圆心,CA为半径画弧,与交于点D,AB=1,
∴AD=AC=CD=1,
∴△ADC是等边三角形,
∴∠DCA=∠DAC=60°,
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=90°﹣60°=30°,
∴阴影部分的面积=S扇形BAD==π,
故答案为:π.
三.解答题
18.解:(1)∵AB是圆O直径,
∴AC⊥BD;
又∵DC=BC,
∴AC⊥BD,且平分BD,
∴AD=AB,
∴∠D=∠B;
∵∠B=∠E
∴∠D=∠E.
(2)如图,连接OC,过点O作OF⊥BC于点F.
设∠AOC=α度,由弧长公式得:
,
∴α=60,即∠AOC=60°;
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,而∠AOC=∠OBC+∠OCB,
∴∠B=30°,AC=AB=2;OF=OB=1;
∴BC=2;
S阴影=S扇形AOC+S△BOC
==.
19.(1)证明:∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠ABC+∠D=180°,
∵AD∥BC,
∴∠D+∠C=180°,
∴∠ABC=∠C,
∵AF=AB,
∴∠B=∠AFB,
∴∠AFB=∠C,
∴AE∥CD;
(2)解:连接BE,
∵AE是⊙O的直径,
∴∠ABE=90°,
∵∠BAE=45°,
∴△ABE是等腰直角三角形,
∵∠ABC=∠C,
∴AB=CD=BE=,
∴AE===2,
即半径AO=1,
∵∠BAE=45°,AB=AF,
∴∠ABC=∠AFB=(180°﹣∠BAE)=67.5°,
即所对的圆心角的度数为135°,
∴的长为=π.
20.解:(1)连结OE,
∵=2,
∴∠AOE=2∠EOC,
∵∠AOE+∠EOC=180°,
∴∠EOC=60°,
∵∠EAC是所对的圆周角,
∴∠EAC=∠EOC=30°,
又∵在平行四边形ABCD中,对角线AC⊥AB,
∴AC⊥CD,
∴;
(2)作∠BCG=15°,交圆O于点G,连结AG,
由对称性可得CF=CG,∠ACG=30°,
∵∠AGC是直径AC所对的圆周角,
∴∠AGC=90°,
∴CF=CG=.
20.(1)证明:∵AB是半圆O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵CP是半圆O的切线,
∴∠OCP=90°,
∴∠ACB=∠OCP,
∴∠ACO=∠BCP;
(2)解:由(1)知∠ACO=∠BCP,
∵∠ABC=2∠BCP,
∴∠ABC=2∠ACO,
∵OA=OC,
∴∠ACO=∠A,
∴∠ABC=2∠A,
∵∠ABC+∠A=90°,
∴∠A=30°,∠ABC=60°,
∴∠ACO=∠BCP=30°,
∴∠P=∠ABC﹣∠BCP=60°﹣30°=30°,
答:∠P的度数是30°;
(3)解:由(2)知∠A=30°,
∵∠ACB=90°,
∴BC=AB=2,AC=BC=2,
∴S△ABC=BC•AC=×2×2=2,
∴阴影部分的面积是π×()2﹣2=2π﹣2,
答:阴影部分的面积是2π﹣2.
22.(1)解:当绳子长为4米时,这只羊能吃到草的区域的最大面积S=+
=13π(平方米),
答:这只羊能吃到草的区域的最大面积是13π平方米;
(2)解:当绳子长为4米时,这只羊能吃到草的区域的最大面积S=++
=(平方米),
答:这只羊能吃到草的区域的最大面积是平方米.
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