初中数学华师大版八年级上册第14章 勾股定理综合与测试单元测试习题

2022-2023学年华东师大新版八年级上册数学《第14章 勾股定理》单元测试卷

一．选择题（共7小题，满分28分）

1．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）

A． B． 

C． D．

2．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（　　）

A．，， B．1，1， C．6，8，10 D．，，

3．用反证法证明命题“若|a|＜3，则a2＜9”时，应假设（　　）

A．a＞3 B．a≥3 C．a2≥9 D．a2＞9

4．如图，阴影部分是一个半圆，则这个半圆的面积是（　　）cm2．

A． B． C．81π D．

5．如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点．蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（　　）

A． cm B．4cm C． cm D．5cm

6．我们知道，三个正整数a、b、c满足a2+b2＝c2，那么，a、b、c成为一组勾股数；如果一个正整数m能表示成两个非负整数x、y的平方和，即m＝x2+y2，那么称m为广义勾股数，则下面的结论：

①7是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；

④两个广义勾股数的积是广义勾股数；⑤若x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，其中x，y，z，m，n是正整数，则x，y，z是一组勾股数．

其中正确的结论是（　　）

A．①③④⑤ B．②④ C．②③⑤ D．②④⑤

7．如图，在离地面高度3m处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线AC的长是（　　）

A．6 m B． m C．2m D．3m

二．填空题（共7小题，满分28分）

8．反证法是数学中经常运用的一类“间接证明法”．用反证法证明：“已知在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”时，第一步应假设 　   　．

9．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 　   　（结果用含m的式子表示）．

10．如图，一只螳螂在树干的点A处，发现它的正上方点B处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是就绕到虫子后面吃掉它，已知树干的半径为10cm，A，B两点的距离为45cm，则螳螂爬行的最短距离为 　   　．（π取3）

11．我国古代数学著作《九章算术》中“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”今译：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落地，离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是 　   　尺．（1丈＝10尺）

12．在△ABC中，三边长分别为1、、，则它的面积为 　   　．

13．如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为60，小正方形的面积为10，则a+b的值为 　   　．

14．A：在△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8，则BC＝　   　；

B：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点D是直线BC上一动点，当△ACD是等腰三角形时，则BD＝　   　．

三．解答题（共5小题，满分64分）

15．学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．

16．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，勾股数组公式为a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．

17．用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．

已知：如图，∠1是△ABC的一个外角．

求证：∠1＝∠A+∠B．

18．如图，△ABC中，AB＝AC，D是AC边上的一点，CD＝2，BC＝2，BD＝4．

（1）求证：△ABD是直角三角形；

（2）求△ABC的面积．

19．定义：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，a，b，c满足ac+a2＝b2则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：

（1）如图1所示，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AB＝BC，AC＞AB，请求∠A的度数．

（2）如图2所示，在△ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A．请证明△ABC为“类勾股三角形”．

参考答案与试题解析

一．选择题（共7小题，满分28分）

1．解：选项A中：（a+b）（a+b）×＝ab×2+c2，化简得：a2+b2＝c2，故选项A不符合题意；

选项B中：（a+b）2＝ab×4+c2，化简得：a2+b2＝c2，故选项B不符合题意；

选项C中：c＝ab×4+（b﹣a）2，化简得：a2+b2＝c2，故选项C不符合题意；

选项D中：（a+b）2＝ab×2+a2+b2，即（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项D符合题意；

故选：D．

2．解：A、∵（）2+（）2＝5，（）2＝5，

∴（）2+（）2＝（）2，

∴能构成直角三角形，

故A不符合题意；

B、∵12+12＝2，（）2＝2，

∴12+12＝（）2，

∴能构成直角三角形，

故B不符合题意；

C、∵62+82＝100，102＝100，

∴62+82＝102，

∴能构成直角三角形，

故C不符合题意；

D、∵（）2+（）2＝，（）2＝，

∴（）2+（）2≠（）2，

∴不能构成直角三角形，

故D符合题意；

故选：D．

3．解：反证法证明命题“若|a|＜3，则a2＜9”时，

应假设a2≥9，

故选：C．

4．解：由题意得AB＝（cm），

∴S阴影＝＝（cm2），

故选：B．

5．解：如图，

它运动的最短路程AB＝＝（cm）．

故选：C．

6．解：①∵7不能表示为两个正整数的平方和，

∴7不是广义勾股数，故①结论错误；

②∵13＝22+32，

∴13是广义勾股数，故②结论正确；

③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③结论错误；

④∵5＝12+22，13＝22+32，65＝5×13，65是广义勾股数，两个广义勾股数的积是广义勾股数，

如2和2都是广义勾股数，但2×2＝4，4不是广义勾股数，故④结论正确；

⑤∵x2+y2＝（m2﹣n2）2+（2mn）2＝m4+2m2n2+n4，

z2＝（m2+n2）2＝m4+2m2n2+n4，

∴x2+y2＝z2，

又知x，y，z，m，n是正整数，则x，y，z是一组勾股数．

故⑤结论正确；

∴依次正确的是②④⑤．

故选：D．

7．解：由题意得：CD＝3m，∠CDA＝90°，∠CAD＝60°，

∴∠DCA＝30°，

∴AC＝2AD，

∴AD＝AC，

在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC2＝AD2+CD2，

∴AC2＝（AC）2+32，

解得：AC＝2（负值已舍去），

∴拉线AC的长是2m，

故选：C．

二．填空题（共7小题，满分28分）

8．解：用反证法证明：“已知在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”时，

第一步应假设：∠B≥90°，

故答案为：∠B≥90°．

9．解：∵m为正整数，

∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，

根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，

解得a＝m2﹣1，

∴弦是a+2＝m2﹣1+2＝m2+1，

故答案为：m2+1．

10．解：如图1所示：AC＝2π×10＝20π≈60（cm），BC＝45cm，

故AB＝＝＝75（cm）．

答：螳螂绕行的最短距离为75cm，

故答案为：75cm．

11．解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，

根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2．

解得：x＝4.55，

故答案为：4.55．

12．解：∵△ABC的三边长分别为1、、，

∴12+（）2＝（）2，

∴△ABC是直角三角形，

∴△ABC的面积为＝，

故答案为：．

13．解：由题意可得，

ab×4+10＝60，

解得：2ab＝50，

∵大正方形的面积为60，

∴a2+b2＝60，

∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝60+50＝110，

∴a+b＝或a+b＝﹣（不合题意，舍去），

故答案为：．

14．解：A、分两种情况：

①如图1所示：

∵AD是BC边上的高，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∴BD＝＝＝15，CD＝＝＝6，

∴BC＝BD+CD＝15+6＝21；

②如图2所示：

同①得：BD＝15，CD＝6，

∴BC＝BD﹣CD＝15﹣6＝9；

综上所述：BC的长为21或9．

故答案为：21或9；

B、分两种情况：

①当AC为等腰三角形的底时，如图：

设AD＝CD＝x，

∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，

∴BD＝x﹣3，

∵AD2＝AB2+BD2，

∴x2＝42+（x﹣3）2，

解得x＝；

②当AC为等腰三角形的腰时，如图：

∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，

∴AC＝＝＝5，

∵AC＝CD，

∴BD＝BC+CD＝3+5＝8，

∴则BD的长为8或．

故答案为：8或．

三．解答题（共5小题，满分64分）

15．证明：如图，连接BF，

∵AC＝b，

∴正方形ACDE的面积为b2，

∵CD＝DE＝AC＝b，BC＝a，EF＝BC＝a，

∴BD＝CD﹣BC＝b﹣a，DF＝DE+EF＝a+b，

∵∠CAE＝90°，

∴∠BAC+∠BAE＝90°，

∵∠BAC＝∠EAF，

∴∠EAF+∠BAE＝90°，

∴△BAE为等腰直角三角形，

∴四边形ABDF的面积为： c2+（b﹣a）（a+b）＝c2+（b2﹣a2），

∵正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等，

∴b2＝c2+（b2﹣a2），

∴b2＝c2+b2﹣a2，

∴a2+b2＝c2，

∴a2+b2＝c2．

16．解：当n＝1，a＝（m2﹣1）①，b＝m②，c＝（m2+1）③，

∵直角三角形有一边长为5，

∴分三种情况：

①当a＝5时，（m2﹣1）＝5，

∴m2＝11，此时b不是正整数，舍去；

②当b＝5时，即m＝5，

把m＝5代入①③得，a＝12，c＝13；

③当c＝5时，（m2+1）＝5，

∴m2＝9，

解得：m＝±3，

∵m＞0，

∴m＝3，

将m＝3代入①②得，a＝4，b＝3，

综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4．

17．已知：如图，∠1是△ABC的一个外角，

求证：∠1＝∠A+∠B，

证明：假设∠1≠∠A+∠B，

在△ABC中，∠A+∠B+∠2＝180°，

∴∠A+∠B＝180°﹣∠2，

∵∠1+∠2＝180°，

∴∠1＝180°﹣∠2，

∴∠1＝∠A+∠B，

与假设相矛盾，

∴假设不成立，

∴原命题成立即：∠1＝∠A+∠B．

18．（1）证明：∵CD＝2，BC＝2，BD＝4，

∴CD2+BD2＝BC2，

∴△BDC是直角三角形，

∴∠BDC＝90°，

∴△ABD是直角三角形；

（2）解：设腰长AB＝AC＝x，

在Rt△ADB中，

∵AB2＝AD2+BD2，

∴x2＝（x﹣2）2+42，

解得x＝5，

即△ABC的面积＝AC•BD＝×5×4＝10．

19．解：（1）∵AB＝BC，AC＞AB，

∴a＝c，b＞c，

∵△ABC是类勾股三角形

∴ac+a2＝b2，

∴c2+a2＝b2，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠A＝45°，

（2）如图，在AB边上取点D，连接CD，使∠ACD＝∠A，作CG⊥AB于G，

∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝2∠A，

∵∠B＝2∠A，

∴∠CDB＝∠B，

∴CD＝CB＝a，

∵∠ACD＝∠A，

∴AD＝CD＝a，

∴DB＝AB﹣AD＝c﹣a，

∵CG⊥AB

∴DG＝BG＝（c﹣a），

∴AG＝AD+DG＝a+（c﹣a）＝（a+c），

在Rt△ACG中，CG2＝AC2﹣AG2＝b2﹣[（c+a）]2，

在Rt△BCG中，CG2＝BC2﹣BG2＝a2﹣[（c﹣a）]2，

∴b2﹣[（a+c）]2＝a2﹣[（c﹣a）]2，

∴b2＝ac+a2，

∴△ABC是“类勾股三角形”．