北京市大兴区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编-03解答题

这是一份北京市大兴区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编-03解答题，共31页。试卷主要包含了计算，已知，求代数式的值，解方程，如图，在中，AD平分，于点E，观察下列各式等内容，欢迎下载使用。

北京市大兴区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编-03解答题
1．（2022·北京大兴·八年级期末）计算：．
2．（2022·北京大兴·八年级期末）计算：．
3．（2022·北京大兴·八年级期末）已知，求代数式的值．
4．（2022·北京大兴·八年级期末）计算：．
5．（2022·北京大兴·八年级期末）解方程：．
6．（2022·北京大兴·八年级期末）如图，≌，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F．

（1）求证：；
（2）若，求的度数．
7．（2022·北京大兴·八年级期末）下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的中线作等腰三角形”的尺规作图过程．
已知：如图1，线段a和线段b．

求作：，使得，，BC边上的中线为b．
作法：如图2，

①作射线BM，并在射线BM上截取；
②作线段BC的垂直平分线PQ，PQ交BC于点D；
③以点D为圆心，b为半径作弧，交PQ于点A；
④连接AB和AC．
则为所求作的等腰三角形．
（1）用直尺和圆规，依作法补全图2中的图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：由作图可知，．
∵PQ为线段BC的垂直平分线，点A在PQ上，
∴（______）（填推理的依据）．
又∵线段BC的垂直平分线PQ交BC于点D，
∴．
∴AD为BC边上的中线．
8．（2022·北京大兴·八年级期末）如图，在中，AD平分，于点E．求证：．

9．（2022·北京大兴·八年级期末）如图，为等边三角形，D是BC中点，，CE是的外角的平分线．
求证：．

10．（2022·北京大兴·八年级期末）观察下列各式：
；
；
．
（1）请你按照以上各式的运算规律，填空．
①______；
②（______）；
③（______）．
（2）应用规律计算：．
11．（2022·北京大兴·八年级期末）在中，，，点D是直线AC上一动点，连接BD并延长至点E，使．过点E作于点F．

（1）如图1，当点D在线段AC上（点D不与点A和点C重合）时，此时DF与DC的数量关系是______．
（2）如图2，当点D在线段AC的延长线上时，依题意补全图形，并证明：．
（3）当点D在线段CA的延长线上时，直接用等式表示线段AD，AF，EF之间的数量关系是______．

12．（2022·北京大兴·八年级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P给出如下定义：点P到图形上各点的最短距离为，点P到图形上各点的最短距离为，若，就称点P是图形和图形的一个“等距点”．
已知点，．
（1）在点，，中，______是点A和点O的“等距点”；
（2）在点，，中，______是线段OA和OB的“等距点”；
（3）点为x轴上一点，点P既是点A和点C的“等距点”，又是线段OA和OB的“等距点”．
①当时，是否存在满足条件的点P，如果存在请求出满足条件的点P的坐标，如果不存在请说明理由；
②若点P在内，请直接写出满足条件的m的取值范围．
13．（2021·北京大兴·八年级期末）（1）分解因式：
（2）计算：
14．（2021·北京大兴·八年级期末）计算：．
15．（2021·北京大兴·八年级期末）已知：如图，．
　　　　
求作： ，使．
作法：
①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交,于点,；
②画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；
③以点为圆心，长为半径画弧，与②中所画的弧相交于点；
④过点画射线，则；
就是所求作的角．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明
证明：连接．

由作法可知
,
，
，
∴．（ ）（填推理依据）．
∴．
∴就是所求作的角．
16．（2021·北京大兴·八年级期末）已知，求代数式的值．
17．（2021·北京大兴·八年级期末）随着5G网络技术的发展，对5G手机的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G手机的生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在每月比更新技术前每月多生产2万部5G手机，现在生产60万部5G手机所需的时间与更新技术前生产50万部5G手机所需时间相同，求更新技术前每月生产多少万部5G手机?
18．（2021·北京大兴·八年级期末）如图，点C在线段AB上，CF平分∠DCE，AD∥EB，∠ADC=∠BCE，AD=BC，求证：DF=FE．

19．（2021·北京大兴·八年级期末）某种水果每千克进价20元，每千克售价x元（30＜x＜50），每天的销售量为（-x+50）千克．
（1）求每天获得利润（用含x的代数式表示）；
（2）当每千克售价为多少元时，每天可获得最大利润？
（3）若每天获得利润200元，那么每千克售价应该定为多少元？
20．（2021·北京大兴·八年级期末）已知：如图，在△中，∠，△是等边三角形．是线段上任意一点（不与点重合）, ，且．连接DQ，CQ，PQ．

（1）求∠ADQ的度数；
（2）若∠CQD=90°，判断线段CQ与AD的数量关系与位置关系并加以证明．
21．（2021·北京大兴·八年级期末）如图1，在平面内取一个定点O，自O引一条射线Ox，设M是平面内一点，点O与点M的距离为m（m＞0）, 以射线Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM的度数为x°（x≥0）．那么我们规定用有序数对（m，x°）表示点M在平面内的位置，并记为M（m，x°）．

例如，在如图2中，如果OG=4，∠xOG=120°，那么点G在平面内的位置记为G（4，120°）．
（1）如图3，如果点N在平面内的位置记为N（6，35°），那么ON= ；= °；
（2）如图4，点A，点B在射线Ox上，点A，B在平面内的位置分别记为（a，0°）, （2a，0°）点A，E，C在同一条直线上. 且OE=BC．用等式表示∠OEA与∠ACB之间的数量关系，并证明．
22．（2019·北京大兴·八年级期末）计算：
23．（2019·北京大兴·八年级期末）先化简，再求值：，其中
24．（2019·北京大兴·八年级期末）解分式方程：
25．（2019·北京大兴·八年级期末）已知：如图，AB平分∠CAD，AC=AD．求证：∠C=∠D．

26．（2019·北京大兴·八年级期末）如图，点A,F,C,D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，, AF＝DC．求证：BC∥EF．

27．（2019·北京大兴·八年级期末）如图所示，D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，求证：AB=AC．

28．（2019·北京大兴·八年级期末）如图，在△ABC中，D是AC的中点，DE∥AB, DF∥BC.求证：DF=CE.

29．（2019·北京大兴·八年级期末）尺规作图
如图，已知△ABC， AB=2AC, 求作一条射线AD交线段BC于点D，使△ABD的面积是△ACD的面积的2倍.要求：保留作图痕迹，不写作法.

30．（2019·北京大兴·八年级期末）列方程解应用题：
现有甲、乙两种机器加工零件，甲种机器比乙种机器每小时多加工30个，甲种机器加工900个零件所用时间与乙种机器加工600个零件所用时间相等，求两种机器每小时各加工多少个零件？
31．（2019·北京大兴·八年级期末）如图，已知△ABC中，，F是高AD和BE的交点，若CD=4，求DF的长.

32．（2019·北京大兴·八年级期末）已知:在Rt△ABC中, ∠ACB=90°,AC=BC, D是线段AB上一点,连结CD,将线段CD绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE,连结DE,BE.
(1)依题意补全图形;
(2)若用含的代数式表示

33．（2019·北京大兴·八年级期末）已知：在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，动点E在边AB上（点E不与点A，B重合）, 动点F在射线AC上，连结DE, DF.
(1)如图1，当∠DEB=∠DFC=90°时，直接写出DE与DF的数量关系;

(2)如图2，当∠DEB+∠DFC=180°(∠DEB≠∠DFC)时，猜想DE与DF的数量关系，并证明；

(3)当点E,D,F在同一条直线上时，
①依题意补全图3；
②在点E运动的过程中，是否存在EB=FC？ （ 填“存在”或“不存在” ）.


参考答案：
1．12
【分析】根据乘方，零指数幂，二次根式及负指数幂进行计算即可，
【详解】解：原式=9-1+2+2=12．
【点睛】本题考查了乘方，零指数幂，二次根式化简及负指数幂，解题的关键是熟练掌握运算法则．
2．
【分析】根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、同底数幂的除法法则依次计算后将结果相加即可．
【详解】解：a3⋅a+(−3a3)2÷a2
=a4+9a6÷a2
=a4+9a4
=10a4
【点睛】此题考查整式的计算，正确掌握整式乘法中的同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则，以及整式的同底数幂的除法法则、合并同类项法则是解题的关键．
3．代数式的值为9．
【分析】先把变形为，然后利用完全平方公式以及多项式乘多项式，将式子去括号展开，并合并同类项，然后将整体代入化简的式子中求值即可．
【详解】解：由可得：，




原式，
故该代数式的值为9．
【点睛】本题主要是考查了完全平方公式以及多项式乘多项式、整体代入法求解代数式的值，熟练利用完全平方公式以及多项式乘多项式，把整式进行化简，这是解决该题的关键．
4．a+1
【分析】根据分式的除法法则和减法，先计算除法、后计算减法即可.
【详解】解：
=
=
=
=a+1．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，把分式因式分解化为最简再计算是解题关键．
5．
【分析】去分母化为整式方程，然后求解方程并检验即可．
【详解】解：分式两边同乘得：，
整理化简得：，
解得：，
检验，当，．
是原分式方程的解．
【点睛】本题主要是考查了解分式方程，正确地去分母，把分式方程化成整式方程，是求解的关键．
6．（1）见解析；（2）35°
【分析】（1）根据≌，可得∠BAC=∠DAE，即可求证；
（2）由（1）可得∠CAE=35°，再由≌，可得∠C=∠AED，然后根据三角形外角的性质，可得∠BED=∠CAE，即可求解．
【详解】（1）证明：∵≌，
∴∠BAC=∠DAE，
即∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE，
∴；
（2）∵，，
∴∠CAE=35°，
∵≌，
∴∠C=∠AED，
∵∠AEB=∠C+∠CAE，∠AEB=∠AED+∠BED，
∴∠BED=∠CAE=35°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解题的关键．
7．(1)见详解；（2）线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
【分析】（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形即可；
（2）根据线段的垂直平分线的性质即可证明．
【详解】解：（1）△ABC即为所求作的图形，如图所示：

（2）证明：由作图可知BC=a，AD=b．
∵PQ为线段BC的垂直平分线，点A在PQ上，
∴AB=AC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）．
又∵线段BC的垂直平分线PQ交BC于D，
∴BD=CD．（中点定义）．
∴AD为BC边上的中线，且AD=b．
故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是准确画图．
8．证明见解析.
【分析】延长CE交AB于F，求出∠AEC＝∠AEF，∠FAE＝∠CAE，根据ASA证△FAE≌△CAE，推出∠ACE＝∠AFC，根据三角形外角性质得出∠AFC＝∠B＋∠ECD，代入即可．
【详解】证明：延长CE交AB于F，

∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝∠AEF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAE＝∠CAE，
在△FAE和△CAE中，
∵ ，
∴△FAE≌△CAE（ASA），
∴∠ACE＝∠AFC，
∵∠AFC＝∠B＋∠ECD，
∴∠ACE＝∠B＋∠ECD．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点，关键是作辅助线后求出∠AFC＝∠ACE．
9．证明见解析.
【分析】过D作DG∥AC交AB于G，由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDG＝∠BGD＝60°，于是得到△BDG是等边三角形，再证明△AGD≌△DCE即可得到结论.
【详解】证明：过D作DG∥AC交AB于G，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
又∵DG∥AC，
∴∠BDG＝∠BGD＝60°，
∴△BDG是等边三角形，∠AGD＝180°−∠BGD＝120°，
∴DG＝BD，
∵点D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∴DG＝CD，
∵EC是△ABC外角的平分线，
∴∠ACE＝（180°−∠ACB）＝60°，
∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝120°＝∠AGD，
∵AB＝AC，点D为BC的中点，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
又∵∠BDG＝60°，∠ADE＝60°，
∴∠ADG＝∠EDC＝30°，
在△AGD和△ECD中，
，
∴△AGD≌△ECD（ASA）．
∴AD＝DE．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
10．（1）①②③（2）
【分析】（1）利用题目中所给式子的运算规律，即可得出正确答案．
（2）先将因式分解，分别和后面两项进行运算，最后利用平方差公式求出答案即可．
【详解】（1）解：由题目所给式子的规律可得：
① ；
②（）；
③（）．
（2）解：原式



【点睛】本题主要是考查了利用规律进行整式的乘法运算以及平方差公式，通过题目所给式子，找到规律，并利用规律进行运算，这是解决该题的关键．
11．（1）（2）见解析（3）
【分析】（1）利用边相等和角相等，直接证明，即可得到结论．
（2）利用边相等和角相等，直接证明，得到和，最后通过边与边之间的关系，即可证明结论成立．
（3）要证明，先利用边相等和角相等，直接证明，得到和，最后通过边与边之间的关系，即可证明结论成立．
【详解】（1）解：
，，
，
在和中，

，
．
（2）解：当点D在线段AC的延长线上时，如下图所示：

，，
，
在和中，

，
，，
．
（3）解：，如下图所示：

，，
，
在和中，

，
，，
．
【点睛】本题主要是考查了三角形全等的判定和性质，熟练利用条件证明三角形全等，然后利用边相等以及边与边之间关系，即可证明结论成立，这是解决该题的关键．
12．（1）点E；（2）点H；（3）①存在，点P的坐标为（7，7）；②
【分析】（1）根据“等距点”的定义，即可求解；
（2）根据“等距点”的定义，即可求解；
（3）①根据点P是线段OA和OB的“等距点”，可设点P（x，x）且x＞0，再由点P是点A和点C的“等距点”，可得 ，从而得到 ，即可求解；
②根据点P是线段OA和OB的“等距点”， 点P在∠AOB的角平分线上，可设点P（a，a）且a＞0，根据OA=OB，可得OP平分线段AB，再由点P在内，可得 ，根据点P是点A和点C的“等距点”，可得 ，从而得到，整理得到，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意得： ， ， ，
， ， ，
∴ ，
∴点是点A和点O的“等距点”；
（2）根据题意得：线段OA在x轴上，线段OB在y轴上，
∴点到线段OA的距离为1，到线段OB的距离为2，
点到线段OA的距离为2，到线段OB的距离为2，
点到线段OA的距离为6，到线段OB的距离为3，
∴点到线段OA的距离和到线段OB的距离相等，
∴点是线段OA和OB的“等距点”；
（3）①存在，点P的坐标为（7，7），理由如下：
∵点P是线段OA和OB的“等距点”，且线段OA在x轴上，线段OB在y轴上，
∴可设点P（x，x）且x＞0，
∵点P是点A和点C的“等距点”，
∴ ，
∵点C（8，0），，
∴ ，
解得： ，
∴点P的坐标为（7，7）；
②如图，

∵点P是线段OA和OB的“等距点”，且线段OA在x轴上，线段OB在y轴上，
∴点P在∠AOB的角平分线上，
可设点P（a，a）且a＞0，
∵，．
∴OA=OB=6，
∴OP平分线段AB，
∵点P在内，
∴当点P位于AB上时， 此时点P为AB的中点，
∴此时点P的坐标为 ，即 ，
∴ ，
∵点P是点A和点C的“等距点”，
∴ ，
∵点，，
∴，
整理得： ，
当 时，点C（6，0），
此时点C、A重合，则a=6（不合题意，舍去），
当时， ，
∴，解得： ，
即若点P在内，满足条件的m的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内两点间的距离，点到坐标轴的距离，等腰三角形的性质，角平分线的判定等知识，理解新定义，利用数形结合思想解答是解题的关键．
13．（1） ；（2）
【分析】（1）先提公因式a，再根据完全平方公式分解因式；
（2）先根据整式乘法、乘法公式展开括号，然后再合并同类项即可得到答案．
【详解】（1）解：

；
（2）

．
【点睛】此题考查因式分解及整式的混合运算，掌握多项式的因式分解的方法，整式的乘法计算法则、合并同类项计算法则是解题的关键．
14．
【分析】先通分，然后按同分母分式加减运算法则计算即可．
【详解】解：



．
【点睛】本题主要考查了异分母分式加减运算，正确的通分成为解答本题的关键．
15．（1）补全图形见解析；（2），，SSS．
【分析】（1）根据题意要求作图即可；
（2）根据题意利用SSS证明即可．
【详解】(1)作图：

(2)连接，
∵， ，，
∴（SSS），
∴．
∴就是所求作的角
故答案为：，，SSS．
．
【点睛】此题考查作图能力—作一个角等于已知角，全等三角形的判定及性质，根据题意画出图形并确定对应相等的条件证明三角形全等是解题的关键．
16．1
【分析】根据分式的运算法则将原式化简，再由得，整体代入进行求值．
【详解】解：∵，
∴，
．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的运算法则．
17．更新技术前每月生产10万部5G手机．
【分析】设更新技术前每月生产x万部5G手机，则更新技术后每月生产万部5G手机，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合现在生产60万部5G手机所需的时间与更新技术前生产50万部5G手机所需时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】设更新技术前每月生产万部5G手机，则更新技术后每月生产万部5G手机，
列方程得：
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：更新技术前每月生产10万部5G手机．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
18．见解析．
【分析】首先可根据条件判断出△ACD≌△BEC，从而得到DC=CE，判断出△DCE为等腰三角形，结合“三线合一”即可得出结论．
【详解】∵AD∥BE，
∴∠DAC=∠CBE，
在△ACD和△BEC中

∴△ACD≌△BEC（ASA），
∴DC=CE，
∴△DCE是等腰三角形.
∵CF平分∠DCE，
∴DF=FE．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定以及“三线合一”的性质是解题关键．
19．（1）；（2）35元；（3）40元．
【分析】（1）根据每天获得利润=（每千克售价-每千克进价）每天的销售量列式即可；
（2）将（1）中的式子化为顶点式即可确定；
（3）令每天的利润为200元，求解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）    
；
（2）
=


，
答：当每千克售价为35元时，每天可获得最大利润；
（3）

∴
，
∵30 答：若每天获得利润200元，那么每千克售价应定为40元．
【点睛】本题考查一元二次函数的实际应用，属于利润问题，难度一般，充分理解题意，运用条件列出利润的表达式是解决本题的关键．
20．（1）；（2）线段CQ与AD的数量关系是：， 位置关系是：∥，证明见解析 ．
【分析】（1）证明△≌△，即可得到=；
（2）根据，，证得∥，由△ACD是等边三角形，求出，推出，即可得到结论．
【详解】（1）∵∠，AP=AQ，
∴ △APQ是等边三角形，  
又∵△是等边三角形，    
∴，，
∴，
在△和△中
，    
∴△≌△，
∴，  
∵，
∴；
（2）线段CQ与AD的数量关系是：，位置关系是：∥，
∵，，
∴，
∴∥，
∵△ACD是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半，平行线的判定定理，熟记全等三角形的判定定理证得△≌△是解题的关键．
21．（1）6；35；（2）用等式表示与之间的数量关系是 =．证明见解析．
【分析】（1）根据示例可求出结果；
（2）过点O作BC的平行线交CA的延长线于点F．证明△AOF≌△ABC可得OF=BC，即可得OE=OF，所以∠OEF=∠OFE，进一步可得结论．
【详解】解：（1）∵在如图2中，如果OG=4，∠xOG=120°，那么点G在平面内的位置记为G（4，120°）
∴如果点N在平面内的位置记为N（6，35°），那么ON=6；=35°；
故答案为：6；35；
（2）用等式表示与之间的数量关系是：=.
证明：过点O作BC的平行线交CA的延长线于点F．

．
∵点A, B在平面内的位置分别记为,,


在△AOF和△ABC中，

∴ △AOF≌△ABC．
∴OF=BC．
∵OE=BC．
∴OE=OF．
∴．
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形全等的判定与性质，证明△AOF≌△ABC是解答本题的关键．
22．
【分析】根据立方根的定义和二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】原式=
=
=
【点睛】本题考查了立方根和二次根式的混合运算．掌握立方根的定义和二次根式的混合运算法则是解答本题的关键．
23．，
【分析】根据分式的混合运算法则化简分式，然后把x的值代入计算即可．
【详解】原式=
=
=
=
=．
当时，原式==．
【点睛】本题考查了分式的混合运算．掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键．
24．
【分析】去分母把分式方程化为整式方程求解即可．
【详解】去分母，得：

解得：
检验：当时，方程左右两边相等．
所以是原方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
25．见解析
【分析】根据角平分线的定义得到∠CAB=∠DAB，推出△ACB≌△ADB，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】∵AB平分∠CAD，
∴∠CAB=∠DAB．
在△ABC和△ABD中，
∵，
∴△ABC≌△ABD，
∴∠C=∠D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
26．见解析
【分析】根据已知条件得出△ACB≌△DEF，即可得出∠ACB=∠DFE，再根据内错角相等两直线平行，即可证明BC∥EF．
【详解】∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+FC，
即AC=DF．
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∵，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠ACB=∠DFE，
∴BC∥EF．
【点睛】本题考查了两直线平行的判定方法，内错角相等，两直线平行，难度适中．
27．证明见解析．
【分析】可由SAS求证△ABE≌△ACD，即可得出结论．
【详解】∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∵BD=CE，
∴BE=CD，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴AB=AC．
28．见解析
【分析】根据平行线的性质得到∠A=∠CDE，∠DFA=∠CED．再根据AAS证明△ADF≌△DCE，根据全等三角形对应边相等即可得出结论．
【详解】∵DE∥AB，
∴∠A=∠CDE．
∵DF∥BC，
∴∠DFA=∠B．
∵DE∥AB，
∴∠B=∠CED，
∴∠DFA=∠CED．
∵D是AC的中点，
∴AD=DC．
在△ADF和△DCE中，
∵，
∴△ADF≌△DCE，
∴DF=CE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质．证明三角形全等是解答本题的关键．
29．见解析
【分析】作∠CAB的角平分线交BC于D，根据角平分线的性质即可得出BD：CD=AB：AC=2，再根据等高的两个三角形面积之比等于底边之比即可得到结论．
【详解】
作∠CAB的角平分线交BC于D，射线AD即为所求．
【点睛】本题考查了角平分线的性质与作图．掌握三角形的角平分线分对边所得的两条线段与夹这个角的两边对应成比例是解答本题的关键．
30．甲种机器每小时加工90个零件，乙种机器每小时加工60个零件
【分析】设甲种机器每小时加工x个零件，则乙种机器每小时加工（x-30）个零件，根据“甲种机器加工900个零件所用时间与乙种机器加工600个零件所用时间相等”建立方程，解方程即可．
【详解】设甲种机器每小时加工x个零件，则乙种机器每小时加工（x-30）个零件．
依题意列方程得：

解得：x=90
经检验x=90是原方程的解并且符合实际问题的意义．
当x=90时，x-30=60．
答：甲种机器每小时加工90个零件，乙种机器每小时加工60个零件．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
31．DF=4
【分析】根据已知得出AD=BD，根据∠FBD+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°，推出∠FBD=∠CAD，根据ASA证△FBD≌△CAD，推出CD=DF即可．
【详解】∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵∠ABC=45°，∴∠BAD=45°=∠ABD，∴AD=BD．
∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，
∴∠FBD+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°，
∴∠FBD=∠CAD，
在△FBD和△CAD中，
∵，
∴△FBD≌△CAD（ASA），
∴CD=DF=4，
答：DF的长是4．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，能推出△FBD≌△CAD是解答此题的关键．
32．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据已知补全图形即可；
（2）由旋转的性质得到∠DCE=90°，CD=CE，根据等式性质得到∠ACD=∠BCE，即可证明△ACD≌△BCE，由全等三角形的性质得到∠CBE=∠A，根据等腰直角三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】（1）如图；

（2）∵将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，
∴∠DCE=90°，CD=CE．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠A．
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=45°，
∴∠CBE=45°．
∵∠DCE=90°，CD=CE，
∴∠CED=45°．
在△BCE中，
∠BCE=∠ACD=α，
∴∠DEB=90°－α．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．证明△ACD≌△BCE是解答本题的关键．
33．（1）DE=DF；（2）DE=DF；证明见解析；（3）①见解析，②不存在
【分析】（1）证明△BED≌△CFD，利用全等三角形的对应边相等即可得出结论；
（2）连接AD，作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，根据同角的补角相等，得出∠GED=∠DFC，根据等腰三角形三线合一的性质得到∠BAD=∠CAD，再根据角平分线的性质得出DG=DH，即可证明△EGD≌△FHD，从而得出结论；
（3）①根据题意补全图形即可；
②假设BE=CF．过E作EG∥AC交BC于G．证明△EGD≌△FCD，得到GD=CD，进而得到G与B重合．由BE与AC相交于点A，与EG∥AC矛盾，得出BE=CF不成立，从而得到结论．
【详解】（1）DE与DF的数量关系是DE=DF．理由如下：
∵AB=AC，∴∠B=∠C．
∵D是BC的中点，∴BD=CD．
在△BED和△CFD中，∵∠B=∠C，∠DEB=∠DFC=90°，BD=CD，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE=DF．
（2）猜想：DE与DF的数量关系是DE=DF．理由如下：

连接AD，作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，
∴∠EGD=∠FHD=90°．
∵∠DEB+∠GED=180°，
∠DEB+∠DFC=180°，
∴∠GED=∠DFC．
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD．
∵DG⊥AB，DH⊥AC，
∴DG=DH．
在△EGD和△FHD中，
∵，
∴△EGD≌△FHD，
∴DE=DF．
（3）①作图如下：

②不存在．理由如下：
假设BE=CF．过E作EG∥AC交BC于G．
∵EG∥AC，∴∠EGB=∠ACB，∠EGD=∠FCD．
∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠EGB，
∴BE=EG．
∵BE=CF，
∴EG=CF．
在△EGD和△FCD中，
∵∠EGD=∠FCD，∠EDG=∠FDC，EG=FC，
∴△EGD≌△FCD，
∴GD=CD．
∵BD=CD，
∴BD=GD，
∴G与B重合．
∵BE与AC相交于点A，与EG∥AC矛盾，
∴BE=CF不成立，
∴在点E运动的过程中，不存在EB=FC．

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．解题的关键是正确作出辅助线．