北京市房山区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编-03解答题

这是一份北京市房山区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编-03解答题，共32页。试卷主要包含了计算，已知，求代数式的值.，解分式方程，，并画出所有三角形等内容，欢迎下载使用。

北京市房山区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编-03解答题
1．（2022·北京房山·八年级期末）计算：
2．（2022·北京房山·八年级期末）计算：．
3．（2022·北京房山·八年级期末）如图，点A，C，B，D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD，求证：AE=FC.

4．（2022·北京房山·八年级期末）已知，求代数式的值.
5．（2022·北京房山·八年级期末）解分式方程：．
6．（2022·北京房山·八年级期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且为等腰三角形，请你在如下的网格中找到所有符合条件的点C（可以用，……表示），并画出所有三角形．

7．（2022·北京房山·八年级期末）王宇同学在几何学习过程中有一个发现：直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半．
下面是他的探究发现过程，请你与他一起用尺规完成作图并补全证明过程（保留作图痕迹）．

已知一条线段AB，分别以点A、B为圆心，以线段AB的长为半径画弧，两弧交于点C（点C在线段AB上方），作的角平分线交AB与D．
由作图可知
∴是______三角形
∴（______）
∵CD平分
∴CD垂直平分AB（______）

∴，
又∵
即在中，，，则．
8．（2022·北京房山·八年级期末）为了营造“创建文明城区、共享绿色家园”的良好氛围，房山某社区计划购买甲、乙两种树苗进行社区绿化，已知用1200元购买甲种树苗与用1000元购买乙种树苗的棵树相同，乙种树苗比甲种树苗每棵少20元，问甲种树苗每棵多少元？
9．（2022·北京房山·八年级期末）口袋里有除颜色外其它都相同的6个红球和4个白球．
（1）先从袋子里取出m（）个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A．
①如果事件A是必然事件，请直接写出m的值．
②如果事件A是随机事件，请直接写出m的值．
（2）先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，求m的值．
10．（2022·北京房山·八年级期末）如图，中，CD平分，且E为AB的中点，于M，于N，请你判断线段BM与AN的数量关系并加以证明．

11．（2022·北京房山·八年级期末）数学课上，老师出示了一个题：如图，在中，，，，的平分线交CB于点D，求CD的长．
晓涵同学思索了一会儿，考虑到角平分线所在直线是角的对称轴这一特点，于是构造了一对全等三角形，解决了这个问题．请你在晓涵同学的启发下（或者独立思考后有自己的想法），解答这道题．

12．（2022·北京房山·八年级期末）如图，，点C、D分别在射线OA、OB上，且满足．将线段DC绕点D顺时针旋转60°，得到线段DE．过点E作OC的平行线，交OB反向延长线于点F．
（1）根据题意完成作图；
（2）猜想DF的长并证明；
（3）若点M在射线OC上，且满足，直接写出线段ME的最小值．

13．（2021·北京房山·八年级期末）计算：（1）
（2）
14．（2021·北京房山·八年级期末）已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BF=EC．求证：ABC≌DEF．

15．（2021·北京房山·八年级期末）解方程：.
16．（2021·北京房山·八年级期末）如图，在中，请用尺规作图法求作射线，使它平分，交于点M．（保留作图痕迹，不写作法）

17．（2021·北京房山·八年级期末）已知：如图，点，，在同一直线上，，，．求证：．

18．（2021·北京房山·八年级期末）先化简，再求值：，其中．
19．（2021·北京房山·八年级期末）口袋里有除颜色外都相同的4个球，其中有红球、白球和蓝球． 甲乙两名同学玩摸球游戏．规定：无论谁从口袋里随意摸出一个球，摸到红球，算甲赢；摸到白球，算乙赢；摸到蓝球，不分输赢．每一次摸球，根据球的颜色决定输赢后，将球放回口袋里搅匀后下次再摸球．设计下列游戏：
（1）要使甲、乙两人赢的可能性相等，口袋里应放红球、白球和蓝球各多少个？
（2）要使甲赢的可能性比乙赢的可能性大，口袋里应放红球、白球和蓝球各多少个？
20．（2021·北京房山·八年级期末）如图，在ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，连接BD．

（1）依题意补全图形；
（2）求∠DBC的度数．
21．（2021·北京房山·八年级期末）如图，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE．

（1）依题意补全图形；
（2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明．
22．（2021·北京房山·八年级期末）在中，，．
（1）如图1，点为边上一点，连接，以为边作，，，连接．直接写出线段与的数量关系为 ，位置关系为 ．
（2）如图2，点为延长线上一点，连接，以为边作，，，连接．
①用等式表示线段，，之间的数量关系为 ．
②求证：．
（3）如图3，点为外一点，且，若，，求的长．

23．（2020·北京房山·八年级期末）计算：
24．（2020·北京房山·八年级期末）计算： ．
25．（2020·北京房山·八年级期末）解方程：
26．（2020·北京房山·八年级期末）已知：如图，点B，D在线段AE上，AD=BE，AC∥EH，∠C=∠H.求证：BC=DH.

27．（2020·北京房山·八年级期末）下面是圆圆设计的“作等腰三角形一腰上的高线”的尺规作图过程 .
已知：△，.
求作：边上的高线．
作法：如图，

①以点为圆心，为半径画弧，交于点和点；
②分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点；
③作射线交于点．
所以线段就是所求作的边上的高线．
根据圆圆设计的尺规作图过程，完成下列问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面证明.  
证明：∵，
∴点在线段的垂直平分线上（__________） （填推理的依据）．
∵__________=__________，
∴点在线段的垂直平分线上．
∴是线段的垂直平分线.
∴⊥．
∴线段就是边上的高线．
28．（2020·北京房山·八年级期末）现有，两个不透明的袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球，其中 袋中装有2个白球，1个红球；袋中装有2个红球，1个白球．小林和小华商定了一个游戏规则：从摇匀后的，两袋中各随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜．请用列表法或画树状图法,说明这个游戏对双方是否公平．
29．（2020·北京房山·八年级期末）已知，求代数式的值．
30．（2020·北京房山·八年级期末）列分式方程解应用题：
“5G改变世界，5G创造未来”．2019年9月，全球首个5G上海虹桥火车站，完成了5G网络深度覆盖，旅客可享受到高速便捷的5G网络服务．虹桥火车站中5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍.在峰值速率下传输7千兆数据，5G网络比4G网络快630秒，求5G网络的峰值速率．
31．（2020·北京房山·八年级期末）如图，在四边形中，，，，点为边上一点，连接，. 与交于点，且∥.

（1）求证:；
（2）若，. 求的长 .
32．（2020·北京房山·八年级期末）阅读下列材料，然后回答问题 .
已知 ，，，，，，….，当为大于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，.
（1）求；（用含的代数式表示）
（2）直接写出 ；（用含的代数式表示）
（3）计算：= ．
33．（2020·北京房山·八年级期末）定义：若一个三角形中，其中有一个内角是另外一个内角的一半，则这样的三角形叫做“半角三角形”. 例如：等腰直角三角形就是“半角三角形”.在钝角三角形中，，，，过点的直线交边于点．点在直线上，且．
（1）若，点在延长线上．
   
① 当，点恰好为中点时，依据题意补全图1.请写出图中的一个“半角三角形”：_______;
② 如图2，若，图中是否存在“半角三角形”（△除外），若存在，请写出图中的“半角三角形”，并证明；若不存在，请说明理由；
（2）如图3，若，保持的度数与（1）中②的结论相同，请直接写出，， 满足的数量关系：______．

参考答案：
1．
【分析】确定最简公分母，用性质进行通分即可．
【详解】解：原式．
【点睛】本题考查了分式的通分，熟练掌握分式的基本性质，准确确定最简公分母是解题的关键．
2．
【分析】将各二次根式化为最简二次根式再进行计算，可变为进行计算.
【详解】原式=.
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算.
3．证明见解析.
【分析】由已知条件BE∥DF，可得出∠ABE=∠D，再利用ASA证明△ABE≌△FDC即可．
【详解】证明：∵BE∥DF，
∴∠ABE=∠D，
在△ABE和△FDC中，
∠ABE=∠D，AB=FD，∠A=∠F
∴△ABE≌△FDC（ASA），
∴AE=FC．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质等知识点的理解和掌握，此题的关键是利用平行线的性质求证△ABC和△FDC全等．
4．4.
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【详解】，
，
，
，
，
，
∵
∴
∴原式
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：
去括号得：，
解得：，
检验：当时，最简公分母，
∴原方程的解是．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
6．见解析
【分析】当，和时，在网格中找出点C即可．
【详解】如图所示：

【点睛】本题考查作等腰三角形，掌握等腰三角形两边相等是解题的关键．
7．图见解析，等边；等边三角形每个角都是60°；等腰三角形顶角平分线与底边高线、中线重合
【分析】根据题意作图即可解答．
【详解】解：如图所示：

∴是等边三角形，
∴（等边三角形每个角都是60°）
∵CD平分，
∴CD垂直平分AB（等腰三角形顶角平分线与底边高线、中线重合）．
【点睛】本题考查作图，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，解题关键是掌握等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定．
8．甲种树苗每棵120元
【分析】设甲种树苗每棵x元，根据题意列出分式方程，故可求解．
【详解】解：设甲种树苗每棵x元．
依题意列方程：，
解得：
经检验是所列方程的解且符合题意，
答：甲种树苗每棵120元．
【点睛】此题主要考查分式方程的实际应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列出方程求解．
9．（1）①4；②1或2或3；（2）
【分析】（1）①根据题意得：当先从袋子里取出所有的白球，再从袋子里随机摸出一个球，一定为红球，即可求解；
② 根据题意得：当袋子里有白球时，再从袋子里随机摸出一个球，可能为白球，也可能为红球，可得此时有白球 1个或2个或3个，即可求解；
（2）根据题意得：所有可能发生的结果个数为10，且每种结果发生的可能性都相同；摸出红球的结果个数为． 再根据概率公式，即可求解．
【详解】解：（1）①根据题意得：当先从袋子里取出所有的白球，再从袋子里随机摸出一个球，一定为红球，
∴ ；
② 根据题意得：当袋子里有白球时，再从袋子里随机摸出一个球，可能为白球，也可能为红球，
∴此时有白球 1个或2个或3个，
即m的值为1或2或3；
（2）所有可能发生的结果个数为10，且每种结果发生的可能性都相同；摸出红球的结果个数为．根据题意得：
，
∴．
【点睛】本题主要考查了必然事件和随机事件定义，求概率，熟练掌握必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，概率公式是解题的关键．
10．，证明见解析
【分析】连接DA，DB，由角平分线的性质可证，由垂直平分线的性质可证，然后根据“HL”证明即可．
【详解】解：，理由：
如图，连接DA，DB，

∵CD平分，于M，于N，
∴，
∵且E为AB的中点，
∴，
在与中，，
∴（HL），
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，以及全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS和HL；全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等、对应边上的中线相等、对应边上的高线相等、对应角的角平分线相等．
11．
【分析】在AB上截取，连接DE，根据证明，证得，最后利用勾股定理列一元二次方程求解即可．
【详解】解：在AB上截取，连接DE

∵，，
∴，
∵AD平分，
∴
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴
设，则，
∵
∴即，
解得，
∴CD的长为．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，解一元二次方程，构造全等三角形是解决本题的关键．
12．（1）见解析；（2），证明见解析；（3）
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）在OB上截取，连接CP、CE、OE，得出、是等边三角形，根据SAS证明，由全等三角形的性质和平行线的性质得是等边三角形，可得即可；
（3）过点M作，连接，作等边，即当点E到点时，ME得最小值，由得，故可求出、，即可得出ME的最小值．
【详解】（1）根据题意作图如下所示：

（2），证明如下：

如图，在OB上截取，连接CP、CE、OE．
∵,，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
（3）

如图，过点M作，连接，作等边，即当点E到点时，ME得最小值，
∵，
∴，
∴，，
故ME的最小值为．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识点的应用是解题的关键．
13．（1）-2；（2）
【分析】（1）原式去括号合并即可得到结果；
（2）首先计算开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】解：（1）原式=

（2）原式

【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
14．见解析
【分析】由已知条件B，F，C，E在一条直线上、BF=EC，可以推出BC=EF，根据三边对应相等的三角形全等进行判定即可．
【详解】∵BF=EC，
∴ BF+FC=EC+FC，
即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，

∴ △ABC≌△DEF．
【点睛】本题主要考察了三角形全等的判定定理，熟悉掌握运用三角形全等的判定定理是解题的关键．
15．.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：x2-2x+2=x2-x，
解得：x=2，
经检验：x=2是方程的解，
所以x=2是原方程的解．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
16．画图见解析
【分析】以B为圆心，任意长为半径画弧交BA，BC于Q，H，再分别以Q，H为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交AC于M，则射线AM即为所求．
【详解】解：如图，射线AM即为所求作的角平分线，

【点睛】本题考查的是作已知角的角平分线，掌握“作已知角的角平分线的步骤”是解本题的关键．
17．见解析
【分析】根据平行线的性质，得到内错角相等，即，再用证明≌，再根据全等三角形的对应边相等即可证明结论．
【详解】证明：，
，
在和中，
，
≌，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行线的性质．
18．，
【分析】首先将原式分子分母因式分解，先算除法，再算减法，最后把x的值代入进行计算即可．进而化简求出答案．
【详解】解：原式=
=
=
=
=
当时，原式=
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（1）红球1个，白球1个，蓝球2个；（2）红球2个，白球1个，蓝球1个
【分析】（1）根据已知条件，口袋里的红球、白球、蓝球至少各有1个，余下一个球的颜色不确定，要使甲、乙两人赢的可能性相等，则摸到红球和白球的概率相等，依此即可得到口袋里应放红球、白球和蓝球各多少个．
（2）根据已知条件，要使甲赢的可能性比乙赢的可能性大，则摸到红球的概率比摸到白球的大，又因为口袋里的红球、白球、蓝球至少各有1个，依此即可得到口袋里应放红球、白球和蓝球各多少个．
【详解】（1）要使甲乙两人赢的可能性相等，即红球白球数量相等，所以余下一个应该是蓝球，
∴口袋里应该放红球1个、白球1个、蓝球2个；
（2）要使甲赢的可能性比乙大，即红球比白球多，则余下一个应该是红球，
∴口袋里应该放红球2个，白球1个，蓝球1个．
【点睛】本题考察了概率公式，解题的关键是找准已知条件，用概率公式求概率．
20．（1）见解析；（2）30°
【分析】（1）依题意作出线段AB的垂直平分线即可；
（2）由三角形的内角和定理和等腰三角形的性质求得∠    ABC=70°，再根据线段垂直平分线的性质得出DA=DB，然后根据等腰三角形的性质求得∠ABD=∠A=40°，进而可求得∠DBC的度数．
【详解】(1) 如图，直线DE为线段AB的垂直平分线；

(2) ∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=70°，
∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB.
∴∠DBA=∠A=40°，
∴∠DBC=∠ABC-∠DBA=70°- 40°=30°．
【点睛】本题考查基本作图-线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟知线段垂直平分线上的点到线段端点的距离相等是解答的关键．
21．（1）见解析；（2），见解析
【分析】（1）直接延长CB到点E，使BE=BD即可；
（2）延长至点，使得，连接，可证得，则，再通过证明，可得到，从而得到即可．
【详解】（1）如图所示：

（2）如图，

判断：
证明如下：
延长至点，使得，连接
在和中，
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵AD平分∠BAC
∴
在和中，
∵
∴
∴
又∵
∴
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，主要涉及倍长中线的模型，熟记基本模型是解题关键．
22．（1），；（2）①，②见解析；（3）．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得到，根据题意可知，即，再利用证明≌，可得到，，从而算出的度数，进而得到线段与的位置关系；
（2）①根据角度的运算得到，再利用证得≌，得到，再根据，等量代换即可求出答案；
②由①中≌，得到，，在根据等腰直角三角形的性质即可得出的度数，进而证得，根据勾股定理得到，，等量代换后得到，又因为，，代入即可得出答案；
（3）过点作，并且，连接，，得到是等腰直角三角形，由（2）得≌，得到，在中，通过勾股定理求出的长度，在中又由勾股定理得：，再根据，代入数据即可求出的长度．
【详解】（1）在中，，，
，
，
，
即，
在和中
，
≌，
，，
，
．
故答案为：，．
（2）①，，
，
即，
在和中
，
≌，
，
，
．
故答案为：．
②证明：由①得：≌，
，，
和都是等腰直角三角形，
，
，          
在和中，
由勾股定理得：，，
，
，，
，
即．
（3）过点作，并且，连接，，如图，

是等腰直角三角形，
，
，
，
由（2）中②可知，≌，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是合理添加辅助线找出两个三角形全等．
23．-1
【分析】先把二次根式化为最简二次根式，再进行加减运算即可.
【详解】  

.
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
24．
【分析】先化简二次根式，然后再进行二次根式的加减乘除运算即可．
【详解】解：
＝
＝．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键．
25．原分式方程的解.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】等式两边同时乘，去分母得:



检验：当时，最简公分母.
所以原分式方程的解.
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
26．证明见解析.
【分析】利用AAS证明△ABC≌△EDH，再根据全等三角形的性质即可得.
【详解】∵AD=BE，
∴AD-BD=BE-BD，
即AB=DE.
∵AC∥EH，
∴∠A=∠E，
在△ABC和△EDH中
，
∴△ABC≌△EDH(AAS)，
∴BC=DH.
【点睛】本题考查了全等三角形的送定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
27．（1）补全的图形如图. 见解析； （2）到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，.
【分析】（1）根据题中描述利用尺规规范作出图形即可．
（2）根据垂直平分线的判定定理，结合作图，填写依据即可．
【详解】（1）补全的图形如图.
       
（2）到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上

【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
28．这个游戏规则对双方不公平.
【分析】通过列表或画树状图，由概率公式求出各自的概率，若概率相同则游戏公平，否则不公平．
【详解】列表法如下：
       
红1
红2
白
白1
（白1，红1）
（白1，红2）
（白1，白）
白2
（白2，红1）
（白2，红2）
（白2，白）
红
（红，红1）
（红，红2）
（红，白）

由上表可知，一共有9种等可能的结果，其中颜色相同的结果有4种，颜色不同的结果有5种.
∴P（颜色相同）=，P（颜色不同）=.     
∵，
∴这个游戏规则对双方不公平.
【点睛】此题考查了列表法与树状图法、概率公式的应用．正确掌握画树状图或列表法是解决问题的关键．
29．，原式=.
【分析】直接利用分式的混合运算进而化简，再整体代入m-n的值求出答案．
【详解】解：原式=
=
=.
∵
所以原式===.
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
30．5G网络的峰值速率为每秒传输0.1千兆数据．
【分析】设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆，则5G网络的峰值速率为每秒传输10x千兆，根据在峰值速率下传输7千兆数据，5G网络快630秒列出方程即可．
【详解】解：设4G网络的峰值速率为每秒传输千兆数据，则5G网络的峰值速率为每秒传输10x千兆．
依题意，得
解得 ．
经检验：是原方程的解，且满足实际意义．

答：5G网络的峰值速率为每秒传输千兆数据．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键．
31．（1）见解析；（2）.
【分析】（1）由等边三角形的判定定理可得△ABD为等边三角形，又由平行进行角度间的转化可得出结论.
（2）连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，可得∠BAO=∠DAO=30°，AB=AD=BD=8，BO=OD=4，通过证明△EDF是等边三角形，可得DE=EF=DF=2，由勾股定理可求OC，BC的长．
【详解】（1）证明：∵，，
∴△是等边三角形.
∴.
∵∥，
∴.
∴.                      
（2）解：连接交于点，

∵，，
∴垂直平分.
∴.
∵△是等边三角形，
∴，
∴.
∵∥，
∴.
∴, .
∵.
∴.
∴△是等边三角形.
∴,
∴,.
在Rt△中，
∴.
在Rt△中，
∴.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．
32．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先计算出S2，再计算出S3即可.
（2）根据S1，S2，S3，S4，S5，S6，….的值，得出当n为大于1的偶数时的结果的规律，从而得出结果.
（3）根据式子的规律，第n项奇数项与第n+1项偶数项相加得-1，可得出结果.
【详解】（1）∵ ，
∴
∴
（2）由题意，可得
，



S5=-a-1,
S6=a,

……
根据以上结果可知，S7=S1,后面每6个数就依次循环一次
∵2020=336×6+4，
∴
（3）
=（-1）+（-1）+（-1）+…+（-1）
=
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中式子的特点，利用技巧进行解答．
33．（1）① 如图，见解析；△或△或△或△; ②存在，“半角三角形”为△；证明见解析；（2）或．
【分析】（1）①根据题干描述作出图形即可，利用等腰三角形的性质，根据“一个内角是另外一个内角的一半”的三角形符合题意，可得出结果.②延长到，使得，连接，构造全等三角形△≌△．再利用全等三角形的性质以及相关角度的转化，可求得，从而可得出结果.
（2）由（1）中②可知，，延长到点，使得，连接BF，构造全等三角形△≌△，进而可得出.因为，所以以为圆心，长为半径作圆与直线一定有两个交点，当第一种情况成立时，必定存在一个与它互补的，所以可得出另外一种情况.
【详解】（1）① 如图，

图中的一个 “半角三角形”：△或△或△或△;
② 存在，“半角三角形”为△.
延长到，使得，连接．

∵，
∴ .
∴ .
∵，
∴．
∴．
在△和△中，

∴ △≌△.                   
∴ ，.
∵ ，
∴ .
∴．
∴∠BAE=2∠BEA,
∴△ 为“半角三角形”.
（2）或.
解：①延长到点，使得，连接BF,

∵，，
∴△≌△.   
过点分别作于点，
于点,
可得.
∴.
②因为，所以以为圆心，长为半径作圆与直线一定有两个交点，当第一种情况成立时，必定存在一个与它互补的．
可知：.
综上所述，这三个角之间的关系有两种，
或．

【点睛】对于新定义问题，理解概念是关键.同时需要结合等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质解决问题，另外在解题时，注意运截长补短法构造全等的运用.