专题08 递推函数-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

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类比于数列的递推关系,我们把具有f(x＋1)＝2f(x)等形式的函数称为递推函数.诸如函数f(x＋1)＝2f(x)，意即变量的值增加1，其对应的函数值是原来函数值的2倍，类似函数的周期性，但有一个倍数关系．依然可以考虑利用周期性的思想，在作图时，以一个“周期”图像为基础，其余各部分按照倍数调整图像即可．f(x)＝f(x－1)+1等以此类推.
【典型题示例】
例1 设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1).若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－eq \f(8,9)，则m的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(9,4))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(7,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,2))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(8,3)))
【答案】 B
【分析】作出图示，求出函数的解析式，求出成立的x的值，运用数形结合的思想可得选项．
【解析一】∵时，，
∴当时，，故，
同理，当时，，∴，···，
当时，，
∴
所以，当，
当时，，令，
解之得：
为使对任意，都有，则m的取值范围是.
故选B.
【解析二】 当－1