专题23 极化恒等式-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

这是一份专题23 极化恒等式-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用），共10页。

极化恒等式：.
说明：
（1）极化恒等式的几何意义是：设点是△ABC边的中点，则，即：向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差．
（2）具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合.
（3）遇到共起点的两向量的数量积问题，常取第三边的中点，从而运用极化恒等式加以解决. 特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．
【典型例题】
例1 如图，在中，是的中点，是上两个三等分点，，，
则的值是 ．
【解析】设，
由极化恒等式得，
解之得可得，，因此，，
因此．
点评：
紧紧把握极化恒等式使用条件，三次使用极化恒等式求解.
例2 已知是边长为2的等边三角形，是平面内一点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题的难点在于如何将“二合一”？注意到两向量共起点且其系数和为3，可利用三点共线的方法将其“二合一”，然后使用极化恒等式.
【解析】设，则，在上
所以
如图，取中点为，由极化恒等式得
在，由余弦定理得
所以当，即为中点时，
所以的最小值，此时为中点.
例3 如图所示，矩形ABCD的边AB=4，AD=2，以点C为圆心，CB为半径的圆与CD交于点E，若点P是圆弧(含端点B、E)上的一点，则 eq \(PA,\s\up6(→)) · eq \(PB,\s\up6(→)) 的取值范围是 .
【答案】
【分析】取AB的中点设为O，则，然后利用平几知识确定PO的取值范围，代入即可.
【解析】取AB的中点设为O，则，
当O、P、C共线时， PO取得最小值为；当P 与B（或E）重合时，PO取得最大值为PO=2，
所以的取值范围是.
例4 半径为2的圆O上有三点A，B，C，满足，点是圆内一点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】直接两次使用极化恒等式即可.
【解析】由得
在平行四边形中，，
故易知四边形是菱形，且
设四边形对角线的交点为E
由极化恒等式得
所以
因为是圆内一点，所以
所以，即，选A.
例5 在△ABC中，AC＝2BC＝4，∠ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN＝1，若的最小值为，则cs∠ACB＝ ．
【答案】
【分析】取MN的中点P，由极化恒等式将“的最小值为”转化为AB边上的高CH=1，然后利用两角差的的余弦公式求解.
【解析】取MN的中点P，则由极化恒等式得
∵的最小值为 ∴
由平几知识知：当CP⊥AB时，CP最小.
如图，作CH⊥AB，H为垂足，则CH=1
又AC＝2BC＝4，所以∠B＝30，sinA=
所以cs∠ACB＝cs（150 －A）=.
H
例6 已知直角三角形ABC中，，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设中点为，
则，
又因为，所以，
故选：D.
例7 正方体棱长为2，是棱的中点，是四边形内一点（包含边界），且，当三棱锥的体积最大时，与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由条件及极化恒等式入手，设的中点为，则，所以，故点的轨迹是以为球心，为半径的球被面所截得的半圆，当点在半圆弧的最高点时，三棱锥的体积最大，此时易求得与平面所成角的正弦值为.
【解析】设的中点为，
则由极化恒等式得，
所以，
故点的轨迹是以为球心，为半径的球被面所截得的半圆，
当点在半圆弧的最高点时，三棱锥的体积最大，
此时易求得与平面所成角的正弦值为.
【巩固练习】
如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AD,\s\up7(―→))＝－7，则eq \(BC,\s\up7(―→))·eq \(DC,\s\up7(―→))＝________.
2．矩形中，为矩形所在平面内一点，,矩形对角线，则值为 .
3.若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值为________.
4.已知平面向量a，b，e满足|e|＝1，a·e＝1，b·e＝－2，|a＋b|＝2，那么a·b的最大值为________．
5.在中，已知，，则面积的最大值是 ．
6.已知单位向量，，满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
7. 已知，且向量与的夹角为120°，又，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8.已知平面向量满足，，，，那么的最小值为________．
9.已知锐角的外接圆的半径为1， ，则的取值范围为__________．
10.在中，，若是所在平面内的一点，且，则的最大值为_____.
11.已知点是边长为的正三角形内切圆上的一点，则的取值范围为_____.
12.已知正方形ABCD的边长为1，中心为O，直线l经过中心O，交AB于点M，交CD于点N，P为平面上一点，若2 eq \(OP,\s\up6(→)) ＝λ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋(1－λ) eq \(OC,\s\up6(→)) ，则 eq \(PM,\s\up6(→)) · eq \(PN,\s\up6(→)) 的最小值为__________.
13.设点P为正三角形△ABC的边BC上的一个动点，当 eq \(PA,\s\up6(→)) · eq \(PC,\s\up6(→)) 取得最小值时，sin∠PAC的值为________．
14.在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上移动，AB＝2，若点P满足 eq \(PA,\s\up6(→)) · eq \(PB,\s\up6(→)) ＝2，则OP的取值范围为________．
15.在△ABC中，E，F分别是线段AB，AC的中点，点P在直线EF上，若△ABC的面积为2，则 eq \(PB,\s\up6(→)) · eq \(PC,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) 2的最小值是__________．
16.在半径为1的扇形AOB中，若∠AOB＝60°，C为弧AB上的动点，AB与OC交于点P，则eq \(OP,\s\up14(→))·eq \(BP,\s\up14(→))的最小值是________．
17. 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时， eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的取值范围是________．
18. 已知球的半径为1， 是球面上的两点，且，若点是球面上任意一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案或提示】
1.【答案】9
【提示】两次使用极化恒等式，由得，.
2.【答案】
【提示】设矩形的对角线交点为O，由，得，.
3.【答案】
【解析】根据极化恒等式得：，
故，所以的最小值为．
4.【答案】－54
【提示】 由a·e＝1，b·e＝－2得: a·e －b·e＝3，即（a－b）·e＝3，|a－b|cs＝3
a·b=14[|a＋b|2－|a－b|2]≤－54
5.【答案】
【提示】取BC的中点为D，则，所以
因为BC边上的高线长不大于中线长，当中线就是高线时，面积最大，故面积的最大值．
6.【答案】A
【解析】∵，∴，
如图，
设中点为，则，且，
∴三点共线，，，，
∴为等腰三角形，
∴，
∴.故选：A.
7. 【答案】C
【解析】连结，则设的中点为，
由，易知，所以
故，故选：C
8.【答案】
【解析】由，得，即
又（其中为向量与的夹角）
所以
所以.
9.【答案】
10.【答案】
【提示】方法同上.
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【解析】如图，取OB的中点D，连接PD，
则eq \(OP,\s\up14(→))·eq \(BP,\s\up14(→))＝PD2－OD2＝PD2－eq \f(1,4)，即求PD的最小值．
由图可知，当PD⊥OB时，PDmin＝eq \f(\r(3),4)，
则eq \(OP,\s\up14(→))·eq \(BP,\s\up14(→))的最小值是－eq \f(1,16).
17.【答案】[0,2]
【解析】 由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2eq \r(3).当弦MN的长度最大时，MN为球的直径．设内切球的球心为O，则eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \(PO,\s\up6(→))2－eq \(ON,\s\up6(→))2＝eq \(PO,\s\up6(→))2－1.由于P为正方体表面上的动点，故OP∈[1，eq \r(3)]，所以eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))∈[0,2]．
18.【答案】B
【解析】设的中点为，则
由极化恒等式得
因为，点是球面上任意一点
所以
所以 ,故选B.