专题37 过曲线上一点的切线、切点弦-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

专题37 过曲线上一点的切线、切点弦

【方法点拨】

1.圆的切线方程常用结论

(1)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.

特别地，过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.

(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点P(x0，y0) 作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；

特别地，过圆x2＋y2＝r2外一点P (x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.

说明：

（1）上述公式的记忆方法均可用“抄一代一”，即把平方项其中一个照抄，另一个将变量用已知点的相应坐标代入，将原方程作如下方法替换求出，，，，).

（2）椭圆、抛物线也有类似结论，如过椭圆上一点P (x0，y0)且与椭圆相切的直线方程是：，等等，不再赘述.

【典型题示例】

例1    已知抛物线C：y2＝2x，过直线上y＝x+2上一点P作抛物线C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB恒过定点          ．

【答案】(2,1)

【解析】设P点坐标为（x0，x0+2）

显然点P不在抛物线C上

根据切点弦的公式，“抄一代一”得直线AB的方程为：(x0+2) y＝x0+x

即(x－2 y)＋x0(1－y) ＝0

所以直线AB恒过定点(2,1).

例2    过抛物线C：x2＝2py上点M作抛物线D：y2＝4x的两条切线l1，l2，切点分别为P，Q，若△MPQ的重心为G(1，)，则p＝       ．

【答案】

【解析一】设，

则l1，l2的方程分别是，

由解得，，即

又因为△MPQ的重心为G(1，)

所以，解之得，故

将代入x2＝2py得.

【解析二】设

则PQ的方程为

由消x得

所以，（，）

又因为△MPQ的重心为G(1，)

所以，解之得，.

 例3   已知斜率为k的直线l过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，抛物线C的准线上一点M（－1，－1）满足·＝0，则｜AB｜＝     （     ）

   A．        B．           C．5               D．6

【答案】C

【分析】（一）本题的命题的原点是阿基米德三角形，即从圆锥曲线准线上一点向圆锥曲线引切线，则两个切点与该点所构成的三角形是以该点为直角顶点的直角三角形.

（二）将·＝0直接代入坐标形式，列出关于A，B中点坐标的方程，再利用斜率布列一方程，得到关于A，B中点坐标的方程组即可.这里需要说明的是，·＝0转化的方法较多，如利用斜边中线等于斜边一半等，但均不如上法简单.

【解析一】易知p=2，y2＝4x

由阿基米德三角形得AB为切点弦

所以AB方程是－y＝2（x－1），即y＝－2 x＋2

代入y2＝4x消y得：x2－3x＋1=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2=3

∴，答案选C.

【解析二】易知p=2

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=1，y1y2=－4，，

∵·＝0

∴，化简得

设A、B中点坐标为（x0，y0），则              ①

又由直线的斜率公式得，

∴，即     ②

由①、②解得

∴，答案选C.

例4  在平面直角坐标系 xoy 中， 已知圆C :(x  2)2  (y  2)2 ＝ 20 与x 轴交于 A 、 B（点 A在点 B的左侧），圆C 的弦 MN 过点T(3，4)，分别过 M、N 作圆C 的切线，交点为 P，则线段 AP 的最小值为 　　 ．

【答案】

【分析】设出点P坐标，根据切点弦求出点P轨迹方程，再利用点线距以垂线段最小求解.

【解析】设点P坐标为(a，b )

则切点弦MN的方程为：(a  2) (x  2)  (b  2) (y  2)＝ 20

又因为弦 MN 过点T(3，4)，

故(a  2) (3  2)  (b  2) (4  2)＝ 20，即a 2b  26＝0

即点P的轨迹方程是x 2y  26＝0

点A（－2,0）到该直线的距离为，

因为定点到直线上任意一点间的距离中垂线段最小

所以点A（－2,0）到该直线的距离即为AP 的最小值.

例5  如图，在平面直角坐标系中，直线与椭圆、圆都相切，切点分别是点、，则当线段长度最大时，圆的半径的值为 　     　 ．

【答案】

【分析】先设出点坐标，写出直线的方程，再利用直线与圆相切，圆心到直线的距离等于，布列约束等式，最后，利用勾股定理列出关于的目标函数，求出最值及取得最值时的值．

【解析】设点坐标为（）

    则过点的椭圆的切线，即直线的方程为：，

即

又因为直线与圆相切，所以，且

在中，

而，当且仅当时，“=”成立，此时，的最大值为1

所以当线段长度最大时，圆的半径的值为．

【巩固训练】

1.过点作圆的两条切线,切点分别为,,则直线的方程为（　　）

A． B． C． D．

2. 已知圆，直线，为直线上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点（　　）

A．  B．    C．   D．

3.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：，点A是轴上的一个动点，AP，

AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围为      ．

4.若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是___ _ _  __.

5. 已知为椭圆上的一个动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，到椭圆在点处的切线为，若，则=　　 ．

6. 已知点P在直线上，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则点到直线AB距离的最大值为（    ）

A． B． C．2 D． 

7. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：，点A是直线的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围为      ．

8. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－4,0)，B(0,4)，从直线AB上一点圆P向圆C：引两条切线PC、PD，切点分别是C、D，设线段CD的中点为M，则线段AM长的最大值为      ．

【答案或提示】

1.【答案】A

【解析】将直接“一抄一代”得，即，选A.

2.【答案】A

【解析】设

则直线AB的方程是，即

令，解得

所以直线AB过定点 .

3.【答案】

【提示】设A

则直线PQ的方程是，即

所以直线PQ过定点 .

则PQ长的最小值是过且平行于轴的弦，易得此时PQ，直径是其上界.

4.【答案】＋＝1

【提示】AB的方程是2x＋y－2＝0，令x=0，y＝2；令y=0，x＝1.故c＝2，b＝1.

5.【答案】

【提示】，切线方程：.

6.【答案】D

【解析】设，则直线AB的方程是，

即，当且，即，时该方程恒成立，

所以直线AB过定点N(1，1)，

点M到直线AB距离的最大值即为点M，N之间的距离，，

所以点M(3，2)到直线AB距离的最大值为.

故选:D

7.【答案】

【解析】设点的坐标为

则PQ的方程为，

分参得

所以，解之得，直线PQ恒过点（1,1）

易求得过点（1,1）最短的弦长为、最长的弦长为（取不得）

故线段PQ长的取值范围为.

说明：

引圆外一点A到圆心O的距离为参数，建立PQ与AO的目标函数，再利用基本不等式解决也可以.

8.【答案】

【解析】设点的坐标为

则CD的方程为，

分参得

所以，解之得，直线CD恒过点N（－1,1）

又因为OM⊥CD，

所以点M的轨迹是以ON为直径的圆（点O除外），故其方程是

所以.