专题64 几何体被球所截的截痕-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

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专题64 几何体被球所截的截痕【方法点拨】空间想象能力历来是立体几何考察之重点,几何体被球所截的截痕要弄清是圆弧还是圆,其圆心、半径是什么？具有对称性吗？【典型题示例】例1   在棱长为1 的正方体中，以A为球心半径为的球面与正方体表面的交线长为___________．【答案】【解析】如图，      球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点所在的三个面上，即面、面和面上；另一类在不过顶点的三个面上，即面、面和面上．在面上，交线为弧且在过球心的大圆上，因为，，则，同理，所以，故弧的长为，而这样的弧共有三条．在面上，交线为弧且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为，半径为，，所以弧的长为，这样的弧也有三条，于是，所得的曲线长为，故答案为.例2    正方体棱长为2，是棱的中点，是四边形内一点（包含边界），且，当三棱锥的体积最大时，与平面所成角的正弦值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，设出，利用向量的数量积，，故点的轨迹为圆心，为半径的圆，当体积最大值求得，从而得到与平面所成角的正弦值.【解析】如图，以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，         则，，，设，，则，由于为定值，要想三棱锥的体积最大，则F到底面ADE的距离最大，其中，所以当时，取得最大值，因为，所以的最大值为，所以，，平面的法向量，所以与平面所成角的正弦值为故选：A说明：本题也可利用极化恒等式求解，请参考本系列讲座极化恒等式部分.            【巩固训练】1. 在棱长为1 的正方体中，以A为球心半径为的球面与正方体表面的交线长为___________．2.正三棱锥中，，点在棱上，且，已知点都在球的表面上，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为___________.3.某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥所有顶点都在半径为的球上，当该四棱锥的体积最大时，底面正方形所在平面截球的截面面积是（    ）A． B． C． D．4.已知球O是正三棱锥A-BCD（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，BC=3，AB=，点E在线段BD上，且BD=3BE．过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（    ）A． B． C． D．5.已知正六棱柱的棱长均为，点在棱上运动，点在底面内运动，，为的中点，则动点的轨迹与正六棱柱的侧面和底面围成的较小部分的体积为（    ）A． B． C． D．6.四棱锥中，底面是正方形，，．是棱上的一动点，E是正方形内一动点，的中点为，当时，的轨迹是球面的一部分，其表面积为，则的值是（    ）A． B． C． D．6     【答案或提示】1.【答案】【提示】解法同例1.2.【答案】3 【提示】通过补体把正三棱锥补成正方体，则正方体的体对角线为外接球直径,求出OE =3，当 OE⊥平面时，平面截球O 的截面面积最小，此时截面为圆面，从而可计算截面的半径，从而推导出截面的面积.3.【答案】C【分析】作出图形，可知四棱锥 P- ABCD为正四棱锥，由勾股定理可得出分析得出，利用三角换元，可设，，其中，从而建立体积的目标函数，利用导数求出取最大值时对应的的值，求出的值，可得出，进而可求截面面积是得结果.4.【答案】A【提示】O 1是A在底面的射影，求出底面外接圆的半径和几何体外接球的半径，利用余弦定理求出O 1E=1，当截面垂直于 OE 时，截面面积最小，求出截面圆的半径即得解.5.【答案】B【分析】根据题意，可判断出动点的轨迹为球，结合球的体积公式，即可求解.【解析】由直角三角形的性质得，所以点在以为球心，半径是的球面上运动，因为，所以动点的轨迹与正六棱柱的侧面和底面围成的较小部分球，其体积为.故选：B.6.【答案】B【分析】首先假设，将四棱锥放在正方体中，然后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得，得到点的轨迹，最后根据题意列出方程求出的值 .【解析】由题意不妨设,又，底面是正方形，所以可将四棱锥放在一个正方体内，所以面，又面，则，又的中点为，所以，即的轨迹是以为球心，为半径的球，且点恒在正方体内部，又因为8个一样的正方体放在一起，点的轨迹就可以围成一个完整的球，所以的轨迹是以为球心，为半径的球的球面，所以，解得，故选：B.