专题03 等式与不等式的性质-2023年新高考数学大 二轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

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专题03等式与不等式的性质
【考点预测】
1.比较大小基本方法

关系
方法
做差法
与0比较
做商法
与1比较


或





或
2.不等式的性质
（1）基本性质
性质
性质内容
对称性

传递性

可加性

可乘性

同向
可加性

同向同正
可乘性

可乘方性


【方法技巧与总结】
1.应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.
2.比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.
比较法又分为作差比较法和作商比较法.
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法.
【题型归纳目录】
题型一：不等式性质的应用
题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式
题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围
题型四：不等式的综合问题

【典例例题】
题型一：不等式性质的应用
例1．（2022·北京海淀·二模）已知，且，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
取特殊值即可判断A、C、D选项，因式分解即可判断B选项.
【详解】
对于A，令，显然，错误；
对于B，，
又不能同时成立，故，正确；
对于C，取，则，错误；
对于D，取，则，错误.
故选：B.
例2．（2022·山东日照·二模）若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由不等式的基本性质和特值法即可求解.
【详解】
对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则，A选项正确；
对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若，，则，B选项错误；
对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，，，C选项错误；
对于D选项，因为，，所以无法判断与大小，D选项错误.
例3．（2022·山西·模拟预测（文））若，则下列结论中正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
对于A，利用不等式的性质判断，对于B，利用基本不等式判断，对于C，利用指数函数的性质判断，对于D，举例判断
【详解】
∵，∴，∴，故A错误；
∵，∴，∴．
∵，∴，故B正确；
∵，∴．故C错误；
令，此时．故D错误．
故选：B．
（多选题）例4．（2022·辽宁·二模）己知非零实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用不等式的性质及特殊值法判断即可．
【详解】
解：对于非零实数，满足，则，
即，故A一定成立；
因为，故B一定成立；
又，即，所以，故C一定成立；
对于D：令，，满足，此时，故D不一定成立．
故选：ABC
（多选题）例5．（2022·重庆八中模拟预测）已知，，且，则下列不等关系成立的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用基本不等式以及适当的代数式变形即可判断.
【详解】
对于A，由 ，   ，当且仅当 时等号成立，
，   ， ，
当且仅当 时等号成立，故A正确；
对于B，由，得 ，
由基本不等式得 ，当且仅当a=b=1时成立；故B正确；
对于C，若 满足， ，故C错误；
对于D，∵，∴ ，由B的结论得   ，

，
，故D正确；
故选：ABD.
（多选题）例6．（2022·广东汕头·二模）已知a，b，c满足c