考点4-1 三角函数图像和性质 (文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）

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A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】
根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】
因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．
故选：D.

2．（2022·北京·高考真题）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
【答案】C
【分析】
化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】
因为.
对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；
对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；
对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；
对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.
故选：C.
3．（2022·全国·高考真题（文））将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.
【详解】
由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.
故选：C.
4.（2022·内蒙古·乌兰浩特一中模拟预测（文））将最小正周期为的函数的图像向左平移个单位长度，得到的图像，则函数的一个对称中心为___________
【答案】，不唯一
【分析】
根据最小正周期求出 ，再根据函数平移规则即可求出 的解析式.
【详解】
由题意， ， ，即 ，
向左平移 得 ，
，
令 ，∴ 的一个对称中心为 ；
故答案为： .
5．（2023·全国·高三专题练习）若函数的一个零点为，则________；________．
【答案】 1
【分析】
先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可.
【详解】
∵，∴
∴
故答案为：1，
6．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））已知某质点从直角坐标系xOy中的点出发，沿以O为圆心，2为半径的圆周作逆时针方向的匀速圆周运动到达B点，若B在y轴上的射影为C，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据三角函数定义，代入运算整理．
【详解】
设点得坐标为，根据三角函数定义可知：，则
∴
故选：C．
【点睛】
7．（2022·江苏连云港·模拟预测）如果函数满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据余弦函数的对称轴可得结果.
【详解】
因为函数满足，所以的图象关于对称，
所以，，
所以，，
所以的最小值为.
故选：B
8．（2021·北京八十中高三阶段练习）已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于轴对称
C．函数的图象关于对称
D．函数的图象关于对称
【答案】C
【分析】
由题意利用三角函数的对称性与周期，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【详解】
对A，因为与的最小正周期均为，所以的最小正周期为，A错误；
对B，因为，所以不是偶函数，其图象不关于轴对称，故B错误；
对CD，因为，所以的图象关于对称，故C正确，D错误
故选：C
9.（2023·全国·高三专题练习）写出一个同时具有下列性质①②③的函数___________；已知函数满足：①；②；③函数在上单调递减；
【答案】（答案不唯一）
【分析】
由条件得函数性质后求解
【详解】
对于①，若，则的图象关于中心对称，
对于②，若，则的图象关于对称，
设，则，，
又的图象关于对称，且函数在上单调递减，
则，得
故答案为：（答案不唯一）
10．（2023·全国·高三专题练习）若函数在上有且仅有3个零点和2个极小值点，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】
找到临界位置，再根据条件建立不等式求解即可.
【详解】
如下图，作出简图，由题意知，，设函数的最小正周期为，
因为，则，，
结合有且，解得．
故答案为：
11．（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则函数在区间上的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据最小正周期为可得，再根据三角函数图象平移的性质可得，结合三角函数图象的性质即可得值域
【详解】
因为的最小正周期为，所以．将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，当，，所以的值域为．
故选：C
12．（2022·广西柳州·模拟预测（理））若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间[0，]上不单调，则的最小值为（ ）
A．9B．7C．11D．3
【答案】C
【分析】
根据给定条件，求出的关系式，再求出函数含有数0的单调区间即可判断作答.
【详解】
因直线是曲线的一条对称轴，则，即，
由得，则函数在上单调递增，
而函数在区间上不单调，则，解得，
所以的最小值为11.
故选：C
13．（2022·全国·高三专题练习）函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
由一条对称轴和一个对称中心可以得到或，由在上单调递减可以得到，算出的大致范围，验证即可.
【详解】
由题意知：或
∴或
∴或
∵在上单调递减，∴
∴
①当时，取知
此时，当时，
满足在上单调递减，∴符合
取时，，此时，当时，满足在上单调递减，∴符合
当时，，舍去，当时，也舍去
②当时，取知
此时，当时，
，此时在上单调递增，舍去
当时，，舍去，当时，也舍去
综上：或2，.
故选：A.
14.
14．（2022·内蒙古包头·二模（理））已知函数的部分图象如图所示，则满足条件的最小正偶数x为___________.
【答案】4
【分析】
先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正偶数.
【详解】
由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；
所以.
因为，；
所以由可得；
由，即，
∴或，
解得或，
令，可得或，
所以最小正偶数为4.
故答案为：4.
15．（2022·全国·高三专题练习（理））函数，已知且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为______.
【答案】5
【分析】
根据已知条件，利用和建立起关于的等量关系，然后根据在上单调，卡出的范围，在前面的等量关系中选取合适的值即可.
【详解】
因为函数，，
所以，
所以，,
因为于任意的都有，所以，
所以，
所以，
所以
或，
所以或，
即（舍去），所以，
因为，所以，即，
令，所以，在上单调，
，且，所以在区间中包含在一个对称轴和对称中心之间（）即，
所以，而，
所以的最大值为5.
故答案为：5.
16．（2021·全国·高三专题练习）已知，存在实数，使得对任意，，则的最小值是___________.
【答案】
【分析】
利用单位圆确定的取值范围，再根据题给条件分析的最值即可得出结论.
【详解】
解：在单位圆中分析，由题意可得的终边要落在图中阴影部分区域(其中，如图，
由于恒成立，且为常数
， 位于连续两终边之间
当为的正整数倍时，连续两终边间的间隔长度为，
， 取，此时，
即，，当时取得最小值，.
当不为的正整数倍时，可设
这里的是根据 中的的最小值推导出，这里只考虑 情况.
时，，满足不为 的正整数倍时，.
所以时，
由得：，此时，
， 当为正整数时， 连续两终边间的间隔长度小于
所以必定存在正整数使得的终边落在区间 上，此时不符合题意.
综上，的最小值为.
故答案为：