考点3-1 导数计算与求切线（文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）

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考点01  导数计算与求切线    1．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数的导函数为，且满足，则（       ）A．1 B． C． D．4【答案】C【分析】先对进行求导，然后把代入，可列出关于的等式，即可解出，从而得出的解析式，即可求出.【详解】解：因为，所以，把代入，得，解得：，所以，所以.故选：C.2．（2022·河北·模拟预测）曲线在处的切线斜率为（       ）A．0 B．1 C．2 D．【答案】B【分析】即求曲线在(0,f(0))处的导数.【详解】，.故选：B.3．（2022·广西·南宁三中二模（文））已知在处的切线与直线l垂直，若直线l与x，y正半轴围成的三角形面积为2，则直线l的方程为（       ）．A． B．C． D．【答案】D【分析】利用导数的几何意义求切线的斜率，从而知道直线l的斜率，再根据直线l与x，y正半轴围成的三角形面积，建立方程可求解.【详解】由，故，故直线l的斜率为，令，由题意知，解得，故.故选:D．4（2020·全国·高考真题（文））设函数．若，则a=_________．【答案】1【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值【详解】由函数的解析式可得：，则：，据此可得：，整理可得：，解得：.故答案为：.5．（2022·全国·高三专题练习）若函数存在平行于轴的切线，则实数取值范围是______.【答案】【分析】求出导函数，只需有正解，分离参数可得，利用基本不等式即可求解.【详解】函数定义域为，导函数为，使得存在垂直于轴的切线，即有正解，可得有解，因为，所以，当且仅当“，即”时等号成立，所以实数的取值范围是故答案为：6.已知，为f（x）的导函数，则的图象是（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出函数的导函数，令，根据导函数的奇偶性可排除AD，再根据的符号可排除C，即可得解.【详解】解：，则，令，，所以函数为奇函数，故排除AD，又，故排除C.故选：B.7．曲线f(x)＝xln x在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为(　　)A． B．C． D．【答案】B【详解】；所以，所以曲线在点处的切线的斜率是，设曲线在点处的切线的倾斜角是，则，因为，所以，故选B.8．（2020·全国·高三课时练习（理））若曲线与曲线在交点处有公切线，则A． B．0C．2 D．1【答案】D【详解】分析：由曲线与曲线在交点出有公切线，根据斜率相等，求解，根据点在曲线上，求得，进而求得的值，即可求解．详解：由曲线，得，则，由曲线，得，则，因为曲线与曲线在交点出有公切线，所以，解得，又由，即交点为，将代入曲线，得，所以，故选D．点睛：本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中根据在点处的公切线，建立方程求解是解答的关键，，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．9．在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.【答案】4.【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【详解】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.由，得，，即切点，则切点Q到直线的距离为，故答案为．【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.10．（2022·全国·高三专题练习）已知，且，，那么___________.【答案】【分析】在题中等式两边同乘可得，可得出，由可求得的值，进而可求得的值.【详解】因为，所以，，即，所以，，因为，则，所以，，解得，所以，，因此，.故答案为：. 11.（2021·全国·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，所以，曲线在点处的切线方程为，即，由题意可知，点在直线上，可得，令，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.故选：D.【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.12.．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））若函数与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别设公切线与和的切点，，根据导数的几何意义列式，再化简可得，再求导分析的最大值即可【详解】，，设公切线与的图象切于点，与曲线切于点，∴，故，所以，∴，∵，故，设，则，∴在上递增，在上递减，∴，∴实数a的最大值为e故选：B.13．（2022·山西太原·二模（理））已知函数图象上存在两条互相垂直的切线，且，则的最大值为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件用换元法令，利用导数及三角函数的差的正弦公式即可得出导函数的范围，根据已知条件得出，再利用辅助角公式及三角函数的性质即可求解.【详解】由，令，由，得，所以由题意可知，存在，使得，只需要，即，所以，，所以的最大值为.故选: D.【点睛】解决此题的关键是用换元思想，再利用存在两条互想垂直的直线进而得出，再利用三角函数的性质即可求解.14．（2022·河南安阳·模拟预测（理））若过点分别只可以作曲线的一条切线，则的取值范围为_________．【答案】【分析】设出切点坐标，求导表示出切线方程，代入点求得和，由方程只有1根，解出的范围，即可求得的取值范围.【详解】易得，，设过点的切线与曲线切于点，则切线方程为，代入点得，整理得，则，则方程必有两根，要使切线只有一条，则必有一根为0（舍去），此时，；设过点的切线与曲线切于点，则切线方程为，代入点得，整理得，令，则，又，则，在上单减，又时，，时，，时，，画出草图如下：要使切线只有一条，则与只有一个交点，则，故.故答案为：.【点睛】本题关键点在于设出切点，写出切线方程后求得，由方程只有1个根求出的值；求得，构造函数确定单调性后画出草图求得的范围，即可求解.15．（2021·江苏南通·一模）已知，为曲线：上在轴两侧的点，过，分别作曲线的切线，则两条切线与轴围成的三角形面积的最小值为_______．【答案】【分析】因为P，Q为曲线：上在轴两侧的点，设，，且，又因为曲线：在点的切线斜率为，得曲线在P，Q两点处的切线和，求出直线与x轴交点，，直线和的交点，所求图形面积，求最小值即为所求【详解】因为P，Q为曲线：上在轴两侧的点，设，，且，又因为曲线：在点的切线斜率为，所以曲线在P，Q两点处的切线分别为和，与x轴交点分别为，，直线和的交点为，所求图形面积，即，令 ，假设时，才能取最小值，令，则，当，即时，，同理，当时，，所以当且时，最小，解得，，【点睛】本题以抛物线为背景考查三角形面积的最值，综合直线方程，导数的性质，三角形面积等知识，要将求最值的几何量表示为某个参数的函数式，然后用函数或不等式知识求最值