专题16 极值与最值-2023年新高考数学大 二轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

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专题16极值与最值
【考点预测】
知识点一：极值与最值
1．函数的极值
函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．
求可导函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.
注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点.
2．函数的最值
函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．
导函数为
（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求在内的极值（极大值或极小值）；
（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
【方法技巧与总结】
（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式在区间D上恒成立．
不等式在区间D上恒成立．
（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解
不等式在区间D上有解
（5）对于任意的，总存在，使得；
（6）对于任意的，总存在，使得；
（7）若存在，对于任意的，使得；
（8）若存在，对于任意的，使得；
（9）对于任意的，使得；
（10）对于任意的，使得；
（11）若存在，总存在，使得
（12）若存在，总存在，使得．

【题型归纳目录】
题型一：求函数的极值与极值点
题型二：根据极值、极值点求参数
题型三：求函数的最值（不含参）
题型四：求函数的最值（含参）
题型五：根据最值求参数
题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用
题型七：不等式恒成立与存在性问题

【典例例题】
题型一：求函数的极值与极值点
例1．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））已知函数．
当时，求函数的极值；
【解析】
由题知，当时，，
∴，令，．
∴时，，单调递减；
时，，单调递增．
∴是的极小值点，∴的极小值为，无极大值．
例2．（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）设.
(1)求在上的极值；
(2)若对，，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)极小值为，极大值为
(2)
【解析】
【分析】
（1）直接求导计算即可．
（2）将问题转化为，构造新函数在上单调递增即可，然后参变分离或者分类讨论都可以．
(1)
由，
得的单调减区间是，，
同理，的单调增区间是.
故的极小值为，极大值为.
(2)
由对称性，不妨设，
则即为.
设，则在上单调递增，
故在上恒成立.
方法一：（含参讨论）
设，
则，，解得.
，，.
①当时，，
故，当时，，递增；
当时，，递减；
此时，，在上单调递增，故，符合条件.
②当时，同①，当时，递增；当时，递减；
∵，，
∴由连续函数零点存在性定理及单调性知，，.
于是，当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
∵，，∴，符合条件.
综上，实数的取值范围是.
方法二：（参变分离）
由对称性，不妨设，
则即为.
设，则在上单调递增，
故在上恒成立.
∵，∴在上恒成立
，.
设，，则，.
设，，
则，.
由，，得在，上单调递增；
由，，得在，上单调递减.
故时；
时.
从而，，，
又时，，故，，
，单调递减，，.
于是，.综上，实数的取值范围是.
例3．（2022·天津市咸水沽第一中学模拟预测）已知函数……自然对数底数）.
(1)当时，求函数f（x）的单调区间；
(2)当时，
（i）证明：存在唯一的极值点：
（ii）证明：
【答案】(1)函数的单调递增区间为，单调递减区间为
(2)证明见详解
【解析】
【分析】
（1）求导，利用导数判断函数单调性；（2）利用导数判断单调性，利用零点存在性定理判断零点，进而确定极值点，利用零点代换结合函数最值处理极值的范围．
(1)
，构建
当时，则在上单调递减，且
当时，，当时，
则函数的单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
（i）由（1）可知：当时，在上单调递减

∴在内存在唯一的零点
当时，，当时，
则函数的单调递增区间为，单调递减区间为
∴存在唯一的极值点
（ii）由（i）可知：
∵，即
，且
∵在单调递减
则
构建，则当时恒成立
则在上单调递增，则
则，即
∴
例4．（2022·江西师大附中三模（理））已知函数为的导函数．
(1)判断函数在区间上是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；
(2)求证：函数在区间上只有两个零点．
【答案】(1)存在；极小值
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）转化为判断导函数是否存在变号零点，对求导后，判断的单调性，结合零点存在性定理可得结果；
（2）当时，利用单调性得恒成立，此时无零点；当时，；
当时，利用导数得到单调性，结合零点存在性定理可得在上只有一个零点.由此可证结论正确.
(1)
由，可得，
则，
令，其中，可得，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
因为，所以存在，使得，
当时，单调递减；当时，单调递增，
所以当时，函数取得极小值．
(2)
由，当时，，所以，
所以在上为增函数，所以，
此时函数在上没有零点；
当时，可得，所以是函数的一个零点；               
当时，由 ，
令，
可得，令
则，
当，可得；
当，可得，
即在上单调递减，在上单调递增，
又因为，所以存在使得，
当时，；当时，，
又因为，
所以存在使得，即是函数的一个零点．
综上可得，函数在上有且仅有两个零点．
【点睛】
关键点点睛：第二问中，分段讨论并利用导数和零点存在性定理求解是解题关键.
例5．（2022·江苏苏州·模拟预测）函数．
(1)求函数在上的极值；
(2)证明：有两个零点．
【答案】(1)极大值，；极小值，；
(2)详见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题可得，进而可得；
（2）当时，利用导数可得函数的最小值，进而可得函数有两个零点，当，时，利用导数可得，即得.
(1)
∵，
∴，，
由，可得，或，
∴，单调递增，，单调递减，，单调递增，
∴时，函数有极大值，时，函数有极小值；
(2)
∵，
∴，
∴，
当时，单调递增，即单调递增，
又，
故存在，，
所以单调递减，单调递增，
∴时，函数，，，
故时，有两个零点，
当时，，
对于函数，则，又，
∴，，即，此时函数没有零点，
当时，，
由上可知，故当时，函数没有零点，
综上，函数有两个零点．
【点睛】
利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究.
【方法技巧与总结】
1．因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．
2．原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．
题型二：根据极值、极值点求参数
例6．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））若函数在处有极值10，则（       ）
A．6 B． C．或15 D．6或
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出函数的导函数 ，然后根据在 时 有极值10，得到 ，求出满足条件的 ，然后验证在 时是否有极值，即可求出
【详解】
，
又 时 有极值10
，解得 或
当 时，
此时 在 处无极值，不符合题意
经检验， 时满足题意

故选：B
例7．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数在处取极小值，且的极大值为4，则（       ）
A．-1 B．2 C．-3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
对求导，由函数在处取极小值，所以，所以，，对求导，求单调区间及极大值，由的极大值为4，列方程得解.
【详解】
解：，所以
因为函数在处取极小值，所以，所以，，，
令，得或，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，所以在处有极大值为，解得，所以.
故选：B
例8．（2022·四川绵阳·二模（文））若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出，分，，，分别讨论出函数的单调区间，从而可得其极值情况，从而得出答案.
【详解】
，
若时，当时，；当时，；
则在上单调递减；在上单调递增.
所以当时，取得极小值，与条件不符合,故满足题意.
当时，由可得或；由可得
所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，取得极大值，满足条件.
当时，由可得或；由可得
所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，取得极小值，不满足条件.
当时，在上恒成立，即在上单调递增.
此时无极值.
综上所述：满足条件
故选：A
例9．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数的极值为，则（       ）
A．e B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求导得到导函数，考虑和两种情况，根据函数的单调性得到极值，计算得到答案.
【详解】
函数的定义域为，，
当时，，所以在上单调递增，无极值，不符合题意；
当时，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，解得．
故选：C.
例10．（2022·河南·高三阶段练习（文））若函数在上无极值，则实数的取值范围（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求，由分析可得恒成立，利用即可求得实数的取值范围.
【详解】
由可得
，
恒成立，为开口向上的抛物线，
若函数在上无极值，
则恒成立，所以，
解得：，
所以实数的取值范围为，
故选：D.
例11．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（理））已知函数在处取得极值0，则（       ）
A．2 B．7 C．2或7 D．3或9
【答案】B
【解析】
【分析】
求导得到导函数，根据题意得到且，解得答案并验证即可.
【详解】
，，
根据题意：，，
解得或，
当时，，函数单调递增，无极值点，舍去.
当时，，
在和时，，函数单调递增；
在时，，函数单调递减，故函数在出有极小值，满足条件.
综上所述：.
故选：B.
例12．（2022·全国·高三专题练习）函数在内有极值，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由可导函数在开区间内有极值的充要条件即可作答.
【详解】
由得，，
因函数在内有极值，则时，有解，
即在时，函数与直线y=a有公共点，
而，即在上单调递减，，则，显然在零点左右两侧异号，
所以实数的取值范围是.
故选：C
【点睛】
结论点睛：可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．
例13．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数，若是的极小值点，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据导函数的正负，对分类讨论，判断极值点，即可求解.
【详解】
由得，令，
若，则 ，此时在单调递增，在 单调递减，这与是的极小值点矛盾，故舍去.
若，可知是的极大值点，故不符合题意.
若，，此时在单调递增，在 单调递减，可知是的极大值点，故不符合题意.
当 ，，，此时在单调递增，在 单调递减，可知是的极小值点，符合题意.
若，在定义域内单调递增，无极值，不符合题意，舍去.
综上可知：
故选：B
例14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在区间上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
把题意转化为在内应有两个不同的异号实数根，利用零点存在定理列不等式组即可求得.
【详解】
函数，导函数.
因为在上既有极大值又有极小值，所以在内应有两个不同的异号实数根．
，解得：，实数a的取值范围.
故选：C．
例15．（2022·全国·高三专题练习）函数在上无极值，则m＝______．
【答案】3
【解析】
【分析】
把题意转化为在上恒有，对m分类讨论，求出m的范围.
【详解】
函数在上无极值即导函数在上无根．
在上恒有 ①；
而，
当时，①式解为或；显然时，①式不成立；
当时，①式解为或；显然时，①式不成立；
当m－1＝2时，①式解为x＝2，m＝3．
故答案为：3．
例16．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知函数，．
(1)当时，过做函数的切线，求切线方程；
(2)若函数存在极值，求极值的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设切点，再根据导数的几何意义求解即可；
（2）求导分析导函数为0时的情况，设极值点为得到，代入极值再构造函数，求导分析单调性与取值范围即可
(1)
由题，当时，，，
设切点为，则，
故切线方程为，
又切线过，故，即，
设，，则，
故为增函数.又，
故有唯一解，
故切点为，斜率为1，故切线方程为，即；
(2)
因为，为减函数，故若函数存在极值，
则在区间上有唯一零点设为，
则，即，
故极值，
设，，则，
故为增函数，故，故，即，
故极值的取值范围
【点睛】
本题主要考查了过点的切线问题，同时也考查了利用导数研究函数的极值问题，需要根据题意设极值点，得到极值点满足的关系，再代入极值构造函数分析，属于难题
例17．（2022·北京市第十二中学三模）已知函数.
(1)当时，求函数的单调递增区间；
(2)设函数，若在上存在极值，求a的取值范围.
【答案】(1)减区间为，增区间为.
(2)
【解析】
【分析】
（1）当时，求得，结合导数的符号，即可求得函数的单调区间；
（2）求得，设，得到，求得的单调性，结合，根据题意，列出不等式组或，即可求解.
(1)
解：当时，函数，其定义域为 ，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)
解：由，
可得，
设，则，
令，即，解得，
当时，；当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上，单调递减，
且，
显然，
若在上存在极值，则满足或，解得，
综上可得，当时，在上存在极值，
所以实数的取值范围为.
例18．（2022·天津·耀华中学二模）已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若存在两个极小值点，求实数的取值范围.
【答案】(1)递减区间为，递增区间为
(2)
【解析】
【分析】
（1）当时，求得，令，利用导数求得，进而求得函数的单调区间；
（2）求得，令，结合单调性得到，进而得到，分和，两种情况分类讨论，结合单调性与极值点的概念，即可求解.
(1)
解：当时，函数，
可得，
令，可得，所以函数单调递增，
因为，所以，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)
解：由函数，
可得，
令，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，
当时，可得，所以，
①当时，，此时当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数的极小值为，无极大值；
②当时，，
又由在上单调递增，所以在上有唯一的零点，且，
因为当时，令，可得，
又因为，所以，即，所以，
所以，，
因为在上单调递减，所以在上有唯一的零点，且，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数有两个极小值点，故实数的取值范围为.
例19．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数．
(1)当时，证明：当时，；
(2)若，函数在区间上存在极大值，求a的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用导数求出得出，根据的单调性得，可得答案；
（2）求出，分、、讨论单调性可得答案.
(1)
由题意得，则，当时，，
在上是减函数，∴，设，在上是增函数，
∴，∴当时，．
(2)
，且，
令，得或a，
①当时，则，单调递减，函数没有极值；
②当时，当时，，单调递减；
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
∴在取得极大值，在取得极小值，则；
③当时，当时，，单调递减；
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
∴在取得极大值，在取得极小值，由得：，
综上，函数在区间上存在极大值时，a的取值范围为．
题型三：求函数的最值（不含参）
例20．（2022·江苏徐州·模拟预测）函数的最小值为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题可知为偶函数，当时，去绝对值，讨论的取值范围，利用导数求解函数的最值
【详解】
由题可知，函数为偶函数，时，，
当时，，在单调递增，此时；
当时，，即恒成立.
∴
故答案为：-1.
例21．（2022·全国·高三专题练习）函数的最小值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】
先证明出成立，对原函数进行同构构造后直接求解.
【详解】
记.
因为.令，解得：；令，解得：；
所以在上单减，在上单增，所以.
所以，即.
所以，当且仅当时等号成立．
记.
因为在上单增，在上单增，所以在上单增.
又，，
所以有且只有一个实根.
而存在唯一一个使得.
即存在唯一一个使得.
所以函数的最小值为1.
故答案为：1
例22．（2022·四川·模拟预测（文））对任意，存在，使得，则的最小值为_________．
【答案】1
【解析】
【分析】
由题意得到，利用导数法求解.
【详解】
解：因为，
所以使得，
所以，
则，
令，得，
当时，，当时，，
所以当时，取得最小值为，
故答案为：1
例23．（2022·河南郑州·三模（文））在区间上的最小值是（       ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求导函数，分析其导函数的符号，得出原函数的单调性，从而可求得最小值．
【详解】
因为，所以，令，解得，
所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以函数在上的最小值为，
故选：B．
例24．（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先对函数求导，求出函数的单调区间，进而可求出函数的最大值
【详解】
解：由，得，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
因为，
所以函数的最大值为，
故选：B
例25．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在的最小值.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据导数的几何意义得出切线方程；
（2）由导数得出，令，利用导数得出在恒成立，再讨论时函数的单调性，进而得出最值.
【详解】
解：（1）当时，，∴，
又得切点，∴，
所以切线方程为，即；
（2），∴，
令，∴
由，得，所以在上为单调增函数
又，
所以在上恒成立
即在恒成立
当时，，知在上为减函数，从而
当时，，知在上为增函数，从而；
综上，当时，；当时.
【点睛】
关键点睛：解决问题二的关键在于利用导数得出其单调性，进而得出最值.
例26．（2022·山东·临沭县教育和体育局高二期中）已知函数是的一个极值点．
(1)求b的值；
(2)当时，求函数的最大值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）对求导，是的一个极值点，所以 ，解方程即可
（2）先利用导数求出的单调区间，再根据函数的单调性求的最大值
(1)
，
∵是的一个极值点，∴
解得．经检验，满足题意．
(2)
由（1）知：，则．
令，解得或
x




1

2


+
0
-
0
+



递增

递减

递增


∵，
∴函数的最大值为
题型四：求函数的最值（含参）
例27．（2022·北京通州·高二期中）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在区间上的最小值．
【答案】(1)在，上递增，在递减
(2)当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为．
【解析】
【分析】
（1）通过解判断的单调区间；
（2）结合（1）中函数的单调区间，讨论、两种情况，确定在区间上的单调性，可得函数在区间上的最小值．
(1)
则
令，则或
∴在，上递增，在递减
(2)
由（1）可知：在上递增，在递减
当时，在递减
∴函数在区间上的最小值为；
当时，在上递增，在递减
∴函数在区间上的最小值为．
综上所述：当时，函数在区间上的最小值为；
当时，函数在区间上的最小值为．
例28．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知函数f(x)=x-mlnx-m.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)有最小值g(m)，证明：g(m) 在上恒成立.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调区间.
（2）根据（1）的结论可得函数的最小值，再利用导数可证不等式.
(1)
函数的定义域为，且，
当时，在上恒成立，所以此时在上为增函数，
当时，由，解得，
由，解得，
所以在上为减函数，在上为增函数，
综上：当时，在上为增函数，
当时，在上为减函数，在上为增函数；
(2)
由（1）知:当时，在上为增函数，无最小值.
当时，在上上为减函数，在上为增函数，
所以，即，
则，
由，解得，
由，解得，
所以在上为增函数，在上为减函数，
所以，
即在上恒成立.
例29．（2021·江苏·高二单元测试）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求在区间上的最大值．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）求导后，分别在和的情况下，根据的正负得到函数单调性；
（2）分别在、和三种情况下，得到在上的单调性，由单调性可确定最大值点，代入可得最大值.
【详解】
（1）由题意得：定义域为，，
①当时，，在上单调递增；
②当时，令得：，
列表如下：





＋

－

递增
极大值
递减

在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，由（1）知：
①当，即时，在上单调递减，则；
②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
；
③当，即时，在上单调递增，则；
综上所述：.
题型五：根据最值求参数
例30．（2022·河北·模拟预测）已知，函数在上的最小值为1，则__________．
【答案】1
【解析】
【分析】
求函数的导数，讨论a的范围，判断函数的单调性，确定函数的最小值，令其等于1，即可求得答案.
【详解】
由题意得，
当，即时，，在上递增，
故，解得；
当，即时，当 时，，递减，
当 时，，递增，
故，解得，不符合，舍去，
综上，.
故答案为：1
例31．（2022·山西运城·模拟预测（理））已知函数，若函数在上存在最小值.则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
先利用导数判断出函数的极值点，建立不等式，即可求出的取值范围.
【详解】
，，
当时，，单调递减；当或时，，单调递增，
∴在处取得极小值，在处取得极大值.
令，解得或，
又∵函数在上存在最小值，且为开区间，
所以，解得.
即的取值范围是.
故答案为：.
例32．（2022·浙江湖州·高三期末）若函数存在最小值，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
对函数求导，可知当时，函数在上单调递增，无最小值；当时，有两个不等实根，由此可知函数的单调性，再根据函数图象趋势，结合极小值情况，进而确定最小值，由此即可求出结果.
【详解】
因为函数，所以，
当时，， ，又，
所以，所以函数在上单调递增，此时无最小值；
当时，则有两个不等实根，
设两个不等实根，
则，
所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减；
所以是函数的极小值点，
又时，，所以，
所以要使得函数存在最小值，则函数的最小值只能为，且，
即，所以，
即，解得，所以.
故答案为：.
例33．（2022·陕西·模拟预测（理））若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由导函数求得极大值，利用极大值点在区间上，且的极大值可得参数范围．
【详解】
，
或时，，时，，
所以在和上都递增，在上递减，
，
在区间上有最大值，则，解得．
故答案为：．
题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用
例34．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f（x）＝ex＋ax·sinx．
(1)求y＝f（x）在x＝0处的切线方程；
(2)当a＝－2时，设函数g（x）＝，若x0是g（x）在（0，π）上的一个极值点，求证：x0是函数g（x）在（0，π）上的唯一极小值点，且e－2