专题17 三角函数概念与诱导公式-2023年新高考数学大 二轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

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专题17 三角函数概念与诱导公式
【考点预测】
知识点一：三角函数基本概念
1．角的概念
(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；
②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是．
(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
(4)象限角的集合表示方法：

2．弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
(2)角度制和弧度制的互化：,,．
(3)扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：．
3．任意角的三角函数
(1)定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．
(2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，
三角函数的性质如下表：
三角函数
定义域
第一象限符号
第二象限符号
第三象限符号
第四象限符号


＋
＋
－
－


＋
－
－
＋


＋
－
＋
－
记忆口诀:三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦．
4．三角函数线
如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T．
三角函数线

有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线
知识点二：同角三角函数基本关系
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：．
(2)商数关系：；
知识点三：三角函数诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角






正弦






余弦






正切






口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．
【方法技巧与总结】
1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．
2．“”方程思想知一求二．


【题型归纳目录】
题型一：终边相同的角的集合的表示与区别
题型二：等分角的象限问题
题型三：弧长与扇形面积公式的计算
题型四：三角函数定义题
题型五：象限符号与坐标轴角的三角函数值
题型六：同角求值—条件中出现的角和结论中出现的角是相同的
题型七：诱导求值与变形
【典例例题】
题型一：终边相同的角的集合的表示与区别
例1．（2022·全国·高三专题练习）与角的终边相同的角的表达式中，正确的是（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】
【分析】
要写出与的终边相同的角，只要在该角上加的整数倍即可．
【详解】
首先角度制与弧度制不能混用，所以选项AB错误；
又与的终边相同的角可以写成，
所以正确．
故选：．
例2．（2022·全国·高三专题练习）若角的终边在直线上，则角的取值集合为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据若终边相同，则求解.
【详解】
解：
，由图知，
角的取值集合为:

故选：D.
【点睛】
本题主要考查终边相同的角，还考查了集合的运算能力，属于基础题.
例3．（2022·上海市嘉定区第二中学高一阶段练习）设集合，集合，则（       ）
A． B． Ü C． Ü D．
【答案】D
【解析】
【分析】
考虑中角的终边的位置，再考虑中角的终边的位置，从而可得两个集合的关系.
【详解】
. 表示终边在直线上的角，
表示终边在直线上的角，
而 表示终边在四条射线上的角，   
四条射线分别是射线 ，   
它们构成直线、直线，故.
故选：D.
【点睛】
本题考查终边相同的角，注意的终边与 的终边的关系是重合或互为反向延长线，而的终边与 的终边的关系是重合或互为反向延长线或相互垂直，本题属于中档题.
（多选题）例4．（2022·全国·高三专题练习）如果角与角的终边相同，角与的终边相同，那么的可能值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
根据终边相同可得角与角之间的关系，从而可得的代数形式，故可得正确的选项.
【详解】
因为角与角的终边相同，故，其中，
同理，其中，
故，其中，
当或时，或，故AC正确，
令，此方程无整数解；
令即，此方程无整数解；
故BD错误.
故选：AC.
（多选题）例5．（2022·全国·高三专题练习）下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据和的终边关于轴对称时，逐一判断正误即可.
【详解】
根据和的终边关于轴对称时可知，
选项B中，符合题意；选项D中，符合题意；
选项AC中，可取时显然可见和的终边不关于轴对称.
故选：BD.
例6．（2022·全国·高三专题练习）写出两个与终边相同的角___________．
【答案】，(其他正确答案也可)
【解析】
【分析】
利用终边相同的角的定义求解.
【详解】
设是与终边相同的角，
则，
令，得，
令，得，
故答案为：，(其他正确答案也可)
【方法技巧与总结】
（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决．
（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角．
题型二：等分角的象限问题
例7．（2022·浙江·高三专题练习）若，则的终边在（       ）
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
分和讨论可得角的终边所在的象限.
【详解】
解：因为，所以
当时，，其终边在第三象限；
当时，，其终边在第一象限.
综上，的终边在第一、三象限.
故选：A.
例8．（2022·全国·高三专题练习（理））角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意知，，，即可得的范围，讨论、、对应的终边位置即可.
【详解】
∵角的终边在第一象限，
∴，，则，，
当时，此时的终边落在第一象限，
当时，此时的终边落在第二象限，
当时，此时的终边落在第三象限，
综上，角的终边不可能落在第四象限，
故选：D.
例9．（2022·全国·高三专题练习）θ是第二象限角，则下列选项中一定为负值的是（       ）
A．sin B．cos C．sin 2θ D．cos 2θ
【答案】C
【解析】
表示出第二象限角的范围，求出和所在象限，确定函数值的符号．
【详解】
因为θ是第二象限角，
所以，
则，
所以2θ为第三或第四象限角或终边在轴负半轴上，，所以sin 2θ