专题22 平面向量的数量积及其应用-2023年新高考数学大 二轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

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一．平面向量的数量积
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），
记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．
（2）平面向量数量积的几何意义
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．
②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．
二．数量积的运算律
已知向量、、和实数，则：
①；
②；
③．
三．数量积的性质
设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则
①．②．
③当与同向时，；当与反向时，．
特别地，或．
④．⑤．
四．数量积的坐标运算
已知非零向量，，为向量、的夹角．
五、向量中的易错点
（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且.
（2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有.
当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但.
（3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项.
（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当且（或，且
【方法技巧与总结】
(1)在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．
(2)数量积的运算要注意时，，但时不能得到或，因为时，也有．
(3)根据平面向量数量积的性质：，，等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．
(4)若、、是实数，则()；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量、、满足（），则不一定有，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．
(5)数量积运算不适合结合律，即，这是由于表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线，因此与不一定相等．
【题型归纳目录】
题型一：平面向量的数量积运算
题型二：平面向量的夹角
题型三：平面向量的模长
题型四：平面向量的投影、投影向量
题型五：平面向量的垂直问题
题型六：建立坐标系解决向量问题
【典例例题】
题型一：平面向量的数量积运算
例1．（2022·全国·模拟预测（理））在中，，为的外心，，，则（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设的中点为D,E，将，变为，根据数量积的几何意义可得，同理求得，根据数量积的定义即可求得答案.
【详解】
如图，设的中点为D,E，连接OD,OE,则 ,
故，即 ,
即，故,
，即 ,
即，故,
故,
故选：B
例2．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知是斜边上的高，，点M在线段上，满足，则（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
由结合数量积的运算可得，由是斜边上的高，，可得，然后对化简可求得结果
【详解】
因为是斜边上的高，
所以,,
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以
,
故选：A
例3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】
解：∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
例4．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））如图，正六边形ABCDEF中，，点P是正六边形ABCDEF的中心，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】
找到向量的模长和夹角，带入向量的数量积公式即可.
【详解】
在正六边形中，点P是正六边形ABCDEF的中心，
，且,
.
故答案为：2.
例5．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））已知向量满足，则_________．
【答案】3
【解析】
【分析】
由，得，两边平方化简可得答案
【详解】
由，得，
两边平方，得，
因为，
所以，得.
故答案为：.
例6．（2022·陕西·模拟预测（理））已知向量，，若，则__________
【答案】或##或.
【解析】
【分析】
由向量模长坐标运算可求得，由向量数量积的坐标运算可求得结果.
【详解】
，，解得：或；
当时，，；当时，，；
或.
故答案为：或.
例7．（2022·上海徐汇·二模）在中，已知，，，若点是所在平面上一点，且满足，，则实数的值为______________．
【答案】或
【解析】
【分析】
根据平面向量的线性运算法则，分别把用表示出来，再用建立方程，解出的值.
【详解】
由，得，即，
，
在中，已知，，，
所以
，
即，解得或
所以实数的值为或.
故答案为：或.
例8．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））已知在平行四边形中，，则值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由向量加法的几何意义及数量积运算律有，再由结合数量积运算律，即可得结果.
【详解】
由题设可得如下图：，而，
所以，
又，
所以，则，
故，可得，即.
故答案为：
例9．（2022·福建省福州第一中学三模）过点的直线与交于A，B两点，当M为线段中点时，___________.
【答案】-8
【解析】
【分析】
由题意可得在内，又由M为线段中点，由两点间距离公式得＝,进而求得，再由向量的数量积公式计算即可得答案.
【详解】
解：因为点在内，
所以当M为线段中点时，，
又因为的半径为4,＝,
所以，
所以，
所以，＝.
故答案为：-8.
例10．（2022·全国·模拟预测（理））已知向量与不共线，且，，若，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由得，由得，即可求解结果．
【详解】
由得
由得，所以
则
故答案为：
例11．（2022·全国·高三专题练习（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】
设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．
【详解】
解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
例12．（2022·江苏·徐州市第七中学模拟预测）如图是第24届国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH组成的．若大正方形的边长为，E为线段BF的中点，则______．
【答案】4
【解析】
【分析】
利用数量积的几何意义求解.
【详解】
解：如图所示：
设，由题可得，
所以，
解得．
过F作BC的垂线，垂足设为Q，
故，
故答案为：4．
【方法技巧与总结】
（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路．
（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．
（3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量在向量方向上的投影为．
（4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）
同：；；公式都可通用
异：整式：，仅仅表示数；向量：（为与的夹角）
，使用范围广泛，通常是求模或者夹角．
，通常是求最值的时候用．
题型二：平面向量的夹角
例13．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））已知非零向量，满足，，则与夹角为______．
【答案】##
【解析】
【分析】
根据已知求出，，即得解.
【详解】
解：因为，所以.
因为，所以，
所以.
设与夹角为，所以.
因为，所以.
例14．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知向量，向量，且，则向量的夹角为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】
由两边平方，结合数量积的定义和性质化简可求向量的夹角
【详解】
因为，所以
因为，
所以，又，
所以，所以，
向量的夹角为,则
所以，则.
故答案为：.
例15．（2022·湖北武汉·模拟预测）两不共线的向量，，满足，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由两边平方后整理得一元二次不等式，根据一元二次函数的性质可判断，整理后可知只能为0，即可解得答案.
【详解】
解：由题意得：
，
，
即
，
，即
故选：C
例16．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知向量，，若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出的坐标，求得当与共线时，根据向量与向量的夹角为钝角,列出相应的不等式，求得答案.
【详解】
因为，又与的夹角为钝角，
当与共线时， ，
所以且与的不共线，即且，
所以，
故选：D．
例17．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知向量，，则与夹角的余弦值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
化简向量，根据向量的模的公式，数量积公式和向量的夹角公式求解.
【详解】
由知，故，，，记与的夹角为，则．
故答案为：.
例18．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】
解：,,即,解得,
故选：C
例19．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知非零向量、满足，，则向量与向量夹角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据，设，，根据求出，再根据平面向量的夹角公式计算可得解.
【详解】
因为，所以可设，，则，，
因为，所以，即.
则，
故选：A.
例20．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据数量积的运算律及夹角公式计算可得；
【详解】
解：因为，为单位向量，所以，
又，所以，即，
所以，即，所以，
所以，因为，所以；
故选：C
例21．（2022·北京市大兴区兴华中学三模）已知为单位向量，向量，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据已知条件求出和，然后利用向量的夹角公式可求出结果
【详解】
因为为单位向量，向量，且，
所以，
，
所以，
因为，
所以，
故选：B
例22．（2022·全国·模拟预测（理））已知平面向量与互相垂直，模长之比为2：1，若，则与的夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用向量与互相垂直，模长之比为2：1，利用数量积求得向量的模长及数量积，然后利用平面向量夹角公式求得结果.
【详解】
平面向量与互相垂直，模长之比为2：1，则且，得，又，则，将平方得，解得，,则，设与的夹角为，则，
故选：A.
例23．（多选题）（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知单位向量的夹角为,则以下说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．与可以作为平面内的一组基底
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据向量的模的公式，数量积的运算，向量的夹角公式，判断向量共线的条件逐项验证即可
【详解】
据题意
因为
所以,所以对
因为,所以,所以对.
因为
所以,所以错
因为与不共线,所以可以作为平面内的一组基底,所以正确
故选：ABD
例24．（多选题）（2022·江苏·模拟预测）已知向量，，，，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为
D．若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示判断A，利用向量坐标的表示可判断B，利用向量的模长的坐标公式及二次函数的性质可判断C，利用向量数量积的坐标表示及向量共线的坐标表示可判断D.
【详解】
对于A，因为，，，所以，解得，所以A正确.
对于B，由，得，
则解得，故，所以B正确.
对于C，因为，
所以，
则当时，取得最小值，为，所以C正确.
对于D，因为，，向量与向量的夹角为锐角，
所以，解得；
当向量与向量共线时，，解得，
所以的取值范围是，所以D不正确.
故选：ABC.
例25．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））已知，是单位向量，，，若，则，的夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可.
【详解】
由题意知，
，
即，所以.
故选：D.
例26．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））非零向量满足，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据给定条件，求出，再利用向量夹角公式计算作答.
【详解】
由得：，即，解得，
因此，，而，解得，
所以与的夹角为.
故选：B
例27．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知向量，为单位向量，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题干条件平方得到，从而得到，得到与的夹角.
【详解】
由，两边平方可得：
，
因为向量，为单位向量，
所以，即.
因为，所以，即与的夹角为.
故选：C
【方法技巧与总结】
求夹角，用数量积，由得，进而求得向量的夹角.
题型三：平面向量的模长
例28．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）已知向量、、满足，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知条件可得出，根据平面向量的数量积可求得、的值，结合平面向量的数量积可求得的值.
【详解】
由已知可得，则，
即，
因为，则，所以，，，
因此，，故.
故答案为：.
例29．（2022·辽宁沈阳·三模）已知平面向量满足，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意得，直接平方即得结果.
【详解】
由可得，两边同时平方得，
，，解得.
故答案为：.
例30．（2022·全国·高三专题练习（文））已知向量，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
先求得，然后求得.
【详解】
因为，所以.
故选：D
例31．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）已知 与为单位向量，且⊥，向量满足，则||的可能取值有（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，由向量的坐标计算公式可得，进而由向量模的计算公式可得，分析可得在以为圆心，半径为2的圆上，结合点与圆的位置关系分析可得答案．
【详解】
根据题意，设，，，
以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴的正方向建立坐标系，
则，，设，则，
若，则有，
则在以为圆心，半径为2的圆上，
设为点，则，则有，
即，
则的取值范围为；
故选：D．
例32．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
由求解.
【详解】
解：因为，，且与的夹角为，
所以，
，
故选：C
例33．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知非零向量，的夹角为，，则___________.
【答案】2
【解析】
【分析】
由平面向量的数量积的运算性质求解即可
【详解】
由得，
解得.
故答案为：2
例34．（2022·全国·高三专题练习）已知三个非零平面向量，，两两夹角相等，且，，，求．
【答案】或9
【解析】
【分析】
由三个非零平面向量，，两两夹角相等得 或，再分别计算求解即可
【详解】
因为三个非零平面向量，，两两夹角相等，所以或 ．当时，．
当，即，，共线时．
．
故答案为：或9
例35．（2022·全国·高三专题练习）已知，，与的夹角为，求及的值．
【答案】，.
【解析】
【分析】
利用向量数量积定义可求得，由向量数量积的运算律可求得和，由此可得结果.
【详解】
，
，，
，.
例36．（2022·福建泉州·模拟预测）已知向量,，若的夹角为，则=___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据平面向量的夹角公式可求出结果.
【详解】
由,得,得.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
求模长，用平方，.
题型四：平面向量的投影、投影向量
例37．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））设，是两个非零向量，，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，则叫做向量在向量上的投影向量.如下图，已知扇形的半径为1，以为坐标原点建立平面直角坐标系，，，则弧的中点的坐标为________；向量在上的投影向量为________ .
【答案】
【解析】
【分析】
由已知，根据给到的，先求解与的夹角，然后再利用点是弧的中点，即可求解出，从而求解点的坐标；根据前面求解出的点的坐标，写出和，先计算向量在上的投影，然后根据即可写出向量在上的投影向量.
【详解】
由已知，，，所以，
所以，因为点为弧的中点，所以，
扇形的半径为1，所以弧满足的曲线参数方程为，
所以中点的坐标为，所以的坐标为，，，
向量在上的投影为，
因为，所以向量在上的投影向量为.
故答案为：；
例38．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知向量，则在方向上的投影为_________
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量数量积性质和向量投影定义求解即可．
【详解】
因为，，所以，，
因为，所以，所以，
所以在方向上的投影为，
故答案为：．
例39．（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））已知向量，，且在上的投影等于，则___________.
【答案】4
【解析】
【分析】
根据投影定义直接计算可得，注意数量积符号.
【详解】
因为在上的投影等于，即
所以，且，解得.
故答案为：4
例40．（2022·江苏淮安·模拟预测）已知，在上的投影为1，则在上的投影为（ ）
A．-1B．2C．3D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用在上的投影为1求出，然后可求在上的投影.
【详解】
因为，在上的投影为1，所以，即；
所以在上的投影为；
故选：C.
例41．（2022·四川成都·三模（理））在中，已知，，，则向量在方向上的投影为（ ）．
A．B．2C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用三角形内角和及正弦定理求得、，再根据向量投影的定义求结果.
【详解】
由题设，则，可得，
所以向量在方向上的投影为.
故选：C
例42．（2022·广西桂林·二模（文））已知向量，则在方向上的投影为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量的投影公式直接计算即可．
【详解】
向量，则在方向上的投影为，
故选：B．
例43．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））非零向量，，满足，与的夹角为，，则在上的正射影的数量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用垂直的向量表示，再利用正射影的数量的意义计算作答.
【详解】
非零向量，，满足，则，即，又与的夹角为，，
所以在上的正射影的数量.
故选：D
例44．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知单位向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据投影向量公式，即可求解.
【详解】
，因为，所以，
所以在方向上的投影向量为.
故选：A
例45．（2022·海南华侨中学模拟预测）已知平面向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用投影向量的定义求解.
【详解】
解：因为平面向量，的夹角为，且，，
所以在方向上的投影向量为 ，
故选：C
题型五：平面向量的垂直问题
例46．（2022·海南海口·二模）已知向量，的夹角为45°，，且，若，则______．
【答案】-2
【解析】
【分析】
先利用数量积的运算求解，再利用向量垂直数量积为0即可求解.
【详解】
因为得，
又因为，
所以，所以．
故答案为：-2.
例47．（2022·广东茂名·二模）已知向量（t，2t），＝（﹣t，1），若（﹣）⊥（+），则t＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】
由（﹣）⊥（+），由垂直向量的坐标运算可得出，再由模长的公式即可求出.
【详解】
因为（﹣）⊥（+），所以，
所以，则，所以，所以.
故答案为：．
例48．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））已知向量，，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量的坐标运算和数量积的坐标运算即可求解.
【详解】
，所以
故答案为：
例49．（2022·河南开封·模拟预测（理））已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由向量垂直及数量积的运算律可得，结合已知即可求m的值.
【详解】
由题意，
又与的夹角为且为单位向量，
所以，可得.
故选：A
例50．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知向量，其中，若，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算坐标表示公式、特殊角的三角函数值进行求解即可.
【详解】
因为，所以，即，
因为，所以，因此，
所以，
故答案为：
例51．（2022·全国·模拟预测（文））设向量，，若，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由平面向量数量积的坐标运算求解
【详解】
，由题意得，即，得
.
故答案为：
【方法技巧与总结】

题型六：建立坐标系解决向量问题
例52．（2022·山东淄博·三模）如图在中，，为中点，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，利用坐标法求出平面向量的数量积；
【详解】
解：建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，
又，，，
则，
即，即，
则，
则，，
则；
故选：C．
例53．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））在边长为2的正方形中，是的中点，则（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
建立直角坐标系，用向量法即可
【详解】
在平面直角坐标系中以为原点，所在直线为轴建立坐标系，则，，，，所以，
故选：A
例54．（2022·江苏·模拟预测）如图，在平面四边形中，，分别为，的中点，，，，若，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意得分别求出和的坐标，再分别求出和的坐标，，再利用数量积坐标运算求解即可.
【详解】
根据题意得：，,
因为，分别为，的中点，所以，，
所以，又，即，解得.
故选：D.
例55．（2022·四川南充·三模（理））在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解.
【详解】
解：建立如图直角坐标系，则,
得,
所以，
故选：D.
例56．（多选题）（2022·山东聊城·三模）在平面四边形中，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据所给的条件，判断出四边形内部的几何关系即可.
【详解】
因为，，可得，
所以为等边三角形，则 ，故A正确；
因为，所以，又，所以 ，
得，
所以，则，故B正确；
根据以上分析作图如下：
由于与不平行，故C错误；
建立如上图所示的平面直角坐标系，
则，，，
，，
所以，故D正确；
故选：ABD.
例57．（多选题）（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知向量满足，则可能成立的结果为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
不妨设，动点A在以原点为圆心2为半径的圆O上，动点B在以C为圆心，1为半径的圆上，利用坐标法，即可求解.
【详解】
对于选项A、B，由题意，，，设，，，
不妨设，如图，
动点A在以原点为圆心2为半径的圆O上，动点B在以C为圆心，1为半径的圆上，且满足，
圆C方程是
当B在圆C上运动时，由，得，当且仅当O，A，B三点共线时取等号，又由图易知，
即，故选项A不满足，选项B满足；
对于选项C、D，设，则，
由，解得，，
又即
，选项C，D满足.
故选：BCD
例58．（多选题）（2022·湖南·长郡中学模拟预测）如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，其平面图形记为图乙中的正八边形，其中，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
分别以所在的直线为轴和轴，建立的平面直角坐标系，作，结合向量的坐标运算，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，分别以所在的直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为正八边形，所以
，
作，则，
因为，所以，所以，
同理可得其余各点坐标，，，，，，
对于A中，，故A正确；
对于B中，，故B正确；
对于C中，，，，
所以，故C正确；
对于D中，，，，
，故D不正确.
故选：ABC.
例59．（2022·江苏南京·模拟预测）在中，，，，为的重心，在边上，且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据为的重心，得到，再由和，利用等面积法求得，进而得到，方法一：利用基底法求解；方法二：以坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.
【详解】
解：因为为的重心，
所以，
因为，
所以，则，
因为，所以，
即，
所以，
在中，．
方法一：因为，
，
所以，
．
方法二：以坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，
则，，
由方法一可知，，
所以．
例60．（2022·北京·北大附中三模）已知正方形的边长为是的中点，点满足，则___________；___________.
【答案】
【解析】
【详解】
解：以A为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，
所以，，
设，所以，
因为，所以，所以，
又，所以.
故答案为：；10.
例61．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学模拟预测）如图，在菱形中，，，E，F分别为，上的点，，，若线段上存在一点M，使得，则__________，若点N为线段上一个动点，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
以菱形的对角线为在不在建立平面直角坐标系，通过坐标运算先求M坐标然后可得，再用坐标表示出，由二次函数性质可得所求范围.
【详解】
因为为菱形，所以，以BD、AC所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，
因为，，所以
则，设
因为，所以
解得，所以
又
所以
因为，所以当时，有最小值，
当时，有最大值，
所以的取值范围为
故答案为：，
【方法技巧与总结】

边长为的等边三角形 已知夹角的任意三角形 正方形 矩形
平行四边形 直角梯形 等腰梯形 圆
建系必备（1）三角函数知识；（2）向量三点共线知识．
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·山东潍坊·模拟预测）定义：，其中为向量与的夹角．若，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由向量数量积定义可构造方程求得，由此可得，根据可求得结果.
【详解】
，，又，，
.
故选：D.
2．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知中，，，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算法则，得到，再利用向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】
如图所示，根据向量的线性运算法则，可得，
因为，且为的中点，可得，所以，
又因为点D，E分别是边AB，BC的中点，且，所以，
则.
故选：B.
3．（2022·江苏·扬州中学模拟预测）已知向量，，若，则（ ）
A．B．2C．8D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量平行的条件及向量的摸的坐表示即可求解.
【详解】
由，，，得，解得.
所以，所以.
故选：A.
4．（2022·北京·潞河中学三模）已知菱形的边长为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将分别用表示，再根据数量积的运算律即可得出答案.
【详解】
解：，
则.
故选：A.
5．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））若向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据数量积的运算律得到，再根据计算可得；
【详解】
解：因为，，，所以，
即，所以，设与的夹角为，
则，因为，所以；
故选：B
6．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））若，，下列正确的是（ ）
A．B．
C．方向上的投影是D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量平行的坐标表示判断A，根据向量垂直的坐标表示判断BC，根据向量的投影的定义判断C.
【详解】
由已知，，
所以，，
因为，所以不平行，A错，
因为，所以不垂直，B错，
因为方向上的投影为，C对，
因为，所以不垂直，D错，
故选：C.
7．（2022·江苏苏州·模拟预测）在中，，点D在线段上，点E在线段上，且满足，交于F，设，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平面共线向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量数量积的定义、平面向量的加法的几何意义进行求解即可.
【详解】
设，，因为
所以有，
因此，
因为，，，
所以，
故选：B
8．（2022·全国·二模（理））已知向量，，，若满足，，则向量的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量共线的坐标表示及向量垂直的坐标表示，联立方程组求解即可得答案.
【详解】
解：因为向量，，，
所以，
又，，
所以，解得，
所以向量的坐标为，
故选：D.
9．（2022·山东济南·三模）已知单位向量、、，满足，则向量和的夹角为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将两边平方再根据向量数量积的运算法则即可求解．
【详解】
∵，∴，
∴，
∴，
∴，
∵，∴．
故选：A．
10．（2022·河北邯郸·二模）若向量，满足，，且，则向量与夹角的余弦值为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可.
【详解】
因为，且，
所以，
因为，
所以向量与夹角的余弦值为，
故选：D
11．（2022·全国·模拟预测）已知平面向量，，若，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据解得，再结合平面向量的夹角公式计算即可
【详解】
由可得，即，解得，
所以，，则
又
所以与的夹角为
故选：B.
12．（2022·河南安阳·模拟预测（理））如图，在等腰直角中，斜边，M为AB的中点，D为AC的中点．将线段AC绕着点D旋转得到线段EF，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由，结合即可求解.
【详解】
易得，D为线段EF中点，则，，
，，则，
又，则.
故选：D.
13．（2022·河南安阳·模拟预测（文））在中，点D在边上，且，若，则（ ）
A．B．3C．2D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
先用表示出，再由求得，即可求解.
【详解】
由题意知：，
则，
即，则，即.
故选：B.
14．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知△ABC中，，AB=4，AC=6，且，，则（ ）
A．12B．14C．16D．18
【答案】B
【解析】
【分析】
以，为基底表示，再与求数量积即可．
【详解】
解：，
且
所以：．
故选：B.
二、多选题
15．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知平面向量，且，满足，若﹐则可能的取值为（ ）
A．4B．8C．12D．16
【答案】CD
【解析】
【分析】
因为，且，所以不妨设，，然后设．由，得点位置（轨迹），分类讨论求出的范围，得出正确选项．
【详解】
因为，且，所以不妨设，，如图，设．
因为， 则点在轴负半轴或射线上（不含原点），，，
显然当在在轴负半轴的点时，，不满足，
因此满足的点在射线上（不含原点），
由得，
即，所以，，
只有CD满足．
故选：CD．
16．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知,,其中，则以下结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则或
C．若，则
D．若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】
对于A，由得，得或或，故A不正确；
对于B，由得，得或，故B正确；
对于C，根据平面向量数量积的运算律求出，故C正确；
对于D，根据平面向量数量积的运算律求出，故D正确.
【详解】
对于A，若，则，则，
因为，所以，则或或，故A不正确；
对于B，若，则，则，
因为，所以，所以或，
所以或，故B正确；
对于C，，则
，故C正确；
对于D，若，则，则，则，即，所以，故D正确.
故选：BCD.
17．（2022·全国·高三专题练习）已知为非零平面向量，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．若，则D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
A．利用平面向量的数量积运算判断；B.利用平面向量共线定理判断；C.利用平面向量数量积的运算律判断；D.利用平面向量的共线定理判断.
【详解】
A. 因为，所以，则，故正确；
B. 若为非零平面向量，且，由共线向量定理知：，故正确；
C.若，则，则，故错误；
D. 与共线，与共线，故错误；
故选：AB
18．（2022·全国·模拟预测）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．的最小值为7D．若，则与的夹角为钝角
【答案】AC
【解析】
【分析】
通过计算得到选项A正确，选项B错误；，所以选项C正确；当时，，与的夹角不为钝角，故选项D错误．
【详解】
解： 若，则，解得，故选项A正确；
若，则，解得或，故选项B错误；
由题得，故，当且仅当时取得最小值，故选项C正确；
当时，，与的夹角不为钝角，故选项D错误．
故选：AC．
19．（2022·辽宁·东北育才学校二模）对于非零向量，，定义运算“”，.已知两两不共线的三个向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．
C．D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
A. 由运算“”，求解判断； B.举例求解判断； C.设的夹角为，则的夹角为，由运算“”，求解判断；D.举例，由运算“”，求解判断；
【详解】
A. 因为，所以，则，故正确；
B. 若，则，所以，故错误；
C.设的夹角为，则的夹角为，
所以，则，故正确；
D. 若，则，所以 ，故错误；
故选：AC
20．（2022·山东日照·模拟预测）已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P．已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点，逆时针旋转，后分别得到点，则（ ）
A．B．
C．D．点的坐标为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用题目中的新定义和向量的坐标运算可得到各个点的坐标，以及各个向量的坐标，然后对各个选项进行计算检验即可.
【详解】
点，点，,把点B绕点A沿顺时针方向旋转(即按逆时针方向旋转 ) 后得到点，,可得，故D正确；
把点B绕点A沿逆时针旋转后得到点,
,可得
，故A正确；
把点B绕点A沿逆时针旋转后得到点,
,
即，故B正确；
C. ,
，即，故C错误；
故选：ABD
21．（2022·河北·高三阶段练习）若平面向量，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则或
D．若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】
对于A，利用向量平行的坐标表示及两角差的正弦公式逆用，再结合三角函数值求对应的角即可判断；
对于B，利用向量垂直的坐标表示及同角三角函数的商数关系，再结合三角函数值求对应的角即可判断；
对于C，利用向量的摸公式及已知条件得出与的夹角，再利用向量的夹角公式，再结合三角函数值求对应的角即可判断；
对于D，利用向量的摸公式，得出，利用向量垂直的坐标表示及两角差的余弦弦公式逆用，再结合三角函数值求对应的角即可判断；
【详解】
对于A，若，则，即，可得，故A正确；
对于B，若，即，即可得，故B不正确；
对于C,因为，所以
，即与的夹角应该为，
，即
，即，
于是有所以或，故C正确；
对于D，由，得与的夹角为，即，
所以，即，可得，故D正确.
故选:ACD．
22．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2且，M为边CD的中点，则（ ）
A．B．
C．6D．在上投影向量的模为2
【答案】BC
【解析】
【分析】
由向量的线性运算判断AB，由向量的数量积的定义结合余弦定理判断C，根据向量数量积的几何意义判断D．
【详解】
所以A错，
，所以B对；
，
利用余弦定理求得：，
，，所以C对；
在上投影向量的模为，所以D错.
故选：BC．
三、填空题
23．（2022·全国·模拟预测）已知向量，，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
首先求出的坐标，然后可算出答案.
【详解】
因为，，所以，
因为，所以，解得，
故答案为：
24．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））已知向量若则__________.
【答案】##1.5
【解析】
【分析】
由向量的垂直的坐标表示求，再计算即可.
【详解】
由，，
得，则，
所以
所以.
故答案为：.
25．（2022·河北·沧县中学模拟预测）已知向量的夹角为，，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据求解即可.
【详解】
，
则，
则．
故答案为：
26．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））设为非零向量，且，则，的夹角为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】
由||两边平方化简分析即可
【详解】
由，平方得到，即，所以，夹角为
故答案为：.
27．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）已知半径为R的圆O内有一条长度为2的弦AB，则_______．
【答案】-2
【解析】
【分析】
设设M为弦AB的中点，连接OM,，将转化为，利用数量积的定义可求得答案.
【详解】
设M为弦AB的中点，连接OM,则 ,
故
，
故答案为：
28．（2022·河南·模拟预测（文））若向量满足，则与的夹角为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】
求得向量的模，求出向量的数量积，根据向量的夹角公司求得答案.
【详解】
设与的夹角为，由题意可知，
所以，故，
故答案为：
29．（2022·海南省直辖县级单位·三模）已知平面向量，满足，且，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据已知结合数量积的运算法则求得，再利用向量模的计算求得答案.
【详解】
由得：，
故，
故答案为：
30．（2022·河北·高三期中）如图，在等腰直角中，斜边，M为AB的中点，D为AC的中点，将线段AC绕着点D旋转得到线段EF，则_____________．
【答案】##
【解析】
【分析】
根据题意，，，利用向量的数量积运算即可求解.
【详解】
连接MD，由于为等腰直角三角形，
因此MD=BC=，
，
故答案为：.
结论
几何表示
坐标表示
模
数量积
夹角
的充要
条件
的充要
条件
与
的关系
(当且仅当时等号成立)