数学九年级上册2.2 圆的对称性精练

这是一份数学九年级上册2.2 圆的对称性精练，共14页。
2022-2023学年苏科版九年级数学上《2.2圆的对称性》强化提优训练（二）
（时间：90分钟 满分：120分）

一．选择题(30分）
1．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（　　）
A．2 B．2 C．2 D．4

第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
2．如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为何？（　　）
A．﹣2 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣7
3．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　）
A．4 B． C． D．
4．如图，矩形ABCD是由边长为1的五个小正方形拼成，O是第2个小正方形的中心，将矩形ABCD绕O点逆时针旋转90°得矩形A′B′C′D′，现用一个最小的圆覆盖这个图形，则这个圆的半径是（　　）
A． B． C． D．
5．如图是由三个大小相同的正方形组成的“品”字型轴对称图案，测得顶点A，B之间的距离为5．现用一个半径为r的圆形纸片将其完全覆盖，则r的最小值是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，AB为⊙O的直径，AB＝10，C，D为⊙O上两动点（C，D不与A，B重合），且CD为定长，CE⊥AB于E，M是CD的中点，则EM的最大值为（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．6

第6题图 第8题图 第9题图 第10题图
7．已知⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB＝8，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（　　）
A．2 B．4 C．2或4 D．2或4
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最大值为（　　）
A．2 B．5 C．6 D．7
9．如图，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中点C，D，E在AB上，点F，N在半圆上．若半圆O的半径为10，则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是（　　）
A．25 B．50 C．100 D．150
10．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
二．填空题(30分)
11．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4，则球的半径长是________.

第11题图 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
12．如图，点A、B是在⊙O上的定点、P是在⊙O上的动点，要使△ABP为等腰三角形，则所有符合条件的点P有____个.
13．如图，AB和BC是⊙O的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，若，，则CD的长为_________.
14．如图，等腰△ABC的顶角∠CAB为50°，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则的度数为_________.
15．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG＝MN，∠A＝50°，则∠BOC＝_______.
16．如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在上，且不与点M，N重合，数学学习小组在探究时得出以下结论：①PB+PA是定值；②当点P是的中点时，四边形PAOB是正方形；③当点P在上移动时，矩形PAOB的大小随之变化，但AB的长度不变；④连接MP，PN，若＝2，则MP＝2PN．以上结论正确的序号是__________.

第16题图 第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
17．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，且点A的坐标为（﹣2，0），D为第一象限内⊙O上的一点，若∠OCD＝75°，则AD＝　 　．
18．把一个球放入长方体纸盒，球的一部分露出盒外，球与纸盒内壁都刚好相切，其截面如图所示，若露出部分的高度为6cm，AF＝DE＝3cm，则这个球的半径是 　 　cm．
19．如图，已知AB是⊙O的直径，且AB＝10cm，弦CD⊥AB于点P，CD＝8cm，则AP＝　 　．
20．如图，矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的两个动点，将△BEF沿着直线EF作轴对称变换，得到△B′EF，点B′恰好在边AD上，过点D，F，B′作⊙O，连结OF．若OF⊥BC，AB′＝CF＝3时，则AE＝　 　．

三。解答题（60分）
21．（6分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，书中记载：“今有中，不知大小．以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问经几何？”其意思为：“如图，今有一圆形木材在墙中，不知其大小用锯子去锯这个木材，锯口深DE＝1寸，锯道长AB＝10寸，问这块圆形木材的直径是多少？”

22．（8分）诗句“君到姑苏见，人家尽枕河”所描绘的就是有东方威尼斯之称的水城苏州．小勇要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m．
（1）请你帮助小勇求此圆弧形拱桥的半径；
（2）小勇在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．




23．（8分）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：
（1）拱桥所在的圆的半径；
（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．




24．（8分）如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．




25（8分）．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．
（1）求证：AC＝CG；
（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．




26．（10分）如图，在半径为2的扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C是上的一个动点（不与点A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E．
（1）当BC＝2时，求线段OD的长和∠BOD的度数；
（2）在△DOE中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
（3）在△DOE中，是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由．










27．（12分）如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣3，0），C（，0）．
（1）求⊙M的半径；
（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH＝FH．
（3）在（2）的条件下求AF的长．









教师样卷
一．选择题(30分）
1．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（　C　）
A．2 B．2 C．2 D．4
解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，∴EG＝AG﹣AE＝2，在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，∴EG＝OG，∴△EOG是等腰直角三角形，∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，
∵∠DEB＝75°，∴∠OEF＝30°，∴OF＝OE＝，在Rt△ODF中，DF＝＝＝，∴CD＝2DF＝2；故选：C．

第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
2．如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为何？（　A　）
A．﹣2 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣7
解：连接AC，由题意得，BC＝OB+OC＝9，∵直线L通过P点且与AB垂直，∴直线L是线段AB的垂直平分线，∴AC＝BC＝9，在Rt△AOC中，AO＝＝2，∵a＜0，∴a＝﹣2，故选：A．
3．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　B　）
A．4 B． C． D．
解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC＝3，PC＝a，把x＝3代入y＝x得y＝3，∴D点坐标为（3，3），∴CD＝3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝×4＝2，在Rt△PBE中，PB＝3，∴PE＝，∴PD＝PE＝，∴a＝3+．故选：B．
4．如图，矩形ABCD是由边长为1的五个小正方形拼成，O是第2个小正方形的中心，将矩形ABCD绕O点逆时针旋转90°得矩形A′B′C′D′，现用一个最小的圆覆盖这个图形，则这个圆的半径是（　C　）
A． B． C． D．
解：如图，取A'D'的中点E，作ME⊥A'D'，取B'的中点F，作MF⊥BC'，以M为圆心，MB长为半径作⊙M，则⊙M经过点D'、B、A'、C，⊙M为整个图形最小覆盖圆，∵矩形ABCD是由边长为1的五个小正方形拼成，∴MF＝，BF＝，在Rt△BMF中，
BM＝．故选：C．
5．如图是由三个大小相同的正方形组成的“品”字型轴对称图案，测得顶点A，B之间的距离为5．现用一个半径为r的圆形纸片将其完全覆盖，则r的最小值是（　B　）
A． B． C． D．
解：如图，设BE＝x，在Rt△ACB中，AC＝2x，BC＝，
，解得，x＝2（负值舍去），∴EH＝4，DH＝1，设OE＝a，OD＝OB＝r，
，解得，r＝（负值舍去）．故选：B．
6．如图，AB为⊙O的直径，AB＝10，C，D为⊙O上两动点（C，D不与A，B重合），且CD为定长，CE⊥AB于E，M是CD的中点，则EM的最大值为（　C　）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
解：如图，延长CE交⊙O于J，连接DJ，∵CE⊥AB，∴CE＝EJ，∵M是CD的中点，
∴CM＝DM，∴EM＝DJ，∴当DJ是直径时，EM的值最大，∵⊙O的直径AB＝10，∴EM的最大值为5，故选：C．

第6题图 第8题图 第9题图 第10题图
7．已知⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB＝8，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（　C　）
A．2 B．4 C．2或4 D．2或4
解：连接OA，∵AB⊥CD，∴AM＝BM＝AB＝×8＝4，在Rt△OAM中，OA＝5，
∴OM＝＝＝3，当如图1时，CM＝OC+OM＝5+3＝8，在Rt△ACM中，AC＝＝＝4；当如图2时，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，在Rt△ACM中，AC＝＝＝2．故选：C．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最大值为（　D　）
A．2 B．5 C．6 D．7
解：连接OC如图，∵点C为弦AB的中点，∴OC⊥AB，∴∠ACO＝90°，∴点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），以OA为直径作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，当x＝0时，y＝x﹣3＝﹣3，则E（0，﹣3），当y＝0时，x﹣3＝0，
解得x＝4，则D（4，0），∴OD＝4，∴DE＝＝5，∵A（2，0），∴P（1，0），∴OP＝1，∴PD＝OD﹣OP＝3，∵∠PDH＝∠EDO，∠PHD＝∠EOD，∴△DPH∽△DEO，
∴PH：OE＝DP：DE，即PH：3＝3：5，解得PH＝，∴MP＝PH+1＝，∴S△MED＝×5×＝7，当C点与M点重合时，△CDE面积的最大值为7，故选：D．
9．如图，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中点C，D，E在AB上，点F，N在半圆上．若半圆O的半径为10，则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是（　C　）
A．25 B．50 C．100 D．150
解：连接ON，OF，设正方形CDMN的边长为a，正方形DEFG边长为b，OD＝c，则CN＝CD＝a，DE＝EF＝b，∵四边形CDMN和DEFG都是正方形，∴∠NCD＝90°，∠FED＝90°，∵半圆O的半径为10，∴ON＝OF＝10，由勾股定理得：NC2+CO2＝ON2，OE2+EF2＝OF2，∴a2+（a+c）2＝102①，b2+（b﹣c）2＝102②，①﹣②，得a2+（a+c）2﹣b2﹣（b﹣c）2＝0，（a2﹣b2）+[（a+c）2﹣（b﹣c）2）]＝0，（a+b）（a﹣b）+（a+c+b﹣c）（a+c﹣b+c）＝0，（a+b）（a﹣b）+（a+b）（a﹣b+2c）＝0，（a+b）（a﹣b+a﹣b+2c）＝0，
2（a+b）（a﹣b+c）＝0，∵a+b≠0，∴a﹣b+c＝0，即b＝a+c，把b＝a+c代入①，得a2+b2＝102＝100，即正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是100，
故选：C．
10．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（　D　）
A．6 B．7 C．8 D．9
解：连接OA，∵OC⊥AB于点C，OB＝5，OC＝3，∴BC＝＝4，∴AB＝2×4＝8，
∵AO≤AP≤AB，∴5≤AP≤8，∴AP的长度不可能是：9（答案不唯一）．
故选：D．
二．填空题(30分)
11．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4，则球的半径长是___2.5_____.
解：设球的平面投影圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，如图所示：则NF＝EN＝EF＝2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDNM是矩形，∴MN＝CD＝4，设OF＝x，则OM＝OF，∴ON＝MN﹣OM＝4﹣x，
在Rt△ONF中，由勾股定理得：ON2+NF2＝OF2，即：（4﹣x）2+22＝x2，解得：x＝2.5，
即球的半径长是2.5，故选：B．


12．如图，点A、B是在⊙O上的定点、P是在⊙O上的动点，要使△ABP为等腰三角形，则所有符合条件的点P有__4__个.
解：如图：①以AB为底边，过点O作弦AB的垂线分别交⊙O于点P1、P2，∴AP1＝BP1，AP2＝BP2，故点P1、P2即为所求．②以AB为腰，分别以点A、点B为圆心，以AB长为半径画弧，交⊙O于点P3、P4，故点P3、P4即为所求．共4个点．
13．如图，AB和BC是⊙O的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，若，，则CD的长为_________.
解：如图，在CD上截取CE＝AB，连接CM，EM，BM，AM，∵M是的中点，∴AM＝CM，又∠A＝∠C，在△ABM和△CEM中，，∴△ABM≌△CEM（SAS），∴BM＝EM，∵MD⊥BC，∴BD＝DE，∵，，∴CD＝CE+DE＝AB+BD＝2＝3．
14．如图，等腰△ABC的顶角∠CAB为50°，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则的度数为___50°______.
解：设圆心为O，连接OE、OD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC，∴∠DOE＝∠OEA，∵OA＝OE，∴∠BAC＝∠OEA，∴∠DOE＝∠BAC＝50°，即弧DE的度数为50°，
15．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG＝MN，∠A＝50°，则∠BOC＝__115°______.
解：如图，过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K，∴∠APO＝∠AQO＝90°，∵∠A＝50°，∴∠POQ＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∵DE＝FG＝MN，∴OP＝OK＝OQ，∴OB、OC平分∠ABC和∠ACB，∴∠BOC＝＝115°．
16．如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在上，且不与点M，N重合，数学学习小组在探究时得出以下结论：①PB+PA是定值；②当点P是的中点时，四边形PAOB是正方形；③当点P在上移动时，矩形PAOB的大小随之变化，但AB的长度不变；④连接MP，PN，若＝2，则MP＝2PN．以上结论正确的序号是____②③______.
解：设半径为r，连接OP，∵四边形PAOB为矩形，∴PB＝AO，∠OAP＝∠AOB＝∠OBP＝90°，当∠OPA＝30°时，在Rt△OAP中，OA＝＝，PA＝，此时PA+PB＝；当∠OPA＝45°时，在Rt△OAP中，OA＝PA＝，此时PA+PB＝；
∴PB+PA不是定值，故①不正确；∵点P是的中点，∴，∴∠AOP＝∠BOP＝45°，∴∠OPA＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∴∠AOP＝∠OPA，∴AP＝AO，∴矩形PAOB是正方形，故②正确；点P在上移动时，半径一定，且AB＝OP＝r，∴当点P在上移动时，矩形PAOB的大小随之变化，但AB的长度不变，故③正确；∵＝2，
∴∠MOP＝2∠PON，∴∠MOP＝＝60°，∠PON＝∠AOB＝30°，∵OB＝OM，
∴△OPM是等边三角形，∴MP＝OP＝r，在Rt△OBP中，∠PON＝30°，∴PB＝＜PN，
∴2PN＞r，∴2PN＞MP，故④不正确．故选②③．


17．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，且点A的坐标为（﹣2，0），D为第一象限内⊙O上的一点，若∠OCD＝75°，则AD＝　 2 　．
解：连接OD，BD．∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝75°∴∠DOC＝90°﹣150°＝30°，∴∠DOB＝90°﹣30°＝60°，∴∠DAB＝∠DOB＝30°，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵A（﹣2，0），∴OA＝OB＝2，∴AB＝4，∴AD＝2，故答案为：2．
18．把一个球放入长方体纸盒，球的一部分露出盒外，球与纸盒内壁都刚好相切，其截面如图所示，若露出部分的高度为6cm，AF＝DE＝3cm，则这个球的半径是 　15 　cm．
解：过O作OG⊥AD于G，交⊙O于H，连接OE，∴FG＝EG，∵AF＝DE＝3cm，
设半径为rcm，则OG＝（r﹣6）cm，OE＝rcm，EG＝（r﹣3）cm，根据勾股定理得，（r﹣3）2+（r﹣6）2＝r2，解得：r＝15或3（舍），故答案为：15．
19．如图，已知AB是⊙O的直径，且AB＝10cm，弦CD⊥AB于点P，CD＝8cm，则AP＝　 2cm 　．
解：连接OC．∵弦CD⊥直径AB于点P，CD＝8cm，∴PC＝PD＝CD＝×8＝4cm，在Rt△POC中，OP＝＝＝3cm，∴AP＝OA﹣OP＝5﹣3＝2cm，故答案为：2cm．
20．如图，矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的两个动点，将△BEF沿着直线EF作轴对称变换，得到△B′EF，点B′恰好在边AD上，过点D，F，B′作⊙O，连结OF．若OF⊥BC，AB′＝CF＝3时，则AE＝　 　．
解：延长FO交AD于点J，设AE＝x．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝∠A＝∠B＝90°，AD∥CB，AD＝BC，∵OF⊥BC，∴FJ⊥AD，∴∠AJF＝∠FJD＝90°，∴四边形ABFJ是矩形，四边形CDJF是矩形，∴AB＝FJ＝CD，CF＝DJ＝3，∵OJ⊥DB′，
∴DJ＝JB′＝3，∴AD＝BC＝3+3+3＝9，∴BF＝BC﹣CF＝6，由翻折的性质可知，FB＝FB′＝6，∴FJ＝＝＝3，∴AB＝JF＝3，在Rt△AEB′中，则有x2+32＝（3﹣x）2，∴x＝，∴AE＝．故答案为：．
三。解答题（60分）
21．（6分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，书中记载：“今有中，不知大小．以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问经几何？”其意思为：“如图，今有一圆形木材在墙中，不知其大小用锯子去锯这个木材，锯口深DE＝1寸，锯道长AB＝10寸，问这块圆形木材的直径是多少？”

解：如图，连接OA，由题意可知，DE＝1寸，AB＝10寸，∵AB⊥CD，CD是直径，AB＝10寸，∴（寸），设圆O的半径OA的长为x寸，则OC＝OD＝x寸，
∵DE＝1寸，∴OE＝（x﹣1）寸，在Rt△AOE中，根据勾股定理得，OA2﹣OE2＝AE2，
即x2﹣（x﹣1）2＝52，解得：x＝13（寸）所以CD＝26（寸）．答：这块圆形木材的直径为26寸．
22．（8分）诗句“君到姑苏见，人家尽枕河”所描绘的就是有东方威尼斯之称的水城苏州．小勇要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m．
（1）请你帮助小勇求此圆弧形拱桥的半径；
（2）小勇在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．

解：（1）如图，连接OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝16m，∴BD＝AB＝8（m），
又∵CD＝4m，设OB＝OC＝r，则OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+82，解得r＝10．答：此圆弧形拱桥的半径为10m．
（2）此货船不能顺利通过这座拱桥，理由如下：连接ON，∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3m，∴CE＝4﹣3＝1（m），∴OE＝r﹣CE＝10﹣1＝9（m），
在Rt△OEN中，由勾股定理得：EN＝＝＝，∴MN＝2EN＝2m＜12m．∴此货船B不能顺利通过这座拱桥．
23．（8分）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：
（1）拱桥所在的圆的半径；
（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．

解：（1）设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为xm，则OA＝OA′＝OP，
由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，∵AB＝30m，∴AM＝AB＝15（m），在Rt△AOM中，OM＝OP﹣PM＝（x﹣9）m，由勾股定理可得：AO2＝OM2+AM2，
即x2＝（x﹣9）2+152，解得：x＝17，即拱桥所在的圆的半径为17m；
（2）∵OP＝17m，∴ON＝OP﹣PN＝17﹣2＝15（m），在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N＝＝＝8（m），∴A′B′＝2A'N＝16米＞15m，
∴不需要采取紧急措施．
24．（8分）如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．

解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，
则BC＝AB＝1.6（米），设⊙O的半径为R，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，∴R2＝（R﹣0.8）2+1.62，解得R＝2，即该圆弧所在圆的半径为2米；
（2）过O作OH⊥FE于H，则OH＝CE＝1.6﹣0.4＝1.2＝（米），OF＝2米，在Rt△OHF中，HF＝＝＝1.6（米），∵HE＝OC＝OD﹣CD＝2﹣0.8＝1.2（米），
∴EF＝HF﹣HE＝1.6﹣1.2＝0.4（米），即支撑杆EF的高度为0.4米．
25（8分）．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．
（1）求证：AC＝CG；
（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．

【答案】（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，∴∠DEB＝∠BFG＝90°，∵∠DBE＝∠GBF，
∴∠D＝∠G，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠G，∴AC＝CG；
（2）解：连接OC，如图，设⊙O的半径为r．∵CA＝CG，CD⊥AB，∴AE＝EG＝8，EC＝ED＝4，∴OE＝AE﹣OA＝8﹣r，在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，∴r2＝（8﹣r）2+42，
解得r＝5，∴⊙O的半径为5．
26．（10分）如图，在半径为2的扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C是上的一个动点（不与点A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E．
（1）当BC＝2时，求线段OD的长和∠BOD的度数；
（2）在△DOE中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
（3）在△DOE中，是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由．

解：（1）如图，∵OD⊥BC，∴BD＝CD＝，∴，∴∠BOD＝30°；由勾股定理得：OD2＝22﹣12＝3，∴OD＝；即线段OD的长和∠BOD的度数分别为、30°．
（2）存在，DE＝；如图，连接AB；AOB＝90°，OA＝OB＝2，∴AB2＝OB2+OA2＝8，
∴AB＝；∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴BD＝CD，AE＝EC，∴DE是△ABC的中位线，
DE＝＝．（3）存在，∠DOE＝45°；∵OD⊥BC，OE⊥AC，且OA＝OB＝OC，∴∠BOD＝∠COD，∠AOE＝∠COE，∴∠DOE＝，即∠DOE＝45°．
27．（12分）如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣3，0），C（，0）．
（1）求⊙M的半径；
（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH＝FH．
（3）在（2）的条件下求AF的长．

解：（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM，∵BC是⊙M的一条弦，MT是垂直于BC的直径，∴BT＝TC＝BC＝2，∴BM＝＝4；
（2）如图（二），连接AE，则∠AEC＝∠ABC，∵CE⊥AB，∴∠HBC+∠BCH＝90°在△COF中，∵∠OFC+∠OCF＝90°，∴∠HBC＝∠OFC＝∠AFH．在△AEH和△AFH中，
∵，∴△AEH≌△AFH（AAS），∴EH＝FH．
（3）由（1）易知，∠BMT＝∠BAC＝60°，作直径BG，连CG，则∠BGC＝∠BAC＝60°，∵⊙O的半径为4，∴CG＝4．连AG，∵∠BCG＝90°，∴CG⊥x轴，∴CG∥AF，∵∠BAG＝90°，∴AG⊥AB，∵CE⊥AB，∴AG∥CE，∴四边形AFCG为口，∴AF＝CG＝4．