苏科版九年级上册2.2 圆的对称性当堂达标检测题

这是一份苏科版九年级上册2.2 圆的对称性当堂达标检测题，共12页。试卷主要包含了有下列说法等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年苏科版九年级数学上《2.2圆的对称性》强化提优训练（一）
（时间：90分钟 满分：120分）

一．选择题(30分）
1．东汉初年，我国的《周髀算经》里就有“径一周三”的古率，提出了圆的直径与周长之间存在一定的比例关系．将图中的半圆弧形铁丝向右水平拉直（保持端不动）．根据该古率，与拉直后铁丝端的位置最接近的是（    ）
A．点 B．点 C．点 D．点

第1题图 第3题图 第4题图 第5题图 第5题图
2．有下列说法：（1）直径是弦；（2）经过三点一定可以作圆；（3）圆有无数条对称轴；（4）优弧的长度大于劣弧的长度．其中正确的有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，的半径为6，将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心，点为优弧上的一个动点，则面积的最大值是（    ）
A． B． C． D．
4．如图，是的直径，弧、弧与弧相等，，则的度数是（    ）
A． B． C． D．
5．如图所示，一动点从半径为2的上的点出发，沿着射线方向运动到上的点处，再向左沿着与射线夹角为60°的方向运动到上的点处；接着又从点出发，沿着射线方向运动到上的点处，再向左沿着与射线夹角为60°的方向运动到上的点处；…按此规律运动到点处，则点与点间的距离是（    ）．
A．4 B． C．2 D．0
6．如图，半径为的中，弦，所对的圆心角分别是，，若，，则弦的长等于（    ）
A． B． C． D．
7．如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．10

第7题图 第8题图 第9题图
8．我们知道沿直线前进的自行车车轮上的点既随着自行车做向前的直线运动，又以车轴为圆心做圆周运动，如果我们仔细观察这个点的运动轨迹，会发现这个点在我们眼前划出了一道道优美的弧线．其实，很早以前人们就对沿直线前进的马车车轮上的点的轨迹产生了浓厚的研究兴趣，有人认为这个轨迹是一段段周而复始的圆弧，也有人认为这个轨迹是一段段的抛物线．你认为呢？摆线（Cycloid）：当一个圆沿一条定直线做无滑动的滚动时，动圆圆周上一个定点的轨迹叫做摆线．定直线称为基线，动圆称为母圆，该定点称为摆点：
现做一个小实验，取两枚相同的硬币并排排列，如果我们让右侧的硬币绕左侧硬币做无滑动的滚动，那么：（1）当右侧硬币上接触点A的运动轨迹大致是什么形状？（2）当右侧硬币转到左侧时，硬币面上的图案向还是向下？（3）当右侧硬币转回原地时，硬币自身转动了几圈？（　　）
A．一条围绕于硬币的封闭曲线；向上；1圈 B．一条摆线；向上；1圈
C．一条围绕于硬币的封闭曲线；向上；2圈 D．一条摆线；向下；2圈
9．如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是（     ）
A．a B．b C． D．
10．如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是(　A　)
A.B．C．D．

二．填空题(30分)
11．如图，平面直角坐标系xOy中，M点的坐标为(3，0)，⊙M的半径为2，过M点的直线与⊙M的交点分别为A，B，则△AOB的面积的最大值为_____，此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于____°．

第11题图 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
12．点A是半径为2的⊙O上一动点，点O到直线MN的距离为3．点P是MN上一个动点，在运动过程中若∠POA=90°，则线段PA的最小值是________．
13. 如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为_ ____
14. 如图，在的外接圆上，所对的圆心角的度数比为．在上取一点，过分别作直线的平行线，交于两点，则的度数为________.
15. 如图，弧是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧上任意一点，若AC＝5，则四边形ACBP周长的最大值为_________
解：由于AC和BC值固定，点P在弧AD上，而B是圆心，所以PB的长也是定值，因此，只要AP的长为最大值，∴当P的运动到D点时，AP最长为，所以周长5×3+=15+．
16. 如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数是_________.

第16题图 第17题图 第18题图 第19题图
17．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为______．
18．如图，是圆的弦，，垂足为点，将劣弧沿弦折叠交于的中点，若，则圆的半径为_____．
19．如图，是半圆O的直径，半圆的半径为4，点C，D在半圆上，，点P是上的一个动点，则的最小值为___________．
20．在中，．点D为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为_____．

三。解答题（60分）
21．（6分）如图，AB，CD是⊙O的直径，弦．，，有什么关系？为什么？


22．（6分）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．
求证：（1）＝； （2）AE＝CE．


23．（6分）如图，点O在∠APB的平分线PN上，以点O为圆心的⊙O分别交直线PN于点M、N，那么与相等吗？并说明理由．


24．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，以AB为直径的⊙O经过点C.过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P.点D为圆上一点，且 ，弦AD的延长线交切线PC于点E，连接BC．
（1）判断OB和BP的数量关系,并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，求AE的长．



25．（10分）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.6m，求此货船是否能顺利通过拱桥？

解：（1）如图，设圆心为O，连接OB，OC．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝12m，


26．（12分）如图，在半径为2的扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C是上的一个动点（不与点A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E．
（1）当BC＝2时，求线段OD的长和∠BOD的度数；
（2）在△DOE中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
（3）在△DOE中，是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由．







27．（14分）几何模型：
条件：如图1，A、B是直线l同侧的两个定点．

问题：在直线l上确定一点P，使的值最小，
方法：作点B关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小．
直接应用：
(1)如图2，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且，N是AC上一动点，则的最小值为______．
变式练习：
(2)如图3，点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是的中点，P是直径MN上一动点，求的最小值．
深化拓展：
(3)如图4，在锐角中，，，的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求的最小值．
(4)如图5，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使．（要求：保留作图痕迹，并简述作法．）






教师样卷
一．选择题(30分）
1．东汉初年，我国的《周髀算经》里就有“径一周三”的古率，提出了圆的直径与周长之间存在一定的比例关系．将图中的半圆弧形铁丝向右水平拉直（保持端不动）．根据该古率，与拉直后铁丝端的位置最接近的是（ A   ）
A．点 B．点 C．点 D．点
解：∵半圆的直径是1，∴由“径一周三”知圆的周长，∴半圆的周长为，∴拉直后铁丝端的位置最接近的是点A，故选：A．

第1题图 第3题图 第4题图 第5题图 第5题图
2．有下列说法：（1）直径是弦；（2）经过三点一定可以作圆；（3）圆有无数条对称轴；（4）优弧的长度大于劣弧的长度．其中正确的有（ B   ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：直径是圆中最长的弦，说法正确，符合题意；经过不在同一条直线上的三点一定可以作圆，不符合题意；圆有无数条对称轴，符合题意；没有强调是在同圆或等圆中，不符合题意；正确的说法有2个，故选：B．
3．如图，的半径为6，将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心，点为优弧上的一个动点，则面积的最大值是（  A  ）
A． B． C． D．
解：如图，过点C作CT⊥AB于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO，AK．由题意AB垂直平分线段OK，∴AO＝AK，∵OA＝OK，∴OA＝OK＝AK，∴∠OAK＝∠AOK＝60°．∴AH＝6×＝3，∵OH⊥AB，∴AH＝BH，∴AB＝2AH＝6，∵OC＋OH≥CT，∴CT≤6＋3＝9，∴CT的最大值为9，∴△ABC的面积的最大值为，故选：A．
4．如图，是的直径，弧、弧与弧相等，，则的度数是（  C  ）
A． B． C． D．
解：∵弧、弧与弧相等，∴，∴，又∵OE=OA，∴=，
故选：C．
5．如图所示，一动点从半径为2的上的点出发，沿着射线方向运动到上的点处，再向左沿着与射线夹角为60°的方向运动到上的点处；接着又从点出发，沿着射线方向运动到上的点处，再向左沿着与射线夹角为60°的方向运动到上的点处；…按此规律运动到点处，则点与点间的距离是（  D  ）．
A．4 B． C．2 D．0
解：如图，∵⊙O的半径=2，由题意得，A0A1=4，A0A2=，A0A3=2，A0A4=，A0A5=2，A0A6=0，A0A7=4，…∵2022÷6=337，∴按此规律运动到点A2022处，A2022与A0重合，∴A0A2022=0．
故选：D
6．如图，半径为的中，弦，所对的圆心角分别是，，若，，则弦的长等于（  A ）
A． B． C． D．
解：作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，如图，∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，∴∠DAE=∠BAF，∴弧DE＝弧BF，∴DE=BF=6，∵AH⊥BC，
∴CH=BH，∵CA=AF，∴AH为△CBF的中位线，∴AH=BF=3．
∴，∴BC＝2BH＝8．故选A．
7．如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（　C　）
A．4 B．5 C．6 D．10
解：因为五边形的各边长都和小圆的周长相等，所以小圆在每一边上滚动正好一周，在五条边上共滚动了5周．由于每次小圆从五边形的一边滚动到另一边时，都会翻转72°，所以小圆在五个角处共滚动一周．因此，总共是滚动了6周．
故选：C．

第7题图 第8题图 第9题图
8．我们知道沿直线前进的自行车车轮上的点既随着自行车做向前的直线运动，又以车轴为圆心做圆周运动，如果我们仔细观察这个点的运动轨迹，会发现这个点在我们眼前划出了一道道优美的弧线．其实，很早以前人们就对沿直线前进的马车车轮上的点的轨迹产生了浓厚的研究兴趣，有人认为这个轨迹是一段段周而复始的圆弧，也有人认为这个轨迹是一段段的抛物线．你认为呢？摆线（Cycloid）：当一个圆沿一条定直线做无滑动的滚动时，动圆圆周上一个定点的轨迹叫做摆线．定直线称为基线，动圆称为母圆，该定点称为摆点：
现做一个小实验，取两枚相同的硬币并排排列，如果我们让右侧的硬币绕左侧硬币做无滑动的滚动，那么：（1）当右侧硬币上接触点A的运动轨迹大致是什么形状？（2）当右侧硬币转到左侧时，硬币面上的图案向还是向下？（3）当右侧硬币转回原地时，硬币自身转动了几圈？（　C　）
A．一条围绕于硬币的封闭曲线；向上；1圈 B．一条摆线；向上；1圈
C．一条围绕于硬币的封闭曲线；向上；2圈 D．一条摆线；向下；2圈
解：（1）根据题意中的表述，可知其运动轨迹是一条围绕于硬币的封闭曲线；（2）当右侧硬币转到左侧时，硬币自身转动了1圈，故硬币面上的图案向上；（3）分析可得：当右侧硬币转回原地时，硬币自身转动2圈．故选：C．
9．如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是（   C    ）
A．a B．b C． D．
10．如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是(　A　)
A.B．C．D．
二．填空题(30分)
11．如图，平面直角坐标系xOy中，M点的坐标为(3，0)，⊙M的半径为2，过M点的直线与⊙M的交点分别为A，B，则△AOB的面积的最大值为__6___，此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于__90___°．

第11题图 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
12．点A是半径为2的⊙O上一动点，点O到直线MN的距离为3．点P是MN上一个动点，在运动过程中若∠POA=90°，则线段PA的最小值是________．
13. 如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为_ cm____
解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠CAD=∠BAD（角平分线的性质），
∴，∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，∴△AOF≌△ODE，∴OE=AF=AC=3（cm），
在Rt△DOE中，DE==4（cm），在Rt△ADE中，AD=（cm）．
14. 如图，在的外接圆上，所对的圆心角的度数比为．在上取一点，过分别作直线的平行线，交于两点，则的度数为__65°_______.
解：所对的圆心角的度数比为所对的圆心角的度数为
．．
15. 如图，弧是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧上任意一点，若AC＝5，则四边形ACBP周长的最大值为___15＋5______
解：由于AC和BC值固定，点P在弧AD上，而B是圆心，所以PB的长也是定值，因此，只要AP的长为最大值，∴当P的运动到D点时，AP最长为，所以周长5×3+=15+．
16. 如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数是__180°_______.
解：∵点A. B. C. D. E五等分圆，∴====
∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，

第16题图 第17题图 第18题图 第19题图
17．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为__18_____．
解：如图所示，连接OP，∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°，∵AO＝BO，∴AB＝2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ＝5，MQ＝12，在中，根据勾股定理，得，又∵MP′＝4，∴OP′＝9，∴AB＝2OP′＝18，故答案为：18．
18．如图，是圆的弦，，垂足为点，将劣弧沿弦折叠交于的中点，若，则圆的半径为_____．
解：连接OA，设半径为x，将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，，，，，，解得，．
故答案为．
19．如图，是半圆O的直径，半圆的半径为4，点C，D在半圆上，，点P是上的一个动点，则的最小值为___________．
解：依题意，作点关于的对称点为，连接，长即为最小值；过
作，构造和进行对应线段求解；作点关于的对称点为，连接，；过点作；由题知，，，∴，可得对应的圆心角；又点关于的对称点为，∴，，∴长为的最小值在中，，∴，；
在中，，，∴；
故填：；
20．在中，．点D为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为_____．
解：由已知，，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，点在以为圆心为半径的圆上，线段长度的最小值为．如图： 以为半径作圆，过圆心作，以为圆心为半径作圆，则点在圆上，
,
线段长度的最小值为: ．故答案为：．
三。解答题（60分）
21．（6分）如图，AB，CD是⊙O的直径，弦．，，有什么关系？为什么？

解：．理由：连接OE，∵∠BOC＝∠AOD，∴．∵，
∴∠BOC＝∠B，∠DOE＝∠E．∵OB＝OE，∴∠B＝∠E，∴∠BOC＝∠DOE，∴．
∴．
22．（6分）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．
求证：（1）＝； （2）AE＝CE．

证明（1）∵AB＝CD，∴＝，即+＝+，∴＝；
（2）由（1）知＝，∴AD＝BC，∵＝，＝，
∴∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，∴△ADE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE．
23．（6分）如图，点O在∠APB的平分线PN上，以点O为圆心的⊙O分别交直线PN于点M、N，那么与相等吗？并说明理由．

解：与相等，理由如下：连接OA，OB，过点O作OE⊥PA于E，OF⊥PB于F．
∴点O在∠APB的平分线PN上，∴OE＝OF，∵∠OEA＝∠OFB＝90°，
在Rt△OEA和Rt△OFB中，，∴Rt△OEA≌Rt△OFB（HL），∴∠A＝∠B，
∵∠AON＝∠APO+∠A，∠BON＝∠BPN+∠B∴∠AON＝∠BON，∴∠AOM＝∠BOM，
∴＝．
24．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，以AB为直径的⊙O经过点C.过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P.点D为圆上一点，且 ，弦AD的延长线交切线PC于点E，连接BC．
（1）判断OB和BP的数量关系,并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，求AE的长．

解：（1）OB=BP．理由如下：连接OC， ∵PC切⊙O于点C，∴∠OCP=90°．
∵OA=OC，∠OAC=30°，∴∠OAC=∠OCA=30°．∴∠COP=60°．∴∠P=30°．
在Rt△OCP中，OC=OP=OB=BP． （2）由（1）得OB=OP．∵⊙O的半径是2，∴AP=3OB=3×2=6．∵，∴∠CAD=∠BAC=30°．∴∠BAD=60°．∵∠P=30°，∴∠E=90°．在Rt△AEP中，AE=AP= ×6=3
25．（10分）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.6m，求此货船是否能顺利通过拱桥？

解：（1）如图，设圆心为O，连接OB，OC．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝12m，∴BD＝AB＝6m．又∵CD＝4m，设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，解得r＝6.5．
（2）连接ON．∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面AB＝3.6m，∴CE＝4﹣3.6＝0.4（m），∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.4＝6.1（m），在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣6.12＝5.042，∴EN＝（m）．∴MN＝2EN＝2×≈4.48m＜5m．∴此货船不能顺利通过这座拱桥．
26．（12分）如图，在半径为2的扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C是上的一个动点（不与点A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E．
（1）当BC＝2时，求线段OD的长和∠BOD的度数；
（2）在△DOE中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
（3）在△DOE中，是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由．

解：（1）如图，∵OD⊥BC，∴BD＝CD＝，∴，∴∠BOD＝30°；由勾股定理得：OD2＝22﹣12＝3，∴OD＝；即线段OD的长和∠BOD的度数分别为、30°．
（2） 存在，DE＝；如图，连接AB；∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，∴AB2＝OB2+OA2＝8，∴AB＝；∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴BD＝CD，AE＝EC，∴DE是△ABC的中位线，DE＝＝．（3）存在，∠DOE＝45°；∵OD⊥BC，OE⊥AC，且OA＝OB＝OC，∴∠BOD＝∠COD，∠AOE＝∠COE，
∴∠DOE＝，即∠DOE＝45°．
27．（14分）几何模型：
条件：如图1，A、B是直线l同侧的两个定点．

问题：在直线l上确定一点P，使的值最小，
方法：作点B关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小．
直接应用：
(1)如图2，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且，N是AC上一动点，则的最小值为______．
变式练习：
(2)如图3，点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是的中点，P是直径MN上一动点，求的最小值．
深化拓展：
(3)如图4，在锐角中，，，的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求的最小值．
(4)如图5，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使．（要求：保留作图痕迹，并简述作法．）
【答案】（1）解：连接BN，∵四边形ABCD为正方形，AC是对角线为对称轴，∴BN=DN，∴DN+NM=BN+NM≥BM∴当B、N、M三点共线时DN+NM最短=BM，∵DM=2，DC=BC=8，∴CM=DC-DM=8-2=6，在Rt△BCM中，BM=，∴DN+NM最小=10；故答案为10；
（2）解：作点B关于NM的对称点B′，连接PB′，OB′，则PB=PB′，∴PA+PB=PA+PB′≥AB′，∴当A、P、B′，三点共线时PA+PB最小=AB′∵点A是半圆上（半径为1）的三等分点，∴的度数为60°，∵B是的中点，∴的度数为30°，∴的度数为60°+30°=90°，∴∠AOB′=90°，∵OA=OB′=1，∴AB′=，∴PA+PB最小=；
（3）解：作BE⊥AC于E，作点N关于AD的对称点N′，连接MN′∵AD平分∠CAB，点N在AB上，∴点N′在AC上，MN=MN′，，∴当点M，N′在BE上时最小=BE，∵∠CAB=45°，BE⊥AC∴∠EBA=180°-90°-45°=45°=∠CAB，∴AE=BE，∴△AEB为等腰直角三角形，∴，∴，∴最小=4；
（4）作点B关于AC对称点B′，作射线DB′交AC与P，连接BP，∵点B与点B′关于AC对称，∴PB=PB′，∵PE⊥BB′∴PE平分∠BPB′，∴∠APB=∠APD．