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2021学年5 相似三角形判定定理的证明课后测评
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这是一份2021学年5 相似三角形判定定理的证明课后测评，共30页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.5相似三角形判定定理的证明》
解答专项练习题（附答案）
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高线，BE平分∠ABC交AC于点E，交CD于点F．求证：
（1）△ABE∽△CBF．
（2）AECE=ABCB．
2．如图，△ABC中，点D在BC边上，点E在AD上，延长CE交AB于点F，∠CED＝∠CAB．
（1）求证：△AFE∽△CFA；
（2）当AF＝BD，AD＝AC时，求：
①∠ABC的度数；
②若AB＝8，DE＝2AE，求EC的长．
3．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，角平分线BD和中线AE相交于点G、F在CD上，且∠AEF＝∠ABC．
（1）求证：△ABG∽△ECF；
（2）求证：EG＝EF；
（3）求证：EFAE=BGAC．
4．如图，已知△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，∠FEA＝∠B，∠DAF＝∠EAC．
（1）求证：AE2＝AF•AB；
（2）求证：DFDE=CECB．
5．如图，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，AE2＝AF•AB，∠DAE＝∠BAC．
（1）求证：△DAF∽△CAE．
（2）求证：DFDE=CECB．
6．已知：在△ABC中，AB＝AC，AB＝5，BC＝8，点E在边AB上，过点E作DF⊥AB，点D在边BC上，点F在CA的延长线上，联结BF．
（1）如图1，当∠FBC＝90°时，求证：BF2＝2AC•BE；
（2）如图2，当BC＝CF时，求线段AE的长．
7．如图1，在△ABC中，点E在AC的延长线上，且∠E＝∠ABC．
（1）求证：AB2＝AC•AE；
（2）如图2，D在BC上且BD＝3CD，延长AD交BE于F，若ABAC=32，求CDEF的值．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，绕B点顺时针旋转得到在Rt△BDE，连接CD并延长交AE于点F．
（1）求证：∠CBD＝2∠EDF；
（2）若CD＝EF，求BCAB的值．
9．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的⻆平分线AE交CD于点F，且AF＝FE，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若∠D＝54°，求∠BFC．
（3）若EFBF=34，且AB＝10，求平行四边形ABCD的面积．
10．矩形ABCD中，AB＝m，AD＝n，连接BD，点P在线段BD上，连接AP过点P作PE⊥AP，交直线BC于点E，连接AE、PC．
（1）若m＝6，n＝63，
①当点E与点B重合时，求线段DP的长；
②当EB＝EP时，求线段BP的长；
（2）若m＝6，n＝8，△PEC面积的最大值为 （直接写出答案）．
11．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为BD上一点，过点E作EF⊥BC交AB于点F，过点F作FG⊥EF分别交AD，AC于点N，G，过点G作GH∥EF交BC于点H．
（1）求证：△AFG∽△ABC；
（2）若AD＝3，BC＝9，设EF的长度为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x之间的函数表达式，并求y的最大值．
12．在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一点，E是射线BC上一点，且∠DAE＝∠B．
（1）如图1，当点E在边BC上时，求证：△DEA∽△DAC．
（2）如图2，已知AB＝AC＝5，BC＝8，点E在BC的延长线上，若AD=325，求CE的长．
13．如图，在菱形ABCD中，DE⊥BC交BC的延长线于点E，连结AE交BD于点F，交CD于点G，连结CF．
（1）求证：AF＝CF；
（2）求证：AF2＝EF•GF；
（3）若菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，求FG的长．
14．如图，在菱形ABCD中，点E在BC边上（与点B、C不重合），连接AE交BD于点G．
（1）若AG＝BG，AB＝2，BD＝3，求线段DG的长；
（2）设BC＝kBE，△BGE的面积为S，△AGD和四边形CDGE的面积分别为S1和S2，把S1和S2分别用k、S的代数式表示；
（3）求S2S1的最大值．
15．如图，已知在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC，交边AC于点D，E是BC边上一点，且BE＝BA，过点A作AG∥DE，分别交BD、BC于点F、G，联结FE．
（1）求证：四边形AFED是菱形；
（2）求证：AB2＝BG•BC；
（3）若AB＝AC，BG＝CE，联结AE，求S△ADES△ABC的值．
16．已知：如图，BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，BF与CE相交于点O，AN是∠BAC的角平分线，交EF于点M，交BC于点N．
（1）求证；△ABF∽△ACE；
（2）求证：EFBC=AMAN．
17．（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，若AB＝AC＝2，求DE的长；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接AG、AF分别交DE于M、N两点，求MN的长；
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC＝BN＝2，∠BAC＝108°，若AM＝AN，请直接写出MN的长．
18．如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．
（1）填空：若∠BAF＝18°，则∠DAG＝ °；
（2）证明：△AFC∽△AGD；
（3）若BFFC=12，请求出FCFH的值．
19．如图所示，P为正方形ABCD的边AD上一动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，过点P作PM∥FC交CD于点M．
（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）若△ABP的面积为25，APPD=23，求△PDM的面积．
20．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点M为AB边上一个动点，连接DM，过点M作MN⊥DM，且MN=32DM，连接DN．
（1）如图①，连接BD与BN，BD交MN于点E．求证：△ABD∽△MND；
（2）如图②，当AM＝4BM时，求证：A，C，N三点在同一条直线上．
参考答案
1．证明：（1）∵CD是高线，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠A＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠FBA，
∴△ABE∽△CBF；
（2）过C作CH∥AB交BE的延长线于H，
∴∠H＝∠ABH，△ABE∽△CHE，
∴AECE=ABCH，
∵∠CBE＝∠ABH，
∴∠H＝∠CBE，
∴CH＝CB，
∴AECE=ABCB．
2．（1）证明：∵∠CED＝∠CAB，∠AEF＝∠CED
∴∠AEF＝∠BAC，
又∵∠AFE＝∠CFA，
∴△AFE∽△CFA；
（2）解：①作DM⊥AB于点M，作AN⊥CF于点N，
∵△AFE∽△CFA，
∴∠FAE＝∠FCA，
∵∠ANC＝∠DMA＝90°，AD＝AC，
∴△AMD≌△CNA（AAS），
∴AN＝DM，
又∵AF＝BD，
∴Rt△ANF≌Rt△DMB（HL），
∴∠B＝∠AFN＝∠BFC，
∵∠B+∠BAD＝∠ADC＝∠ACD＝∠BCF+∠ACF，
∴∠B＝∠BCF，
∴∠B＝∠BFC＝∠BCF＝60°，
②过E作EG//BC交AB于点G，
则△AGE∽△ABD，
∴AGAB=AEAD=AEAE+DE=AEAE+2AE=13，
∴AG=13AB=83
∴BG=8-83=163，
由①得△BFC为等边三角形，
∴△FGE是等边三角形，
∴EC=FC-FF=BF-GF=BG=163，
3．（1）证明：如图1，∵∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABG＝2∠C，
∴∠ABG＝∠C；
∵∠AEC＝∠ABC+∠BAG，∠AEC＝∠AEF+∠CEF，
∴∠ABC+∠BAG＝∠AEF+∠CEF，
∵∠AEF＝∠ABC，
∴∠BAG＝∠CEF，
∴△ABG∽△ECF．
（2）证明：如图2，在AC上取一点H，使CH＝BG，连接EH，
∵∠EBG＝∠ABG，∠ABG＝∠C，
∴∠EBG＝∠C，
∵BE＝CE，
∴△BEG≌△CEH（SAS），
∴EG＝EH，∠BGE＝∠CHE，
∵△ABG∽△ECF，
∴∠AGB＝∠EFH，∠AGB+∠BGE＝180°，
∴∠EFH+∠BGE＝180°，
∵∠EHF+∠CHE＝180°，
∴∠EFH＝∠EHF，
∴EF＝EH，
∴EG＝EF．
（3）证明：如图3，过点G作GM∥AC交BC于点M，
∴△EGM∽△EAC，
∴EGAE=GMAC，
∵∠EBG＝∠C＝∠EMG，
∴GM＝BG，
∵EG＝EF，
∴EFAE=BGAC．
4．证明：（1）∵∠FEA＝∠B，∠BAE＝∠EAF，
∴△BAE∽△EAF，
∴AEAF=ABAE，
∴AE2＝AF•AB，
（2）∵∠DAF＝∠CAE，∠FAE＝∠FAE，
∴∠DAE＝∠CAF，
∵∠FEA＝∠B，
∴△DAE∽△CAB，
∴DEBC=ADAC，∠D＝∠C，
∵∠DAF＝∠EAC，
∴△DAF∽△CAE，
∴DFEC=ADAC，
∴DEBC=DFEC，
∴CEBC=DFDE．
5．证明：（1）AE2＝AF•AB，
∴AEAB=AFAE，
∴∠EAF＝∠BAE，
∴△EAF∽△EAB，
∴∠AEF＝∠B，
又∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠D＝∠C，
又∵∠DAF＝∠CAE，
∴△DAF∽△CAE；
（2）∵△DAF∽△CAE，△DAE∽△CAB，
∴ADAC=DFEC，DEBC=ADAC，
∴DFEC=DEBC，
∴DFDE=CECB．
6．（1）证明：如图1，∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠∠FBC＝90°，
∴∠FBA+∠ABC＝90°，∠BFC+∠C＝90°，
∴∠FBA＝∠BFC，
∴FA＝AB，
∴FA＝AC，
∴FC＝2AC，
∵FELAB，
∴∠FEB＝90°，
∴∠FEB＝∠FBC，
∴△FEB∽△CBF，
∴EBBF=BFFC，
∴BF2＝BE•FC，
∴BF2＝2AC•BE；
（2）解：如图2，过点A作AH⊥BC于点H，过点B作BM⊥CF于点M，
∵AB＝AC＝5，BC＝CF＝8，
∴CH=12BC＝4，
在Rt△AHC中，AH=AC2-CH2=52-42=3，
∵BM⊥CF，
∴∠BMC＝90°，
在Rt△ACH中，cosC=CHAC=45，
在Rt△BCM中，cosC=CMBC=CM8，
∴CM8=45，
∴CM=325，
∴AM＝CM﹣AC=75，
∵FD⊥AB，
∴∠FEA＝90°，
∴∠FEA＝∠BMC，
又∵∠FAE＝∠BAM，
∴△AEF∽△AMB，
∴AEAM=AFAB，
∵AB＝AC＝5，AF＝CF﹣AC＝8﹣5＝3，
∴AE75=35，
∴AE=2125．
7．（1）证明：∵∠E＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AEB，
∴ABAE=ACAB，
∴AB2＝AC•AE；
（2）解：过点E作EH∥CB，交AF的延长线于点H，
∵△ABC∽△AEB，
∴ABAE=ACAB=BCEB=23，
∴设AC＝2a，AB＝3a，
∴3aAE=23，
∴AE=92a，
∴ACAE=2a92a=49，
∵BD＝3CD，
∴设CD＝m，则BD＝3m，
∴BC＝CD+BD＝4m，
∴4mEB=23，
∴EB＝6m，
∵EH∥CD，
∴∠ACD＝∠AEH，∠ADC＝∠AHE，
∴△ACD∽△AEH，
∴ACAE=CDEH=49，
∴EH=94m，
∵EH∥BD，
∴∠BDF＝∠DHE，∠DBF＝∠FEH，
∴△BDF∽△EHF，
∴BFEF=BDEH=3m94m=43，
∴EF=37BE=187m，
∴CDEF=m187m=718，
∴CDEF的值为718．
8．（1）证明：由旋转得BD＝BC，∠EDB＝∠ACB＝90°，
∴∠BDC＝∠BCD，
∴∠CBD＝180°﹣∠BDC﹣∠BCD＝180°﹣2∠BDC＝2（90°﹣∠BDC），
∵∠EDF＝180°﹣∠EDB﹣∠DBC＝90°﹣∠DBC，
∴∠CBD＝2∠EDF．
（2）解：连接BF交DE于点H，设CF交AB于点G，
∵BC＝BD，AB＝EB，
∴BCAB=BDEB，
∵∠CBD＝∠ABE，
∴△CBD∽△ABE，
∴∠GCB＝∠GAF，
∵∠CGB＝∠AGF，
∴△CGB∽△AGF，
∴CGAG=BGFG，
∴CGBG=AGFG，
∵∠AGC＝∠FGB，
∴△AGC∽△FGB，
∴∠BAC＝∠BFG，
∵∠BAC＝∠BED，
∴∠BFG＝∠BED，
∵∠DHF＝∠BHE，
∴△DHF∽△BHE，
∴DHBH=FHEH，
∴DHFH=BHEH，
∵∠DHB＝∠FHE，
∴△DHB∽△FHE，
∴∠EFH＝∠BDH＝90°，
∴BF⊥AE，
∴AF＝EF=12AE，
∴CD＝EF=12AE，
∴BCAB=CDAE=12，
∴BCAB的值为12．
9．（1）证明：∵四边形ABCD为平⾏四边形，
∴AD//BC，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠E，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠E＝∠BAE，
∴BA＝BE，
∴BE＝CD；
（2）解：∵BA＝CD，AF＝FE，
∴∠ABF＝∠EBF，∠BFE＝90°，
∵∠D＝54°，AD∥BC，
∴∠DCE＝∠ABE＝54°，
∵四边形ABCD为平⾏四边形，
∴∠ABC＝∠D＝50°．
∴∠EBF＝∠ABF=12∠ABC＝27°，
∵∠DCE＝∠CBF+∠BFC，
∴∠BFC＝27°；
（3）解：∵EFBF=34，
∴设EF＝3m，BF＝4m，
∵∠BFE＝90°，
在Rt△BEF中，
BE=BF2+EF2=5m，
∵AB＝10，
∴BE＝AB＝5m＝10，
解得：m＝2，
∴EF＝6，BF＝8，
∵AD//BC，AF＝FE，
∴∠D＝∠FCE，∠DAF＝∠E，
∴AE＝2EF＝12．
在△ADF和△ECF中，
∠ADF=∠FCE∠DAF=∠EAF=FE，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴S△ADF＝S△EFC，
∴S平行四边形ABCD＝S△ABE=12×AE×BF=12×12×8＝48．
10．解：（1）①如图1，当点E与点B重合时，AP⊥BD，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝m＝6，AD＝n＝63，
∴∠BAD＝90°，BD=AB2+AD2=62+(63)2=12，
∴∠DAP+∠BAP＝90°，
∵AP⊥BD，
∴∠ABD+∠BAP＝90°，∠DPA＝∠DAB＝90°，
∴∠DAP＝∠DBA，
∴△DAP∽△DBA，
∴DPAD=ADBD，即DP63=6312，
∴DP＝9；
②如图2，设AE交BD于点O，
∵EB＝EP，
∴∠EBP＝∠EPB，
∵∠ABP＝∠APE＝90°，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AB＝AP，
∴AE垂直平分BP，
∴BP＝2BO，
由①得：DB＝12，DO＝9，
∴OB＝DB﹣DO＝12﹣9＝3，
∴BP＝2×3＝6；
（2）如图3，过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB于点G，延长GP交CD于点H，则PH⊥CD，
∴∠PGB＝∠GBE＝∠BFP＝90°，
∴四边形PGBF是矩形，
同理：四边形AGHD，四边形GBCH，四边形PFCH都是矩形，
∴BG＝PF＝CH，AB＝CD＝6，AD＝GH＝BC＝8，PG＝BF，PH＝CF，
设PF＝x，PH＝y，则BG＝x，AG＝6﹣x，PG＝8﹣y，
∵S△BCD＝S△BCP+S△PCD，
∴12×6×8=12×8x+12×6y，
∴y＝8-43x，
∴PG=43x，CF＝8-43x，
∵∠APE＝∠GPF＝90°，
∴∠APG＝∠EPF，
∵∠PGA＝∠PFE＝90°，
∴△PGA∽△PFE，
∴EFAG=PFPG，即EF6-x=x43x，
∴EF=34(6-x)，
∴CE＝EF+CF=252-2512x，
∴S△PEC=12•CE•PF
=12（252-2512x）x
=-2524（x﹣3）2+758，
∴当x＝3时，△PEC的面积最大，最大值为758，
故答案为：758．
11．（1）证明：∵EF⊥BC，FG⊥EF，
∴▱EFGH为矩形，
∴FG∥BC，
∴AFAB=AGAC，
∵∠BAC＝∠FAG，
∴△AFG∽△ABC；
（2）解：∵EF⊥BC，GH∥EF，
∴∠FEH＝90°，GH⊥BC，
∴∠GHE＝90°，
又FG⊥EF，AD⊥BC，
∴∠EFG＝∠ADB＝90°，
∴四边形EFGH，EFND都是矩形，
∴ND＝EF，AN⊥FG，
∵EF＝x，AD＝3，
∴ND＝EF＝x，
∴AN＝AD﹣ND＝3﹣x．
由（1）得△AFG∽△ABC，
∴ANAD=FGBC，即3-x3=FG9，
∴FG＝9﹣3x，
∵S四边形EFGH＝EF•FG，
∴y＝x（9﹣3x）
＝﹣3x2+9x
＝﹣3（x-32）2+274（0＜x＜3），
∴当x=32时，y取得最大值，最大值为274．
12．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠DAE＝∠B，
∴∠DAE＝∠C，
∵∠ADE＝∠ADC，
∴△DEA∽△DAC；
（2）过点A作AF⊥BD，垂足为F，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠DAE＝∠B，
∴∠DAE＝∠ACB，
∵∠ADE＝∠ADC，
∴△DEA∽△DAC，
∴DEDA=DADC，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴CF=12BC＝4，
∴AF=AC2-CF2=52-42=3，
∵AD=325，
∴DF=AD2-AF2=(352)2-32=32，
∴DC＝CF﹣DF＝4-32=52，
∴DE352=35252，
∴DE=92，
∴CE＝DE﹣CD=92-52=2，
∴CE的长为2．
13．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠ABF＝∠CBF，
∵BF＝BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF＝CF．
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BE，
∴∠DAF＝∠FEC，
∵△ABF≌△CBF，
∴∠BAF＝∠BCF，
∴∠DAF＝∠DCF，
∴∠GCF＝∠CEF，
∵∠CFG＝∠EFC，
∴△CFG∽△EFC，
∴CFEF=FGCF，
∴CF2＝EF•GF，
∵AF＝CF，
∴AF2＝EF•GF．
（3）解：∵∠BAD＝120°，
∴∠DCE＝60°，
∵菱形边长为2，
∴CD＝AD＝2，
∵DE⊥BC，
∴∠ADE＝∠CED＝90°，
∴∠CDE＝30°，
∴CE=12CD=1，DE=3，
∴AE=AD2+DE2=22+(3)2=7，BE＝BC+CE＝2+1＝3，
∵AD∥BE，
∴△FAD∽△FEB，△GAD∽△GEC，
∴AFEF=ADBE=23，AGEG=ADCE=21，
∴AF=25AE=275，AG=23AE=273，
∴FG＝AG﹣AF=273-275=4715．
14．解：（1）∵AG＝BG，
∴∠BAG＝∠ABG，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠BAG＝∠ADB，
∴△BAG∽△BDA，
∴BABG=BDBA，即2BG=32，
∴BG=43，
∴DG＝BD﹣BG＝3-43=53；
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝AD＝kBE，AD∥BC，
∵AD∥BE，
∴∠DAE＝∠BEA，∠ADG＝∠BEG，
∴△ADG∽△EBG，
∴S1S2=（ADBE）2＝k2，DGBG=ADBE=k，
∴S1＝k2S，
∵S1S△ABG=DGBG=k，
∴S△ABG=S1k，
∵△ABD的面积＝△BDC的面积，
∴S2＝S1+S1k-S＝k2S+kS﹣S＝（k2+k﹣1）S；
（3）∵S2S1=k2+k-1k2=1+1k-1k2=-（1k-12）2+54，
∴S2S1的最大值为54．
15．解：（1）证明：如图，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠EBF，
∵BA＝BE，BF＝BF，
∴△ABF≌△EBF（SAS），
∴AF＝EF，
同理可得△ABD≌△EBD（SAS），
∴AD＝ED，∠ADB＝∠EDB，
∵AG∥DE，
∴∠AFD＝∠EDF，
∴∠AFD＝∠ADF，
∴AF＝AD，
∴AF＝FE＝ED＝DA，
∴四边形AFED是菱形．
（2）证明：由（1）得△ABF≌△EBF，
∴∠BAG＝∠BEF，
∵四边形AFED是菱形，
∴AD∥FE，
∴∠BEF＝∠C，
∴∠BAG＝∠C，
∵∠ABG＝∠CBA，
∴△ABG∽△CBA，
∴ABBC=BGAB，即AB2＝BG•BC．
（3）由（2）得，△ABG∽△CBA，AB＝AC，
∴AG＝BG，
∴∠GAB＝∠GBA，
∴∠AGC＝2∠GAB，
∵BG＝CE，
∴BE＝CG，
∴CG＝CA，
∴∠CAG＝∠CGA，
∵∠CAG＝2∠DAE，
∴∠DAE＝∠ABC，
∴∠DEA＝∠ACB，
∴△DAE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=（AEBC）2，
∵AB2＝BG•BC，AB＝BE，BG＝EC，
∴BE2＝EC•BC，
∴点E是BC的黄金分割点，
∴BEBC=5-12，
∴CEBC=3-52，
∵∠EAC＝∠C，
∴CE＝AE，
∴AEBC=3-52，
∴S△ADES△ABC=7-352．
16．解：（1）证明：∵BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，
∴BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠AFB＝∠AEC＝90°，
又∵∠CAE＝∠BAF，
∴△ABF∽△ACE；
（2）证明：∵△ABF∽△ACE，
∴AEAF=ACAB，
∴AEAC=AFAB，
又∵∠EAF＝∠CAB，
∴△EAF∽△CAB，
∴EFBC=AEAC①，∠AEF＝∠ACB，
∵AN是∠BAC的角平分线，
∴∠EAM＝∠CAN，
∴△EAM∽△CAN，
∴AMAN=AEAC②，
由①②可得：
EFBC=AMAN．
17．（1）解：∵AB＝AC＝2，∠A＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，BC＝22，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE＝DG＝GF＝EF，∠DGF＝∠EFG＝90°，
∴∠BGD＝∠CFE＝90°，
∴∠B＝∠BDG＝45°，∠C＝∠CEF＝45°，
∴BG＝DG＝CF，
∴DE=13BC=223．
（2）∵DE∥BC，
∴MNGF=ANAF=AEAC=DEBC，
∴MN223=22322，
∴MN=229．
（3）∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴∠B＝∠C＝36°，
∵BA＝NB，
∴∠ANB＝∠BAN＝72°，
∵AM＝AN，
∴∠AMN＝∠ANM＝72°，
∴∠B＝∠BAM＝∠MAN＝36°，
∴BM＝AM＝AN，设MN＝x，则AN＝AM＝BM＝2﹣x．
∵△NAM∽△NBA，
∴AN2＝NM•NB，
∴（2﹣x）2＝2x，
∴x＝3-5或3+5（舍弃）
∴MN＝3-5．
18．解：（1）∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴∠BAC＝∠GAF＝45°，
∴∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，
∴∠HAG＝∠BAF＝18°，
∵∠DAG+∠GAH＝∠DAC＝45°，
∴∠DAG＝45°﹣18°＝27°，
故答案为：27．
（2）∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴ADAC=22，AGAF=22，
∴ADAC=AGAF，
∵∠DAG+∠GAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，
∴∠DAG＝∠CAF，
∴△AFC∽△AGD；
（3）∵BFFC=12，
设BF＝k，CF＝2k，则AB＝BC＝3k，
∴AF=AB2+BF2=(3k)2+k2=10k，AC=2AB＝32k，
∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴∠AFH＝∠ACF，∠FAH＝∠CAF，
∴△AFH∽△ACF，
∴AFAC=FHCF，
∴FCFH=3210=355．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠EBC＝90°，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴∠AEB＝∠CFB＝90°，
∴∠EBC+∠FCB＝90°，
∴∠ABE＝∠FCB，
∴△ABE≌△BCF（AAS）；
（2）解：∵PM∥FC，
∴∠BFC＝∠BPM＝90°，
∴∠APB+∠DPM＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAP＝∠PDM＝90°，AB＝AD，
∴∠ABP+∠APB＝90°，
∴∠ABP＝∠DPM，
∴△BAP∽△PDM，
∵APPD=23，
∴PDAD=35，
∴PDAB=35，
∴S△PDMS△ABP=925，
∵△ABP的面积为25，
∴△PDM的面积为9．
20．证明：（1）①∵四边形ABCD为矩形，DM⊥MN，
∴∠A＝∠DMN＝90°，
∵AB＝6，AD＝4，MN=32DM，
∴ADAB=DMMN=23，
∴△ABD∽△MND；
（2）如图②，过点N作NF⊥AB，交AB延长线于点F，连接AC，AN，
则∠NFA＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，AD＝4，AB＝6，
∴∠A＝∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，BCAB=46=23，
则∠ADM+∠AMD＝90°，
∵AM＝4BM，AB＝6，
∴AM=45AB=245，
又∵DM⊥MN，
∴∠DMN＝90°，
∴∠AMD+∠FMN＝90°，
∴∠ADM＝∠FMN，
∴△ADM∽△FMN，
∴ADMF=AMFN=DMMN，
即 4MF=245FN=23，
∴MF＝6，FN=365，
∴NFAF=NFAM+MF=365245+6=23，
∴BCAB=NFAF，
∵∠ABC＝∠AFN＝90°，
∴△ABC∽△AFN，
∴∠BAC＝∠FAN，
∴A，C，N三点在同一条直线上．
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.5相似三角形判定定理的证明》
解答专项练习题（附答案）
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高线，BE平分∠ABC交AC于点E，交CD于点F．求证：
（1）△ABE∽△CBF．
（2）AECE=ABCB．
2．如图，△ABC中，点D在BC边上，点E在AD上，延长CE交AB于点F，∠CED＝∠CAB．
（1）求证：△AFE∽△CFA；
（2）当AF＝BD，AD＝AC时，求：
①∠ABC的度数；
②若AB＝8，DE＝2AE，求EC的长．
3．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，角平分线BD和中线AE相交于点G、F在CD上，且∠AEF＝∠ABC．
（1）求证：△ABG∽△ECF；
（2）求证：EG＝EF；
（3）求证：EFAE=BGAC．
4．如图，已知△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，∠FEA＝∠B，∠DAF＝∠EAC．
（1）求证：AE2＝AF•AB；
（2）求证：DFDE=CECB．
5．如图，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，AE2＝AF•AB，∠DAE＝∠BAC．
（1）求证：△DAF∽△CAE．
（2）求证：DFDE=CECB．
6．已知：在△ABC中，AB＝AC，AB＝5，BC＝8，点E在边AB上，过点E作DF⊥AB，点D在边BC上，点F在CA的延长线上，联结BF．
（1）如图1，当∠FBC＝90°时，求证：BF2＝2AC•BE；
（2）如图2，当BC＝CF时，求线段AE的长．
7．如图1，在△ABC中，点E在AC的延长线上，且∠E＝∠ABC．
（1）求证：AB2＝AC•AE；
（2）如图2，D在BC上且BD＝3CD，延长AD交BE于F，若ABAC=32，求CDEF的值．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，绕B点顺时针旋转得到在Rt△BDE，连接CD并延长交AE于点F．
（1）求证：∠CBD＝2∠EDF；
（2）若CD＝EF，求BCAB的值．
9．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的⻆平分线AE交CD于点F，且AF＝FE，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若∠D＝54°，求∠BFC．
（3）若EFBF=34，且AB＝10，求平行四边形ABCD的面积．
10．矩形ABCD中，AB＝m，AD＝n，连接BD，点P在线段BD上，连接AP过点P作PE⊥AP，交直线BC于点E，连接AE、PC．
（1）若m＝6，n＝63，
①当点E与点B重合时，求线段DP的长；
②当EB＝EP时，求线段BP的长；
（2）若m＝6，n＝8，△PEC面积的最大值为 （直接写出答案）．
11．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为BD上一点，过点E作EF⊥BC交AB于点F，过点F作FG⊥EF分别交AD，AC于点N，G，过点G作GH∥EF交BC于点H．
（1）求证：△AFG∽△ABC；
（2）若AD＝3，BC＝9，设EF的长度为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x之间的函数表达式，并求y的最大值．
12．在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一点，E是射线BC上一点，且∠DAE＝∠B．
（1）如图1，当点E在边BC上时，求证：△DEA∽△DAC．
（2）如图2，已知AB＝AC＝5，BC＝8，点E在BC的延长线上，若AD=325，求CE的长．
13．如图，在菱形ABCD中，DE⊥BC交BC的延长线于点E，连结AE交BD于点F，交CD于点G，连结CF．
（1）求证：AF＝CF；
（2）求证：AF2＝EF•GF；
（3）若菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，求FG的长．
14．如图，在菱形ABCD中，点E在BC边上（与点B、C不重合），连接AE交BD于点G．
（1）若AG＝BG，AB＝2，BD＝3，求线段DG的长；
（2）设BC＝kBE，△BGE的面积为S，△AGD和四边形CDGE的面积分别为S1和S2，把S1和S2分别用k、S的代数式表示；
（3）求S2S1的最大值．
15．如图，已知在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC，交边AC于点D，E是BC边上一点，且BE＝BA，过点A作AG∥DE，分别交BD、BC于点F、G，联结FE．
（1）求证：四边形AFED是菱形；
（2）求证：AB2＝BG•BC；
（3）若AB＝AC，BG＝CE，联结AE，求S△ADES△ABC的值．
16．已知：如图，BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，BF与CE相交于点O，AN是∠BAC的角平分线，交EF于点M，交BC于点N．
（1）求证；△ABF∽△ACE；
（2）求证：EFBC=AMAN．
17．（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，若AB＝AC＝2，求DE的长；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接AG、AF分别交DE于M、N两点，求MN的长；
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC＝BN＝2，∠BAC＝108°，若AM＝AN，请直接写出MN的长．
18．如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．
（1）填空：若∠BAF＝18°，则∠DAG＝ °；
（2）证明：△AFC∽△AGD；
（3）若BFFC=12，请求出FCFH的值．
19．如图所示，P为正方形ABCD的边AD上一动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，过点P作PM∥FC交CD于点M．
（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）若△ABP的面积为25，APPD=23，求△PDM的面积．
20．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点M为AB边上一个动点，连接DM，过点M作MN⊥DM，且MN=32DM，连接DN．
（1）如图①，连接BD与BN，BD交MN于点E．求证：△ABD∽△MND；
（2）如图②，当AM＝4BM时，求证：A，C，N三点在同一条直线上．
参考答案
1．证明：（1）∵CD是高线，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠A＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠FBA，
∴△ABE∽△CBF；
（2）过C作CH∥AB交BE的延长线于H，
∴∠H＝∠ABH，△ABE∽△CHE，
∴AECE=ABCH，
∵∠CBE＝∠ABH，
∴∠H＝∠CBE，
∴CH＝CB，
∴AECE=ABCB．
2．（1）证明：∵∠CED＝∠CAB，∠AEF＝∠CED
∴∠AEF＝∠BAC，
又∵∠AFE＝∠CFA，
∴△AFE∽△CFA；
（2）解：①作DM⊥AB于点M，作AN⊥CF于点N，
∵△AFE∽△CFA，
∴∠FAE＝∠FCA，
∵∠ANC＝∠DMA＝90°，AD＝AC，
∴△AMD≌△CNA（AAS），
∴AN＝DM，
又∵AF＝BD，
∴Rt△ANF≌Rt△DMB（HL），
∴∠B＝∠AFN＝∠BFC，
∵∠B+∠BAD＝∠ADC＝∠ACD＝∠BCF+∠ACF，
∴∠B＝∠BCF，
∴∠B＝∠BFC＝∠BCF＝60°，
②过E作EG//BC交AB于点G，
则△AGE∽△ABD，
∴AGAB=AEAD=AEAE+DE=AEAE+2AE=13，
∴AG=13AB=83
∴BG=8-83=163，
由①得△BFC为等边三角形，
∴△FGE是等边三角形，
∴EC=FC-FF=BF-GF=BG=163，
3．（1）证明：如图1，∵∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABG＝2∠C，
∴∠ABG＝∠C；
∵∠AEC＝∠ABC+∠BAG，∠AEC＝∠AEF+∠CEF，
∴∠ABC+∠BAG＝∠AEF+∠CEF，
∵∠AEF＝∠ABC，
∴∠BAG＝∠CEF，
∴△ABG∽△ECF．
（2）证明：如图2，在AC上取一点H，使CH＝BG，连接EH，
∵∠EBG＝∠ABG，∠ABG＝∠C，
∴∠EBG＝∠C，
∵BE＝CE，
∴△BEG≌△CEH（SAS），
∴EG＝EH，∠BGE＝∠CHE，
∵△ABG∽△ECF，
∴∠AGB＝∠EFH，∠AGB+∠BGE＝180°，
∴∠EFH+∠BGE＝180°，
∵∠EHF+∠CHE＝180°，
∴∠EFH＝∠EHF，
∴EF＝EH，
∴EG＝EF．
（3）证明：如图3，过点G作GM∥AC交BC于点M，
∴△EGM∽△EAC，
∴EGAE=GMAC，
∵∠EBG＝∠C＝∠EMG，
∴GM＝BG，
∵EG＝EF，
∴EFAE=BGAC．
4．证明：（1）∵∠FEA＝∠B，∠BAE＝∠EAF，
∴△BAE∽△EAF，
∴AEAF=ABAE，
∴AE2＝AF•AB，
（2）∵∠DAF＝∠CAE，∠FAE＝∠FAE，
∴∠DAE＝∠CAF，
∵∠FEA＝∠B，
∴△DAE∽△CAB，
∴DEBC=ADAC，∠D＝∠C，
∵∠DAF＝∠EAC，
∴△DAF∽△CAE，
∴DFEC=ADAC，
∴DEBC=DFEC，
∴CEBC=DFDE．
5．证明：（1）AE2＝AF•AB，
∴AEAB=AFAE，
∴∠EAF＝∠BAE，
∴△EAF∽△EAB，
∴∠AEF＝∠B，
又∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠D＝∠C，
又∵∠DAF＝∠CAE，
∴△DAF∽△CAE；
（2）∵△DAF∽△CAE，△DAE∽△CAB，
∴ADAC=DFEC，DEBC=ADAC，
∴DFEC=DEBC，
∴DFDE=CECB．
6．（1）证明：如图1，∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠∠FBC＝90°，
∴∠FBA+∠ABC＝90°，∠BFC+∠C＝90°，
∴∠FBA＝∠BFC，
∴FA＝AB，
∴FA＝AC，
∴FC＝2AC，
∵FELAB，
∴∠FEB＝90°，
∴∠FEB＝∠FBC，
∴△FEB∽△CBF，
∴EBBF=BFFC，
∴BF2＝BE•FC，
∴BF2＝2AC•BE；
（2）解：如图2，过点A作AH⊥BC于点H，过点B作BM⊥CF于点M，
∵AB＝AC＝5，BC＝CF＝8，
∴CH=12BC＝4，
在Rt△AHC中，AH=AC2-CH2=52-42=3，
∵BM⊥CF，
∴∠BMC＝90°，
在Rt△ACH中，cosC=CHAC=45，
在Rt△BCM中，cosC=CMBC=CM8，
∴CM8=45，
∴CM=325，
∴AM＝CM﹣AC=75，
∵FD⊥AB，
∴∠FEA＝90°，
∴∠FEA＝∠BMC，
又∵∠FAE＝∠BAM，
∴△AEF∽△AMB，
∴AEAM=AFAB，
∵AB＝AC＝5，AF＝CF﹣AC＝8﹣5＝3，
∴AE75=35，
∴AE=2125．
7．（1）证明：∵∠E＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AEB，
∴ABAE=ACAB，
∴AB2＝AC•AE；
（2）解：过点E作EH∥CB，交AF的延长线于点H，
∵△ABC∽△AEB，
∴ABAE=ACAB=BCEB=23，
∴设AC＝2a，AB＝3a，
∴3aAE=23，
∴AE=92a，
∴ACAE=2a92a=49，
∵BD＝3CD，
∴设CD＝m，则BD＝3m，
∴BC＝CD+BD＝4m，
∴4mEB=23，
∴EB＝6m，
∵EH∥CD，
∴∠ACD＝∠AEH，∠ADC＝∠AHE，
∴△ACD∽△AEH，
∴ACAE=CDEH=49，
∴EH=94m，
∵EH∥BD，
∴∠BDF＝∠DHE，∠DBF＝∠FEH，
∴△BDF∽△EHF，
∴BFEF=BDEH=3m94m=43，
∴EF=37BE=187m，
∴CDEF=m187m=718，
∴CDEF的值为718．
8．（1）证明：由旋转得BD＝BC，∠EDB＝∠ACB＝90°，
∴∠BDC＝∠BCD，
∴∠CBD＝180°﹣∠BDC﹣∠BCD＝180°﹣2∠BDC＝2（90°﹣∠BDC），
∵∠EDF＝180°﹣∠EDB﹣∠DBC＝90°﹣∠DBC，
∴∠CBD＝2∠EDF．
（2）解：连接BF交DE于点H，设CF交AB于点G，
∵BC＝BD，AB＝EB，
∴BCAB=BDEB，
∵∠CBD＝∠ABE，
∴△CBD∽△ABE，
∴∠GCB＝∠GAF，
∵∠CGB＝∠AGF，
∴△CGB∽△AGF，
∴CGAG=BGFG，
∴CGBG=AGFG，
∵∠AGC＝∠FGB，
∴△AGC∽△FGB，
∴∠BAC＝∠BFG，
∵∠BAC＝∠BED，
∴∠BFG＝∠BED，
∵∠DHF＝∠BHE，
∴△DHF∽△BHE，
∴DHBH=FHEH，
∴DHFH=BHEH，
∵∠DHB＝∠FHE，
∴△DHB∽△FHE，
∴∠EFH＝∠BDH＝90°，
∴BF⊥AE，
∴AF＝EF=12AE，
∴CD＝EF=12AE，
∴BCAB=CDAE=12，
∴BCAB的值为12．
9．（1）证明：∵四边形ABCD为平⾏四边形，
∴AD//BC，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠E，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠E＝∠BAE，
∴BA＝BE，
∴BE＝CD；
（2）解：∵BA＝CD，AF＝FE，
∴∠ABF＝∠EBF，∠BFE＝90°，
∵∠D＝54°，AD∥BC，
∴∠DCE＝∠ABE＝54°，
∵四边形ABCD为平⾏四边形，
∴∠ABC＝∠D＝50°．
∴∠EBF＝∠ABF=12∠ABC＝27°，
∵∠DCE＝∠CBF+∠BFC，
∴∠BFC＝27°；
（3）解：∵EFBF=34，
∴设EF＝3m，BF＝4m，
∵∠BFE＝90°，
在Rt△BEF中，
BE=BF2+EF2=5m，
∵AB＝10，
∴BE＝AB＝5m＝10，
解得：m＝2，
∴EF＝6，BF＝8，
∵AD//BC，AF＝FE，
∴∠D＝∠FCE，∠DAF＝∠E，
∴AE＝2EF＝12．
在△ADF和△ECF中，
∠ADF=∠FCE∠DAF=∠EAF=FE，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴S△ADF＝S△EFC，
∴S平行四边形ABCD＝S△ABE=12×AE×BF=12×12×8＝48．
10．解：（1）①如图1，当点E与点B重合时，AP⊥BD，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝m＝6，AD＝n＝63，
∴∠BAD＝90°，BD=AB2+AD2=62+(63)2=12，
∴∠DAP+∠BAP＝90°，
∵AP⊥BD，
∴∠ABD+∠BAP＝90°，∠DPA＝∠DAB＝90°，
∴∠DAP＝∠DBA，
∴△DAP∽△DBA，
∴DPAD=ADBD，即DP63=6312，
∴DP＝9；
②如图2，设AE交BD于点O，
∵EB＝EP，
∴∠EBP＝∠EPB，
∵∠ABP＝∠APE＝90°，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AB＝AP，
∴AE垂直平分BP，
∴BP＝2BO，
由①得：DB＝12，DO＝9，
∴OB＝DB﹣DO＝12﹣9＝3，
∴BP＝2×3＝6；
（2）如图3，过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB于点G，延长GP交CD于点H，则PH⊥CD，
∴∠PGB＝∠GBE＝∠BFP＝90°，
∴四边形PGBF是矩形，
同理：四边形AGHD，四边形GBCH，四边形PFCH都是矩形，
∴BG＝PF＝CH，AB＝CD＝6，AD＝GH＝BC＝8，PG＝BF，PH＝CF，
设PF＝x，PH＝y，则BG＝x，AG＝6﹣x，PG＝8﹣y，
∵S△BCD＝S△BCP+S△PCD，
∴12×6×8=12×8x+12×6y，
∴y＝8-43x，
∴PG=43x，CF＝8-43x，
∵∠APE＝∠GPF＝90°，
∴∠APG＝∠EPF，
∵∠PGA＝∠PFE＝90°，
∴△PGA∽△PFE，
∴EFAG=PFPG，即EF6-x=x43x，
∴EF=34(6-x)，
∴CE＝EF+CF=252-2512x，
∴S△PEC=12•CE•PF
=12（252-2512x）x
=-2524（x﹣3）2+758，
∴当x＝3时，△PEC的面积最大，最大值为758，
故答案为：758．
11．（1）证明：∵EF⊥BC，FG⊥EF，
∴▱EFGH为矩形，
∴FG∥BC，
∴AFAB=AGAC，
∵∠BAC＝∠FAG，
∴△AFG∽△ABC；
（2）解：∵EF⊥BC，GH∥EF，
∴∠FEH＝90°，GH⊥BC，
∴∠GHE＝90°，
又FG⊥EF，AD⊥BC，
∴∠EFG＝∠ADB＝90°，
∴四边形EFGH，EFND都是矩形，
∴ND＝EF，AN⊥FG，
∵EF＝x，AD＝3，
∴ND＝EF＝x，
∴AN＝AD﹣ND＝3﹣x．
由（1）得△AFG∽△ABC，
∴ANAD=FGBC，即3-x3=FG9，
∴FG＝9﹣3x，
∵S四边形EFGH＝EF•FG，
∴y＝x（9﹣3x）
＝﹣3x2+9x
＝﹣3（x-32）2+274（0＜x＜3），
∴当x=32时，y取得最大值，最大值为274．
12．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠DAE＝∠B，
∴∠DAE＝∠C，
∵∠ADE＝∠ADC，
∴△DEA∽△DAC；
（2）过点A作AF⊥BD，垂足为F，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠DAE＝∠B，
∴∠DAE＝∠ACB，
∵∠ADE＝∠ADC，
∴△DEA∽△DAC，
∴DEDA=DADC，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴CF=12BC＝4，
∴AF=AC2-CF2=52-42=3，
∵AD=325，
∴DF=AD2-AF2=(352)2-32=32，
∴DC＝CF﹣DF＝4-32=52，
∴DE352=35252，
∴DE=92，
∴CE＝DE﹣CD=92-52=2，
∴CE的长为2．
13．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠ABF＝∠CBF，
∵BF＝BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF＝CF．
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BE，
∴∠DAF＝∠FEC，
∵△ABF≌△CBF，
∴∠BAF＝∠BCF，
∴∠DAF＝∠DCF，
∴∠GCF＝∠CEF，
∵∠CFG＝∠EFC，
∴△CFG∽△EFC，
∴CFEF=FGCF，
∴CF2＝EF•GF，
∵AF＝CF，
∴AF2＝EF•GF．
（3）解：∵∠BAD＝120°，
∴∠DCE＝60°，
∵菱形边长为2，
∴CD＝AD＝2，
∵DE⊥BC，
∴∠ADE＝∠CED＝90°，
∴∠CDE＝30°，
∴CE=12CD=1，DE=3，
∴AE=AD2+DE2=22+(3)2=7，BE＝BC+CE＝2+1＝3，
∵AD∥BE，
∴△FAD∽△FEB，△GAD∽△GEC，
∴AFEF=ADBE=23，AGEG=ADCE=21，
∴AF=25AE=275，AG=23AE=273，
∴FG＝AG﹣AF=273-275=4715．
14．解：（1）∵AG＝BG，
∴∠BAG＝∠ABG，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠BAG＝∠ADB，
∴△BAG∽△BDA，
∴BABG=BDBA，即2BG=32，
∴BG=43，
∴DG＝BD﹣BG＝3-43=53；
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝AD＝kBE，AD∥BC，
∵AD∥BE，
∴∠DAE＝∠BEA，∠ADG＝∠BEG，
∴△ADG∽△EBG，
∴S1S2=（ADBE）2＝k2，DGBG=ADBE=k，
∴S1＝k2S，
∵S1S△ABG=DGBG=k，
∴S△ABG=S1k，
∵△ABD的面积＝△BDC的面积，
∴S2＝S1+S1k-S＝k2S+kS﹣S＝（k2+k﹣1）S；
（3）∵S2S1=k2+k-1k2=1+1k-1k2=-（1k-12）2+54，
∴S2S1的最大值为54．
15．解：（1）证明：如图，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠EBF，
∵BA＝BE，BF＝BF，
∴△ABF≌△EBF（SAS），
∴AF＝EF，
同理可得△ABD≌△EBD（SAS），
∴AD＝ED，∠ADB＝∠EDB，
∵AG∥DE，
∴∠AFD＝∠EDF，
∴∠AFD＝∠ADF，
∴AF＝AD，
∴AF＝FE＝ED＝DA，
∴四边形AFED是菱形．
（2）证明：由（1）得△ABF≌△EBF，
∴∠BAG＝∠BEF，
∵四边形AFED是菱形，
∴AD∥FE，
∴∠BEF＝∠C，
∴∠BAG＝∠C，
∵∠ABG＝∠CBA，
∴△ABG∽△CBA，
∴ABBC=BGAB，即AB2＝BG•BC．
（3）由（2）得，△ABG∽△CBA，AB＝AC，
∴AG＝BG，
∴∠GAB＝∠GBA，
∴∠AGC＝2∠GAB，
∵BG＝CE，
∴BE＝CG，
∴CG＝CA，
∴∠CAG＝∠CGA，
∵∠CAG＝2∠DAE，
∴∠DAE＝∠ABC，
∴∠DEA＝∠ACB，
∴△DAE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=（AEBC）2，
∵AB2＝BG•BC，AB＝BE，BG＝EC，
∴BE2＝EC•BC，
∴点E是BC的黄金分割点，
∴BEBC=5-12，
∴CEBC=3-52，
∵∠EAC＝∠C，
∴CE＝AE，
∴AEBC=3-52，
∴S△ADES△ABC=7-352．
16．解：（1）证明：∵BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，
∴BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠AFB＝∠AEC＝90°，
又∵∠CAE＝∠BAF，
∴△ABF∽△ACE；
（2）证明：∵△ABF∽△ACE，
∴AEAF=ACAB，
∴AEAC=AFAB，
又∵∠EAF＝∠CAB，
∴△EAF∽△CAB，
∴EFBC=AEAC①，∠AEF＝∠ACB，
∵AN是∠BAC的角平分线，
∴∠EAM＝∠CAN，
∴△EAM∽△CAN，
∴AMAN=AEAC②，
由①②可得：
EFBC=AMAN．
17．（1）解：∵AB＝AC＝2，∠A＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，BC＝22，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE＝DG＝GF＝EF，∠DGF＝∠EFG＝90°，
∴∠BGD＝∠CFE＝90°，
∴∠B＝∠BDG＝45°，∠C＝∠CEF＝45°，
∴BG＝DG＝CF，
∴DE=13BC=223．
（2）∵DE∥BC，
∴MNGF=ANAF=AEAC=DEBC，
∴MN223=22322，
∴MN=229．
（3）∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴∠B＝∠C＝36°，
∵BA＝NB，
∴∠ANB＝∠BAN＝72°，
∵AM＝AN，
∴∠AMN＝∠ANM＝72°，
∴∠B＝∠BAM＝∠MAN＝36°，
∴BM＝AM＝AN，设MN＝x，则AN＝AM＝BM＝2﹣x．
∵△NAM∽△NBA，
∴AN2＝NM•NB，
∴（2﹣x）2＝2x，
∴x＝3-5或3+5（舍弃）
∴MN＝3-5．
18．解：（1）∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴∠BAC＝∠GAF＝45°，
∴∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，
∴∠HAG＝∠BAF＝18°，
∵∠DAG+∠GAH＝∠DAC＝45°，
∴∠DAG＝45°﹣18°＝27°，
故答案为：27．
（2）∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴ADAC=22，AGAF=22，
∴ADAC=AGAF，
∵∠DAG+∠GAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，
∴∠DAG＝∠CAF，
∴△AFC∽△AGD；
（3）∵BFFC=12，
设BF＝k，CF＝2k，则AB＝BC＝3k，
∴AF=AB2+BF2=(3k)2+k2=10k，AC=2AB＝32k，
∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴∠AFH＝∠ACF，∠FAH＝∠CAF，
∴△AFH∽△ACF，
∴AFAC=FHCF，
∴FCFH=3210=355．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠EBC＝90°，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴∠AEB＝∠CFB＝90°，
∴∠EBC+∠FCB＝90°，
∴∠ABE＝∠FCB，
∴△ABE≌△BCF（AAS）；
（2）解：∵PM∥FC，
∴∠BFC＝∠BPM＝90°，
∴∠APB+∠DPM＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAP＝∠PDM＝90°，AB＝AD，
∴∠ABP+∠APB＝90°，
∴∠ABP＝∠DPM，
∴△BAP∽△PDM，
∵APPD=23，
∴PDAD=35，
∴PDAB=35，
∴S△PDMS△ABP=925，
∵△ABP的面积为25，
∴△PDM的面积为9．
20．证明：（1）①∵四边形ABCD为矩形，DM⊥MN，
∴∠A＝∠DMN＝90°，
∵AB＝6，AD＝4，MN=32DM，
∴ADAB=DMMN=23，
∴△ABD∽△MND；
（2）如图②，过点N作NF⊥AB，交AB延长线于点F，连接AC，AN，
则∠NFA＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，AD＝4，AB＝6，
∴∠A＝∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，BCAB=46=23，
则∠ADM+∠AMD＝90°，
∵AM＝4BM，AB＝6，
∴AM=45AB=245，
又∵DM⊥MN，
∴∠DMN＝90°，
∴∠AMD+∠FMN＝90°，
∴∠ADM＝∠FMN，
∴△ADM∽△FMN，
∴ADMF=AMFN=DMMN，
即 4MF=245FN=23，
∴MF＝6，FN=365，
∴NFAF=NFAM+MF=365245+6=23，
∴BCAB=NFAF，
∵∠ABC＝∠AFN＝90°，
∴△ABC∽△AFN，
∴∠BAC＝∠FAN，
∴A，C，N三点在同一条直线上．
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