2022年吉林省第二实验学校中考数学适应性试卷（6月份）（含解析）

2022年吉林省第二实验学校中考数学适应性试卷（6月份）

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 根据世卫组织统计数据，截至年月日，全球累计新冠肺炎确诊病例亿例，将数据亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图是某几何体的展开图，该几何体是(    )

A. 长方体
B. 圆柱
C. 圆锥
D. 三棱柱

4. 方程的根的况是(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 只有一个实数根
C. 没有实数根 D. 有两个不相等的实数根

5. 如图，表示一条跳合滑雪赛道，在点处测得起点的仰角为，底端点与顶端点的距离为米，则赛道的长度为米．(    )

A.
B.
C.
D.

6. 如图，是的直径，是的弦，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，在中，，，按以下步骤作图：以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交、于点、；分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线，交于点若点到的距离为，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，正方形的边长为，点的坐标为，点在轴上，若反比例函数的图象过点，则该反比例函数的表达式为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

9. 某种桔子的售价是每千克元，用面值为元的人民币购买了千克，应找回______元．
10. 分解因式：______．
11. 不等式组的解集为______．
12. 已知，一个含有角的三角尺按照如图所示的位置摆放，若，则______度．

13. 如图，在扇形中，，，将扇形沿着过点的直线折叠，点恰好落在弧的点处，折痕交于点，则阴影部分的面积为______．

14. 已知二次函数的图象与轴分别交于、两点，如图所示，与轴交于点，点是其对称轴上一动点，当取得最小值时，点的纵坐标与横坐标之和为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 本小题分
    先化简，再求值：，其中．
16. 本小题分
    在一个不透明的口袋中装有三个小球，上面分别标有数字，，，这些小球除数字不同外其余均相同，从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回，再随机摸出一个小球，记下数字．请用画树状图或列表的方法，求两次摸出的小球上的数字都是偶数的概率．
17. 本小题分
    年月日晚，中国女足在第届亚洲杯决赛中以：逆转夺冠全国各地纸起了一股学女足精神的热潮．某学校准备购买一批足球，第一次用元购进类足球若干个，第二次又用元购进类足球，购进数量比第一次多了个，已知类足球的单价是类足球单价的倍．求类足球的单价是多少元？
18. 本小题分
    如图，在四边形中，，点在上，，，垂足为．
    求证：四边形是平行四边形；
    若平分，，，则______．

19. 本小题分
    如图在的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的顶点在格点上，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留必要的作图痕迹，不要求说明理由．
    如图，过点作线段，使，且．
    如图，在四边形边上求作一点，使点与四边形某一顶点连线，能把该四边形分成的两部分恰好拼成一个无缝隙、不重叠的三角形．画一个即可
    如图，在边上求作一点，使．
     

20. 本小题分
    某校为了增强学生的疫情防控意识，组织全校名学生进行了疫情防控知识竞赛从中随机抽取了名学生的竞赛成绩满分分，分成四组：：；：；：；：，并绘制出不完整的统计图：
    
    填空： ______ ；
    补全频数分布直方图；
    抽取的这名学生成绩的中位数落在______ 组；
    若规定学生成绩为优秀，估算全校成绩达到优秀的人数．
21. 本小题分
    甲、乙两地相用，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，线段表示货车离甲地的距离与时间之间的函数关系，折线表示轿车离甲地的距离与时间之间的函数关系如图所示，请根据图象解答下列问题：
    线段表示轿车在途中停留了______；
    求线段对应的函数解析式；
    甲乙两地之间有一加油站，轿车到达加油站后又行驶小时追上货车，求甲地与加油站之间的距离．

22. 本小题分
    如图，在等腰三角形中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．
    观察猜想
    图中，线段、的数量关系是______，的大小为______；
    探究证明
    把绕点顺时针方向旋转到如图所示的位置，连接、、，判断的形状，并说明理由；
    拓展延伸
    将图中的绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．

23. 本小题分
    如图，中，，，，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动．是的中点，以、为邻边作▱设点的运动时间为秒．
    用含的代数式表示线段的长．
    当点落在边上时，求的值．
    当点在线段上运动时，连结，若为钝角三角形，求的取值范围．
    当点到的一条直角边和斜边所在的直线距离相等时，直接写出的值．

24. 本小题分
    在平面直角坐标系中，已知抛物线为常数．
    当抛物线经过点时，求值．
    当时，若，，则的取值范围是______．
    当时，若函数为常数的图象最低点到直线的距离为，求值．
    、两点在抛物线上，横坐标分别为，，抛物线在，两点之间的部分包含边界记为图象，当图象最高点到轴的距离是最低点到轴距离的倍时，直接写出的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，利用此概念解答即可．
本题考查了相反数的定义，掌握其概念是解决此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：将数据亿用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由两个圆和一个长方形可以围成圆柱，
故选：．
根据由两个圆和一个长方形可以围成圆柱得出结论即可．
本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握基本几何体的展开图是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：方程，
，
方程有两个相等的实数根．
故选：．
计算出根的判别式的值，判断其符号即可得到方程解的情况．
此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，米，
，
，
米，
故选：．
根据题意可以得到，米，然后根据锐角三角函数，即可表示出的长
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

6.【答案】 

【解析】解：为的直径，
，
，
，
，
故选：．
根据为的直径，可以得出所对弧为半圆，可以得出，即可得出答案．
此题主要考查了圆周角定理的推论，根据已知可以得出是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：过点作于点，如图，则，
由作法得平分，
而，，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
．
故选：．
过点作于点，如图，则，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，接着证明为等腰直角三角形得到，然后计算即可．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和等腰直角三角形的性质．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点的坐标是解题的关键．
过点作轴于，根据正方形的性质可得，，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后写出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出的值．
【解答】
解：如图，过点作轴于，在正方形中，，，
，
，
，
点的坐标为，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
点的坐标为，
反比例函数的图象过点，
，
反比例函数的表达式为．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：根据题意，千克桔子售价为元，所以应找回元．
故答案为：．
单价重量应付的钱；剩余的钱即为应找回的钱．
此题考查了列代数式，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，列出代数式．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
．
先提取公因式，再利用平方差公式对因式进行分解．
本题是考查学生对分解因式的掌握情况．因式分解有两步，第一步提取公因式，第二步再利用平方差公式对因式进行分解，得到结果，在作答试题时，许多学生分解不到位，提取公因式不完全，或者只提取了公因式．
 

11.【答案】 

【解析】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，
过直角顶点作，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
先利用平行线的性质得出，，最后利用直角三角形的性质即可．
本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟记性质并灵活运用，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，交于，

延对折和重合，，
，，，，
，是等边三角形，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积


，
故答案为：．
连接，交于，根据对折得出，，，，求出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，求出，求出，再分别求出扇形和的面积即可．
本题考查了等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：圆心角为，半径为的扇形的面积．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，与对称轴交于点，则此时，取得最小值，
二次函数，
该函数的对称轴为直线，当时，，，当时，，
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
设直线的解析式为，
，解得，
即直线的解析式为，
点在二次函数的对称轴上的一动点，
点的横坐标为，
点在直线上，
点的纵坐标，
点的纵坐标与横坐标之和为：，
故答案为：．
根据题意和两点之间线段最短，先确定点所在的位置，然后根据题意和图形求出点的横坐标和纵坐标，再将横坐标和纵坐标相加，即可解答本题．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、轴对称，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
 

15.【答案】解：

，
当时，原式． 

【解析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
 

16.【答案】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两次摸出的小球上的数字都是偶数的结果有种，
两次摸出的小球上的数字都是偶数的概率为． 

【解析】画树状图，共有种等可能的结果，其中两次摸出的小球上的数字都是偶数的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

17.【答案】解：设类足球的单价是元，则类足球的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
答：类足球的单价是元． 

【解析】设类足球的单价是元，则类足球的单价是元，由题意：第一次用元购进类足球若干个，第二次又用元购进类足球，购进数量比第一次多了个，列出分式方程，解方程即可．
此题主要考查了分式的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】证明：，
，
，
四边形是平行四边形；
解：，
，
，，
，
，
平分，，，
，
由得：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
故答案为：．
证，再由，即可得出结论；
先由锐角三角函数定义求出，再由勾股定理求出，然后由角平分线的性质得，最后由锐角三角函数定义求出的长，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义、角平分线的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图，线段即为所求；
如图，点即为所求答案不唯一；
如图，点即为所求．
 

【解析】根据要求作出图形即可；
取的中点，连接即可；
取格点，连接交于点，连接，点即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：；
组学生有：人，
补全的频数分布直方图如图所示；

；
人，
答：估算全校成绩达到优秀的有人． 

【解析】【解答】
，
故答案为：；
见以上答案
由频数分布直方图可知，
第和个数据均落在组，
故抽取的这名学生成绩的中位数落在组，
故答案为：；
见以上答案

本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确统计图的特点和中位数的含义，利用数形结合的思想解答．
根据组的频数和所占的百分比，可以求得的值；
根据中的值和频数分布直方图中的数据，可以计算出组的频数，从而可以将频数分布直方图补充完整；
根据频数分布直方图可以得到中位数落在哪一组；
根据直方图中的数据，可以计算出全校成绩达到优秀的人数．
 

21.【答案】 

【解析】解：线段表示轿车在途中停留了，
故答案为：；
设线段对应的函数解析式是，
将，代入得：
，
解得，
答：线段对应的函数解析式是；
货车匀速行驶，速度为，
线段函数表达式是，
由得：，即时，轿车追上货车，
轿车到达加油站时，，
在中，令，得，
甲地与加油站之间的距离是．
观察图象直接可得轿车在途中停留了；
设线段对应的函数解析式是，将，代入得线段对应的函数解析式是；
货车匀速行驶，速度为，由得时，轿车追上货车，故轿车到达加油站时，，即得，从而知甲地与加油站之间的距离是
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图，列出函数关系式．
 

22.【答案】   

【解析】解：，，
，
点、、分别为、、的中点，
，，，，
，，，
，
，
，
故答案为：，．

是等边三角形，理由如下：
由旋转得：，
又，，
≌，
，，
点、、分别为、、的中点，
，，，，
，，，
，
，
，
是等边三角形；

由三角形三边关系可知：，
即，
的最大值为，
由知：是等边三角形，，
时，最大，
最大为：．
根据，，得，再根据三角形中位线定理可知，，，，利用平行线的性质可证得；
先通过证明≌，得，，再由同理可证；
由三角形三边关系可知：，由知：是等边三角形，，则最大值为，即可求得的最大面积．
此题是几何变换综合题，主要了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，等边三角形的判定，等腰直角三角形的判定等知识，利用平行线的性质证明是解题的关键．
 

23.【答案】解：，
，
当点在线段上时，，
当点在线段上时，，
综上所述：；
如图，

四边形是平行四边形，
，，
∽，
，
点是的中点，
，
，
，
，
；
如图，

当时，
同理得：，
，
当时，时钝角三角形，
当，
，
∽，
，
，
，
，
当时，是钝角三角形，
综上所述：或；
如图，

当点到和距离相等时，点在的平分线上，
，
，
，
，
，
，
，
如图，

当点到和的距离相等时，点在的平分线上，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述：或． 

【解析】当点在线段上时，，当点在线段上时，，从而得出结果；
证明∽，从而得出，进一步得出结论；
求出临界：和时的的值，进而求得结果；
分为点到和距离相等和到和的距离相等两种情形，当到和的距离相等时，可推出是等腰三角形，从而得出，当到和的距离相等时，可推出，进一步得出结果．
本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的判定，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形．
 

24.【答案】 

【解析】解：抛物线经过点，
，
解得：；
当时，，
顶点坐标为，
当时，当，，当，或，
，
，
故答案为：；
，
当时，
当时，函数的图象最低点到直线的距离为，
，
解得：；
当时，
当时，函数的图象最低点到直线的距离为，
，
，
当时，解得：或舍去，
当时，，无解；
综上所述，的值为或．
由题意得：，，
当时，
若，则图象最高点为，最低点为为顶点，
，恒成立；
；
若，则图象最高点为，最低点为，
，
解得：舍去，
若，则图象最高点为，最低点为顶点，
，
解得：舍去或舍去，
若，则图象最高点为，最低点为顶点，
，恒成立；
综上所述，的取值范围为或．
把点代入，求解即可；
把代入得，当，，当，或，及顶点坐标为，即可求解；
分两种情况讨论，由函数图象最低点到直线的距离为，列出方程可求解；
分四种情况讨论，根据图象最高点到轴的距离是最低点到轴距离的倍，列出方程即可求解．
本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标，分类讨论思想等知识，情况比较复杂，关键是根据点的位置的不确定性进行分类讨论，确保不重不漏．