人教版数学八年级上册专项培优练习十三《几何综合题》（含答案）

人教版数学八年级上册专项培优练习十三

《几何综合题》

1.已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M，N分别是射线AE，AF上的点，且PM=PN.

(1)如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时，求证：BM=CN；

(2)在(1)的条件下，直接写出线段AM，AN与AC之间的数量关系________；

(3)如图2，当点M在线段AB的延长线上，点N在线段AC上时，若AC：PC=2：1，且PC=4，求四边形ANPM的面积.

2.如图1，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F.

(1)直接写出∠AFC的度数：       ；

(2)请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

(3)如图2，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，试判断线段AE、CD与AC之间的数量关系并说明理由.

3.如图1，已知在△ABC中，∠A是锐角，AB=AC，点D，E分别在AC，AB上，BD与CE相交于点O，且∠DBC=∠ECB=∠A.

(1)写出图1中与∠A相等的角，并加以证明：

(2)判断BE与CD之间的数量关系，并说明理由.

小刚通过观察度量，找到了∠A相等的角，并利用三角形外角的性质证明了结论的正确性；他又利用全等三角形的知识，得到了BE=CD.

小刚继续思考，提出新问题：如果AB≠AC，其他条件不变，那么上述结论是否仍然成立？小刚画出图2，通过分析得到猜想：当AB≠AC时，上述结论仍然成立，小组同学又通过讨论，形成了证明第(2)问结论的几种想法：

想法1：在OE上取一点F，使得OF=OD，故△OBF≌△OCD，欲证BE=CD，即证BE=BF.

想法2：在OD的延长线上取一点M，使得OM=OE，故△OBE≌△OCM，欲证BE=CD，即证CD=CM.

想法3：分别过点B，C作OE和OD的垂线段BP，CQ，可得△OBP≌△OCQ，欲证BE=CD，即证△BEP≌△CDQ.

……

请你参考上面的材料，解决下列问题：

(1)直接写出图2中与∠A相等的一个角；

(2)请你在图2中，帮助小刚证明BE=CD.(一种方法即可)

4.如图，已知A(﹣2，0)，B(0，﹣4)，C(1，1)，点P为线段OB上一动点(不包括点O)，CD⊥CP交x轴于点D，当P点运动时：

(1)求证：∠CPO=∠CDO；

(2)求证：CP=CD；

(3)下列两个结论：①AD﹣BP的值不变；②AD+BP的值不变，选择正确的结论求其值.

5.如图1，Rt△ABC≌Rt△DFE，其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF.

(1)若两个三角形按图2方式放置，AC、DF交于点O，连接AD、BO，则AF与CD的数量关系为　 　，BO与AD的位置关系为　 　；

(2)若两个三角形按图3方式放置，其中C、B(D)、F在一条直线上，连接AE，M为AE中点，连接FM、CM.探究线段FM与CM之间的关系，并证明；

(3)若两个三角形按图4方式放置，其中B、C(D)、F在一条直线上，点G、H分别为FC、AC的中点，连接GH、BE交于点K，求证：BK=EK.

6.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点.A、B两点的坐标分别为A(m，0)、B(0，n)，且|m−n−3|+=0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P运动时间为t秒.

(1)求OA、OB的长；

(2)连接PB，若△POB的面积不大于3且不等于0，求t的范围；

(3)过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.

7.如图1，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形，并将添加的全等条件标注在图上.

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

(1)如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，求∠EFA的度数；

(2)在(1)的条件下，请判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由；

(3)如图3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而( 1 )中的其他条件不变，试问在(2)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

8.如图1，已知在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，连接AO，

(1)①指出图中所有的等腰三角形，并就其中的一个进行证明；

②若AB=6，AC=5，则△ADE的周长为        ；

(2)若AO⊥DE，求证：△ABC为等腰三角形；

(3)若OD=OE，△ABC是否仍为等腰三角形?请证明你的结论.

9.在平面直角坐标系中，已知点A(8，0)，B(0，﹣8)，连接AB.

(1)如图①，动点C在x轴负半轴上，且AH⊥BC交BC于点H、交OB于点P，求证：△AOP≌△BOC；

(2)如图②，在(1)的条件下，连接OH，求证：2∠OHP=∠AHB；

(3)如图③，E为AB的中点，动点G在y轴上，连接GE，作EF⊥GE交x轴于F，猜想GB，OB、AF三条线段之间的数量关系，并说明理由.

10.如图，在平面直角坐标系中，已知两点A(m，0)，B(0，n)(n＞m＞0)，点C在第一象限，AB⊥BC，BC=BA，点P在线段OB上，OP=OA，AP的延长线与CB的延长线交于点M，AB与CP交于点N.

(1)点C的坐标为：　　(用含m，n的式子表示)；

(2)求证：BM=BN；

(3)设点C关于直线AB的对称点为D，点C关于直线AP的对称点为G，求证：D，G关于x轴对称.

11.已知△ABC中，∠ACB=90°，

(1)如图1，点B与点D关于直线AC对称，连AD，点E、F分别是线段CD、AB上的点(点E不与点D、C重合)，且∠AEF=∠ABC，∠ABC=2∠CAE.求证：BF=DE.

(2)如图2：若AC=BC，BD⊥AD，连DC，求证：∠ADC=45°

12.如图，△ABC和△AOD是等腰直角三角形，AB=AC，AO=AD，∠BAC=∠OAD=90°，点O是△ABC内的一点，∠BOC=130°.

(1)求证：OB=DC；

(2)求∠DCO的大小；

(3)设∠AOB=α，那么当α为多少度时，△COD是等腰三角形.

参考答案

1.解：(1)如图1，

∵点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE，PC⊥AF，
∴PB=PC，∠PBM=∠PCN=90°，
∵在Rt△PBM和Rt△PCN中，PBM=∠PCN=90°，PM=PN，PB=PC ，
∴Rt△PBM≌Rt△PCN(HL)，
∴BM=CN

   
(2)AM+AN=2AC
(3)解：如图2，∵点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE，PC⊥AF，
∴PB=PC，∠PBM=∠PCN=90°，
∵在Rt△PBM和Rt△PCN中，PBM=∠PCN=90°，PM=PN，PB=PC，
∴Rt△PBM≌Rt△PCN(HL)，
∴BM=CN，
∴S△PBM=S△PCN
∵AC：PC=2：1，PC=4，
∴AC=8，
∴由(2)可得，AB=AC=8，PB=PC=4，
∴S四边形ANPM=S△APN+S△APB+S△PBM=S△APN+S△APB+S△PCN=S△APC+S△APB
= AC•PC+ AB•PB= ×8×4+ ×8×4=32

2.解：(1)∵∠ACB=90°，∠B=60°，

∴∠BAC=90°﹣60°=30°，

∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，

∴∠FAC=15°，∠FCA=45°，

∴∠AFC=180°﹣(∠FAC+∠ACF)=120°

(2)解：FE与FD之间的数量关系为：DF=EF.

理由：如图2，在AC上截取CG=CD，

∵CE是∠BCA的平分线，

∴∠DCF=∠GCF，

在△CFG和△CFD中，

，

∴△CFG≌△CFD(SAS)，

∴DF=GF.

∵∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，

∴∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB，且∠EAF=∠GAF，

∴∠FAC+∠FCA=(∠BAC+∠ACB)=(180°﹣∠B)=60°，

∴∠AFC=120°，

∴∠CFD=60°=∠CFG，

∴∠AFG=60°，

又∵∠AFE=∠CFD=60°，

∴∠AFE=∠AFG，

在△AFG和△AFE中，

，

∴△AFG≌△AFE(ASA)，

∴EF=GF，

∴DF=EF；

(3)结论：AC=AE+CD.

理由：如图3，在AC上截取AG=AE，

同(2)可得，△EAF≌△GAF(SAS)，

∴∠EFA=∠GFA.

又由题可知，∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB，

∴∠FAC+∠FCA=(∠BAC+∠ACB)=(180°﹣∠B)=60°，

∴∠AFC=180°﹣(∠FAC+∠FCA)=120°，

∴∠EFA=∠GFA=180°﹣120°=60°=∠DFC，

∴∠CFG=∠CFD=60°，

同(2)可得，△FDC≌△FGC(ASA)，

∴CD=CG，

∴AC=AG+CG=AE+CD.

3.解：(1)与∠A相等是∠BOE或∠COD；

(2)如图2，在OE上取一点F，使得OF=OD，

∵∠DBC=∠ECB=∠A，

∴OB=OC，

∵∠BOE=∠COD，

∴△OBF≌△OCD(SAS).

∴BF=CD，∠OBF=∠OCD.

∵∠BFE=∠ECB+∠CBF=∠ECB+∠DBC+∠OBF=∠A+∠A+∠OBF=∠A+∠OBF，

∵∠BEC=∠A+∠OCD=∠A+∠OBF，

∴∠BFE=∠BEC.

∴BE=BF.

∴BE=CD.

4. (1)证明：∵x轴⊥y轴，CP⊥CD，

∴∠DCP=∠DOP=90°，

∴∠CPO+∠OKP=∠CDO+∠CKD=90°，

∵∠OKP=∠CKD，

∴∠CPO=∠CDO；

(2)证明：过C作CN⊥x轴于N，CQ⊥y轴于Q，

则∠CND=∠CQP=90°，

∵C(1，1)，

∴CQ=CN，

在△CND和△CQP中，

，

∴△CND≌△CQP(AAS)，

∴CP=CD；

(3)解：AD+BP的值不变，

∵A(﹣2，0)，B(0，﹣4)，C(1，1)，

∴AN=2+1=3，BQ=4+1=5，

∵△CND≌△CQP，

∴QP=ND，

∵AD+BP=AN+ND+BP=AN+QP+BP=AN+QB=3+5=8，

∴AD+BP的值不变，是8.

5.解：(1)如图2中，

∵Rt△ABC≌Rt△DFE(已知)，

∴AB=BD，BC=BF，

∴AF=CD，

∵∠AFO=∠DCO=90°，∠AOF=∠DOC，

∴△AOF≌△DOC(AAS)，

∴OA=OC，∵BA=BD，

∴BO垂直平分线段AD.

∴BO⊥AD，

故答案为：AF=CD，BO⊥AD.

(2)结论：FM=MC，FM⊥CM.

理由：如图3中，延长FM交CA的延长线于H.

∵∠ACB+∠EFC=180°，B，F，C共线，

∴EF∥CH，

∴∠EFM=∠H，

∵EM=MA，∠EMF=∠AMH，

∴△EFM≌△AHM(AAS)，

∴FM=MH，EF=AH，

∵∠FCH=90°，

∴CM=FM=MH，

即FM=MC，

∵△Rt△ABC≌Rt△DFE(已知)，

∴BF=AC，EF=BC，

∴BA=AH，

∴FC=CH，

∵FM=MH，

∴CM⊥FM.

(3)如图4中，连接BH，EG，在HG上取一点J，使得BJ=BH.

∵Rt△ABC≌Rt△DFE(已知)，

∴BC=EF，AC=CF，

∵CH=AH，CG=GF，

∴CH=FG，

∵∠BCH=∠F=90°，

∴△BCH≌△EFG(SAS)，

∴∠CBH=∠FEG，

∵CH=CG，∠GCH=90°，

∴∠CGH=∠CHG=45°，

∴∠BHG=180°﹣45°﹣∠GBH=135°﹣∠GBH，

∵∠CGE=∠CGH+∠HGE=90°+∠GEF，

∴∠HGE=45°+∠GEF，

∴∠HGE+∠BHG=180°，

∵∠BJK+∠BJH=180°，∠BJH=∠BHJ，

∴∠BJK=∠HGE，

∵GE=BH=BJ，∠BKJ=∠GKE，

∴△BKJ≌△EKG(AAS)，

∴BJ=GE.

6.解：(1)∵由题意可知，

∴m-n-3=0，2n-6=0，解得：n=3，m=6，

∴OA=6，OB=3；

(2)分为两种情况：

①当P在线段OA上时，AP=t，PO=6-t，

∴△BOP的面积S=×(6-t)×3=9-t，

∵若△POB的面积不大于3且不等于0，

∴0＜9- t≤3，解得：4≤t＜6；

②当P在线段OA的延长线上时，如图，

AP=t，PO=t-6，∴△BOP的面积S=

×(t-6)×3=t-9，

∵若△POB的面积不大于3且不等于0，

∴0＜t-9≤3，解得：6＜t≤8；

即t的范围是4≤t≤8且t≠6；

(3)分为两种情况：①当OP=OA=6时，E应和B重合，但是此时PE和AB又不垂直，

即此种情况不存在；

②当OP=OB=3时，分为两种情况(如图)：第一个图中t=3，

第二个图中AP=6+3=9，即t=9；

即存在这样的点P，使△EOP≌△AOB，t的值是3或9.

7.解：(1)如图2，∵∠ACB=90°，∠B=60°.

∴∠BAC=30°.

∵AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，

∴∠DAC=0.5∠BAC=15°，∠ECA=0.5∠ACB=45°.

∴∠EFA=∠DAC+∠ECA=15°+45°=60°.

(2)FE=FD.如图2，在AC上截取AG=AE，连接FG.

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠EAF=∠GAF，

在△EAF和△GAF中

∵

∴△EAF≌△GAF(SAS)，

∴FE=FG，∠EFA=∠GFA=60°.

∴∠GFC=180°﹣60°﹣60°=60°.

又∵∠DFC=∠EFA=60°，

∴∠DFC=∠GFC.

在△FDC和△FGC中

∵

∴△FDC≌△FGC(ASA)，

∴FD=FG.

∴FE=FD.

(3)(2)中的结论FE=FD仍然成立.同(2)可得△EAF≌△HAF，

∴FE=FH，∠EFA=∠HFA.

又由(1)知∠FAC=0.5∠BAC，∠FCA=0.5∠ACB，

∴∠FAC+∠FCA=0.5(∠BAC+∠ACB)=0.5=60°.

∴∠AFC=180°﹣(∠FAC+∠FCA)=120°.

∴∠EFA=∠HFA=180°﹣120°=60°.

同(2)可得△FDC≌△FHC，

∴FD=FH.

∴FE=FD.

8.解：(1)①图中△BDO和△CEO为等腰三角形，

∵OB平分∠ABC，

∴∠DBO=∠OBC，

∵DE∥BC，

∴∠DOB=∠OBC，

∴∠DBO=∠DOB，

∴DB=DO，

∴△ODB为等腰三角形，

同理△OEC为等腰三角形；

②11；

(2)∵OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，

∴OA平分∠BAC，

∴∠DAO=∠EAO，

又OA⊥DE，

∴∠AOD=90°=∠AOE，

∴∠AOD=∠AOE，

∴AD=AE，

∴OD=OE，

又DB=OD，EC=OE，

∴AB=AC，

∴△ABC为等腰三角形.

(3)△ABC仍为等腰三角形.

过点O作OG⊥AD于G点，OH⊥AE于H点，

∵OA平分∠BAC，

∴OG=OH，∠DAO=∠EAO，

∴AG=AH，

又∵OD=OE，

∴Rt△OGD≌Rt△OHE，

∴DG=EH，

∴AD=AE，

又OB=OD，OC=OE，

∴AB=AC，

∴△ABC为等腰三角形.

9.(1)证明：如图①中，

∵AH⊥BC即∠AHC=90°，∠COB=90°

∴∠HAC+∠ACH=∠OBC+∠OCB=90°，

∴∠HAC=∠OBC.

在△OAP与△OBC中，

，

∴△OAP≌△OBC(ASA)，

(2)过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，如图②.

在四边形OMHN中，∠MON=360°﹣3×90°=90°，

∴∠COM=∠PON=90°﹣∠MOP.

在△COM与△PON中，

，

∴△COM≌△PON(AAS)，

∴OM=ON.

∵OM⊥CB，ON⊥HA，

∴HO平分∠CHA，

∴∠OHP=∠CHA=45°，

∵∠AHB=90°，

∴2∠OHP=∠AHB.

(3)结论：当点G在y轴的正半轴上时，BG﹣BO=AF.

当点G在线段OB上时，OB=BG+AF.

当点G在线段OB的延长线上时，AF=OB+BG.

当点G在y轴的正半轴上时，理由如下：连接OE，如图3.

∵∠AOB=90°，OA=OB，E为AB的中点，

∴OE⊥AB，∠BOE=∠AOE=45°，OE=EA=BE，

∴∠OAD=45°，∠GOE=90°+45°=135°，

∴∠EAF=135°=∠GOE.

∵GE⊥EF即∠GEF=90°，

∴∠OEG=∠AEF，

在△GOE与△FAE中，

，

∴△GOE≌△FAE，

∴OG=AF，

∴BG﹣BO=GO=AF，

∴BG﹣BO=AF.

其余两种情形证明方法类似.

10.解：(1)过C点作CE⊥y轴于点E，

∵CE⊥y轴，

∴∠BEC=90°，

∴∠BEC=∠AOB，

∵AB⊥BC，

∴∠ABC=90°，

∴∠ABO+∠CBE=90°，

∵∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠CBE=∠BAO，

在△AOB与△BEC中，

，

∴△AOB≌△BEC(AAS)，

∴CE=OB=n，BE=OA=m，

∴OE=OB+BE=m+n，

∴点C的坐标为(n，m+n).

故答案为：(n，m+n)；

(2)证明：∵△AOB≌△BEC，

∴BE=OA=OP，CE=BO，

∴PE=OB=CE，

∴∠EPC=45°，

∠APC=90°，

∴∠1=∠2，

在△ABM与△CBN中，

，

∴△ABM≌△CBN(ASA)，

∴BM=BN；

(3)证明：∵点C关于直线AB的对称点为D，点C关于直线AP的对称点为G，

∴AD=AC，AG=AC，

∴AD=AG，

∵∠1=∠5，∠1=∠6，

∴∠5=∠6，

在△DAH与△GAH中，

，

∴△DAH≌△GAH(SAS)，

∴D，G关于x轴对称.

11.解：(1)如图1，

过点E作EH⊥AB于H，交AC于M，

设∠CAE=α，

∴∠ABC=2∠CAE=2α，

∵∠ACB=90°，

∴∠CME=∠ABC=2α，

∴∠AEH=∠CME﹣∠CAE=2α﹣α=α，

∵∠AEF=∠ABC，

∴∠AEF=2α，

∴∠FEH=∠AEF﹣∠AEH=α=∠AEH，

∵EH⊥AB，

∴AE=FE，

∵AC⊥BD，

∵点B与点D关于AC对称，

∴∠ADB=∠ABC=2α，

在△ADE中，∠AED+∠DAE+∠ADB=180°，

∵∠AED+∠AEF+∠BEF=180°，

∴∠DAE+∠ADB=∠AEF+∠BEF，

∵∠AEF=∠ABC，

∴∠DAE+∠ADB=∠ABC+∠BEF

∴∠DAE=∠BEF，

在△ADE和△EBF中，

，

∴△ADE≌△EBF，

∴DE=BF；

(2)如图2，过点C作CN⊥CD交AD于N，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACN=∠BCD，

∵∠ACB=90°=∠ADB，

∴∠CAN=∠CBD，

在△ACN和△CBD中，

，

∴△ACN≌△CBD，

∴CN=CD，

∵∠DCN=90°，

∴∠ADC=45°；

12. (1)证明：

∵∠BAC=∠OAD=90°

∴∠BAC﹣∠CAO=∠OAD﹣∠CAO

∴∠DAC=∠OAB

在△AOB与△ADC中

∴△AOB≌△ADC，

∴OB=DC；

(2)∵∠BOC=130°，

∴∠BOA+∠AOC=360°﹣130°=230°，

∵△AOB≌△ADC

∠AOB=∠ADC，

∴∠ADC+∠AOC=230°，

又∵△AOD是等腰直角三角形，

∴∠DAO=90°，

∴四边形AOCD中，∠DCO=360°﹣90°﹣230°=40°；

(3)当CD=CO时，

∴∠CDO=∠COD=70°

∵△AOD是等腰直角三角形，

∴∠ODA=45°，

∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=70°+45°=115°

又∠AOB=∠ADC=α

∴α=115°；

当OD=CO时，

∴∠DCO=∠CDO=40°

∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=40°+45°=85°

∴α=85°；

当CD=OD时，

∴∠DCO=∠DOC=40°

∠CDO=180°﹣∠DCO﹣∠DOC=180°﹣40°﹣40°=100°

∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=100°+45°=145°

∴α=145°；

综上所述：当α的度数为115°或85°或145°时，△AOD是等腰三角形.