2022年河北省石家庄市新乐实验学校中考数学模拟试卷（一）(含答案)

这是一份2022年河北省石家庄市新乐实验学校中考数学模拟试卷（一）(含答案)，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年河北省石家庄市新乐实验学校中考数学模拟试卷（一）
一、选择题（本大题共16个小题，1～6小题，每小题2分；7～16小题，每小题2分，典42分）
1．（2分）2的绝对值是（　　）
A．﹣2 B． C．2 D．±2
2．（2分）下列运算正确的是（　　）
A．m2•m3＝m6 B．m8÷m4＝m2 C．3m+2n＝5mn D．（m3）2＝m6
3．（2分）已知一组数据4，5，4，6，则这组数据的众数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
4．（2分）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（　　）

A．40° B．50° C．130° D．150°
5．（2分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．a＞b+2 B．a+2＞b+1 C．﹣a＞﹣b D．|a|＞|b|
6．（2分）将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为（　　）
A．y＝（x+2）2﹣2 B．y＝（x﹣4）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2+5
7．（3分）在△ABC中，AB＝1，BC＝，下列选项中，可以作为AC长度的是（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y＝﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为（　　）

A． B． C． D．
9．（3分）一辆汽车从甲地开往乙地，开始以正常速度匀速行驶，但行至途中汽车出了故障，只好停下修车，修好后，为了按时到达乙地，司机加快了行驶速度并匀速行驶．下面是汽车行驶路程S（千米）关于时间t（小时）的函数图象，那么能大致反映汽车行驶情况的图象是（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH＝（　　）

A．cm B．cm C．cm D．cm
11．（3分）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i＝1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°＝0.45）（　　）

A．21.7米 B．22.4米 C．27.4米 D．28.8米
12．（3分）如图所示，六边ABCDEF中，AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，BC平行且等于FE，对角线FD⊥BD．已知FD＝24，BD＝18．则六边形ABCDEF的面积是（　　）

A．423 B．432 C．405 D．234
13．（3分）已知m，n是方程x2+2016x+7＝0的两个根，则（m2+2015m+6）（n2+2017n+8）＝（　　）
A．2008 B．8002 C．2009 D．2020
14．（3分）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′．则图中阴影部分面积为（　　）

A． B． C． D．π
15．（3分）如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y．定义（x，y）为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线x＝1，y＝3将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中．则下面叙述中正确的是（　　）

A．点A的横坐标有可能大于3
B．矩形1是正方形时，点A位于区域②
C．当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小
D．当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等
16．（3分）点A，B的坐标分别为（﹣2，3）和（1，3），抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的顶点在线段AB上运动时，形状保持不变，且与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），给出下列结论：①c＜3；②当x＜﹣3时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为﹣5；④当四边形ACDB为平行四边形时，．其中正确的是（　　）
A．②④ B．②③ C．①③④ D．①②④
二、填空题（本大题有3个小题，共10分。17～18小题各3分；19小题4分。把答案写在题中横线上）
17．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，P为AD上一个动点，连接BP，线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ，当点P从点A运动到点D时，线段PQ在平面内扫过的面积为 　 　．

19．（4分）某超市销售一款洗手液，其成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款的销售单价为x（元），每天的销售量为（瓶）．
（1）每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式为 　 　；
（2）销售这款“洗手液”每天的最大利润为 　 　．
三、解答题（本大题共7个小题，共68分。解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）整式mx+n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值：
x
﹣2
﹣1
0
1
2
mx+n
﹣12
﹣8
﹣4
0
4
求关于x的方程﹣mx+n＝8的解．
21．（9分）如图，两条公路AB，CD（均视为直线）．东西向公路CD段限速，规定最高行驶速度不能超过60千米/时，并在南北向公路离该公路100米的A处设置了一个监测点．已知点C在A的北偏西60°方向上，点D在A的北偏东45°方向上．
（1）经监测，一辆汽车从点C匀速行驶到点D所的时间是15秒，请通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速？（参考数据：＝1.732）
（2）若一辆大货车在限速路上由D处向西行驶，一辆小汽车在南北向公路上由A处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少？

22．（9分）为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）本次抽样测试的学生人数是　 　；
（2）图1中∠α的度数是　 　，并把图2条形统计图补充完整；
（3）该县九年级有学生3500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为　 　．
（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．
23．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC＞BC，BD是AC边上的高，点C关于直线BD的对称点为点E，连接BE．
（1）①依题意补全图形；
②若∠BAC＝α，求∠DBE的大小（用含α的式子表示）；
（2）若DE＝2AE，点F是BE中点，连接AF，BD＝4，求AF的长．

24．（10分）一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休整后提速行驶至乙地．货车的路程y1（km），小轿车的路程y2（km）与时间x（h）的对应关系如图所示．
（1）甲乙两地相距多远？小轿车中途停留了多长时间？
（2）①写出y1与x的函数关系式；
②当x≥5时，求y2与x的函数解析式；
（3）货车出发多长时间与小轿车首次相遇？相遇时与甲地的距离是多少？

25．（11分）【问题实验】如图①，在地面BD上有两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y＝x2﹣x+3的绳子．

（1）求绳子最低点到地面的距离；
（2）如图②，因实际需要，需用一根立柱MN撑起绳子．
①若在离AB为4米的位置处用立柱MN撑起，使立柱左侧的抛物线的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；
②将立柱MN来回移动，移动过程中，在一定范围内，总保持立柱MN左侧抛物线的形状不变，其函数表达式为y＝x2﹣mx+3，当抛物线最低点到地面距离为0.5米时，求m的值．
【问题抽象】如图③，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣mx+3（x＜0）的图象记为M1，函数y＝﹣mx+3（x≥0）的图象记为M2，其中m是常数，图象M1、M2合起来得到的图象记为M．设M在﹣3≤x≤2上的最低点纵坐标为y0，当﹣6≤y0≤2时，直接写出m的取值范围．
26．（12分）在△ABC中，∠ACB是锐角，点D在射线BC上运动，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接EC．
（1）操作发现：若AB＝AC，∠BAC＝90°，当D在线段BC上时（不与点B重合），如图①所示，线段CE和BD的位置关系是　 　，数量关系是　 　；（请直接写出结果）
（2）猜想论证：在（1）的条件下，当D在线段BC的延长线上时，如图②所示，请你判断（1）中结论是否成立，并证明你的判断．
（3）拓展延伸：如图③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动，试探究：当锐角∠ACB等于多少度时，线段CE和BD之间的位置关系仍成立（点C、E重合除外），请说明理由．此时若作DF⊥AD交线段CE于点F，且当AC＝3时，求线段CF长度的最大值．


2022年河北省石家庄市新乐实验学校中考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16个小题，1～6小题，每小题2分；7～16小题，每小题2分，典42分）
1．（2分）2的绝对值是（　　）
A．﹣2 B． C．2 D．±2
【分析】利用绝对值的意义进行求解即可．
【解答】解：2的绝对值就是在数轴上表示2的点到原点的距离，即|2|＝2，
故选：C．
【点评】本题考查绝对值的意义，一个正数的绝对值等于它本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0．
2．（2分）下列运算正确的是（　　）
A．m2•m3＝m6 B．m8÷m4＝m2 C．3m+2n＝5mn D．（m3）2＝m6
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方的计算法则进行计算即可．
【解答】解：m2•m3＝m2+3＝m5，因此选项A不正确；
m8÷m4＝m8﹣4＝m4，因此选项B不正确；
3m与2n不是同类项，因此选项C不正确；
（m3）2＝m3×2＝m6，因此选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查同底数幂的乘除法、幂的乘方的计算方法，掌握计算方法是正确计算的前提．
3．（2分）已知一组数据4，5，4，6，则这组数据的众数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【分析】根据众数的定义就可以求解．
【解答】解：在数据4，5，4，6中，4出现的次数最多，所以众数是4．
故选：A．
【点评】本题主要考查了众数的概念．注意众数是指一组数据中出现次数最多的数据，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的．
4．（2分）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（　　）

A．40° B．50° C．130° D．150°
【分析】由a∥b，利用“两直线平行，同位角相等”可求出∠2的度数．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠2＝∠1＝50°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
5．（2分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．a＞b+2 B．a+2＞b+1 C．﹣a＞﹣b D．|a|＞|b|
【分析】根据不等式的基本性质对给出的式子进行变形，即可得出答案．
【解答】解：A、因为a＞b，所以a+2＞b+2，故本选项不合题意；
B、因为a＞b，所以a+1＞b+1，所以a+2＞b+1，故本选项符合题意；
C、因为a＞b，所以﹣a＜﹣b，故本选项不合题意；
D、当a＝1，b＝﹣2时，|a|＜|b|，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
6．（2分）将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为（　　）
A．y＝（x+2）2﹣2 B．y＝（x﹣4）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2+5
【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+2+3，即y＝（x﹣1）2+5；
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
7．（3分）在△ABC中，AB＝1，BC＝，下列选项中，可以作为AC长度的是（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
【分析】根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可以得到AC的长度可以取得的数值的取值范围，从而可以解答本题．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝1，BC＝，
∴﹣1＜AC＜+1，
∵﹣1＜2＜+1，4＞+1，5＞+1，6＞+1，
∴AC的长度可以是2，
故选项A正确，选项B、C、D不正确；
故选：A．
【点评】本题考查三角形三边关系，解答本题的关键是明确题意，利用三角形三边关系解答．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y＝﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，
∵∠PMQ＝∠PNQ′＝∠QPQ′＝90°，
∴∠QPM+∠NPQ′＝∠PQ′N+∠NPQ′，
∴∠QPM＝∠PQ′N
在△PQM和△Q′PN中，

∴△PQM≌△Q′PN（AAS），
∴PN＝QM，Q′N＝PM，
设Q（m，﹣），
∴PM＝|m﹣1|，QM＝|﹣m+2|，
∴ON＝|3﹣m|，
∴Q′（3﹣m，1﹣m），
∴OQ′2＝（3﹣m）2+（1﹣m）2＝m2﹣5m+10＝（m﹣2）2+5，
当m＝2时，OQ′2有最小值为5，
∴OQ′的最小值为，
故选：B．

【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的变换﹣旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．
9．（3分）一辆汽车从甲地开往乙地，开始以正常速度匀速行驶，但行至途中汽车出了故障，只好停下修车，修好后，为了按时到达乙地，司机加快了行驶速度并匀速行驶．下面是汽车行驶路程S（千米）关于时间t（小时）的函数图象，那么能大致反映汽车行驶情况的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
【解答】解：通过分析题意可知，行走规律是：匀速走﹣﹣停﹣﹣匀速走，速度是前慢后快．所以图象是
．
本题选C．
【点评】主要考查了函数图象的读图能力．
10．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH＝（　　）

A．cm B．cm C．cm D．cm
【分析】先求出菱形的边长，然后利用面积的两种表示方法求出DH，在Rt△DHB中求出BH，然后得出AH，利用tan∠HAG的值，可得出GH的值．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，
∴AO＝4cm，BO＝3cm，
在Rt△AOB中，AB＝＝5cm，
∵BD×AC＝AB×DH，
∴DH＝cm，
在Rt△DHB中，BH＝＝cm，
则AH＝AB﹣BH＝cm，
∵tan∠HAG＝＝＝，
∴GH＝AH＝cm．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质、解直角三角形及三角函数值的知识，注意菱形的面积等于对角线乘积的一半，也等于底乘高．
11．（3分）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i＝1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°＝0.45）（　　）

A．21.7米 B．22.4米 C．27.4米 D．28.8米
【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°＝，构建方程即可解决问题；
【解答】解：作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．

在Rt△CDN中，∵＝＝，设CN＝4k，DN＝3k，
∴CD＝10，
∴（3k）2+（4k）2＝100，
∴k＝2，
∴CN＝8，DN＝6，
∵四边形BMNC是矩形，
∴BM＝CN＝8，BC＝MN＝20，EM＝MN+DN+DE＝66，
在Rt△AEM中，tan24°＝，
∴0.45＝，
∴AB＝21.7（米），
故选：A．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
12．（3分）如图所示，六边ABCDEF中，AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，BC平行且等于FE，对角线FD⊥BD．已知FD＝24，BD＝18．则六边形ABCDEF的面积是（　　）

A．423 B．432 C．405 D．234
【分析】连接AC交BD于G，AE交DF于H．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形AEDB和AFDC．易得AC＝FD，EH＝BG．计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积．
【解答】解：连接AC交BD于G，AE交DF于H，如图：

∵AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，
∴四边形AEDB是平行四边形，四边形AFDC是平行四边形，
∴AD∥BD，AC∥FD，AE＝BD，AC＝FD，
∵FD⊥BD，
∴四边形AHDG是矩形，
∴AH＝DG，且AE⊥DF，BD⊥AC，
∴EH＝BG．
∴六边形的面积＝平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积＝FD•BD＝24×18＝432．
故选：B．
【点评】此题要熟悉平行四边形的判定和性质．注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．
13．（3分）已知m，n是方程x2+2016x+7＝0的两个根，则（m2+2015m+6）（n2+2017n+8）＝（　　）
A．2008 B．8002 C．2009 D．2020
【分析】根据m，n是方程x2+2016x+7＝0的两个根，可得m2+2016m+7＝0，n2+2016n+7＝0，m+n＝﹣2016，mn＝7，化简（m2+2015m+6）（n2+2017n+8）＝﹣mn﹣m﹣n﹣1，根据根与系数的关系进一步计算即可．
【解答】解：∵m，n是方程x2+2016x+7＝0的两个根，
∴m2+2016m+7＝0，n2+2016n+7＝0，m+n＝﹣2016，mn＝7，
∴m2+2015m+m+7＝0，n2+2017n﹣n+7＝0，
∴m2+2015m＝﹣m﹣7，n2+2017n＝n﹣7，
∴（m2+2015m+6）（n2+2017n+8）
＝（﹣m﹣7+6）（n﹣7+8）
＝（﹣m﹣1）（n+1）
＝﹣mn﹣m﹣n﹣1
＝﹣7+2016﹣1
＝2008，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
14．（3分）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′．则图中阴影部分面积为（　　）

A． B． C． D．π
【分析】解直角三角形得到AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，然后根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，
∴图中阴影部分面积＝S扇形ACC′﹣S扇形ADB′﹣S△AB′C′＝﹣﹣×1×＝﹣，
故选：B．

【点评】本题主要考查了图形的旋转，扇形的面积公式，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解决问题的关键．
15．（3分）如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y．定义（x，y）为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线x＝1，y＝3将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中．则下面叙述中正确的是（　　）

A．点A的横坐标有可能大于3
B．矩形1是正方形时，点A位于区域②
C．当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小
D．当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等
【分析】A、根据反比例函数k一定，并根据图形得：当x＝1时，y＜3，得k＝xy＜3，因为y是矩形周长的一半，即y＞x，可判断点A的横坐标不可能大于3；
B、根据正方形边长相等得：y＝2x，得点A是直线y＝2x与双曲线的交点，画图，如图2，交点A在区域③，可作判断；
C、先表示矩形面积S＝x（y﹣x）＝xy﹣x2＝k﹣x2，当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，矩形1的面积会越来越大，可作判断；
D、当点A位于区域①，得x＜1，另一边为：y﹣x＞2，矩形2的坐标的对应点落在区域④中得：x＞1，y＞3，即另一边y﹣x＞0，可作判断．
【解答】解：设点A（x，y）（x，y均为正数），
A、设反比例函数解析式为：y＝（k≠0），
由图形可知：当x＝1时，y＜3，
∴k＝xy＜3，
∵x＜y，
∴x2＜xy＜3，
∴x＜＜3，
即点A的横坐标不可能大于3，
故选项A不正确；
B、当矩形1为正方形时，边长为x，y＝2x，
则点A是直线y＝2x与双曲线的交点，如图2，交点A在区域③，
故选项B不正确；
C、当一边为x，则另一边为y﹣x，S＝x（y﹣x）＝xy﹣x2＝k﹣x2，
∵当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，
∴矩形1的面积会越来越大，
故选项C不正确；
D、当点A位于区域①时，
∵点A（x，y），
∴x＜1，y＞3，即另一边为：y﹣x＞2，
矩形2落在区域④中，x＞1，y＞3，即另一边y﹣x＞0，
∴当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等；
如矩形的两条邻边长分别为0.9，2.9时，两个矩形都符合题意且全等，
故选项D正确；
故选：D．

【点评】本题考查了函数图象和新定义，有难度，理由x和y的意义是关键，并注意数形结合的思想解决问题．
16．（3分）点A，B的坐标分别为（﹣2，3）和（1，3），抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的顶点在线段AB上运动时，形状保持不变，且与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），给出下列结论：①c＜3；②当x＜﹣3时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为﹣5；④当四边形ACDB为平行四边形时，．其中正确的是（　　）
A．②④ B．②③ C．①③④ D．①②④
【分析】根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，得到①错误；根据二次函数的增减性判断出②正确；先确定x＝1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③错误；令y＝0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB＝CD，然后列出方程求出a的值，判断出④正确．
【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（﹣2，3）和（1，3），
∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，3），
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），
∴c≤3，（顶点在y轴上时取“＝”），故①错误；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，
∴当x＜﹣2时，y随x的增大而增大，
因此，当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，故②正确；
若点D的横坐标最大值为5，则此时对称轴为直线x＝1，
根据二次函数的对称性，点C的横坐标最小值为﹣2﹣4＝﹣6，故③错误；
根据顶点坐标公式，＝3，
令y＝0，则ax2+bx+c＝0，
CD2＝（﹣）2﹣4×＝，
根据顶点坐标公式，＝3，
∴＝﹣12，
∴CD2＝×（﹣12）＝，
∵四边形ACDB为平行四边形，
∴CD＝AB＝1﹣（﹣2）＝3，
∴＝32＝9，
解得a＝﹣，故④正确；
综上所述，正确的结论有②④．
故选：A．

【点评】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，①要注意顶点在y轴上的情况．
二、填空题（本大题有3个小题，共10分。17～18小题各3分；19小题4分。把答案写在题中横线上）
17．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≥﹣　．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．
【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴x+≥0，
解得：x≥﹣．
故答案为：x≥﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，P为AD上一个动点，连接BP，线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ，当点P从点A运动到点D时，线段PQ在平面内扫过的面积为 　　．

【分析】由矩形的性质求出∠ABQ＝120°，由矩形的性质和轴对称性可知，△BOQ≌△DOC，根据S阴影部分＝S四边形ABQD﹣S扇形ABQ＝2S△ABD﹣S扇形ABQ可求出答案．
【解答】解：∵当点P从点A运动到点D时，PQ＝PA，
∴点Q运动轨迹是圆弧，如图，阴影部分的面积即为线段PQ在平面内扫过的面积，

∵矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠C＝∠Q＝90°．
∴∠ADB＝∠DBC＝∠ODB＝∠OBQ＝30°，
∴∠ABQ＝120°，
由矩形的性质和轴对称性可知，△BOQ≌△DOC，S△ABD＝S△BQD，
∴S阴影部分＝S四边形ABQD﹣S扇形ABQ＝2S△ABD﹣S扇形ABQ，
＝S矩形ABCD﹣S扇形ABQ＝1×﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了矩形的性质，扇形的面积公式，轴对称的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
19．（4分）某超市销售一款洗手液，其成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款的销售单价为x（元），每天的销售量为（瓶）．
（1）每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式为 　y＝﹣40x+880　；
（2）销售这款“洗手液”每天的最大利润为 　360元　．
【分析】（1）销售单价为x（元），销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），则为降低了多少个0.5元，再乘以20即为多售出的瓶数，然后加上80即可得出每天的销售量y；
（2）设每天的销售利润为w元，根据利润等于每天的销售量乘以每瓶的利润，列出w关于x的函数关系式，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）由题意得：y＝80+20×＝﹣40x+880，
∴每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣40x+880，
故答案为：y＝﹣40x+880；
（2）设每天的销售利润为w元，则有：
w＝（﹣40x+880）（x﹣16）
＝﹣40（x﹣19）2+360，
∵a＝﹣40＜0，
∴二次函数图象开口向下，
∵﹣40x+880≥0，
解得x≤22，
∴16≤x≤22，
∴当x＝19时，w有最大值，最大值为360元．
故答案为：360元．
【点评】本题考查了一次函数和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共68分。解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）整式mx+n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值：
x
﹣2
﹣1
0
1
2
mx+n
﹣12
﹣8
﹣4
0
4
求关于x的方程﹣mx+n＝8的解．
【分析】观察表格数据，利用x＝0时，整式值为﹣4可以求出n的值，然后再利用x＝1时，整式值为0，代入n的值求得m的值，最后再解一元一次方程．
【解答】解：由题意可得：
当x＝0时，mx+n＝﹣4，
∴m×0+n＝﹣4，
解得：n＝﹣4，
当x＝1时，mx+n＝0，
∴m×1﹣4＝0，
解得：m＝4，
∴关于x的方程﹣mx+n＝8为﹣4x﹣4＝8，
解得：x＝﹣3．
【点评】本题考查解一元一次方程，通过观察，找到合适的对应值代入求解并掌握解一元一次方程的步骤是关键．
21．（9分）如图，两条公路AB，CD（均视为直线）．东西向公路CD段限速，规定最高行驶速度不能超过60千米/时，并在南北向公路离该公路100米的A处设置了一个监测点．已知点C在A的北偏西60°方向上，点D在A的北偏东45°方向上．
（1）经监测，一辆汽车从点C匀速行驶到点D所的时间是15秒，请通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速？（参考数据：＝1.732）
（2）若一辆大货车在限速路上由D处向西行驶，一辆小汽车在南北向公路上由A处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少？

【分析】（1）判断是否超速就是求DC的长，然后比较；
（2）求两车在匀速行驶过程中的最近距离可以转化为求函数的最值问题，或转化为利用配方法求最值的问题．
【解答】解：（1）由题意知∠BAD＝45°，∠CAB＝60°，
在Rt△AOD中，OD＝OA＝100米，在Rt△AOC中，OC＝OA＝100米，
∴DC＝（100+100）米，
实际速度v＝≈18.2米/秒＝65.52千米/小时＞60千米/小时，
∴超速．

（2）∵两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，
∴当大货车由D开出x米时，小汽车由A开出了2x米，
两车之间的距离S＝＝＝
∴当x＝60时，S取得最小值，为20米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，属于实际应用类题目，从复杂的实际问题中整理出直角三角形是解决此类问题的关键．
22．（9分）为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）本次抽样测试的学生人数是　40　；
（2）图1中∠α的度数是　54°　，并把图2条形统计图补充完整；
（3）该县九年级有学生3500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为　700　．
（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．
【分析】（1）用B级的人数除以所占的百分比求出总人数；
（2）用360°乘以A级所占的百分比求出∠α的度数，再用总人数减去A、B、D级的人数，求出C级的人数，从而补全统计图；
（3）用九年级所有得学生数乘以不及格的人数所占的百分比，求出不及格的人数；
（4）根据题意画出树状图，再根据概率公式进行计算即可．
【解答】解：（1）本次抽样测试的学生人数是：＝40（人），
故答案为：40；

（2）图1中∠α的度数是360°×＝54°；
C级的人数是：40﹣6﹣12﹣8＝14（人），
如图：

故答案为：54°；

（3）不及格的人数为3500×＝700人．
故答案为：700；

（4）根据题意画树形图如下：

共有12种情况，选中小明的有6种，
则P（选中小明）＝＝．
【点评】此题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，用到的知识点是用样本估计总体、频数、频率、总数之间的关系等，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
23．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC＞BC，BD是AC边上的高，点C关于直线BD的对称点为点E，连接BE．
（1）①依题意补全图形；
②若∠BAC＝α，求∠DBE的大小（用含α的式子表示）；
（2）若DE＝2AE，点F是BE中点，连接AF，BD＝4，求AF的长．

【分析】（1）①根据轴对称作图即可；
②利用轴对称的性质解答即可；
（2）作FG⊥AC于G，设AE＝EG＝DG＝x，利用三角形之间角的关系解答即可．
【解答】（1）解：①如图．

②∵AB＝AC，∠BAC＝α，
∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣．
∵点C关于直线BD的对称点为点E，BD 是AC边上的高．
∴BD⊥CE，CD＝DE．
∴BE＝BC．
∴∠BEC＝∠ACB＝90°﹣．
∴∠DBE＝；
（2）作FG⊥AC于G，
∵BD⊥CE，
∴FG∥BD
∵点F是BE中点，
∴EG＝DG．
∴，
∵DE＝2AE，
∴AE＝EG＝DG，
设AE＝EG＝DG＝x，则CD＝DE＝2x，AC＝5x，∴AB＝AC＝5x．
∴BD＝4x．
∵BD＝4，
∴x＝1，
∴AG＝2．
∵＝2，
∴AF＝．
【点评】本题考查轴对称的性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
24．（10分）一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休整后提速行驶至乙地．货车的路程y1（km），小轿车的路程y2（km）与时间x（h）的对应关系如图所示．
（1）甲乙两地相距多远？小轿车中途停留了多长时间？
（2）①写出y1与x的函数关系式；
②当x≥5时，求y2与x的函数解析式；
（3）货车出发多长时间与小轿车首次相遇？相遇时与甲地的距离是多少？

【分析】（1）直接根据图象写出两地之间的距离和小轿车停留的时间即可；
（2）分别利用待定系数法确定函数的解析式即可；
（3）由题意可知小轿车在3h﹣5h休整，并且两车在这段时间内首次相遇，由y2与x的函数解析式可求得此时小轿车离甲地的距离，最后由y1与x的函数关系式可求得相遇时间．
【解答】解：（1）由图可知，甲乙两地相距420km，小轿车中途停留了2小时；
（2）①y1＝60x（0≤x≤7）；
②当x＝5.75时，y1＝60×5.75＝345，
x≥5时，设y2＝kx+b，
∵y2的图象经过（5.75，345），（6.5，420），
∴，
解得：，
∴x≥5时，y2＝100x﹣230；

（3）x＝5时，有y2＝100×5﹣230＝270，即小轿车在3≤x≤5停车休整，离甲地270km，
当x＝3时，y1＝180；x＝5时，y1＝300，
∴货车在3≤x≤5时，会与小轿车相遇，
即270＝60x，x＝4.5；
当0＜x≤3时，小轿车的速度为270÷3＝90km/h，
而货车速度为60km/h，
故，货车在0＜x≤3时，不会与小轿车相遇，
∴货车出发4.5小时后首次与小轿车相遇，距离甲地270km．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，利用函数图象得出正确的信息，题目解决的是实际问题，比较典型．
25．（11分）【问题实验】如图①，在地面BD上有两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y＝x2﹣x+3的绳子．

（1）求绳子最低点到地面的距离；
（2）如图②，因实际需要，需用一根立柱MN撑起绳子．
①若在离AB为4米的位置处用立柱MN撑起，使立柱左侧的抛物线的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；
②将立柱MN来回移动，移动过程中，在一定范围内，总保持立柱MN左侧抛物线的形状不变，其函数表达式为y＝x2﹣mx+3，当抛物线最低点到地面距离为0.5米时，求m的值．
【问题抽象】如图③，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣mx+3（x＜0）的图象记为M1，函数y＝﹣mx+3（x≥0）的图象记为M2，其中m是常数，图象M1、M2合起来得到的图象记为M．设M在﹣3≤x≤2上的最低点纵坐标为y0，当﹣6≤y0≤2时，直接写出m的取值范围．
【分析】【问题实验】（1）先把抛物线化为顶点式，则可得答案；
（2）①由题意可设y＝a（x﹣3）2+1.8，求得点A的坐标并将其代入函数关系式，则可求得a的值，再求当x＝4时的y值即可；②根据题意可得抛物线的对称轴为直线x＝m，把（m，0.5）代入中，得关于m的方程，解得m的值，并根据题意作出取舍；
【问题抽象】分四种情况：①当2m≥2时，即m≥1时，②当0≤2m＜2时，即0≤m＜1时，③当m≤﹣3时，
④当﹣3＜m＜0时，分别得出m的取值范围，再根据不等式解集的取法可得答案．
【解答】解：【问题实验】（1）∵y＝x2﹣x+3＝（x﹣5）2+，
∴抛物线的顶点坐标为（5，），
∴绳子最低点到地面的距离为米；
（2）①由题意可知，立柱左侧的抛物线的顶点坐标为（3，1.8），
∴设y＝a（x﹣3）2+1.8
∵抛物线y＝x2﹣x+3与y轴的交点A的坐标为（0，3），
∴把（0，3）代入，得3＝a（0﹣3）2+1.8，
∴，
∴，
∴当x＝4时，．
∴．
②∵抛物线y＝x2﹣mx+3对称轴为直线x＝m，
∴把（m，0.5）代入中，得：
，
∴，（舍）．
【问题抽象】
由题意知：抛物线M1、M2均过定点（0，3），当m≥0时，M1的最低点为（0，3），此时，抛物线M的最低点在M2上．当x≥0时，M2：y＝﹣mx+3的对称轴是直线x＝2m，
①当2m≥2时，即m≥1时，
∵当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，
∴当x＝2时，y最小，此时y0＝×22﹣2m+3＝4﹣2m，
∵﹣6≤y0≤2，
∴﹣6≤4﹣2m≤2，
解得1≤m≤5；
②当0≤2m＜2时，即0≤m＜1时，
∵x的范围是0≤x≤2，
∴当x＝2m时y最小，此时y0＝×（2m）2﹣m×2m+3＝﹣m2+3，
∵﹣6≤y0≤2，
∴﹣6≤﹣m2+3≤2，解得：1≤m≤3，
∵0≤m＜1
∴此种情况的m的值不存在；
当m＜0时，M2的最低点为（0，3），此时，抛物线M的最低点在M1上，当x＜0时，对于M1：y＝﹣mx+3，其对称轴是直线x＝m．
③当m≤﹣3时，
∵当﹣3≤x＜0时，y随x的增大而增大，
∴当x＝﹣3时，y最小，此时y0＝×（﹣3）2+3m+3＝3m+，
∵﹣6≤y0≤2，
∴﹣6≤3m+≤2时，解得：﹣≤m≤﹣，
∵m≤﹣3，
∴m的范围是：﹣≤m≤﹣3；
④当﹣3＜m＜0时，
∵x的范围是﹣3≤x＜0，
∴当x＝m时，y最小，此时，y0＝m2﹣m2+3＝﹣m2+3，
∵﹣6≤y0≤2，
∴﹣6≤﹣m2+3，≤2时，解得：﹣3≤m≤﹣，
∵﹣3＜m＜0，
∴﹣3＜m≤﹣，
综上所述，m的取值范围是：﹣≤m≤﹣或1≤m≤5．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质、待定系数法求抛物线的解析式、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数与不等式的关系，正确理解题意、灵活应用二次函数的性质和数形结合的思想方法是解题的关键．
26．（12分）在△ABC中，∠ACB是锐角，点D在射线BC上运动，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接EC．
（1）操作发现：若AB＝AC，∠BAC＝90°，当D在线段BC上时（不与点B重合），如图①所示，线段CE和BD的位置关系是　CE⊥BD　，数量关系是　CE＝BD　；（请直接写出结果）
（2）猜想论证：在（1）的条件下，当D在线段BC的延长线上时，如图②所示，请你判断（1）中结论是否成立，并证明你的判断．
（3）拓展延伸：如图③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动，试探究：当锐角∠ACB等于多少度时，线段CE和BD之间的位置关系仍成立（点C、E重合除外），请说明理由．此时若作DF⊥AD交线段CE于点F，且当AC＝3时，求线段CF长度的最大值．

【分析】（1）线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，根据旋转的性质得到AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，得到△BAD≌△CAE，CE＝BD，∠ACE＝∠B，得到∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝90°，于是有CE＝BD，CE⊥BD．
（2）证明的方法与（1）一样．
（3）过A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N，根据旋转的性质得到∠DAE＝90°，AD＝AE，利用等角的余角相等得到∠NAE＝∠ADM，易证得Rt△AMD≌Rt△ENA，则NE＝MA，由于∠ACB＝45°，则AM＝MC，所以MC＝NE，易得四边形MCEN为矩形，得到∠DCF＝90°，由此得到Rt△AMD∽Rt△DCF，得＝，设DC＝x，而∠ACB＝45°，AC＝3，得AM＝CM＝3，MD＝3﹣x，利用相似比可得到CF＝﹣x2+x，再利用二次函数即可求得CF的最大值．
【解答】解：（1）①∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴CE＝BD，∠ACE＝∠B，
∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝90°，
∴线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为：CE＝BD，CE⊥BD；
故答案为：CE⊥BD，CE＝BD；

（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：
如图2，

∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AE＝AD，∠DAE＝90°，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°
∴∠CAE＝∠BAD，
在△ACE和△ABD中，
．
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴CE＝BD，∠ACE＝∠B，
∴∠BCE＝90°，
所以线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为：CE＝BD，CE⊥BD．

（3）当∠ACB＝45°时，线段CE和BD之间的位置关系仍成立．
过A作AM⊥BC于M，过E点作EN垂直于MA延长线于N，如图3，

∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴∠DAE＝90°，AD＝AE，
∴∠NAE＝∠ADM，
∴△AMD≌△ENA（ASA），
∴NE＝AM，
∵∠ACB＝45°，
∴△AMC是等腰直角三角形，
∴AM＝MC，
∴MC＝NE，
∵AM⊥BC，EN⊥AM，
∴NE∥MC，
∴四边形MCEN为平行四边形，
∵∠AMC＝45°，
∴四边形MCEN为矩形，
∴∠DCF＝90°，
∴CE⊥BD．
∴Rt△AMD∽Rt△DCF，
∴＝．
设DC＝x，
在Rt△AMC中，∠ACB＝45°，AC＝3，
∴AM＝CM＝3，MD＝3﹣x，
∴＝，
∴CF＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时有最大值，最大值为．
【点评】本题属于几何变换综合体，综合考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等腰直角三角形的性质和三角形全等及相似的判定与性质．
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