2022年江苏省徐州市中考数学试卷(含答案)

这是一份2022年江苏省徐州市中考数学试卷(含答案)，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年江苏省徐州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题意，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）
1．（3分）﹣3的绝对值是（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
2．（3分）下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）若有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a2•a6＝a8 B．a8÷a4＝a2
C．2a2+3a2＝6a4 D．（﹣3a）2＝﹣9a2
5．（3分）如图，已知骰子相对两面的点数之和为7，下列图形为该骰子表面展开图的是（　　）

A． B．
C． D．
6．（3分）我国近十年的人口出生率及人口死亡率如图所示．

已知人口自然增长率＝人口出生率﹣人口死亡率，下列判断错误的是（　　）
A．与2012年相比，2021年的人口出生率下降了近一半
B．近十年的人口死亡率基本稳定
C．近五年的人口总数持续下降
D．近五年的人口自然增长率持续下降
7．（3分）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（　　）

A． B． C． D．
8．（3分）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（　　）

A．5 B．6 C． D．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分。不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）
9．（3分）因式分解：x2﹣1＝　 　．
10．（3分）正十二边形的一个内角的度数为 　 　．
11．（3分）方程＝的解为 　 　．
12．（3分）我国2021年粮食产量约为13700亿斤，创历史新高，其中13700亿斤用科学记数法表示为 　 　亿斤．
13．（3分）如图，A、B、C点在圆O上，若∠ACB＝36°，则∠AOB＝　 　．

14．（3分）如图，若圆锥的母线长为6，底面半径为2，则其侧面展开图的圆心角为 　 　．

15．（3分）若一元二次方程x2+x﹣c＝0没有实数根，则c的取值范围是 　 　．
16．（3分）如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝　 　．

17．（3分）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于kx+b＞0的不等式的解集为 　 　．

18．（3分）若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 　 　．
三、解答题（本大题共有10小题，共86分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）计算：
（1）（﹣1）2022+|﹣3|﹣（）﹣1+；
（2）（1+）÷．
20．（10分）（1）解方程：x2﹣2x﹣1＝0；
（2）解不等式组：．
21．（7分）如图，将下列3张扑克牌洗匀后数字朝下放在桌面上．

（1）从中随机抽取1张，抽得扑克牌上的数字为3的概率为 　 　；
（2）从中随机抽取2张，用列表或画树状图的方法，求抽得2张扑克牌的数字不同的概率．
22．（7分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？
根据译文，解决下列问题：
（1）设兽有x个，鸟有y只，可列方程组为 　 　；
（2）求兽、鸟各有多少．
23．（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形AECF是平行四边形．

24．（8分）如图，点A、B、C点圆O上，∠ABC＝60°，直线AD∥BC，AB＝AD，点O在BD上．
（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．

25．（7分）如图，下列装在相同的透明密封盒内的古钱币，其密封盒上分别标有古钱币的尺寸及质量，例如：钱币“文星高照”密封盒上所标“45.4*2.8mm，24.4g”是指该枚古钱币的直径为45.4mm，厚度为2.8mm，质量为24.4g．已知这些古钱币的材质相同．

根据图中信息，解决下列问题．
（1）这5枚古钱币，所标直径的平均数是 　 　mm，所标厚度的众数是 　 　mm，所标质量的中位数是 　 　g；
（2）由于古钱币无法从密封盒内取出，为判断密封盒上所标古钱币的质量是否有错，桐桐用电子秤测得每枚古钱币与其密封盒的总质量如下：
名称
文星高照
状元及第
鹿鹤同春
顺风大吉
连中三元
总质量/g
58.7
58.1
55.2
54.3
55.8
盒标质量
24.4
24.0
13.0
20.0
21.7
盒子质量
34.3
34.1
42.2
34.3
34.1
请你应用所学的统计知识，判断哪枚古钱币所标的质量与实际质量差异较大，并计算该枚古钱币的实际质量约为多少克．
26．（8分）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面CQ，坡角∠QCN＝30°．在阳光下，小明观察到AB在地面上的影长为120cm，在坡面上的影长为180cm．同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．

27．（9分）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB＝CD，点C关于直线AD的对称点为点E．
（1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．
①求k、b的值；
②若点P在y轴上，当|PE﹣PB|最大时，求点P的坐标．


28．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．

（1）∠EDC的度数为 　 　°；
（2）连接PG，求△APG的面积的最大值；
（3）PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；
（4）求的最大值．

2022年江苏省徐州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题意，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）
1．（3分）﹣3的绝对值是（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出．
【解答】解：|﹣3|＝﹣（﹣3）＝3．
故选：A．
【点评】考查绝对值的概念和求法．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（3分）下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
3．（3分）若有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2
【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0，列不等式求解．
【解答】解：根据题意，得
x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件的知识点，代数式的意义一般从三个方面考虑：（1）当代数式是整式时，字母可取全体实数；（2）当代数式是分式时，分式的分母不能为0；（3）当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a2•a6＝a8 B．a8÷a4＝a2
C．2a2+3a2＝6a4 D．（﹣3a）2＝﹣9a2
【分析】利用同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则和幂的乘方与积的乘方的法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵a2•a6＝a2+6＝a8，
∴A选项的结论符合题意；
∵a8÷a4＝a8﹣4＝a4，
∴B选项的结论不符合题意；
∵2a2+3a2＝5a2，
∴C选项的结论不符合题意；
∵（﹣3a）2＝9a2，
∴D选项的结论不符合题意，
故选：A．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则和幂的乘方与积的乘方的法则，熟练掌握上述法则是解题的关键．
5．（3分）如图，已知骰子相对两面的点数之和为7，下列图形为该骰子表面展开图的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
A、1点6点是相对面，3点与5点是相对面，2点与4点是相对面，所以不可以折成符合规则的骰子，故本选项不符合题意；
B、4点与3点是相对面，2点与6点是相对面，1点与5点是相对面，所以不可以折成符合规则的骰子，故本选项不符合题意；
C、3点与4点是相对面，2点与6点是相对面，1点与5点是相对面，所以不可以折成符合规则的骰子，故本选项不符合题意；
D、2点与5点是相对面，3点与4点是相对面，1点与6点是相对面，所以不可以折成符合规则的骰子，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
6．（3分）我国近十年的人口出生率及人口死亡率如图所示．

已知人口自然增长率＝人口出生率﹣人口死亡率，下列判断错误的是（　　）
A．与2012年相比，2021年的人口出生率下降了近一半
B．近十年的人口死亡率基本稳定
C．近五年的人口总数持续下降
D．近五年的人口自然增长率持续下降
【分析】根据折线统计图的信息解答即可．
【解答】解：由折线统计图可知，
A．与2012年相比，2021年的人口出生率下降了近一半，说法正确，故本选项不合题意；
B．近十年的人口死亡率基本稳定，说法正确，故本选项不合题意；
C．近五年的人口总数持续下降，说法错误，五年的人口总数增长速度变缓，故本选项符合题意；
D．近五年的人口自然增长率持续下降，说法正确，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了折线统计图，掌握人口自然增长率的定义是解答本题的关键．
7．（3分）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（　　）

A． B． C． D．
【分析】如图，将阴影部分分割成图形中的小三角形，令小三角形的面积为a，分别表示出阴影部分的面积和正六边形的面积，根据概率公式求解即可．
【解答】解：如图所示，设每个小三角形的面积为a，

则阴影的面积为6a，正六边形的面积为18a，
∴将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在阴影区域的概率为＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
8．（3分）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（　　）

A．5 B．6 C． D．
【分析】证明△ABE∽△CDE，求得AE：CE，再根据三角形的面积关系求得结果．
【解答】解：∵CD∥AB，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
∴，

故选：C．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键在于证明三角形相似．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分。不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）
9．（3分）因式分解：x2﹣1＝　（x+1）（x﹣1）　．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（x+1）（x﹣1）．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
10．（3分）正十二边形的一个内角的度数为 　150°　．
【分析】首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解．
【解答】解：正十二边形的每个外角的度数是：＝30°，
则每一个内角的度数是：180°﹣30°＝150°．
故答案为：150°．
【点评】本题考查了多边形的计算，正确理解内角与外角的关系是关键．
11．（3分）方程＝的解为 　x＝6　．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3x﹣6＝2x，
解得：x＝6，
经检验x＝6是分式方程的解．
故答案为：x＝6
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验．
12．（3分）我国2021年粮食产量约为13700亿斤，创历史新高，其中13700亿斤用科学记数法表示为 　1.37×104　亿斤．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：13700＝1.37×104．
故答案为：1.37×104．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
13．（3分）如图，A、B、C点在圆O上，若∠ACB＝36°，则∠AOB＝　72°　．

【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得出结论．
【解答】解：∵∠ACB＝∠AOB，∠ACB＝36°，
∴∠AOB＝2×∠ACB＝72°．
故答案为：72°．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半解答是解题的关键．
14．（3分）如图，若圆锥的母线长为6，底面半径为2，则其侧面展开图的圆心角为 　120°　．

【分析】设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到2π×2＝，然后解方程即可．
【解答】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，
根据题意得2π×2＝，
解得n＝120，
所以侧面展开图的圆心角为120°．
故答案为：120°．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
15．（3分）若一元二次方程x2+x﹣c＝0没有实数根，则c的取值范围是 　c＜﹣　．
【分析】根据判别式的意义得到＝12+4c＜0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝12+4c＜0，
解得c＜﹣．
故答案为：c＜﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
16．（3分）如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝　　．

【分析】由折叠性质可得CF＝BC＝5，BE＝EF，由矩形性质有CD＝AB＝3，BC＝AD＝5，在Rt△CDF中，由勾股定理得出DF＝4，进而得出AF＝1，最后在直角三角形AEF中，建立勾股定理方程求解即可．
【解答】解：在矩形ABCD中，
∠A＝∠D＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，
由翻折变换的性质可知，FC＝BC＝5，EF＝BE，
在Rt△CDF中，由勾股定理，得DF＝＝4，
∴AF＝AD﹣DF＝1，
设AE＝x，则BE＝EF＝3﹣x，
在Rt△AEF中，由勾股定理，得EF2＝AE2+AF2，
即（3﹣x）2＝x2+12，
解得x＝，即AE＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了图形折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，在直角三角形AEF中运用勾股定理建立方程求解是关键．
17．（3分）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于kx+b＞0的不等式的解集为 　x＞3　．

【分析】利用待定系数法求得b＝﹣2k，再利用一元一次不等式解法得出答案．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象过点（2，0），
∴2k+b＝0，
∴b＝﹣2k，
∴关于kx+b＞0
∴kx＞﹣×（﹣2k）＝3k，
∵k＞0，
∴x＞3．
故答案为：x＞3．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，利用待定系数法求得b＝﹣2k是解题的关键．
18．（3分）若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 　4　．
【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x＝1，顶点为（1，﹣4），由图象上恰好只有三个点到x轴的距离为m可得m＝4．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x＝1，顶点为（1，﹣4），
∴顶点到x轴的距离为4，
∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，
∴m＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意是解题的关键．
三、解答题（本大题共有10小题，共86分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）计算：
（1）（﹣1）2022+|﹣3|﹣（）﹣1+；
（2）（1+）÷．
【分析】（1）根据有理数的乘方、绝对值和负整数指数幂可以解答本题；
（2）先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．
【解答】解：（1）（﹣1）2022+|﹣3|﹣（）﹣1+
＝1+3﹣﹣3+3
＝4﹣；
（2）（1+）÷
＝•
＝．
【点评】本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20．（10分）（1）解方程：x2﹣2x﹣1＝0；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）方程移项后，利用完全平方公式配方，开方即可求出解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：（1）方程移项得：x2﹣2x＝1，
配方得：x2﹣2x+1＝2，即（x﹣1）2＝2，
开方得：x﹣1＝±，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣；
（2），
由①得：x≥1，
由②得：x＞2，
则不等式组的解集为x＞2．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握不等式组的解法及方程的解法是解本题的关键．
21．（7分）如图，将下列3张扑克牌洗匀后数字朝下放在桌面上．

（1）从中随机抽取1张，抽得扑克牌上的数字为3的概率为 　　；
（2）从中随机抽取2张，用列表或画树状图的方法，求抽得2张扑克牌的数字不同的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽得2张扑克牌的数字不同的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）从中随机抽取1张，抽得扑克牌上的数字为3的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中抽得2张扑克牌的数字不同的结果有4种，
∴抽得2张扑克牌的数字不同的概率为＝．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（7分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？
根据译文，解决下列问题：
（1）设兽有x个，鸟有y只，可列方程组为 　　；
（2）求兽、鸟各有多少．
【分析】（1）根据“兽与鸟共有76个头与46只脚”，即可得出关于x，y的二元一次方程组；
（2）解方程组，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵兽与鸟共有76个头，
∴6x+4y＝76；
∵兽与鸟共有46只脚，
∴4x+2y＝46．
∴可列方程组为．
故答案为：．
（2）原方程组可化简为，
由②可得y＝23﹣2x③，
将③代入①得3x+2（23﹣2x）＝38，
解得x＝8，
∴y＝23﹣2x＝23﹣2×8＝7．
答：兽有8只，鸟有7只．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
23．（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形AECF是平行四边形．

【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠CDB，利用SAS定理证明△ABE≌△CDF；
（2）根据全等三角形的性质得到AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，根据平行线的判定定理证明AE∥CF，再根据平行四边形的判定定理证明结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）由（1）可知，△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∵AE＝CF，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点评】本题考查的是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的对边平行且相等、平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．
24．（8分）如图，点A、B、C点圆O上，∠ABC＝60°，直线AD∥BC，AB＝AD，点O在BD上．
（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）由切线的判定定理，可证明；
（2由弓形面积公式，可求解．
【解答】解：（1）直线AD与圆O相切，
连接OA，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DBC，
∵AD＝AB，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠DBC＝∠ABD＝30°，
∠BAD＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABD＝30°，
∴∠OAD＝90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是圆的半径，
∴直线AD与圆O相切，

（2）连接OC，作OH⊥BC于H，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠BOC＝120°，
∴OH＝OB＝3，BH＝OH＝3，
∴BC＝2BH＝6，
∴扇形OBC的面积为：＝＝12π，
∵S△OBC＝BC•OH＝×6×3＝9，
∴阴影部分的面积为：12π﹣9．
【点评】本题考查圆的切线的判定定理，弓形面积求法，关键是掌握切线的判定方法，弓形面积的表示方法．
25．（7分）如图，下列装在相同的透明密封盒内的古钱币，其密封盒上分别标有古钱币的尺寸及质量，例如：钱币“文星高照”密封盒上所标“45.4*2.8mm，24.4g”是指该枚古钱币的直径为45.4mm，厚度为2.8mm，质量为24.4g．已知这些古钱币的材质相同．

根据图中信息，解决下列问题．
（1）这5枚古钱币，所标直径的平均数是 　45.74　mm，所标厚度的众数是 　2.3　mm，所标质量的中位数是 　21.7　g；
（2）由于古钱币无法从密封盒内取出，为判断密封盒上所标古钱币的质量是否有错，桐桐用电子秤测得每枚古钱币与其密封盒的总质量如下：
名称
文星高照
状元及第
鹿鹤同春
顺风大吉
连中三元
总质量/g
58.7
58.1
55.2
54.3
55.8
盒标质量
24.4
24.0
13.0
20.0
21.7
盒子质量
34.3
34.1
42.2
34.3
34.1
请你应用所学的统计知识，判断哪枚古钱币所标的质量与实际质量差异较大，并计算该枚古钱币的实际质量约为多少克．
【分析】（1）用每一组的中间值作为该组的平均值，利用平均数的计算公式计算平均数；
（2）根据中位数、众数的意义做出判断；
（3）先计算甲、乙车间的合格率，再进行比较，得出答案．
【解答】解：（1）这5枚古钱币，所标直径的平均数是：（45.5+48.1+45.1+44.6+45.5）＝45.74（mm），
这5枚古币的厚度分别为：2.8mm，2.4mm，2.3mm，2.1mm，2.3mm，
其中2.3mm出现了2次，出现的次数最多，
∴这5枚古钱币的厚度的众数为2.3mm，
将这5枚古钱币的质量从小到大的顺序排列为：13.0g，20.0g，21.7g，24.0g，24.4g，
∴这5枚古钱币的质量的中位数为21.7g；
故答案为：45.74；2.3；21.7；
（2）“鹿鹤同春”密封盒的质量异常，故“鹿鹤同春”的质量与实际质量差异较大，
其余四个盒子的质量的平均数为：＝34.2（g），
55.2﹣34.2＝21.0（g），
答：“鹿鹤同春”的实际质量约为21.0克．
【点评】本题考查了平均数、众数、中位数的意义和计算方法，用每一组的中间值作为该组数据的平均值进行计算是统计中的一种方法．
26．（8分）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面CQ，坡角∠QCN＝30°．在阳光下，小明观察到AB在地面上的影长为120cm，在坡面上的影长为180cm．同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．

【分析】延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，根据直角三角形的性质求出DF，根据余弦的定义求出CF，根据题意求出EF，再根据题意列出比例式，计算即可．
【解答】解：延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，
在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，∠DCF＝30°，
则DF＝CD＝90（cm），CF＝CD•cos∠DCF＝180×＝90（cm），
由题意得：＝，即＝，
解得：EF＝135，
∴BE＝BC+CF+EF＝（255+90）cm，
则＝，
解得：AB＝170+60，
答：立柱AB的高度为（170+60）cm．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题、平行投影的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
27．（9分）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB＝CD，点C关于直线AD的对称点为点E．
（1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．
①求k、b的值；
②若点P在y轴上，当|PE﹣PB|最大时，求点P的坐标．


【分析】（1）设点A的坐标为（m，），根据轴对称的性质得到AD⊥CE，AD平分CE，如图，连接CE交AD于H，得到CH＝EH，求得E（2m，），于是得到点E在这个反比例函数的图象上；
（2）①根据正方形的性质得到AD＝CE，AD垂直平分CE，求得CH＝AD，设点A的坐标为（m，），得到m＝2（负值舍去），求得A（2，4），C（0，2），把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx+b得，解方程组即可得到结论；
②延长ED交y轴于P，根据已知条件得到点B与点D关于y轴对称，求得|PE﹣PD|＝|PE﹣PB|，则点P即为符合条件的点，求得直线DE的解析式为y＝x﹣2，于是得到结论．
【解答】解：（1）点E在这个反比例函数的图象上，
理由：∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，
∴设点A的坐标为（m，），
∵点C关于直线AD的对称点为点E，
∴AD⊥CE，AD平分CE，
如图．连接CE交AD于H，
∴CH＝EH，
∵AD⊥x轴于D，
∴CE∥x轴，
∴E（2m，），
∵2m×＝8，
∴点E在这个反比例函数的图象上；
（2）①∵四边形ACDE为正方形，
∴AD＝CE，AD垂直平分CE，
∴CH＝AD，
设点A的坐标为（m，），
∴CH＝m，AD＝，
∴m＝×，
∴m＝2（负值舍去），
∴A（2，4），C（0，2），
把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx+b得，

∴；
②延长ED交y轴于P，
∵CB＝CD，OC⊥BD，
∴点B与点D关于y轴对称，
∴|PE﹣PD|＝|PE﹣PB|，
则点P即为符合条件的点，
由①知，A（2，4），C（0，2），
∴D（2，0），E（4，2），
设直线DE的解析式为y＝ax+n，
∴，
∴，
∴直线DE的解析式为y＝x﹣2，
当x＝0时，y＝﹣2，
∴P（0，﹣2）．
故当|PE﹣PB|最大时，点P的坐标为（0，﹣2）．


【点评】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．
28．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．

（1）∠EDC的度数为 　45　°；
（2）连接PG，求△APG的面积的最大值；
（3）PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；
（4）求的最大值．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝45°，由三角形中位线定理可得DE∥AB，可求解；
（2）设AP＝x，由等腰直角三角形的性质和三角形中位线定理可求AG的长，由三角形面积公式和二次函数的性质可求解；
（3）由“SAS”可证△CEF≌△GDF，可得CE＝DG，∠DGF＝∠FCE，可求解；
（4）利用勾股定理和相似三角形的性质分别求出CH，CE的值，即可求解．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝12，
∵D、E分别为BC、PC的中点，
∴DE∥AB，DE＝BP，
∴∠EDC＝∠ABC＝45°，
故答案为：45；
（2）设AP＝x，则BP＝12﹣x，
∵DE＝BP，
∴DE＝6﹣，
∵GF⊥BC，∠EDC＝45°，
∴∠EDC＝∠DEF＝45°，
∴DF＝EF＝DE＝3﹣x，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD＝6，
∴CF＝3+x，
∵GF⊥BC，∠ACB＝45°，
∴∠ACB＝∠CGF＝45°，
∴GF＝FC，
∴GC＝FC＝6+，
∴AG＝6﹣，
∴S△APG＝×AP×AG＝×x×（6﹣）＝﹣（x﹣6）2+9，
∴当x＝6时，△APG的面积的最大值为9；
（3）PE⊥DG，DG＝PE，理由如下：
∵DF＝EF，∠CFE＝∠GFD＝90°，CF＝GF，
∴△CEF≌△GDF（SAS），
∴CE＝DG，∠DGF＝∠FCE，
∵∠DGF+∠GDF＝90°，
∴∠GDF+∠DCE＝90°，
∴∠DHC＝90°，
∴DG⊥PE，
∵点E是PC的中点，
∴PE＝EC，
∴DG＝PE；
（4）∵CF＝3+x＝GF，EF＝3﹣x，
∴EC＝＝，
∵AP＝x，AC＝12，
∴PC＝＝，
∵∠ACP＝∠GCH，∠A＝90°＝∠GHC，
∴△APC∽△HGC，
∴＝，
∴＝，
∴GH＝，CH＝，
∴＝＝12×＝≤＝＝＝，
∴的最大值为．
【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
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