数学九年级上册1.3 一元二次方程的根与系数的关系课时练习

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1.3 一元二次方程的根与系数的关系（提升题）-苏科版数学九年级上册
一．选择题
1 ．已知a、b、m、n为互不相等的实数，且（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，则ab﹣mn的值为（　　）
A．4 B．1 C．﹣2 D．﹣1
2 ．已知m，n是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，设S1＝m+n，S2＝m2+n2，S3＝m3+n3，则aS3+bS2+cS1的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
3 ．定义新运算：对于任意实数a、b，都有a*b＝．例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣6＝0的两个根，则x1*x2的值为（　　）
A．10或﹣10 B．10 C．﹣10 D．3或﹣3
4 ．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣kx﹣1＝0的两个实数根，下列结论一定正确的是（　　）
A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
5 ．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的一元二次方程y2﹣2y+a﹣6＝0有两个不相等的实数根，则所有的满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．4 B．9 C．11 D．12
6 ．关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两实数根互为相反数，则k的值为（　　）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．不能确定
7 ．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为，，下列判断一定正确的是（　　）
A．a＝﹣1 B．c＝1 C．ac＝﹣1 D．
8 ．已知关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣3＝0有两个负整数根，则符合条件的所有正整数m的和为（　　）
A．16 B．13 C．10 D．7
9 ．关于x的一元二次方程x2﹣2（k+2）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，则代数式x12+x22﹣x1x2+1的最小值是（　　）
A．﹣8 B．﹣5 C．1 D．2
10 ．如果直角三角形的两条直角边都是整数，且总是方程mx2﹣2x﹣m+1＝0的两根（m为整数），则这样的直角三角形（　　）
A．有1个 B．有2个 C．有无数个 D．不存在

二．填空题
11 ．已知方程x2﹣5x+15＝k2的一个根是2，则另一个根是　 　．
12 ．已知一元二次方程x2﹣6x+c＝0的一个根为x1＝2，另一根x2＝　 　，c＝　 　．
13 ．写一个关于x的一元二次方程，使其两个根互为相反数　 　．
14 ．已知实数m、n满足m2＝2﹣2m，n2＝2﹣2n，则+＝　 　．
15 ．使代数式的值为整数的全体自然数x的和是　 　．

三．解答题
16 ．已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值．
17 ．已知一元二次方程mx2+nx﹣（m+n）＝0．
（1）试判断方程根的情况．
（2）若m＜0时方程的两根x1，x2满足x1•x2＞1，且n＝1，求m的取值范围．
18 ．阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x1，2＝±2，x3，4＝±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
方程x4﹣5x2+6＝0的解为 　 　；
（2）间接应用：
已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值；
（3）拓展应用：
已知实数m，n满足：+＝7，n2﹣n＝7且n＞0，求+n2的值．
19 ．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
（3）若方程的两个实数根之差等于3，求k的值．
20 ．阅读材料并回答问题：
（1）方程x2+2x+1＝0的根为x1＝﹣1，x2＝﹣1，x1+x2＝﹣2；x1x2＝1．方程3x2+4x﹣7＝0的根为x1＝1，x2＝﹣，x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣．方程ax2+bx+c＝0（b2﹣4ac≥0）的根为x1＝，x2＝，
x1+x2＝　 　，x1x2＝　 　
（2）从（1）中你一定发现了一定的规律，这个规律是　 　；
（3）用你发现的规律解答下列问题：
①不解方程，直接计算：方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别是x1•x2，则x1+x2＝　 　，x1•x2＝　 　；
②方程x2﹣3x+1＝0的两根分别是x1•x2，则x12+x22＝　 　；
③已知一元二次方程x2﹣3x﹣3a＝0的一个根为6，求a及方程的另一个根．


参考答案与试题解析
一．选择题
1 ．【解答】解：∵（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，
∴a2+（m+n）a+mn﹣2＝0，b2+（m+n）b+mn﹣2＝0，
而a、b、m、n为互不相等的实数，
∴a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的两实数根，
∴ab＝mn﹣2，
∴ab﹣mn＝﹣2．
故选：C．
2 ．【解答】解：∵S1＝m+n，S2＝m2+n2，S3＝m3+n3，
∴aS3+bS2+cS1
＝a（m3+n3）+b（m2+n2）+c（m+n）
＝m（am2+bm+c）+n（an2+bn+c），
∵m，n是方程ax2+bx+c＝0的两个实数根，
∴am2+bm+c＝0，an2+bn+c＝0，
∴原式＝m×0+n×0＝0．
故选：A．
3 ．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣6＝0的两个根，
∴（x﹣2）（x+3）＝0，
解得：x＝2或﹣3，
①当x1＝2，x2＝﹣3时，x1*x2＝22﹣2×（﹣3）＝10；
②当x1＝﹣3，x2＝2时，x1*x2＝﹣3×2﹣22＝﹣10．
故选：A．
4 ．【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2﹣kx﹣1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝k，x1•x2＝﹣1，
即x1和x2互为负倒数，
∴x1≠x2，
即选项A符合题意，选项B（当k为负数时，x1+x2＜0）、选项C（x1•x2＝﹣1＜0）、选项D（x1和x2不一定都是负数）都不符合题意；
故选：A．
5 ．【解答】解：，
解不等式①，得x，
解不等式②，得x≤，
∵关于x的一元一次不等式组的解集为，
∴≥，
解得：a≥5，
∵关于y的一元二次方程y2﹣2y+a﹣6＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（a﹣6）＞0，
解得：a＜7，
∴5≤a＜7，
整数a为5和6，和为5+6＝11，
故选：C．
6 ．【解答】解：∵方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两个互为相反数，
Δ＝（k2﹣4）2﹣4×1×（k﹣1）＝k4﹣8k2﹣4k+20≥0，
设方程的两个是a，b，
∵关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两实数根互为相反数，
∴a+b＝﹣＝0，
解得：k＝±2，
当k＝2时，方程为x2+1＝0，
Δ＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，
∴此方程无解（方法二、即x2＝﹣1，
∵不论x为何值，x2不能为﹣1，
∴此方程无解）即k＝2舍去；
当k＝﹣2时，方程为x2﹣3＝0，
解得：x＝，此时符合题意，
即k＝﹣2符合题意，
故选：C．
7 ．【解答】解：根据一元二次方程的求根公式可得：x1＝，x2＝，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为，，
∴x1+x2＝﹣b＝﹣，x1•x2＝＝﹣1，
∴当b≠0时，a＝1，c＝﹣1，则ac＝﹣1，
故选：C．
8 ．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣3＝0中的a＝1，b＝4，c＝m﹣3，且该方程有两个负整数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4（m﹣3）＝28﹣4m≥0，
∴m≤7．
∵m为正整数，且该方程的根都是负整数，
∴x＝＝﹣2±．
∴．
解得m＞3．
则3＜m≤7．
又∵是整数，
∴m的值6或7，
∴6+7＝13．
故选：B．
9 ．【解答】解：∵x2﹣2（k+2）x+k2+2k＝0有两个实数根，
∴△≥0即4（k+2）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k≥﹣2；
∵x1、x2是x2﹣2（k+2）x+k2+2k＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2k+4，x1•x2＝k2+2k，
x12+x22﹣x1•x2+1＝（x1+x2）2﹣3x1•x2+1＝（2k+4）2﹣3（k2+2k）+1＝k2+10k+17＝（k+5）2﹣8，
当k≥﹣2时，（k+5）2﹣8的值随k的增大而增大，
∴k＝﹣2时，x12+x22﹣x1•x2+1的值最小为（﹣2+5）2﹣8＝1．
故选：C．
10 ．【解答】解：根据题意，m≠0，假设这样的直角三角形存在，不妨设直角边为a，b，
则a+b＝，ab＝，
因为a，b均为正整数，则a+b，ab均为正整数，而m也为整数，
所以m只能取1，这样ab＝0，得出矛盾，
所以这样的直角三角形不存在．
故选：D．

二．填空题
11 ．【解答】解：设x1＝2，另一根是x2，
则x1+x2＝5，
则另一个根x2＝3，
故答案为：3．
12 ．【解答】解：把x＝2代入x2﹣6x+c＝0，得
22﹣6×2+c＝0，
解得 c＝8，
∵x1+x2＝6，
∴x2＝4，
故答案是：4，8．
13 ．【解答】解：∵一元二次方程两个根互为相反数，
∴此方程可以为：x2﹣1＝0（答案不唯一），
故答案为：x2﹣1＝0（答案不唯一）．
14 ．【解答】解：①当m＝n时，+＝2；
②当m≠n时，则m，n是方程x2+2x﹣2＝0的两个不相等的根，∴m+n＝﹣2，mn＝﹣2，
∴+＝＝＝＝﹣4，
∴+＝﹣4或2，
故答案为：﹣4或2．
15 ．【解答】解：∵原式＝＝x﹣1+，
∴使得代数式的值为整数的全体自然数x分别为0、1、2、3、5、11，
∴全体自然数x的和是0+1+2+3+5+11＝22．
故答案为22．

三．解答题
16 ．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根，
∴Δ＝32﹣4×1×（k﹣2）≥0，
解得k≤，
即k的取值范围是k≤；
（2）∵方程x2+3x+k﹣2＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x1＝﹣3，x1x2＝k﹣2，
∵（x1+1）（x2+1）＝﹣1，
∴x1x2+（x1+x2）+1＝﹣1，
∴k﹣2+（﹣3）+1＝﹣1，
解得k＝3，
即k的值是3．
17 ．【解答】解：（1）∵一元二次方程mx2+nx−（m+n）＝0，
∴m≠0，Δ＝n2−4m×[−（m+n）]＝（n+2m）2≥0，
∴该方程有两个实数根．
（2）将n＝1代入方程mx2+nx−（m+n）＝0，得mx2+x−（m+1）＝0，
∵方程的两根x1，x2满足x1•x2＞1，
∴x1•x2＝＞1，
当m＜0时，可得＜m＜0，
即m的取值范围是＜m＜0．
18 ．【解答】解：（1）令y＝x2，则有y2﹣5y+6＝0，
∴（y﹣2）（y﹣3）＝0，
∴y1＝2，y2＝3，
∴x2＝2或3，
∴x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣；
故答案为：x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣；

（2）∵a≠b，
∴a2≠b2或a2＝b2，
当a2≠b2时，令a2＝m，b2＝n．
∴m≠n，则2m2﹣7m+1＝0，2n2﹣7n+1＝0，
∴m，n是方程2x2﹣7x+1＝0的两个不相等的实数根，
∴，
此时a4+b4＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝．
②当a2＝b2（a＝﹣b）时，a2＝b2＝，此时a4+b4＝2a4＝2（a2）2＝，
综上所述，a4+b4＝或．
（3）令＝a，﹣n＝b，则a2+a﹣7＝0，b2+b﹣7＝0，
∵n＞0，
∴≠﹣n，即a≠b，
∴a，b是方程x2+x﹣7＝0的两个不相等的实数根，
∴，
故+n2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝15．
19 ．【解答】解：（1）Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k﹣）
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∵无论k取何值，（2k﹣3）2≥0，
故这个方程总有两个实数根；
（2）由求根公式得x＝，
∴x1＝2k﹣1，x2＝2．
∵另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，
设b＝2k﹣1，c＝2，
当a，b为腰时，则a＝b＝4，即2k﹣1＝4，计算得出k＝，
此时三角形周长为4+4+2＝10；
当b，c为腰时，b＝c＝2，此时b+c＝a，构不成三角形，
故此种情况不存在．
综上所述，△ABC周长为10．
（3）∵方程的两个实数根之差等于3，
∴，
解得：k＝0或3．
20 ．【解答】解：（1）﹣；．
（2）一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，且a，b，c是常数）的两个根为x1、x2．
则x1+x2＝﹣，x1•x2，＝．
（3）①2；﹣1．②7．
③另一根为x2＝3﹣6＝﹣3；6×（﹣3）＝﹣3a，解得a＝6．