2022年江苏省无锡市锡山区天一实验学校中考数学三模试卷(含答案)

这是一份2022年江苏省无锡市锡山区天一实验学校中考数学三模试卷(含答案)，共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年江苏省无锡市锡山区天一实验学校中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项凃在答题卡上）
1．（3分）﹣3的相反数是（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．
2．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2
3．（3分）分式可变形为（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
4．（3分）如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（　　）
A．10π B．15π C．20π D．30π
5．（3分）某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（　　）

A．10，15 B．13，15 C．13，20 D．15，15
6．（3分）如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD所对的圆心角∠BOD的大小为（　　）

A．108° B．118° C．144° D．120°
7．（3分）下列说法中，正确的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．若两条直线被第三条直线所截，则同旁内角互补
C．三角形的外角等于两个内角的和
D．若三条直线两两相交，则共有6对对顶角
8．（3分）如图，平行四边形OABC的周长为7，∠AOC＝60°，以O为原点，OC所在直线为x轴建立直角坐标系，函数y＝（x＞0）的图象经过▱OABC顶点A和BC的中点M，则k的值为（　　）

A．4 B．12 C． D．6
9．（3分）如图，在边长一定的正方形ABCD中，F是BC边上一动点，连接AF，以AF为斜边作等腰直角三角形AEF．有下列四个结论：
①∠CAF＝∠DAE；
②四边形AFCE的面积是定值；
③当∠AEC＝135°时，E为△ADC的内心；
④若点F在BC上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等．
其中正确的结论的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，作AG⊥PQ于点G，则AG的最大值为（　　）

A． B． C． D．6
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在相应的横线上）
11．（3分）在﹣1、0、、这四个数中，无理数是 　 　．
12．（3分）冠状病毒的直径约为80～120纳米，1纳米1.0×10﹣9米，则110纳米用科学记数法表示为 　 　米．
13．（3分）分解因式：4a2﹣16＝　 　．
14．（3分）命题“如果a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是　 　（填“真命题“或“假命题”）．
15．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣3，0）和B（0，﹣2），当函数值y＜0时，x的取值范围为 　 　．
16．（3分）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝　 　．

17．（3分）“勾股图”有着悠久的历史，欧几里得在《几何原本》中曾对它做了深入研究．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以△ABC的三条边为边向外作正方形．连接EB，CM，DG，CM分别与AB，BE相交于点P，Q．若∠AMP＝30°，则∠ABE＝　 　°，的值为 　 　．

18．（3分）如图，平面内几条线段满足AB＝BC＝10．AB、CD的交点为E，现测得AD⊥BC，AD＝DE，，则CD的长度为 　 　．

三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）﹣|﹣2|+（﹣2）0；
（2）（x+1）（x﹣1）﹣（x﹣2）2．
20．（8分）（1）解方程：x2﹣5x﹣6＝0；
（2）解不等式组：．
21．（10分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CD、AB上，且满足CE＝AF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）连接AC，若AC恰好平分∠EAF，试判断四边形AECF为何种特殊的四边形？并说明理由．

22．（10分）三辆汽车经过某收费站下高速时，在2个收费通道A，B中，可随机选择其中的一个通过．
（1）一辆汽车经过此收费站时，选择A通道通过的概率是　 　；
（2）求三辆汽车经过此收费站时，至少有两辆汽车选择B通道通过的概率．（请用画树状图的方法写出分析过程，并求出结果）．
23．（10分）为激发学生的阅读兴趣，培养学生良好的阅读习惯，我区某校欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空或选择：此次共调查了　 　名学生；图2中“小说类”所在扇形的圆心角为　 　度；学生会采用的调查方式是　 　．A．普查 B．抽样调查
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有学生2500人，试估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．

24．（10分）如图，点A、点B是直线MN外同侧的两点，请用无刻度的直尺与圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）
（1）在图1中，在直线MN上取点P使得∠APM＝∠BPN；

（2）在图2中，在直线MN上取点Q使得∠AQM＝∠AQB．



25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上两点，CE与⊙O相切，交DB延长线于点E，且
DE⊥CE，连接AC，DC．
（1）求证：∠ABD＝2∠A；
（2）若DE＝2CE，AC＝8，求BE的长度．

26．（10分）五月，本地新鲜枇杷大量上市，某水果超市从枇杷基地购进了一批A、B两个品种的枇杷销售，两个品种的枇杷均按25%的盈利定价销售，前两天的销售情况如表所示：
销售时间
销售数量
销售额
A品种
B品种
第一天
400斤
500斤
4000元
第二天
300斤
800斤
4700元
（1）求该超市购进A、B两个品种的枇杷的成本价分别是每斤多少元？
（2）两天后剩下的B品种枇杷是剩下的A品种枇杷数量的，但A品种枇杷已经开始变坏，出现了的损耗．该超市决定降价促销：A品种枇杷按原定价打9折销售，B品种枇杷每斤在原定价基础上直接降价销售．假如除损耗的以外，第三天把剩下的枇杷全部卖完，要保证第三天的总利润率不低于7.5%，则B品种枇杷每斤在原定价基础上最多直接降价多少元？
27．（10分）把两个等腰直角三角形纸片△OAB和△OCD放在平面直角坐标系中，已知A（﹣5，0），B（0，5），OC＝OD＝4，∠COD＝90°，将△OCD绕点O顺时针旋转．
（1）当△OCD旋转至如图的位置时，∠AOC＝30°，求此时点C的坐标；
（2）当△OCD旋转至B，C，D三点在一条直线上时，求AC的长；
（3）当△OCD旋转至∠OBC的度数最大时，则△OAD的面积为 　 　．

28．（10分）已知，关于x的二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，图象顶点为D，连接AC、BC、BD、CD，满足∠ACB≥90°．
（1）请直接写出点A、点B的坐标以及a的取值范围；
（2）点，点F在AC边上，若直线EF平分△ABC的面积，求点F的坐标（用含a的代数式表示）；
（3）△BCD中CD边上的高是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．


2022年江苏省无锡市锡山区天一实验学校中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项凃在答题卡上）
1．（3分）﹣3的相反数是（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：﹣3的相反数是﹣（﹣3）＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2
【分析】二次根式的被开方数大于等于零．
【解答】解：依题意，得
2﹣x≥0，
解得 x≤2．
故选：C．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
3．（3分）分式可变形为（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】根据分式的性质，分子分母都乘以﹣1，分式的值不变，可得答案．
【解答】解：分式的分子分母都乘以﹣1，
得﹣，
故选：D．
【点评】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
4．（3分）如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（　　）
A．10π B．15π C．20π D．30π
【分析】根据三视图可以判定此几何体为圆锥，根据三视图的尺寸可以知圆锥的底面半径为3，圆锥的母线长为5，代入公式求得即可．
【解答】解：由三视图可知此几何体为圆锥，
∴圆锥的底面半径为3，母线长为5，
∵圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，
∴圆锥的底面周长＝圆锥的侧面展开扇形的弧长＝2πr＝2π×3＝6π，
∴圆锥的侧面积＝＝×6π×5＝15π，
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的侧面积的计算，解题的关键是正确的理解圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的面积．
5．（3分）某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（　　）

A．10，15 B．13，15 C．13，20 D．15，15
【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【解答】解：把这组数据从小到大排列：10、13、15、15、20，
最中间的数是15，
则这组数据的中位数是15；
15出现了2次，出现的次数最多，则众数是15．
故选：D．
【点评】此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．
6．（3分）如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD所对的圆心角∠BOD的大小为（　　）

A．108° B．118° C．144° D．120°
【分析】根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠A，根据切线的性质可求出∠OBA、∠ODE，从而可求出∠BOD的度数．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠E＝∠A＝180°﹣＝108°．
∵AB、DE与⊙O相切，
∴∠OBA＝∠ODE＝90°，
∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键．
7．（3分）下列说法中，正确的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．若两条直线被第三条直线所截，则同旁内角互补
C．三角形的外角等于两个内角的和
D．若三条直线两两相交，则共有6对对顶角
【分析】根据平行线的性质、对顶角的定义、三角形的外角和定理等，结合各项进行判断即可．
【解答】解：A、相等的角是对顶角，错误，不符合题意；
B、若两条平行直线被第三条直线所截，则同旁内角互补，错误，不符合题意；
C、三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，故错误，不符合题意；
D、若三条直线两两相交，则共有6对对顶角，故正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解平行线的性质、对顶角的性质、三角形的外角的性质，属于基础知识，难度较小．
8．（3分）如图，平行四边形OABC的周长为7，∠AOC＝60°，以O为原点，OC所在直线为x轴建立直角坐标系，函数y＝（x＞0）的图象经过▱OABC顶点A和BC的中点M，则k的值为（　　）

A．4 B．12 C． D．6
【分析】设OA＝a，OC＝b，根据题意得到b＝﹣a，作AD⊥x轴于D，MN⊥x轴于N，解直角三角形表示出A、M的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到a•a＝（﹣a+a）•a，解得a＝2，求得A的坐标，即可求得k的值．
【解答】解：设OA＝a，OC＝b，
∵▱OABC的周长为7，
∴a+b＝，
∴b＝﹣a，
作AD⊥x轴于D，MN⊥x轴于N，
∵∠AOC＝60°，
∴OD＝a，AD＝a，
∴A（a，a），
∵M是BC的中点，
∴CN＝a，MN＝a，
∴M（﹣a+a，a），
∴a•a＝（﹣a+a）•a，
解得a＝2，
∴A（1，），
∴k＝1×＝，
故选：C．

【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质以及解直角三角形，解本题的关键是求出a，b的值．
9．（3分）如图，在边长一定的正方形ABCD中，F是BC边上一动点，连接AF，以AF为斜边作等腰直角三角形AEF．有下列四个结论：
①∠CAF＝∠DAE；
②四边形AFCE的面积是定值；
③当∠AEC＝135°时，E为△ADC的内心；
④若点F在BC上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等．
其中正确的结论的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据等腰直角三角形的性质可以判断①；根据△DEF，△ADC是等腰直角三角形，可得AC＝AD，AF＝AE，所以＝＝，因为∠CAF＝∠DAE，所以△CAF∽△DAE，然后证明△ADE≌△CDE（SAS），可得AE＝CE，S△ADE＝S△CDE，根据面积的和差进而可以判断②；根据△ADE≌△CDE，可得∠EAC＝∠ECA＝22.5°，可得CE，AE分别平分∠DCA，∠CAD，DE平分∠ADC，得点E是△ADC角平分线的交点，进而可以判断③；根据正方形的性质可得当点F与点B重合时，点E与点O重合；当点F与点C重合时，点E与点D重合，点E的运动轨迹为线段OD，点F的运动轨迹是线段BC，BC＝CD＝OD，且点F与点E的运动时间相同，进而可以判断④．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∠DAC＝∠DCA＝45°，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠EAF＝∠DAC＝45°，
∴∠EAF﹣∠CAE＝∠DAC﹣∠CAE，
∴∠CAF＝∠DAE，故①正确；
∵△DEF，△ADC是等腰直角三角形，
∴AC＝AD，AF＝AE，
∴＝＝，
∵∠CAF＝∠DAE，
∴△CAF∽△DAE，
∴∠ADE＝∠ACB＝45°，＝（）2＝2，
∴S△CAF＝2S△DAE，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝CE，S△ADE＝S△CDE，
∴S四边形AFCE＝S△ACF+S△ACE＝2S△DAE+S△ACE＝S△ADE+S△CDE+S△ACE＝S△ADC＝S正方形ABCD，
∴四边形AFCE的面积是定值，故②正确；
∵△ADE≌△CDE，
∴AE＝CE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠AEC＝135°，
∴∠EAC＝∠ECA＝22.5°，
∵∠DAC＝∠DCA＝45°＝2∠EAC＝2∠ECA，
∴CE，AE分别平分∠DCA，∠CAD，
∵∠ADE＝∠CDE＝45°，
∴DE平分∠ADC，
∴点E是△ADC角平分线的交点，
∴E为△ADC的内心，故③正确；
如图，连接BD交AC于点O，

∵∠ADE＝∠CDE＝45°，
当点F与点B重合时，点E与点O重合；当点F与点C重合时，点E与点D重合，
∴点E的运动轨迹为线段OD，点F的运动轨迹是线段BC，
∵BC＝CD＝OD，且点F与点E的运动时间相同，
∴vF＝vE，
∴点F与点E的运动速度不相同，故④错误．
综上所述：正确的结论是①②③，共3个．
故选：C．
【点评】本题属于几何综合题，是中考选择题的压轴题，考查了三角形的内切圆与内心，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形，正方形的性质，勾股定理，点的运动轨迹，解决本题的关键是确定点E的运动轨迹．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，作AG⊥PQ于点G，则AG的最大值为（　　）

A． B． C． D．6
【分析】连接OB交PQ于F，过F点作FH⊥OC于H，如图，BQ＝2t，OA＝3t，证明△BFQ∽△OFP得到＝＝，则可判断PQ恒过定点F，再证明△OFH∽△OBC，利用相似比计算出OH＝，FH＝，则F（，），利用两点间的距离公式计算出AF＝，然后根据垂线段最短可确定AG的最大值．
【解答】解：连接OB交PQ于F，过F点作FH⊥OC于H，如图，BQ＝2t，OA＝3t，
∵BQ∥OP，
∴△BFQ∽△OFP，
∴＝＝＝，
∴PQ恒过定点F，
∵FH∥BC，
∴△OFH∽△OBC，
∴＝＝，即＝＝，
∴OH＝，FH＝，
∴F（，），
∴AF＝＝，
∵PQ恒过定点F，
而AG⊥PQ，
∴AG≤AF，
∴AG的最大值为．
故选：B．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，利用相似比求线段的长．确定PQ过定点是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在相应的横线上）
11．（3分）在﹣1、0、、这四个数中，无理数是 　　．
【分析】根据实数的分类和无理数的定义判断即可．
【解答】解：﹣1，0，是有理数，是无理数，
故答案为：．
【点评】本题考查了无理数的定义，熟练掌握实数的分类是解题的关键．
12．（3分）冠状病毒的直径约为80～120纳米，1纳米1.0×10﹣9米，则110纳米用科学记数法表示为 　1.1×10﹣7　米．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：110纳米＝110×10﹣9米＝1.1×10﹣7米．
故答案为：1.1×10﹣7．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13．（3分）分解因式：4a2﹣16＝　4（a+2）（a﹣2）　．
【分析】首先提取公因式4，进而利用平方差公式进行分解即可．
【解答】解：4a2﹣16＝4（a2﹣4）＝4（a+2）（a﹣2）．
故答案为：4（a+2）（a﹣2）．
【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握公式形式是解题关键．
14．（3分）命题“如果a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是　假命题　（填“真命题“或“假命题”）．
【分析】直接利用绝对值的性质进而判断命题的正确性．
【解答】解：如果a＝b，那么|a|＝|b|的逆命题是：如果|a|＝|b|，则a＝b是假命题．
故答案为：假命题．
【点评】此题主要考查了命题与定理，正确写出逆命题是解题关键．
15．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣3，0）和B（0，﹣2），当函数值y＜0时，x的取值范围为 　x＞﹣3　．
【分析】根据一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣3，0）和B（0，﹣2），可知y随着x增大而减小，进一步即可确定x的取值范围．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣3，0）和B（0，﹣2），
∴﹣3＜0，0＞﹣2，
∴y随着x增大而减小，
∴当函数值y＜0时，x的取值范围是x＞﹣3，
故答案为：x＞﹣3．
【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．
16．（3分）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝　：1　．

【分析】利用h＝vt﹣4.9t2，求出t1，t2，再根据h1＝2h2，求出v1＝v2，可得结论．
【解答】解：由题意，t1＝，t2＝，h1＝＝，h2＝＝，
∵h1＝2h2，
∴v1＝v2，
∴t1：t2＝v1：v2＝：1，
故答案为：：1．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是求出t1，t2，证明v1＝v2即可．
17．（3分）“勾股图”有着悠久的历史，欧几里得在《几何原本》中曾对它做了深入研究．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以△ABC的三条边为边向外作正方形．连接EB，CM，DG，CM分别与AB，BE相交于点P，Q．若∠AMP＝30°，则∠ABE＝　30　°，的值为 　　．

【分析】先由SAS证得△EAB≌△CAM，得出∠EBA＝∠CMA＝30°，∠BPQ＝∠APM＝60°，PQ＝PB；设AP＝a，则可得PM、AM、PB、PQ及QM的长，再由SAS证得△ACB≌△DCG，得出DG＝AB＝a，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形AEDC、四边形AMNB四边形BCGF都为正方形，
∴AE＝AC＝CD，AB＝AM，BC＝CG，∠EAC＝∠MAB＝∠ACD＝∠BCG＝90°，
∴∠EAB＝∠CAM，
在△EAB和△CAM中，
，
∴△EAB≌△CAM（SAS），
∴∠EBA＝∠CMA＝∠AMP＝30°，
∴∠BPQ＝∠APM＝60°，
∴∠BQP＝90°，
∴PQ＝PB，
设AP＝a，
∴PM＝2AP＝2a，
在Rt△MAP中，由勾股定理得：AM＝，
∴PB＝AB﹣AP＝AM﹣AP＝（﹣1）a，
∴PQ＝PB＝a，
∴QM＝QP+PM＝a+2a＝a，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCG＝360°﹣∠ACB﹣∠ACD﹣∠BCG＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，
∴∠ACB＝∠DCG，
在△ACB和△DCG中，
，
∴△ACB≌△DCG（SAS），
∴DG＝AB＝a，
∴．
故答案为：30；．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，证明△EAB≌△CAM是解题的关键．
18．（3分）如图，平面内几条线段满足AB＝BC＝10．AB、CD的交点为E，现测得AD⊥BC，AD＝DE，，则CD的长度为 　　．

【分析】延长AD交CB的延长线于点F，过点B作BG∥CD，交AF于点G，可得∠GBA＝∠DEA，再利用等腰三角形的性质可得∠A＝∠DEA，从而可得∠A＝∠GBA，进而可得GA＝GB，在Rt△AFB中，根据已知可设BF＝3a，则AF＝4a，然后利用勾股定理求出AF，BF的长，再设AG＝GB＝x，则FG＝8﹣x，从而在Rt△BFG中，利用勾股定理求出BG的长，最后证明A字模型相似三角形△FGB∽△FDC，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：延长AD交CB的延长线于点F，过点B作BG∥CD，交AF于点G，

∴∠GBA＝∠DEA，
∵AD＝DE，
∴∠A＝∠DEA，
∴∠A＝∠GBA，
∴GA＝GB，
∵AD⊥BC，
∴∠AFC＝90°，
在Rt△AFB中，，
∴＝，
∴设BF＝3a，则AF＝4a，
∵AF2+BF2＝AB2，
∴（4a）2+（3a）2＝102，
∴a＝2或a＝﹣2（舍去），
∴AF＝8，BF＝6，
设AG＝GB＝x，则FG＝AF﹣AG＝8﹣x，
在Rt△BFG中，BF2+FG2＝BG2，
∴62+（8﹣x）2＝x2，
∴x＝，
∴BG＝，
∵BG∥CD，
∴∠FBG＝∠C，∠FGB＝∠FDC，
∴△FGB∽△FDC，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）﹣|﹣2|+（﹣2）0；
（2）（x+1）（x﹣1）﹣（x﹣2）2．
【分析】（1）原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果；
（2）原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝3﹣2+1＝2；
（2）原式＝x2﹣1﹣x2+4x﹣4＝4x﹣5．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（8分）（1）解方程：x2﹣5x﹣6＝0；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【解答】解：（1）方程变形得：（x﹣6）（x+1）＝0，
可得x﹣6＝0或x+1＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣1；

（2），
由①得：x≥3；
由②得：x＞5，
则不等式组的解集为：x＞5．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（10分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CD、AB上，且满足CE＝AF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）连接AC，若AC恰好平分∠EAF，试判断四边形AECF为何种特殊的四边形？并说明理由．

【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD＝BC，AB＝DC，∠B＝∠D，又CE＝AF，可得DE＝BF，根据“SAS”即可得出△ADE≌△CBF；
（2）根据平行四边形的性质可得∠DCA＝∠CAB，根据角平分线的定义可得∠EAC＝∠CAB，进而得出∠DCA＝∠EAC，可得AE＝EC，然后证明四边形AECF为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形AECF为菱形．
【解答】解：（1）证明：在▱ABCD中，AD＝BC，AB＝DC，∠B＝∠D．
∵CE＝AF，
∴DC﹣CE＝AB﹣AF，即DE＝BF，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．

（2）四边形AECF是菱形．
在▱ABCD中，AB∥DC，
∴∠DCA＝∠CAB，
∵AC恰好平分∠EAF，
∴∠EAC＝∠CAB，
∴∠DCA＝∠EAC，
∴AE＝EC．
∵AB∥DC，CE＝AF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴四边形AECF为菱形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质以及菱形的判断．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
22．（10分）三辆汽车经过某收费站下高速时，在2个收费通道A，B中，可随机选择其中的一个通过．
（1）一辆汽车经过此收费站时，选择A通道通过的概率是　　；
（2）求三辆汽车经过此收费站时，至少有两辆汽车选择B通道通过的概率．（请用画树状图的方法写出分析过程，并求出结果）．
【分析】（1）直接根据概率公式即可得到结论；
（2）画出树状图即可得到至少有两辆汽车选择B通道通过的概率．
【解答】解：（1）∵在2个收费通道A，B中，可随机选择其中的一个通过．
∴一辆汽车经过此收费站时，选择A通道通过的概率＝，
故答案为：；
（2）画树状图得：

∵共有8种等可能的情况，其中至少有两辆汽车选择B通道通过的有4种情况，
∴至少有两辆汽车选择B通道通过的概率为＝．
【点评】本题考查了概率的求法；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的关键．
23．（10分）为激发学生的阅读兴趣，培养学生良好的阅读习惯，我区某校欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空或选择：此次共调查了　200　名学生；图2中“小说类”所在扇形的圆心角为　126　度；学生会采用的调查方式是　B　．A．普查 B．抽样调查
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有学生2500人，试估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．

【分析】（1）根据文史类的人数除以占的百分比求出调查的学生总数，进而求出小说类的百分比，乘以360即可求出占的圆心角，判断调查的方式即可；
（2）求出生活类与小说类的人数，补全条形统计图即可；
（3）求出社科类的百分比，乘以2500即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：76÷38%＝200（人），生活类的人数为200×15%＝30（人），小说类的人数为200﹣（24+76+30）＝70（人），即×360°＝126°，
则此次共调查了200名学生；图2中“小说类”所在扇形的圆心角为126度；学生会采用的调查方式是B；
故答案为：200；126；B；
（2）补全统计图，如图所示：

（3）根据题意得：2500××100%＝2500×12%＝300（人），
则估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数为300人
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．
24．（10分）如图，点A、点B是直线MN外同侧的两点，请用无刻度的直尺与圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）
（1）在图1中，在直线MN上取点P使得∠APM＝∠BPN；

（2）在图2中，在直线MN上取点Q使得∠AQM＝∠AQB．



【分析】（1）作点B关于直线MN的对称点B′，连接AB′交直线MN于点P，连接PB，点P即为所求；
（2）以A为圆心，AB为半径转化，交MN于点C，作∠CAB的角平分线交MN于点Q，点Q即为所求．
【解答】解：（1）如图，点P即为所求；

（2）如图点Q即为所求．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上两点，CE与⊙O相切，交DB延长线于点E，且
DE⊥CE，连接AC，DC．
（1）求证：∠ABD＝2∠A；
（2）若DE＝2CE，AC＝8，求BE的长度．

【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CE，证明OC∥DE，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BOC，根据圆周角定理证明结论；
（2）连接BC，根据正确的定义、圆周角定理求出BC，根据勾股定理求出AB，证明△ACB∽△CEB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CE与⊙O相切，
∴OC⊥CE，
∵DE⊥CE，
∴OC∥DE，
∴∠ABD＝∠BOC，
由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A，
∴∠ABD＝2∠A；
（2）解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DE＝2CE，
∴tanD＝＝，
由圆周角定理得：∠A＝∠D，
∴tanA＝＝，
∴BC＝4，
∴AB＝＝＝4，
∵∠A＝∠BCE，∠ACB＝∠CEB，
∴△ACB∽△CEB，
∴＝，即＝，
解得：BE＝．

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
26．（10分）五月，本地新鲜枇杷大量上市，某水果超市从枇杷基地购进了一批A、B两个品种的枇杷销售，两个品种的枇杷均按25%的盈利定价销售，前两天的销售情况如表所示：
销售时间
销售数量
销售额
A品种
B品种
第一天
400斤
500斤
4000元
第二天
300斤
800斤
4700元
（1）求该超市购进A、B两个品种的枇杷的成本价分别是每斤多少元？
（2）两天后剩下的B品种枇杷是剩下的A品种枇杷数量的，但A品种枇杷已经开始变坏，出现了的损耗．该超市决定降价促销：A品种枇杷按原定价打9折销售，B品种枇杷每斤在原定价基础上直接降价销售．假如除损耗的以外，第三天把剩下的枇杷全部卖完，要保证第三天的总利润率不低于7.5%，则B品种枇杷每斤在原定价基础上最多直接降价多少元？
【分析】（1）设枇杷A的销售价为每斤x元，枇杷B售价为每斤y元，根据第一天和第二天的销售额列出方程组即可求得A，B的售价，根据两个品种的枇杷均按25%的盈利定价销售，求出成本价；
（2）设枇杷A剩余a斤，则枇杷B剩余a斤，枇杷B每斤降价z元，求出第三天的总销售额和总成本，即可得到总利润，根据第三天的总利润不低于7.5%列出不等式，即可求得z．
【解答】解：（1）设枇杷A的销售价为每斤x元，枇杷B售价为每斤y元，
则，
解得，
因为两个品种的枇杷均按25%的盈利定价销售，则成本价的1.25倍是售价，
A成本价：5÷1.25＝4（元/斤），
B成本价：4÷1.25＝3.2（元/斤），
答：A、B两个品种的枇杷的成本价分别是4元/斤和3.2元/斤；

（2）设枇杷A剩余a斤，则枇杷B剩余a斤，枇杷B每斤降价z元，
第三天总销售额：5a（1﹣）×+（4﹣z）•a＝6.7a﹣az，
第三天总成本：4a+3.2×a＝6a，
由题意知总利润不低于7.5%，
∴6.7a﹣az﹣6a≥6a•7.5%，
∴z≤0.4，
∴B种枇杷最多每斤降0.4元．
【点评】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用，体现了应用意识，找到题目中的等量关系和不等关系是解题的关键．
27．（10分）把两个等腰直角三角形纸片△OAB和△OCD放在平面直角坐标系中，已知A（﹣5，0），B（0，5），OC＝OD＝4，∠COD＝90°，将△OCD绕点O顺时针旋转．
（1）当△OCD旋转至如图的位置时，∠AOC＝30°，求此时点C的坐标；
（2）当△OCD旋转至B，C，D三点在一条直线上时，求AC的长；
（3）当△OCD旋转至∠OBC的度数最大时，则△OAD的面积为 　6　．

【分析】（1）如图①，过点C作CE⊥OA于E．解直角三角形求出OE，CE，可得结论．
（2）如图②和③，分两种情况，过点O作OF⊥BD于F．首先证明△AOC≌△BOD（SAS），推出AC＝BD，求出BD，可得结论．
（3）如图④，当OC⊥BC时，∠OBC的值最大，此时BC＝3，S△OBC＝•OC•BC＝6．再证明S△AOD＝S△BOC，可得结论．
【解答】解：（1）如图①，过点C作CE⊥OA于E．

∵△COD绕点O顺时针旋转30°，
∴∠COE＝30°，
∴EC＝OC＝2，
∴OE＝＝＝2，
∴C（﹣2，2）．

（2）如图②，当△OCD旋转到y轴的右侧，过点O作OF⊥BD于F．

∵∠COD＝∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD，
∵OA＝OB，OC＝OD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD，
在Rt△CDF中，CD＝OC＝4，
∵OF⊥CD，OC＝OD，
∴CF＝DF＝2，
∴OF＝CD＝2，
∴BF＝＝＝，
∴BD＝BF+DF＝+2，
∴AC＝BD＝+2；
如图③，当△OCD旋转到y轴的左侧，过点O作OF⊥BD于F．

同理可得OF＝2，BF＝，
∴AC＝BD＝BF﹣DF＝﹣2．
综上所述，AC的长为+2或﹣2；

（3）如图④，当OC⊥BC时，∠OBC的值最大，此时BC＝＝＝3，
∴S△OBC＝•OC•BC＝×4×3＝6．

过点D作DF⊥x轴于F，过点C作CE⊥OB于E．
∵∠BOF＝∠COD＝90°，
∴∠BOC＝∠DOF，
∵∠CEO＝∠DFO＝90°，OC＝OD，
∴△OEC≌△OFD（AAS），
∴EC＝DF，
∵S△AOD＝•OA•DF，S△BOC＝•OB•CE，OB＝OA，
∴S△AOD＝S△BOC＝6．
故答案为：6．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了坐标与图形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
28．（10分）已知，关于x的二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，图象顶点为D，连接AC、BC、BD、CD，满足∠ACB≥90°．
（1）请直接写出点A、点B的坐标以及a的取值范围；
（2）点，点F在AC边上，若直线EF平分△ABC的面积，求点F的坐标（用含a的代数式表示）；
（3）△BCD中CD边上的高是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）令y＝0，即可求A（﹣3，0），B（1，0），取AB的中点G（﹣1，0），连接GC，当GC≤AB时，∠ACB≥90°，由×4，即可求a的取值范围；
（2）设AC边上的点F（t，﹣at﹣3a）（﹣3＜t＜0），分别求出S△ABC＝6a，S△AEF＝，再由，求出a的值，即可求F点坐标；
（3）设直线BD与y轴交点为点P，先求直线BD解析式可得P（0，﹣2a），能够求出S△BCD＝S△BCP+S△CDP＝a，设△BCD中CD边上的高为h，由，求出，则，再由a的取值范围，求得h2≤1即h≤1，则当时，h取得最大值为1．
【解答】（1）令y＝0，则ax2+2ax﹣3a＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
令x＝0，则y＝﹣3a，
∴C（0，﹣3a），
取AB的中点G（﹣1，0），连接GC，
当GC≤AB时，∠ACB≥90°，
∴×4，
∴﹣≤a≤，
∵a＞0，
∴a的取值范围是；
（2）∵AB＝1﹣（﹣3）＝4，OC＝3a，
∴，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AC解析式为y＝﹣ax﹣3a，
设AC边上的点F（t，﹣at﹣3a）（﹣3＜t＜0），
∵，
∴S△AEF＝（﹣）×（at+3a）＝，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴点F的坐标为；
（3）△BCD中CD边上的高存在最大值，理由如下：
设直线BD与y轴交点为点P，
∵y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a，
∴顶点D（﹣1，﹣4a），
设直线BD解析式为y＝cx+d，
∴，
解得：，
∴P（0，﹣2a），
∴PC＝﹣2a﹣（﹣3a）＝a，
∴S△BCD＝S△BCP+S△CDP＝×a×2＝a，
设△BCD中CD边上的高为h，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴h2≤1即h≤1，
∴当时，h取得最大值为1．



【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形面积的求法，数形结合是解题的关键．
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