江苏省苏州市工业园区金鸡湖中学2022年中考数学一模试卷(含解析)

2022年江苏省苏州市工业园区金鸡湖中学中考数学一模试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 南海资源丰富，其面积约为万平方千米，相当于我国的渤海、黄海和东海总面积的倍．其中万用科学记数法表示为(    )

A.   B.  C.  D.

3. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如图，是我国国粹京剧的脸谱图案，该图案(    )

A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形
B. 是中心对称图形，但不是轴对称图形
C. 既是轴对称图形，也是中心对称图形
D. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
 

5. 已知直线，一块含角的直角三角板如图放置．若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 某中学随机调查了名学生，了解他们一周的体育锻炼时间，结果如表：

这名学生这一周在校的平均体育锻炼时间的中位数是(    )

A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时

7. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是(    )

A. 开口向下 B. 对称轴是直线
C. 顶点坐标是 D. 与轴有两个交点

8. 九章算术是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中均输卷记载了一道有趣的数学问题：“今有凫注释：野鸭起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”译文：“野鸭从南海起飞，天飞到北海；大雁从北海起飞，天飞到南海．现野鸭与大雁分别从南海和北海同时起飞，问经过多少天相遇．”设野鸭与大雁经过天相遇，根据题意，下面所列方程正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 一艘渔船从港口沿北偏东方向航行海里到达处时突然发生故障，位于港口正东方向的处的救援艇接到求救信号后，立即沿北偏东方向以海里小时的速度前去救援，救援艇到达处所用的时间为(    )

A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小树

10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图象上，且若将该菱形向下平移个单位后，顶点恰好落在反比例函数的图象上，则反比例函数的表达式为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11. 比较大小______填“”，“”或“”
12. 在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
13. 已知与互余，且，则______。
14. 已知关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根是______．
15. 已知圆锥的底面半径为，将其侧面展开后得到的扇形圆心角为，则此圆锥的母线长为______．
16. 汉代数学家赵爽在注解周牌算经时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形均全等，两条直角边之比均为：若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______．

17. 如图，在平面直角坐标系中，已知、现将折叠，使点落在边的中点处，折痕为，其中点在轴上，点在边上，则点的坐标为______．

18. 如图，将矩形纸片绕顶点顺时针旋转得到矩形，取、的中点、，连接若，，则线段长度的最大值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共5分）

19. 计算：．

四、解答题（本大题共9小题，共71分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. 本小题分
    解不等式组：．
21. 本小题分
    先化简再求值：，其中．
22. 本小题分
    已知：如图，是上一点，，，．
    求证：．

23. 本小题分
    近几年购物的支付方式日益增多，主要有：微信；支付宝；现金；其他．某超市对一天内消费者的支付方式进行了统计，得到如下两幅不完整的统计图．
    请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：
    本次一共调查了______名消费者；
    补全条形统计图，在扇形统计图中种支付方式所对应的圆心角为______；
    该超市本周内约有名消费者，估计使用和两种支付方式的消费者的人数．
     

24. 本小题分
    为了有效的进行疫情防控，某小区安排了、、三个核酸采样点．
    居民甲在采样点进行核酸采样概率是______；
    求居民甲、乙两人在同一个采样点进行核酸采样的概率．
25. 本小题分
    如图，已知双曲线与直线相交于、两点，轴，垂足为，直线与轴交于点若的面积为，．
    求的值；
    若点的纵坐标为，求该直线的函数表达式；
    在条件下，直接写出当为何值时，？

26. 本小题分
    我们把抛物线上纵坐标是横坐标两倍的点叫做这条抛物线的“二倍点”原点除外．
    若抛物线上只有唯一的“二倍点”，求的值及“二倍点”的坐标；
    平移抛物线，若所得新抛物线经过原点，且顶点是新抛物线的“二倍点”，求新抛物线的表达式．
27. 本小题分
    如图，在四边形中，，以为直径的与边相切于点，与相交于点，连接、．
    求证：；
    若，求证：四边形是平行四边形；
    若平分，且的面积为，求的长．

28. 本小题分
    【理解概念】
    定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．
    已知是“准直角三角形”，且．
    若，则______；
    若，则______；
    【巩固新知】
    如图，在中，，，，点在边上，若是“准直角三角形”，求的长；
    【解决问题】
    如图，在四边形中，，，，，且是“准直角三角形”，求的面积．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义即若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数，即可得出答案．
此题考查了倒数，倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．
 

2.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，因为万共有位，所以．
本题考查了科学记数法表示较大的数，准确确定是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：和不是同类项，
不能合并同类项，
选项A不符合题意；
，
选项B不符合题意；
，
选项C符合题意；
，
选项D不符合题意，
故选：．
按照整式幂的运算法则逐一计算进行辨别．
此题考查了整式幂的相关运算能力，关键是能准确理解并运用该计算法则．
 

4.【答案】 

【解析】解：该图案是轴对称图形，但不是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，

是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
．
故选：．
由等腰直角三角形可得，由平行线的性质得，再由三角形的外角性质可求得，根据对顶角相等得的度数．
本题主要考查平行线的性质，等腰直角三角形，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：由统计表可知：统计表中是按从小到大的顺序排列的，最中间两个人的锻炼时间分别是，，故中位数是．
故选：．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
本题考查了确定一组数据的中位数的能力．将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数，则找中间两位数的平均数．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
二次函数的图象开口向上，
故A错误；
对称轴为直线，
故B错误；
当时，，
顶点坐标为，
故C正确；
，
抛物线与轴没有交点，
故D错误．
故选：．
通过二次项系数可以判断抛物线开口方向；通过可以判断对称轴；把对称轴，代入解析式可以判断顶点坐标；根据可以判断．
本题考查了抛物线与轴的交点和二次函数的性质，关键是对函数性质的应用．
 

8.【答案】 

【解析】解：设野鸭与大雁经过天相遇，
根据题意得：．
故选：．
设野鸭与大雁经过天相遇，南海和北海之间的路程为，则野鸭每天飞行，大雁每天飞行，根据野鸭和大雁路程和等于，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：过点作交的延长线于，
在中，，海里，
则海里，
在中，，
则海里，
救援艇到达处所用的时间小时，
故选：．
过点作交的延长线于，根据正弦的定义求出，再根据正弦的定义求出，计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作轴于，
设菱形的边长为，
在中，，，
则，
点向下平移个单位的点为，即，
则有，
解得，
，
反比例函数的解析式为，
故选：．
过点作轴于，设菱形的边长为，根据菱形的性质和三角函数分别表示出，以及点向下平移个单位的点，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，求解即可．
本题考查的是反比例函数综合题目，考查了反比例函数解析式的求法、坐标与图形性质、菱形的性质、平移的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为，
所以．
故答案为：．
正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：与互余，
，
，
，
故答案为：。
根据题意得出等式，代入求出即可。
本题考查了余角和补角的应用，注意：如果设这个角为，则它的余角的度数是。
 

14.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程的一个根为，另一个根为，
，
解得：，
则另一根是．
故答案为：．
设另一个根为，利用根与系数的关系求出的值即可．
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面周长，
设圆锥的母线长为，则：，
解得．
故答案为：．
易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：．
 

16.【答案】 

【解析】解：设两直角边分别为，，则斜边即大正方形的边长为，小正方形边长为，
所以，，
则针尖落在阴影区域的概率为．
故答案为：．
针尖落在阴影区域的概率就是四个直角三角形的面积之和与大正方形面积的比．
此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．
 

17.【答案】 

【解析】解：、，
，，
是中点，
，
设，则，，
将折叠，使点落在边的中点处，折痕为，
，
在中，，
，
解得，
，
故答案为：
由、，是中点，可得，设，则，，在中，用勾股定理可得，即可得答案．
本题考查直角三角形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练应用勾股定理列方程．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，取的中点，连接，，，

，，
，
点是的中点，点是的中点，
，
将矩形纸片绕顶点顺时针旋转得到矩形，
，，
点是的中点，点是的中点，
，，
四边形是平行四边形，
，
当点在上时，有最大值为，
故答案为：
由三角形中位线定理可求的长，通过证明四边形是平行四边形，可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，矩形的性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式
． 

【解析】利用零指数幂的意义、二次根式的性质先计算、，再化简绝对值，最后算加减．
本题考查了实数的运算，掌握“”、二次根式的性质及绝对值的意义是解决本题的关键．
 

20.【答案】解：不等式组，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为． 

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

21.【答案】解：
，
当时，原式． 

【解析】先把除法变成乘法，算乘法，再算减法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

22.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】利用证明≌即可解决问题；
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等的条件，属于中考常考题型．
 

23.【答案】   

【解析】解：本次调查的总人数为名，
故答案为：；
支付方式的人数为名，
支付方式的人数为名，
补全图形如下：

在扇形统计图中种支付方式所对应的圆心角为，
故答案为：；
估计使用和两种支付方式的消费者的人数为人．
由支付方式及其所占百分比可得总人数；
总人数乘以对应百分比可得其人数，根据各支付方式的人数之和等于总人数求出支付方式的人数，从而补全图形，用乘以对应人数所占比例即可；
总人数乘以样本中支付方式人数所占比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

24.【答案】 

【解析】解：居民甲在采样点进行核酸采样概率是，
故答案为：；
画树状图如图：

共有个等可能的结果，居民甲、乙两人在同一个采样点进行核酸采样的结果有种，
所以居民甲、乙两人在同一个采样点进行核酸采样的概率为．
直接根据概率公式求解即可；
先画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出甲、乙两人在同一采样点进行核酸采样的结果数，然后根据概率公式求解．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

25.【答案】解：，
；
的面积为，．
，
，
，，
，
把代入得，，
，
，
直线过、两点，
，解得，
直线的函数表达式为；
观察图象，当或时，． 

【解析】利用反比例函数系数的几何意义即可求得；
利用三角形面积求得的坐标，把代入反比例函数的解析式求得的坐标，然后利用待定系数法求得直线的解析式；
根据图象即可求得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数系数的几何意义，三角形的面积，待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
 

26.【答案】解：由题意得“二倍点”在直线上，
令，整理得，
，
当时，方程有两个相等实数根，则抛物线上只有唯一的“二倍点”，
，
解得或．
当时，，
解得，
将代入中得，
当时，，
解得，
将代入中得，
时，“二倍点”的坐标为，时，“二倍点”的坐标为．
设平移后解析式为，
将代入得，
解得舍或，
． 

【解析】由题意可得“二倍点”在直线上，令，根据求解．
设新抛物线解析式为，由抛物线经过原点求解．
本题考查二次函数的新定义问题，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
 

27.【答案】证明：连接，如图，

为的切线，
，
，
，
，
，
；
证明：为的直径，
，
．
，
．
，
，
，
．
四边形是平行四边形；
解：过点作于点，过点作于点，连接，如图，

平分，
，
，
．
，
为等腰直角三角形，
．
设，则，
，，
，，，
四边形为矩形，
，
，，
．
的面积为，
．
．
，
．
在中，
，






． 

【解析】连接，利用切线的性质定理和平行线的性质可得，利用同圆的半径相等和等腰直角三角形的性质即可得出结论；
利用圆周角定理和已知条件得到，利用平行线的性质与判定可得，利用有两组对边分别平行的四边形是平行线四边形即可得出结论；
过点作于点，过点作于点，连接，利用圆周角定理和角平分线的定义可得，则为等腰直角三角形，设，则，，，利用，列出方程求得；在中，利用勾股定理即可求得结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理及其推论，圆的切线的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，勾股定理，连接过切点的半径和作出线段的垂线构造直角三角形是解决此类问题常添加的辅助线．
 

28.【答案】  或 

【解析】解：当时，则，
不合题意舍去，
当，则，
，
，
，
综上所述：，
故答案为；

当时，则，
，
当，则，
，
，
，
综上所述：或，
故答案为或；

当时，如图，过点作于，

在中，，，，
，
，，
，
又，，
，
，
，
，
当时，
，，
，
又，
∽，
，
，
，
综上所述：或；

如图，过点作于，，交的延长线于，

设，
，，
，，
又，，
，
又，
≌，
，
当时，
又，
，
由可知：，
设，，则，
，
，
，
当，
又，
，
又，
∽，
，
，
，
综上所述：的面积为或．
由“准直角三角形”的定义可求解；由“准直角三角形”的定义可求解；
分两种情况讨论，由相似三角形的性质和锐角三角函数可求解；
分两种情况讨论，由相似三角形的性质和锐角三角函数可求解．
本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．